2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2章末综合测评1
人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2综合素质测试
选修2－2综合素质测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.z －是z 的共轭复数．若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i D本题考查复数、共轭复数的运算．设z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i.由题设条件可得a ＝1，b ＝－1.选D.2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)C本题主要考查导数的概念及分式不等式的解法和对数的概念．因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x >0， 即⎩⎨⎧x >0x (x 2－x －2)>0，解得x >2，故选C. 3．下列命题中正确的是( )A ．复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝dB ．任何复数都不能比较大小C ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝z 2CA 选项未注明a ，b ，c ，d ∈R .实数是复数，实数能比较大小．z 1与z 2的模相等，符合条件的z 1，z 2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1.故选C.4．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…，的前100项的和等于( ) A ．13914B ．131114C ．14114D ．14314 A从数列排列规律看，项1n 有n 个，故1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2≤100.得n (n ＋1)≤200，所以n ≤13，当n ＝13时，n (n ＋1)2＝13×7＝91(个)，故前91项的和为13，从第92项开始到第100项全是114，共9个114，故前100项的和为13914.故选A. 5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2－2,2－2，＋∞) D ．答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析－1,2答案解析－1,2答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析证明解析解析0,1解析0,10，x 2x 2,1解析－1,1解析－1,00,1－1,1－1,1－1,1－1,1hslx3y3h ．。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2模块综合测评 含解析
模块综合测评（时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等,则实数a＝（）A．－1 B．1C．－2 D．2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2．已知复数z＝错误!，则错误!·i在复平面内对应的点位于（) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＋错误!i，∴错误!·i＝－错误!＋错误!i.【答案】B3．观察：错误!＋错误!〈2错误!，错误!＋错误!〈2错误!，错误!＋错误!〈2错误!，…，对于任意的正实数a,b，使a＋错误!〈2错误!成立的一个条件可以是（）A．a＋b＝22 B．a＋b＝21C．ab＝20 D．ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21。
故选B。
【答案】B4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x)＝2xf′（1)＋ln x，则f′（1）＝（）A．－e B．－1C．1 D．e【解析】∵f（x)＝2xf′（1）＋ln x,∴f′（x)＝2f′（1）＋错误!，∴f′（1)＝2f′（1)＋1,∴f′（1）＝－1.【答案】B5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论"形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( ）A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提），y＝2x＋5是一次函数（小前提），y＝2x＋5的图象是一条直线（结论)．【答案】D6．已知函数y＝f（x)的导函数y＝f′（x)的图象如图1所示，则（)图1A．函数f（x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点,2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点,1个极小值点D．函数f（x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f′（x)的零点左右的值的符号,如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值;如果左负右正,那么f（x）在这个点处取得极小值;如果左右都是正，或者左右都是负，那么f（x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．【答案】A7．曲线y＝e x在点（2,e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）【导学号:05410080】A.错误!e2B．2e2C．e2D。
【创新设计】高中数学人教版选修2-2配套练习：第一章章末检测卷（含答..
章末检测卷（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)答案答案 B解析解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f (－1)＝(－1)2＋2×2×((－1)－2＝－3.∴M (－1，－3)．2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．(－1,0)和(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．(－∞，－1)和(1，＋∞) 答案答案 A解析解析 y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案答案 D解析解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.∵f (x )在x ＝－3时取得极值，时取得极值， 即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5. 4．函数y ＝ln 1|x ＋1|的大致图象为( )答案答案 D解析解析 函数的图象关于x ＝－1对称，排除A 、C ，当x >－1时，y ＝－ln(x ＋1)为减函数，故选D.5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A.3JB.B.2233JC.433J D ．23J答案答案 C解析解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，W ＝ʃ21(5－x 2)·)·cos 30°cos 30°cos 30°d d x ＝32ʃ21(5－x 2)d x ＝32(5x －13x 3)|21＝32×83＝433(J)． 6．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点所在象限是( ) A ．一．一 B ．二．二 C ．三．三 D ．四．四 答案答案 C解析解析 ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，故二次函数y ＝f (x )的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B ．[－3，3]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3] 答案答案 B解析解析 在f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，f (1)＋f ′(1)的值等于( ) A ．1 B.52 C ．3 D ．0答案答案 C解析解析 由已知切点在切线上，所以f (1)＝12＋2＝52，切点处的导数为切线斜率，所以f ′(1)＝12，所以f (1)＋f ′(1)＝3.9．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．π20ò(sin x －cos x )d xB ．2π40ò(sin x －cos x )d xC ．π20ò(cos x －sin x )d x D ．2π40ò(cos x －sin x )d x 答案答案 D解析解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍．故选D.10．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点内均无零点 C ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点内有零点D ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点内无零点答案答案 C解析解析 由题意得f ′(x )＝x －33x，令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0；又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，f (1e )＝13e ＋1>0.11．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案答案 B解析解析 令f (x )＝2x 3－6x 2＋7， ∴f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )>0得x >2或x <0；由f ′(x )<0得0<x <2；又f (0)＝7>0，f (2)＝－1<0， ∴方程在(0,2)内只有一实根．内只有一实根． 12．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 015的值为( ) A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．1解析解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1.所以log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014(x 1·x 2·…·x 2 013)＝log 2 014èæøö12·23·…·2 0132 014＝log 2 01412 014＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 答案答案 －1解析解析 ∵y ′＝k ＋1x ，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.14．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案答案 a ≥3解析解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________ 答案答案 (－2,15)解析解析 y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15)16．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案答案 4，－11解析解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，îïíïì 2a ＋b ＝－3a 2＋a ＋b ＝9，解得îïíïì a ＝－3b ＝3，或îïíïìa ＝4b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R.已知f (x )在x ＝3处取得极值．处取得极值． (1)求f (x )的解析式；的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，处取得极值， ∴f ′(3)＝6×6×99－6(a ＋1)×1)×33＋6a ＝0，∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上，上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y ＝16.18．(12分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a 、b ，使f (x )同时满足下列两个条件：(1)f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；(2)f (x )的最小值是1，若存在，求出a 、b ，若不存在，说明理由．，若不存在，说明理由．解 设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，上是增函数，∴îïíïì g ′(1)＝0g (1)＝3，∴îïíïì b －1＝0a ＋b ＋1＝3，解得îïíïìa ＝1b ＝1经检验，a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件．满足题设的两个条件． 19．(12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．的值．解 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x ＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x(2－x )， 所以f (x )的单调递增区间为(0，2)， 单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx(2－x )＋a >0， 即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值．的最大值． 解 (1)由于年销售量为Q (x )＝k e x ，则ke 40＝500，所以k ＝500e 40，则年售量为Q (x )＝500e 40ex 万件，万件，则年利润L (x )＝(x －a －30)500e 40e x＝500e 40·x －a －30ex (35≤x ≤41)． (2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －x e x . ①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35， 当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0；所以x ＝35时，L (x )取最大值为500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知x ＝a ＋31时，L (x )取最大值为500e 9－a .综上所述，当2≤a ≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．万元．21．(12分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x－5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；处的切线方程； (2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为处的切线方程为 y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9. (2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a . 以下分两种情况讨论：以下分两种情况讨论： ①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x (－12，0) 0 (0，12)f ′(x ) ＋0 －f (x )f (x )极大值当x ∈[－12 ，12]时，时，f (x )>0等价于îíìf (－12)>0，f (12)>0，即îíì5－a8>05＋a8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2. ②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x (－12，0) 0 (0，1a )1a (1a ，12) f ′(x ) ＋－ 0 ＋ f (x )极大值单调递单调递极小值单调递单调递当x ∈[－12，12]时，时，f (x )>0等价于îíìf (－12)>0，f (1a )>0，即îíì5－a8>01－12a2>0解不等式组得22<a <5或a <－22. 因此2<a <5.综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5.。
2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 综合素质检测2 Word版含答案
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2015·广东文，8)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝导学号33780631()A．2B．3C．4D．9[答案] B[解析]由题意得：m2＝25－42＝9，因为m＞0，所以m＝3，故选B.2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是导学号33780632() A．23B．2C. 3 D．1[答案] D[解析]由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0| 12＋(－3)2＝1.3．已知椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为导学号33780633()A．10 B．20C．241 D．441[答案] D[解析]由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16a2＝25＋16＝41，∴a＝41，∴L＝441，故选D.4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为导学号 33780634( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x[答案] C[解析] ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，∴a 2＝c 2－b 2＝3－1＝2，∴a ＝2，故渐近线方程为y ＝±22x .5．(2015·衡阳高二检测)“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的导学号 33780635( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若方程x 2m －1＋y23－m＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1>03－m >0m －1≠3－m⇒1<m <3且m ≠2，∴选B.6．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为导学号 33780636( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8[答案] C[解析] |AB |＝43，∴准线方程为x ＝－4，∴A (－4，23)在双曲线上设方程x 2a －y 2a 2＝1(a ≠0)，即16a 2－12a2＝1，∴a ＝2，∴实轴长2a ＝4. 7．(2015·潮州高二检测)方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是导学号33780637( )[解析] 方程y 2＝－m n x 表示焦点在x 轴的抛物线，当开口向右时，－mn >0，∴mn <0，∴mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，选A.8．(2015·福建八县一中高二期末测试)经过点P (2，－2)且与双曲线C ：x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是导学号 33780638( )A.x 24－y 22＝1 B ．y 22－x 24＝1C.x 22－y 24＝1 D ．y 24－x 22＝1[答案] B[解析] 设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又∵点P (2，－2)在双曲线上， ∴42－4＝λ，∴λ＝－2. 所求双曲线的方程为y 22－x 24＝1.9．经过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为导学号 33780639( )A ．2B ． 3 C. 2 D ． 5 [答案] A[解析] 由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，∴ba ＝tan60°＝3，∴b ＝3a ，代入a 2＋b 2＝c 2中得4a 2＝c 2，∴e 2＝4，∵e >1，∴e ＝2，故选A.10．(2015·天津理，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为导学号 33780640( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，由点(2，3)在渐近线上，所以b a ＝32，双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 准线方程x ＝－7上，所以c ＝7，由此可解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1，故选D.11．(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)设P 为椭圆x 29＋y 24＝1上的一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于导学号 33780641( )A.83B ．163C.433D.833[答案] B[解析] ∵a 2＝9，b 2＝4，∴c 2＝5. 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|2＋|FP 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝36. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2＝20， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|·|PF 2|＋20， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝163. 12．(2015·重庆文，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为导学号 33780642( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2[答案] C[解析] 由已知得右焦点F (c,0)(其中c 2＝a 2＋b 2，c >0)，A 1(－a,0)、A 2(a,0)；B (c ，－b 2a)、C (c ，b 2a )；从而A 1B ―→＝(c ＋a ，－b 2a )，A 2C →＝(c －a ，b 2a)，又因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B ―→·A 2C ―→＝0，即(c －a )·(c ＋a )＋(－b 2a )·(b 2a )＝0；化简得到b 2a 2＝1，即双曲线的渐进线的斜率为±1；故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·陕西理，14)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.导学号 33780643[答案] 2 2[解析] 由题意可知，抛物线的准线方程为x ＝－p2，因为p ＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(－2，0)；故由－2＝－p2可解得p ＝2 2.14．(2016·山东理，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.导学号 33780644[答案] 2[解析] 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝(32)2＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.15．(2015·南通高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.导学号 33780645[答案] 53[解析] 在椭圆x 225＋y 216＝1中a ＝5，b ＝4，c ＝3，∵三角形ABC 顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在x 225＋y 216＝1上，∴BC ＋AB ＝2a ＝10，由正弦定理sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝2a 2c ＝53.16．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：导学号 33780646①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2015·辽宁沈阳二中高二期中测试)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹.导学号 33780647[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )、点A 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2y ＝3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y －3，又∵点A (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， ∴(2x －3)2＋(2y －3)2＝4， 即(x －32)2＋(y －32)2＝1.故线段AB 的中点M 的轨迹是以点(32，32)为圆心，以1为半径的圆．18．(本小题满分12分)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列.导学号 33780648(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2，设A (x 1，y 1)、B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋cx 2＋y 2b 2＝1， 消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 41＋b 2， 解得b ＝22. 19．(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7︰3，求椭圆和双曲线的方程.导学号 33780649[解析] ①焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13， 所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.20．(本小题满分12分)如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆上的点(1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4.导学号 33780650(1)求椭圆C 的方程．(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积． [解析] (1)由题设知：2a ＝4，即a ＝2，将点(1，32)代入椭圆方程得122＋(32)2b 2＝1，解得b 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A (－2,0)，B (0，3)， 所以k PQ ＝k AB ＝32， 所以PQ 所在直线方程为y ＝32(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝32(x －1)，x 24＋y23＝1，消x 得8y 2＋43y －9＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－32，y 1·y 2＝－98， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝34＋4×98＝212， 所以S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212.21．(本小题满分12分)(2015·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5.导学号 33780651(1)求抛物线的方程；(2)设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．[解析] (1)由题意得|MF |＝4＋p2＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y 2＝4x ，得y ＝±4.∴|AB |＝8，∴|AB |2＝4，∴以AB 为直径的圆过原点．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)． 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)y 2＝4x ，得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4＋8k 2k 2，x 1x 2＝16.y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝k 2[x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16]＝k 2[16－4×4＋8k2k 2＋16]＝k 2(32－16－32k2k 2)＝－16， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OA ⊥OB ，∴以AB 为直径的圆必过原点．综上可知，以AB 为直径的圆必过原点．22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；导学号 33780652(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵F (2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝22a ＝3＋5＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2， ∴b 2＝12，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t x 216＋y212＝1，消去y ，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.∵直线l 与椭圆有公共点， ∴Δ＝(3t )2－12(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4， 可得，|t |94＋1＝4，∴t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]， 故符合题意的直线l 不存在．。
高中数学(人教B版 选修2-2)第2章 推理与证明 章末综合测评 Word版含答案
章末综合测评(二)推理与证明(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，项属于类比推理，项和项属于归纳推理，而项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】．根据偶函数定义可推得“函数()＝在上是偶函数”的推理过程是( ) ．归纳推理．类比推理．演绎推理．非以上答案【解析】根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选.【答案】．下列推理是归纳推理的是( )．，为定点，动点满足＋＝>，得的轨迹为椭圆．由＝，＝－，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式．由圆＋＝的面积π，猜出椭圆＋＝的面积＝π．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选.【答案】．“凡是自然数都是整数，是自然数，所以是整数．”以上三段论推理()．完全正确．推理形式不正确．不正确，两个“自然数”概念不一致．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】．用数学归纳法证明“－能被整除”的第二步中，当＝＋时，为了使用假设，应将＋－＋变形为( )．(－)＋×－．(－)＋×．(－)(－)．(－)－×【解析】＋－＋＝·－·＝·－·＋·－·＝(－)＋·.【答案】．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…－＝时，若已假设＝(≥且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证＝时等式成立．( )．＋．＋．＋．(＋)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，＝(≥且为偶数)的下一个偶数为＝＋，故选.【答案】．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．【解析】利用归纳法，＋＝，＋＝，＋＝＝＋，＋＝＋＝，＋＝＋＝，＋＝＋＝，＋＝＋＝，＋＝＋＝，＋＝＋＝，＋＝＋＝，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】。
2016-2017学年高中数学人教B版选修1-2模块综合测评2 Word版含解析
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是( )A.①②③B.①②C.②③D.①③④【解析】 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确.其余均为相关关系.【答案】 D2.(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4izz －1＝( ) A.1 B.－1 C.i D.－i【解析】 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以zz ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i zz －1＝4i4＝i.故选C.【答案】 C3.有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .这个结论显然是错误的，这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】 大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线.【答案】 A4.如图1所示的知识结构图为________结构.( )图1A.树形B.环形C.对称性D.左右形【解析】由题图可知结构图为树形结构.【答案】 A5.(2014·陕西高考)根据如图2所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()图2A.a n＝2nB.a n＝2(n－1)C.a n＝2nD.a n＝2n－1【解析】由程序框图可知第一次运行：i＝1，a1＝2，S＝2；第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C. 【答案】 C6.假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一和初二的数学期末考试分数如下(分别为x ，y )：A.y ＝1.218 2x ＋14.192B.y ＝1.218 2＋14.192xC.y ＝1.218 2－14.192xD.y ＝1.218 2x －14.192【解析】 由表中数据可得x －＝71，y －＝72.3，因为回归直线一定经过(x －，y －)，经验证只有D 满足条件.【答案】 D7.根据如图3的结构图，总经理的直接下属是( )图3A.总工程师和专家办公室B.开发部C.总工程师、专家办公室和开发部D.总工程师、专家办公室和所有七个部【解析】 由组织结构图可知：总工程师、开发部、专家办公室都受总经理的直接领导，它们都是总经理的直接下属，故选C.【答案】 C8.(2016·南昌高二检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4猜想a n 等于( )【导学号：37820064】A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.22n－1D.22n －1【解析】 ∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n (n ≥2)， ∴a 1＋a 2＝22·a 2，得a 2＝13； 由a 1＋a 2＋a 3＝32· a 3，得a 3＝16； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4，得a 4＝110，…， 猜想a n ＝2n （n ＋1）.【答案】 B9.(2016·临沂高二检测)若关于x 的一元二次实系数方程x 2＋px ＋q ＝0有一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则p ＋q 的值是( )A.－1B.0C.2D.－2【解析】 把1＋i 代入方程得(1＋i)2＋p (1＋i)＋q ＝0， 即2i ＋p ＋p i ＋q ＝0，即p ＋q ＋(p ＋2)i ＝0， ∵p ，q 为实数，∴p ＋q ＝0. 【答案】 B10.(2015·西安高二检测)满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆【解析】 |z －i|＝|3－4i|＝5，∴复数z 对应点到定点(0，1)的距离等于5，故轨迹是个圆.11.(2015·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况.假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾.同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】 C12.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1，再染2个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是()A.103B.105C.107D.109【解析】由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方.故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101，103，105，107，109，此时共60个数.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2016·嘉兴高二检测)若复数z＝7＋a i2－i的实部为3，则z的虚部为________.【解析】z＝7＋a i2－i＝（7＋a i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝（14－a）＋（2a＋7）i5，由题意知，14－a5＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i，故z的虚部为1.14.(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图4所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c 所需工时为________天.图4【解析】 设工序c 所需工时为x 天.由题意知：按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)， 按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)， 故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天. ∴1＋x ＋4＋1＝10，∴x ＝4. 【答案】 415.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________.【解析】 通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.【答案】a 2＋b 2＋c 2216.(2016·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若A 城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.【解析】 因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.66x ＋1.562，A 城市居民人均消费水平为y ＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x 满足7.765＝0.66x ＋1.562，所以x ≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4×100%≈83%.【答案】 83%三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 【解】 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，又∵(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∵a ，b 都是整数，∴⎩⎨⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎨⎧a 1＝－2，b 1＝－1，或⎩⎨⎧a 2＝－4，b 2＝2.故所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18.(本小题满分12分)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：【解】 由公式得χ2＝392×（39×167－157×29）2196×196×68×324＝1.78.因为1.78<6.635，所以我们没有理由推断“心脏搭桥手术”与“又发作过心脏病”有关，可以认为病人又发作心脏病与否与其做过何种手术无关.19.(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去.如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去.试画出此监督程序的流程图.【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：20.(本小题满分12分)(2015·中山高二检测)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3.【导学号：37820065】【证明】 法一(分析法)要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc >3， 只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc －1>3， 即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3得证.法二(综合法)∵a ，b ，c 全不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c －1>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3.21.(本小题满分12分)某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据.(1)(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 【解】 (1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a ^，b ^.于是x －＝52，y ＝692， 代入公式得：b ^＝＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ^＝y －－b ^x －＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ^＝735x －2，其中回归系数为735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元.(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元).所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元.22.(本小题满分12分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图5(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形.图5(1)求出f (5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式； (3)根据你得到的关系式求f (n )的表达式.【解】 (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)∵f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1).∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.11。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2学业测评：1.1.3
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝() A．4B．－4C．－2D．2【解析】由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.【答案】 D2．(2016·衡水高二检测)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y ＋1＝0，则()A．f′(x0)>0B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在【解析】切线的斜率为k＝－2，由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.【答案】 C3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()【导学号：05410006】A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.【答案】 C4．(2016·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3D.14【解】 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2， 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝－4，故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图1-1-3所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图1-1-3【解析】 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】 ②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝lim Δx →0(－1＋Δx )2－2(－1＋Δx )＋3－(1＋2＋3)Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________．【解析】 设P (x 0，y 0)，则y ′＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )－x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0， 所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)． 【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·安顺高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】 由方程组⎩⎨⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又(Δx＋1)2＋3－(12＋3)Δx＝Δx＋2.当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2，所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．【解】y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x20，又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0，∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为y0－5x0－3＝x20－5x0－3.∴2x0＝x20－5 x0－3，解得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y ＝2x－1和y＝10x－25.[能力提升]1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于() A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】依导数定义可求得，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎨⎧13×a ＋b ＝3.3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C2．(2016·天津高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) 【导学号：05410007】A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】 ∵lim Δx →0f (1)－f (1－x )2x＝12lim Δx →0f (1－x )－f (1)－x ＝－1，∴lim Δx →0f (1－x )－f (1)－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D.【答案】 D3．(2016·郑州高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】 设切点为P (x 0，y 0)． 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0a (x 0＋Δx )2－ax 20Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1.又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎨⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14. 【答案】 144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】 因为f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx ＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线， 所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ， 所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ， 代入①式，得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝3.。
2016-2017学年高中数学人教B版选修1-2学业分层测评 章末综合测评3 含答案 精品
章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b 的值分别等于()A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】 A2.(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A.2－3iB.2＋3iC.3＋2iD.3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】 A3.(2016·衡阳高二检测)若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是()【导学号：37820051】A.2B.3C.4D.5【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为42＋（－3）2＝5.【答案】 D4.(2014·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝25（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i，故选D.【答案】 D5.(2016·天津高二检测)“m ＝1”是“复数z ＝(1＋m i)(1＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 z ＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i ＋m i －m ＝(1－m )＋(1＋m )i ，若m ＝1，则z ＝2i 为纯虚数；若z 为纯虚数，则m ＝1.故选C.【答案】 C6.设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A.实轴上B.虚轴上C.直线y ＝±x (x ≠0)上D.以上都不对【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在复平面上的对应点在直线y ＝±x (x ≠0)上. 【答案】 C7.设复数z 满足1－z 1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( )A.0B.1C. 2D.2【解析】 ∵1－z1＋z＝i ， ∴z ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，∴|z ＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C8.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z －i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9.若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎨⎧sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1， ∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】 D10.当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值是( )A.1B.－1C.iD.－i 【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】 D11.在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A.3＋iB.3－iC.1－3iD.－1＋3i【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (－2，1)，O (0，0)，∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )， 则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1，2). ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2， ∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，∴第四个顶点C 的坐标为(－1，3). 【答案】 D12.复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】 由于|z |＝2，所以（x －2）2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2，0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.) 13.(2015·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0，1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －214.复数z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________.【解析】 ∵z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1，0)，Q (2，1)，∴PQ →＝(3，1)，即PQ →对应的复数为3＋i. 【答案】 3＋i 15.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于___________________________________________.【解析】 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝（3＋2i ）（－1－2i ）（－1＋2i ）（－1－2i ）＝15－85i.【答案】 15－85i16.复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________.【导学号：37820052】【解析】 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝（a －2）2＋（a ＋1）2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92， 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值.【解】 ∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， ∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，∴⎩⎨⎧x 2＋x －2＝4，x 2－3x ＋2＝20，∴x ＝－3.18.(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m1－i －2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数.【解】 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数.(2)当⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数.19.(本小题满分12分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3（1－i ）2＋i＝3－i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（a ＋2）＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.20.(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【导学号：37820053】【解】 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积. 【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. ∴点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 即△ABC 的面积为1.22.(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.【解】 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，∴⎩⎨⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴复数z 对应的点Z 的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值， ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值且|z |min ＝ 2.。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-3章末综合测评(2) 含解析
章末综合测评（二）概率（时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。
下列说法不正确的是（）A.某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B。
正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C。
公式E（X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D.从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X）＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算。
故选C.【答案】C2.(2016·吉安高二检测）若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球,现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于错误!的是（) A。
P（X＝0）B。
P（X≤2）C。
P（X＝1) D.P（X＝2）【解析】由已知易知P（X＝1）＝错误!。
【答案】C3.（2016·长沙高二检测）若X的分布列为则E（X）＝( )A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!【解析】由错误!＋a＝1，得a＝错误!，所以E(X）＝0×错误!＋1×错误!＝错误!。
【答案】A4。
甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0。
8,0。
6，0.5,则三人中至少有一人达标的概率是（）A。
0.16 B。
0。
24C.0.96D.0.04【解析】三人都不达标的概率是（1－0.8）×(1－0。
6)×(1－0。
5)＝0。
04,故三人中至少有一人达标的概率为1－0。
04＝0。
96。
【答案】C5.如果随机变量X～N（4，1)，则P（X≤2)等于（)（注：P（μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0。
954 4)A.0.210B.0。
022 8C。
0。
045 6 D.0。
021 5【解析】P（X≤2)＝（1－P(2〈X≤6））×错误!＝［1－P(4－2〈X≤4＋2)］×错误!＝（1－0。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-1章末综合测评1
章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】 A4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.【答案】 A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的() 【导学号：18490031】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】 A7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y ＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．∅B．{c|c<－1}C．{c|c≥－1} D．R【解析】命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q 为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝∅，故选A.【答案】 A8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是() A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0【解析】由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C9．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．綈p ∨qC ．綈q ∧pD ．q【解析】 很明显命题p 为真命题，所以綈p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以綈q 是真命题．所以綈p ∨q 为假命题，綈q ∧p 为真命题，故选C.【答案】 C10．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件． 【答案】 D11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1【解析】 因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x )，故綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.【答案】 B12．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)【解析】 因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题．所以点P 为直线y ＝2x －3与直线y ＝－3x ＋2的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即点P 的坐标为(1，－1)． 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．【答案】 p ∨q 与綈p14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝3－m ≤0，f （2）＝8－m >0，∴3≤m <8. 【答案】 [3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，使x 30>x 20”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0.【解】 (1)綈q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．【解】 (1)因为{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⇒/ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a ，b都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎨⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎨⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎨⎧m <13，m >0⇔0<m <13. 所以p 是q 的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围.【导学号：18490033】【解】 2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 为真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 为真时，m ≤－1或m ≥3.因为“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，－1<m <3， 即1<m <3，即m 的取值范围为(1，3)．20．(本小题满分12分)已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，有p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．【解】 当命题p 是真命题时，由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 所以有m ＜－ 2.当命题q 是真命题时，由于x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．考虑到函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p 为假，q 为真，此时有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，－2＜m ＜2，解得－2≤m ＜2，所以实数m 的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪1<t <52是不等式t 2－(a＋3)t ＋a ＋2<0的解集的真子集．法一 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 法二 令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2，因为f (1)＝0，所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 22．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0， 即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．可以发现，x 1＝x 3，∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0， ② 由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)． 代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2.∴∠A ＝90°.∴结论成立．。
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章末综合测评(一)导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·天津高二检测)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0f(x0＋h)－f(x0－h)h的值为()A．f′(x0)B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0【解析】limh→0f(x0＋h)－f(x0－h)h＝2limh→0f(x0＋h)－f(x0－h)2h＝2f′(x0)，故选B.【答案】 B2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()【导学号：05410036】A．1 B.1 2C．－12D．－1【解析】y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a ＝1.【答案】 A3．下列各式正确的是()A．(sin a)′＝cos a(a为常数)B．(cos x)′＝sin xC．(sin x)′＝cos xD．(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．【答案】 D5．(2016·东北三校联考)若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1D ．－1【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0.【答案】 A6．如图1所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )图1A.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x 【解析】 S ＝⎠⎛01[－(x 2－1)]d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎠⎛02|x 2－1|d x .【答案】 C7．(2016·泰安高二检测)函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是() A．2B．1C．0 D．由a确定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增，无极值．故选C.【答案】 C8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】 A9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C.【答案】 C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0,1)， ∵f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立， ∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0,1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0,1)上恒成立．设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )的最大值为g (0)＝0，g (x )的最大值为g (1)＝－4. ∴a ≥0或a ≤－4. 【答案】 C11．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2【解析】 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1， 所以k ＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.【答案】 A12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) 【导学号：05410037】 A ．3 B.52 C ．2D.32【解析】 由题意，得f ′(x )＝2ax ＋b .由对任意实数x ，有f (x )≥0，知图象开口向上，所以a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，所以ac ≥b 24.因为f ′(0)>0，所以b >0，且在x ＝0处函数递增． 由此知f (0)＝c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥b ＋2b 24b＝2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．⎠⎜⎛π2 (3x ＋sin x )d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 22－cos x ⎪⎪⎪⎪π20⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22－cos π2－(0－cos 0)＝3π28＋1.【答案】 3π28＋114．(2014·江西高考)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)． 【答案】 (－ln 2,2)15．(2016·南京高二检测)直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________．【解析】 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2， 极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．【答案】 (－2,2)16．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－1 4，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln(x＋1)＋12x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x(x－a＋1)x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x(x－a＋1)x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝a ln a－12a2＋32.19．(本小题满分12分)(2016·菏泽高二检测)已知函数f(x)＝x2－m ln x，h(x)＝x2－x＋a，(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1(ln x)2，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而 V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得0＜r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)(2016·长沙高二检测)抛物线y ＝ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y ＝4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a ，b 值，并求S 的最大值．【解】 由题设可知抛物线与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝－b a ， 所以S ＝⎠⎜⎛0-b a 0(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2⎪⎪⎪⎪－ba 0 ＝13a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 3＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2，① 又直线x ＋y ＝4与抛物线y ＝ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝ax 2＋bx ，得 ax 2＋(b ＋1)x －4＝0，其判别式Δ＝0， 即(b ＋1)2＋16a ＝0.于是a ＝－116(b ＋1)2，代入①式得： S (b )＝128b 33(b ＋1)4(b >0)，S ′(b )＝128b 2(3－b )3(b ＋1)5；令S ′(b )＝0，在b ＞0时，得b ＝3，且当0<b <3时， S ′(b )>0；当b >3时，S ′(b )<0.故在b ＝3时，S (b )取得极大值，也是最大值， 即a ＝－1，b ＝3时，S 取得最大值，且S 最大值＝92. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1. 【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x(x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，(2)证明：由(1)知，f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 设函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0， 所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，得f (x )>ln xx －1；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>ln x x－1.故当x>0，且x≠1时，f(x)>ln xx－1.。