河南省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析

河南省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0A x x =≥和{}1B x x =≠，则A B =（ ） A ．{}0x x ≥B ．{}1x x >C ．{01x x ≤<或1}x >D ．{}01x x ≤<2．已知复数3i1iz +=-（i 是虚数单位），则|23i |z ++=（ ）AB C ．10 D ．343．“m =0是“直线()12110mx m l y +-+=：与直线()22110l mx m y +--=：之间的距离为2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则46tan()a a +的值为（ ）A ．12-B ．C ．D 5．对于直线m ，n 和平面α，β和αβ⊥的一个充分条件是（ ）6．设有一个回归方程为2 1.5ˆyx =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位7．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A ．540种B ．180种C ．360种D ．630种8．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④9．将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ） A ．π3B ．π6C ．π12D ．π2410．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别1F 和2F ，点(),P x y 为双曲线右支上一点，12PF F △的内切圆圆心为()2,2M ，则1PMF 的面积与2PMF 的面积之差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．611．在ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若45,A b =︒=ABC 的面积是1，则ABC 的外接圆的面积为（ ）AB ．52πC D ．4π12．已知82,ln2,log 6ea b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题13．设函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的实数a 取值范围是__________.14．已知向量(3,1)a =，b 是单位向量，若|2|13a b -=，则a 与b 的夹角为_____. 15．关于函数32()f x x ax bx c =+++有如下四个命题： ① 若0x 是()f x 的极大值点，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增； ②0R x ∃∈ 0()0f x =；③若函数()y f x =存在极值点，则23a b >；④函数()y f x =的图象关于点(,())33a af --中心对称．其中所有真命题的序号是__________（填上所有正确命题序号）．16．在ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3cos a b C =-，则tan A 的最大值为___________.三、解答题17．已知函数()()22sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π．(1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程()f x a 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有相异两解12,x x求：①实数a 的取值范围； ②()12sin x x +的值．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ； (2)求四棱锥N BCDM -的体积．19．为研究某品种小西红柿与种植地区的气候条件的关系，研究人员将该品种小西红柿在气候条件相差较大的A ，B 两地分别种植，到收获季节，随机抽取两地的该品种小西红柿各100颗进行检测（分为普通果和优质果），得到如下数据（表中数据单位：颗）：(1)能否有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关？(2)用样本的频率分布估计总体的频率分布，现有一筐从两地区采摘的小西红柿，其中A 地种植的约占14，试估计这一筐小西红柿的优质率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值． 21．已知函数()1ln 1f x x x=-+. (1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()21e 2ln 1f x x -+<++. 22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为π3θ=（R ρ∈）． (1)写出1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程;(2)设1C ,2C 的交点为,A B ,若OA OB >,求OA OB -的值． 23．已知函数()3f x x a x a =+++． (1)当1a =-时求不等式()4f x <的解集；(2)若()f x 的最小值为2，且()()24a m a m n-+=，求221n m +的最小值． 参考答案与解析1．【答案】C【分析】根据交集的定义运算即可． 【详解】因为{}0A x x =≥，{}1B x x =≠ 所以A B ={01x x ≤<或1}x >． 故选：C. 2．【答案】A【分析】由题意首先化简复数z ，然后利用复数的模的计算公式可得23i z ++【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+所以12i,23i 3i z z =-∴++=+故选：A. 3．【答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得0m =或45m =，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可. 【详解】两条平行线间的距离2d =，即2540m m -=，解得0m =或45m =即“0m =”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件. 故选：A. 4．【答案】C【分析】根据等差数列性质结合正切函数的特殊值公式即可求解． 【详解】因为{}n a 为等差数列，则 159553,3a a a a a ππ++===4652tan()tan 2tan3a a a π+=== 故选：C 5．【答案】D【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案.故选：D. 6．【答案】C【分析】根据所给的回归直线的方程把自变量由x 变为1x +时表示出变化后y 的值，两式相减即可求解.【详解】因为直线回归方程为：2 1.5ˆyx =-① 当变量x 增加一个单位时()2 1.51ˆyx =-+② 由②-①可得：()()2 1.512 1.5 1.5x x -+--=- 所以变量x 增加一个单位时y 平均减少1.5个单位 故选：C. 7．【答案】A【分析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区.【详解】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况第一类：6名志愿者分成123++，共有12336533C C C A 360=（种）选派方案第二类：6名志愿者分成114++，共有1143654322C C C A 90A =（种）选派方案 第三类：6名志愿者分成222++，共有2223642333C C C A 90A =（种）选派方案 所以共3609090540++=（种）选派方案 故选：A. 8．【答案】C【分析】直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式22122n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，代入数列的具体值依次判断选项即可.【详解】数列{}n a 的偶数项分别为2，8，18，32，50，L通过观察可知222n a n =，同理可得22122n a n n -=-所以22122n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数因为2212112202a -==，所以①正确，③错误；由211822n -=，解得n =21822n =，解得n =又因为*n ∈N ，所以方程都无正整数解，所以182不是{}n a 中的项，故②错误． 当n 为偶数时()()212112n n n n n n n S S S S S S S +++++-+=---()()2221211222n n n n a a n ++++-=-=-=+，故④正确． 故选：C. 9．【答案】C【分析】依题意由诱导公式知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换规律可得()46π2sin 4g x x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质即可得出结果.【详解】()πsin 2cos 2sin 2co i ππs 22s n 26366πππ62f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到π2sin 46⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()46π2sin 4g x x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭而()g x 图象关于y 轴对称，∴4π,Z 6π2πk k θ+=+∈ ∵0θ>，∴当0k =时θ取最小值π12. 故选：C. 10．【答案】C【分析】设12PF F △内切圆的半径为r ，可将所求面积之差表示为ar ，由内切圆圆心坐标可得2r =，根据过圆外一点作圆的切线，切线长相等的性质可将12PF PF -表示为12AF CF -，结合双曲线定义可构造方程求得a ，由此可求得结果.【详解】设12PF F △内切圆的半径为r ，则112PMF r S PF =△ 222PMF rS PF =△12PMF PMF S S ∴-△△()122rPF PF ar =-=. 过点M 作1MA PF ⊥于点A ，12MB F F ⊥于点B ，2MC PF ⊥于点C则由12PF F △的内切圆圆心为()2,2M 知：2rMB与112AF BF c ==+与222BF CF c ==-和AP PC =∴()1212222PF PF AF CF c c a -=-=+--=，解得：2a = 124PMF PMF SS∴-=.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查与双曲线焦点三角形有关的问题的求解，解题关键是能够利用过圆外一点作圆的切线，切线长相等的性质，结合双曲线的定义构造方程求得a . 11．【答案】B【分析】先由已知条件利用三角形面积公式求出c ，再利用余弦定理可求出a ，然后利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，从而可求出ABC 的外接圆的面积. 【详解】因为45,A b =︒=ABC 的面积是1 所以11sin 122bc A =⨯=，得1c =由余弦定理得2222cos 81215a b c bc A =+-=+-⨯= 因为0a >，所以a =设ABC 的外接圆半径为r ，则由正弦定理得2sin ar A===，得r =所以ABC 的外接圆面积为2252r πππ==⎝⎭故选：B 12．【答案】C【分析】对82,ln2,log 6e a b c ===变形后，构造()ln x f x x =，e x ≥ 得到其单调性，从而判断出2ln e 2ln 4e 4>求出83log 64>，构造()23e 126xx x h x x =----，0x ≥，研究其单调性得到23e 4<，从而判断出a c <，从而得到c a b >>. 【详解】22ln ee ea == 2ln 22ln 4ln224b === 构造()ln xf x x=，e x ≥ 则()21ln 0xf x x -'=≤在e x ≥上恒成立 故()ln xf x x=在e x ≥上单调递减 所以ln e ln 4e 4> 故2ln e 2ln 4e 4>，即a b > 而4983ln 634ln 69ln 2ln 6ln 2log 643ln 2412ln 212ln 2---=-==其中4961296,2512==，所以4983ln 6ln 2log 60412ln 2--=> 即83log 64>令()23e 126xx x h x x =---- 0x ≥则()2e 12xx h x x '=---，令()()2e 12xx j x h x x '==---则()e 1xj x x '=--，令()()e 1x k x j x x '==--则()e 10xk x '=-≥在0x ≥上恒成立所以()e 1xj x x '=--在0x ≥上单调递增因为()00j '=，所以()0j x '≥在0x ≥上恒成立，故()h x '在0x ≥上单调递增 因为()00h '=，所以()0h x '≥在0x ≥上恒成立，故()h x 在0x ≥上单调递增故()()0=0h x h ≥在0x ≥上恒成立，所以()111e 11026h =---->故8e 3>，230e 4-< 所以23e 4<，故a c <故c a b >>. 故选：C【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中对82,ln2,log 6e a b c ===变形得到2ln e e a = 2ln 44b =，从而构造()ln x f x x =，e x ≥来比较出a b >，再构造()23e 126xx x h x x =----结合中间值得到a c <.13．【答案】2[,)3+∞【分析】令()f a t =，得到()2t f t =，分1t <和1t ≥两种情况讨论，结合函数的图象和函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩令()f a t =，因为()(())2f a f f a =，则()2t f t = 当1t <时可得312t t -=令31,2t y t y =-=，其中1t <，作出两个函数的图象，如图所示：所以1t <时方程312t t -=无解； 当1t ≥时22t t =成立，由()1f a ≥ 当1a <时可得311a -≥，解得213a ≤<； 当1a ≥时可得21a ≥，解得1a ≥.综上可得，实数a 取值范围是2[,)3+∞ 故答案为2[,)3+∞. 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数和一次函数的图象与性质的应用，其中解答中结合分段函数的分段条件，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.14．【答案】π3##60o 【分析】将|2|13a b -=两边平方，根据数量积的定义可求得答案. 【详解】由(3,1)a =､b 为单位向量，|2|13a b -=得：2|23|1-=a b ，即224413a a b b -⋅+=，由2a =，=1b所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅=，1cos ,2a b = 所以,a b =π3 故答案为：π315．【答案】②③④【分析】对于①，根据导数与函数极值点的关系可判断；对于②，根据三次函数的函数值的正负情况可判断；对于③，根据函数极值点与导数的关系可判断；对于④，可计算()()33a a f x f x -++--与2()3a f -，根据结果是否相等可判断.【详解】对于①，若0x 是()f x 的极大值点，则当0x x <时()0f x '>，函数()f x 单调递增当0x x >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，错误；对于②，由于3y x =的函数值的变化幅度远大于2,y x y x ==的变化幅度故当x →-∞时32()f x x ax bx c =+++→-∞当x →+∞时32()f x x ax bx c =+++→+∞故0R x ∃∈，0()0f x =正确；对于③，若函数()y f x =存在极值点，则2()320f x x ax b '=++=有两不相等实数根故234120,3a b a b ∆=->∴> ，正确；对于④，32()()()()()33333a a a a a f x f x x ab xc x -++--=-+-+-++++32()()()333a a a x x abc x ------++++ 3422273a abc =-+ 而3232()()()()3333273a a a a a ab f ac c b ++-=--=--++ 故()()2()333a a a f x f x f -++--=- 即函数()y f x =的图象关于点(,())33a a f --中心对称，正确 故答案为：②③④【点睛】本题考查了三次函数的极值点与导数的关系以及零点问题和对称中心问题，综合性较强，解答时要明确导数与函数的极值点之间的关系，能熟悉并解决三次函数的对称中心问题。