2006—2007学年度高三第一次摸底考试数学试题(理科)

2006—2007学年度高三第一次摸底考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数ii -12等于（ ）A ．1 + iB ．1－iC ．－1 + iD ．－1－i 2．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的 表面积等于 （ ） A ．22+ B ．23+ C ．24+ D ．63．给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，第二数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2， 第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入 （ ） A ．i ≤30?；p = p + i －1 B ．i ≤29?；p = p + i + 1 C ．i ≤31?；p = p + i D ．i ≤30?；p = p + i 4．由曲线y 2 = x 与y = x 2所围图形的面积为 （ ）A ．31 B ．32 C ．1D ．25．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程y = 0.66x + 1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 （ ）A ．83%B ．72%C ．67%D ．66% 6．函数f (x ) =－x 3 + x 2 +x －2的零点分布情况为（ ）A ．一个零点，在)31,(--∞内B ．二个零点，分别在)31,(--∞、),0(+∞内C ．三个零点，分别在)31,(--∞、)0,31(-、),1(+∞内D ．三个零点，分别在)31,(--∞、)1,0(、),1(+∞内7．在等差数列{a n }中，a 10 < 0，a 11 > 0，且a 11 >| a 10 |，若{a n }的前n 项和S n < 0，则n 的最大值是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．208．将函数)2||,0()sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象，向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图所示， 则ω、ϕ的值分别为 （ ） A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3πD ．2，－3π9．已知双曲线的两个焦点)0,5(1-F 、)0,5(2F ，P 为双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|= 2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x 10．三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且PA = 2，则此三棱 锥外接球的半径为 （ ）A ．2B ．5C ．2D ．321 11．如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M （M 为常数），称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 （ ）①x x f sin )(=②x x f lg )(=③xe xf =)(④⎪⎩⎪⎨⎧-<-=>=)1(1)0(0)0(1)(x x x x fA ．①B ．④C ．②③④D ．①③④12．甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7时到8时的任何时刻到达车站是等可能的）（ ）A ．21 B ．41 C ．31 D ．61第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.13．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人. 14．已知n xx )21(3-展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为 .15．如图，在直角坐标系xoy 中，O 是正△ABC 的中心， A 点的坐标为（0，2），动点P （x ，y ）是△ABC 内的点（包括 边界）.若目标函数z = ax + by 的最大值为2，且此时的最 优解(x ，y )确定的点P (x ，y )是线段AC 上的所有点，则目 标函数z = ax + by 的最小值为 . 16．给定下列结论：①已知命题p ：1tan ,=∈∃x R x ；命题q ：.01,2>+-∈∀x x R x则命题“q p ⌝∧”是假命题；②已知直线l 1：01:,0132=++=-+by x l y ax ，则l 1⊥l 2的充要条件是3-=ba； ③若31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，则βαtan 5tan =； ④圆012422=+-++y x y x 与直线x y 21=相交，所得弦长为2.其中正确命题的序号为 （把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数n m x f ⋅=)(，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为23，求C B c b sin sin ++的值.18．（本小题满分12分）某旅游公司为3个旅游团提供a ，b ，c ，d 四条线路，每个旅游团任选其中一条. （Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率； （Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率；（Ⅲ）求选择a 线路旅游团数的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）设函数xx f )21()(=，数列{a n }满足)()2(1)1(),0(*1N n a f a f f a n n ∈--=+=（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ， 试比较n S 与n T 34的大小，并加以证明.20．（本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB = 90°，PA ⊥底面ABCD ，AB =2，2=AD ，DC = 1，PA = 4，与M 、N 分别为PB 、PD 的中点，平面CMN 交AP 于点Q .（Ⅰ）求平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）确定点Q 的位置.21．（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(= （Ⅰ）若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值； （Ⅱ）若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长； （Ⅱ）若向量与向量互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率 ]22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值.山东省济宁市2006—2007学年度高三年级第一次摸底考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．C 8．D 9．C 10．D 11．D 12．C 二、填空题：每小题4分，共16分. 13．760 14．32115．－4 16．①③三、解答题：17．解：（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅= 1)62s i n (212c o s 2s i n 3++=++=πx x x ……………………………………3分∴函数f (x )的最小正周期ππ==22T ………………………………………… 4分 令)(,2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ，解得.326ππππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,6[ππππ ……………………… 6分 （Ⅱ）由f (A ) = 2，得21)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ，在△ABC 中，π<<A 0 ππππ26626+<+<∴A6562ππ=+∴A ，解得.3π=A …………………………………………………8分 又2323121sin 21=⨯⨯⨯==∆c A bc S ABC ，解得c = 2. △ABC 中，由余弦定理得：32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3. …………………………………………………………………………10分由233sin sin sin ===A aC c B b ，得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴==CB cb Cc B b18．解：（Ⅰ）3 个旅游团选择3条不同线路的概率为.834333341==A C P ………………3分（Ⅱ）恰有2条线路没有被选择的概率为.169432223242=⋅=A C C P …………………6分 （Ⅲ）设选择a 线路的旅游团数为ξ，则3,2,1,0=ξ其中642743)1(642743)0(321333=⋅=====C P P ξξ .6414)3(64943)2(333323====⋅==C P C P ξξ ………………………… 10分 ∴ξ的分布列为：从而.4643642641640=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………………… 12分 19．解：（Ⅰ）1)21()0()21()(01===∴=f a x f x又)2(1)(1n n a f a f --=+.)21()21(1)21(221+--==∴+n n n a a a ……………………………………………………2分21+=∴+n n a a 即 21=-+n n a a ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 .122)1(1-=⨯-+=∴n n a n …………………………………………………… 4分（Ⅱ）12)21()21(-==n a n nb 41)21()21(12121==∴-++n n nn b b 即数列{b n }是首项为21，公比为41的等比数列 ])41(1[32411])41(1[2121n n n n b b b S -=--=+++=∴ ……………………………6分)12)(12(153131*********+-++⨯+⨯=+++=-n n a a a a a a T n n n)1211(21)]121121()5131()311[(21+-=+--++-+-=n n n )1211(3234+-=∴n T n ………………………………………………………………8分 故比较S n 与n T 34的大小，只需比较n )41(与121+n 的大小即可即只需比较2n + 1与4n 的大小 ………………………………………………………10分121331)31(41+>+≥+⋅+=+=∴n n C n n n故n n T S 34>（或用数学归纳法证明） …………………………………………… 12分 20．解：解法一：（Ⅰ）如图以A 为原点，AD ，AB ，AP所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A （0,0,0），)0,0,2(D ，B （0,2,0），)0,1,2(C ，P （0,0,4），M （0,1,2），N （2,0,22）…………2分 ∵PA ⊥面ABCD ，AP ∴为平面ABCD 的法向量，且)4,0,0(=设平面CMN 的法向量),,(z y x =)2,1,22()2,0,2(--=-= 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222200z y x z x n CN CM 令z = 1得 1,2==y x )1,1,2(=∴n …………………………………………………………………………4分21244),cos(=⋅==n AP 60),(],180,0[),(=∴∈n AP n AP即二面角的大小为60° ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设Q (0,0,a ) 则),1,2(a CQ --=由平面向量基本原理存在唯一实数对),(μλ使CN CM CQ μλ+= 即)2,1,22()2,0,2(),1,2(--+-=-μλa …………………………………… 9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=---=-∴3121:2212222a u a μλλμμλ解得 即Q （0，0，3） ∴Q 点在AP 上且分AP 的比为3：1 ………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）过N 作NG ⊥AD ，∵N 是PD 中点，∴G 为AD 中点连结BD ，则MN ∥BD ，∴MN ∥平面ABCD ，过C 用BD 的平行线l ，则MN ∥l ， 即平面CMN ∩平面ABCD = l过G 作CH ⊥l 交l 于H ，连结NH ，则∠NHG 为平面CMN 与平面ABCD所成二面角的平面角 …………………………………………………………………3分 设A C ∩BD = O ，容易证明AC ⊥BD333323332622=-=-==⋅=⋅=AO AC OC BD AB AD AO 332333321=+=+=∴OC AO CH 又221==PA NG 6033322tan =∠∴===∠∴NHG GH NG NHG 即平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小为60°………………………………6分（Ⅱ）取PA 中点R ，连结MR ，DR ，∵MRAB 21∴MR CD ∴CM ∥DR ，…………………………………………………………………………9分 过N 作NQ ∥DR ，则Q 所求，且PA PQ 41=即Q 分AP 的比为3：1 ……………………………………………………………12分 （注：Ⅰ也可用面积射影定理求） 21．解：（Ⅰ）xax x a x f x F +=+=ln )()( 定义域为),0(+∞∈x 2ln )1()(x xa x F --=∴ ……………………………………………………………2分令ae x x F -=='10)(得 由aex x F -<<>'100)(得由ae x x F -><'10)(得 …………………………………………………………4分即),0()(1aex F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减a e x -=∴1时，F (x )取得极大值11)1(---=+-=a aa e eaa e F ……………………6分 （Ⅱ）kx x x G -=2)(ln )( 的定义域为(0+∞) k xxx G -='∴ln 2)( 由G (x )在定义域内单调递减知：0ln 2)(<-='k xxx G 在(0+∞)内恒成立 ………8分 令k x x x H -=ln 2)(，则2)ln 1(2)(x x x H -=' 由e x x H =='得0)(∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数当),(+∞∈e x 时0)(<'x H )(x H 为减函数 ……………………………………10分 ∴当x = e 时，H (x )取最大值k ee H -=2)( 故只需02<-k e 恒成立，e k 2>∴ 又当e k 2=时，只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2ek ≥∴ ………………………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）33,22,33===a c c e 即 2,322=-==∴c ab a 则 ∴椭圆的方程为12322=+y x …………………………………………………………2分 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112322x y y x 消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A 则53,562121-==+x x x x 2122122212214)(])1(1[)()(||x x x x y y x x AB -+-+=-+-=∴538512)56(22=+= ……………………………………………………………6分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A⊥ 0=⋅∴，即02121=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112222x y b y a x 消去y 得0)1(2)(223222=-+-+b a x a x b a由0)1)((4)2(222222>-+=-=∆b b a a a 整理得122>+b a ……………8分 又22222122221)1(2ba b a x x b a a x x +-=+=+ 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y由02121=+y y x x 得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a 整理得：022222=-+b a b a ……………………………………………………10分 222222e a a c a b -=-=∴代入上式得221112e a -+= )111(2122e a -+=∴ …………………………………………12分 2221≤≤e21412≤≤∴e 431212≤-≤∴e 211342≤-≤∴e 3111372≤-+≤∴e 23672≤≤∴a 适合条件122>+b a 由此得26642≤≤a 62342≤≤∴a 故长轴长的最大值为6 …………………………………………………………… 14分。