切线的判定和性质 人教义务版

切线的判定和性质【学习目标】掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切点和圆心的连线与切线垂直等性质；并能应用它们证明有关问题．【主体知识归纳】1．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．圆的切线垂直于经过切点的半径．3．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 【基础知识讲解】1．关于切线的判定定理应分清楚定理的题设和结论，应特别注意“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．2．切线的性质定理和两个推论可以用下面一个定理概括出来：如果一条直线满足以下三个条件中的任意两(1)垂直于切线；(2)经过切点；(3)经过圆心．切线的性质定理和判定定理互为逆定理．3．在直线与圆的位置关系中，相切是一种重要的位置关系．切线的性质主要有五个：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．4．在解决有关切线的问题时，常需添加辅助线．其规律是：(1)作过切点的半径或直径可得垂直关系．(2)要证明一直线是圆的切线时，若已知直线过圆上的点，则作出过这点的半径或直径，证明直线垂直于这条半径或直径；若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．【例题精讲】例1：如图7—123，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD ＝21BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，以EF 为直径作半圆O ．求证：BC 是半圆O 的切线．剖析：本题是考查直线与圆的位置关系，本题中线段BC 与⊙O 的公共点没有确定，故需添加辅助线． 过点O 作OM ⊥BC ，证明OM ＝21EF 即可． 证明：连结EF ，交AD 于G ，过圆心O 作O Ｍ⊥BC ，垂足为M ．∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，EF 21BC ，AD ＝21BC ， ∴EF ＝AD ，GD ＝AG ＝21AD ＝21EF ，O Ｍ＝GD ＝21EF ．∴O Ｍ为半圆O 的半径．又 O Ｍ⊥BC ，∴BC 是半圆O 的切线．说明：证明圆的切线有以下两种方法：方法(1)是依据切线的定义，圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线，方法(2)是依据判定定理，过半径外端点并垂直于半径的直线是圆的切线．选择哪种方法关键是在已知条件中寻找．若不能判定直线l 与⊙O 有公共点，则使用方法(1)，过圆心O 作l 的垂线OP ，证明OP 等于半径；方法(1)简述为“作垂直，证半径”，若能判定直线l 与⊙O 有公共点A ，则使用方法(2)，连结圆心O 与点A ，证明半径OA ⊥l ，方法(2)简述为“连半径，证垂直”．例2：如图7—124，已知AB 是⊙O 的直径，CB ⊥AB ，AC 交⊙O 于E ，D 是BC 的中点． 求证：直线DE 是⊙O 的切线．证明：连结OE 、BE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°∴BE ⊥AC ，则∠BEC ＝90°． ∵D 是BC 的中点，∴DE ＝BD ＝21BC ∴∠DBE ＝∠DEB ．∵OE ＝OB ，∴∠OBE ＝∠OEB∵∠OBE ＋∠DBE ＝90°，∴∠DEB ＋∠OEB ＝90°，即OE ⊥DE ． ∴DE 是⊙O 的切线．说明：(1)此例是由直径对的圆周角、直角三角形斜边中线、切线的判定等知识构成的问题．(2)证一条直线是圆的切线，常用的两个判定方法是：直线过圆上一已知点，作过这点的半径转化证直线垂直这条半径，直径和圆的公共点位置如果是未知的，过圆心作到直线的距离，转化证距离等于半径．(3)本例可以这样分析：要证DE 是圆的切线，而E 在圆上，所以连结OE ，证明DE ⊥OE 即可．例3：如图7—125，已知AB 是⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于C ，PD ⊥AD ，AD 、BC 的延长线相交于E ．(1)求证：AB ＝AE ；(2)当PA ：PB 等于多少时，△ABE 为正三角形． 证明：(1)连结OC ，则OC ⊥PD ．又∵PD ⊥AD ，∴OC ∥AD ，∴∠E ＝∠OCB ．∵OC ＝OB ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝∠E ，∴AB ＝AE ．(2)由(1)知△ABE 为等腰三角形，若∠ABE ＝60°，则△ABE 为正三角形． 这时有∠P ＝30°． ∴PB ＝BC ＝OB ＝21AB ． ∴PA ：PB ＝3．因此，当PA ：PB ＝3时，△ABE 为正三角形．说明：观察、分析、联想、添加辅助线、综合运用是解答几何问题的几个重要环节，本例的解答过程体现了这几个环节的应用．【思路拓展题】为什么汽油桶、热水瓶等都是圆柱形的？汽油桶、热水瓶等，都是装液体的容器．平时你注意过没有，装液体的容器，往往都是圆柱形的．这能不能用数学知识来解释呢？能．我们生产一件容器，都希望能用最省的材料，来装一定的体积的液体．或者说，用同样的材料，要使做成的容器的容积最大．在平面几何里，我们学了计算圆面积和一些正多边形的面积或周长的方法．譬如：一个面积为100平方厘米的正方形周长为40厘米；同样面积的正三角形的周长约等于45.6厘米；而同样面积的圆的周长只有35.4厘米．这就是说，面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长较小，圆的周长最小．所以，装同样体积的液体的容器中，如果容器的高度一样，那么，侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省．因此，汽油桶、热水瓶等装液体的容器，大都是圆柱形的．有没有比圆柱形更为省料的形状呢?有的．根据数学的原理，在同样的材料做的一些容器中，球形的容器的容积要比圆柱形的更大．也就是说，做球形的容器，可以更节约材料．但是，球形的容器很容易滚动，放不稳，它的盖子也不容易做，所以不实用．放固体的容器，如盒子、箱子、柜子等，为什么不做成圆柱形的呢?虽然做圆柱形的容器比较省料，但是，装起固体东西来却不经济，所以通常把它们做成长方体的．【同步达纲练习】 1．选择题(1)AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定AB ⊥CD 的是 A ．AB 与⊙O 相切于直线CD 上的点C B ．CD 经过圆心O C ．CD 是直径 D ．AB 与⊙O 相切于C ，CD 过圆心O(2)以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，这三个圆的半径分别是A ．3、4、5B ．3、2、5C ．3、4、512 D ．15、20、12(3)如图7—126，AB 是半圆直径，直线MN 切半圆于C ，AM ⊥ＭN ，BN ⊥ＭN ，若AM ＝a ，BN ＝b ，则半圆的半径是A ．23(a ＋b) B ．a ＋bC ．21(a ＋b) D ．31(a ＋b) (4)如图7—127，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角是30°，过C 点的切线交AB 的延长线于D ．如果OD ＝3 cm ，那么⊙O 的半径长是A ．3 cmB ．2 cmC ．23cm D ．1 cm(5)如图7—128，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∠P ＝70°，则∠C 等于A ．70°B ．55°C ．110°D ．140°(6)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，⊙O 的直径MN 在AB 上，AC 、BC 分别切⊙O 于D 、E ，则MN 的长A ．4 cmB ．492cmC ．676cmD ．1375cm(7)已知如图7—129，AB 是半圆O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，PC 切半圆O 于点C ，若＝21,则∠P 的度数是A．60°B．45°C．30°D．15°(8)如图7—130，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于B．若AD：BC＝1：2，则AO：OB等于A．2：1 B．1：1 C．3：2 D．2：1.5(9)如图7—131，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D，AB＝6，BC＝8，则BD的长为A．4 B．4.8 C．5.2 D．62．填空题(1)若⊙O的两条平行切线间的距离为8 cm，则⊙O的半径等于________cm；(2)两个同心圆的半径分别为1 cm和2 cm，大圆的弦AB与小圆相切，则AB＝________；(3)已知⊙O的直径为AB，在圆上取一点C，作CD⊥AB于D，且CD＝3 cm，OD＝4 cm，那么⊙O的直径AB ＝________ cm；(4)已知⊙O的直径为10 cm，圆心O到直线l的距离是①3 cm、②5 cm、③7 cm，那么直线l和⊙O的位置关系分别是①________，②________，③________；(5)如图7—132，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，则∠ABD＝_________________；(6)如图7—133，AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC切⊙O于C点，∠DAC＝30°，OD＝30 cm，则⊙O的半径长等于________cm，AC的长等于________cm．(7)如图7—134，PB与⊙O相切于点B，OP交⊙O于点A，BC⊥OP于C，OA＝3 cm，OP＝4cm，则AC＝______________m．(8)如图7—135，已知BC是⊙O的直径，A是CB的延长线上一点，AD切⊙O于点D，且∠A＝30°，那么可以得出AD⊥OD，∠AOD＝60°，△OBD为等边三角形等结论．但结论还有很多，请再补充两个结论：______________，____________________．3．如图7—136，在⊙O中，AB是直径，AC、AD是弦，且AD平分∠BAC，过D作AC的垂线，交AC的延长线于E．求证：DE是⊙O的切线．4．在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆弧交OA于E．在AB上取一点C，使BC＝OA，连结CE．求证：CE是圆弧的切线．5．如图7—137，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于C点，AD⊥ＭN，D为垂足，AD、BC的延长线交于E．求证：AB＝AE．6．已知：如图7—138，Rt△ABC中∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．求证：(1)ED是⊙O的切线；(2)2DE2＝BE·OD．7．如图7—139，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．8．已知：如图7—140，DE与⊙O相切于D点，DC垂直于直径AB于C，CE⊥DE于点E．求证：2DC2＝CE·AB．9．要在一块形状为直角三角形的铁皮上(如图7—141所示)裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出半圆，使它的圆心在AC上，且与AB、BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(保留作图痕迹，不要求写出作法、证明和讨论)．10．如图7—142，CB是半圆的直径，AC与半圆相切于C点，AB与半圆相交于D点，在AC上任取一点E，连结BE交半圆于F点．求证：AB·BD＝EB·BF．11．如图7—143，⊙O是以Rt△ABC的直角边AC为直径的圆，且与斜边AB相交于点D，过D作DH⊥AC，垂足为H，又过D点作直线交BC于E，使∠ＨDE＝2∠A．求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)OE是Rt△ABC的中位线．12．如图7—144，在半径为R的⊙O上取点A，以A为圆心，r为半径作一圆，再在⊙A上取点B，过B点作⊙A的切线交⊙O于P、Q两点．求证：AP与AQ的积为定值．参考答案【同步达纲练习】1．(1) D (2)C (3)C (4)C (5)B (6)D (7)C (8)C (9)B2．(1)4 (2)23cm (3)10 (4)相交、相切、相离 (5)45° (6)15，153 (7)0．75 (8)BD ＝21BC ，∠C ＝30°，AB ＝BO ，AD ＝DC(任选两个) 3．证明：连结OD ，⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒∠∠=∠⇒=313221BAC AD OA OD 平分∴DE 与⊙O 相切．4．连结OC ，∵BC ＝OA ＝OB,∴∠2＝∠3． 又∠2＝∠1＋∠BOD ，∠3＝∠4＋∠A ， ∠BOD ＝∠A ＝45°， ∴∠1＝∠4，∴△OCD ≌△OCE ，∠ODA ＝90°， ∴∠CEO ＝90°，即可证CE 是圆弧的切线．5．连结OC 、AC ． ∵BO ＝OA,OC ∥AE, ∴BC ＝CE ． 又∵AC ⊥BE,∴△ABE 是等腰三角形，即AB ＝AE ．6．(1)连结OE ，利用平行及OA ＝OE ，可证明 ∠COD ＝∠EOD ，OC ＝OE ， 所以△COD ≌△EOD ． ∴∠OED ＝∠OCD ＝90°． ∴ED 是⊙O 的切线．(2)连结CE ，得BC 2＝BE ·BA ． 在Rt △BCE 中，可证得BC ＝2DE ． ∵OD ∥AB,OA ＝OC,∴AB ＝2OD ．∴(2DE)2＝BE ·2OD ．∴2DE 2＝BE ·OD ．7．连结OC，OC⊥CD，OC∥AD．证∠DAC＝∠CAO即可．8．连结OD，证明△OCD∽△DEC即可．9．10．连结DF、CD．则∠DFB＝∠DCB＝∠A，∠ABE是公共角，∴△BDF∽△ABE．11．(1)连结OD、CD．∠ADC＝∠DHA＝90°,∴∠HDC＝∠A．∵∠HDE＝2∠A,∴∠CDE＝∠A＝∠ODA．∵∠ADC＝90°,∴∠ODE＝90°．∴DE是⊙O的切线．在Rt△CDB中，CE＝DE，可得CE＝BE，OA＝OC．∴OE是Rt△ABC的中位线．12．连结AB、AO，延长AO交⊙O于M，连结PM．证△ABQ ∽△APM，即得AP·AQ＝2Rr．。