三个事件的贝叶斯公式
精神病学 贝叶斯公式
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1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
1-4全概率公式与贝叶斯公式
P(C A) P( A C ) P(C ) P( A C ) P(C ) P( A C ) P(C ) 0.087.
13
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例4 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良 好时，产品的合格率为98％，而当机器发生某种 故障时，其合格率为55％. 每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95％. 试求已知某日早上 第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率 是多少? 解 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调 整良好”.已知P(A∣B)＝0.98，P(A∣ )＝0.55， P(B)＝0.95，P( )＝0.05，由贝叶斯公式得
由概率的可列可加性 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn). 利用乘法定理即得 B1
B4 B3 A
B2
P A i 1 P Bi P A Bi .
n
3
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例1 考卷中一道选择题有4个答案，仅有一 个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道 而乱猜是等可能的. 如果这个学生答对了，求它 确实知道正确答案的概率. 解 样本空间可以划分为事件A:知道正确答案与 :不知道.以B表示事件:学生答对，则A B， P(AB)＝P(A)＝1／2.P(B∣A)=1，而P(B∣ )＝ 1／4. 由全概率公式 P(B)＝P(A)P(B∣A)+P( )P(B∣ )=5／8， 故 P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．
§1.4 全概率公式与贝叶斯公式
一.全概率公式 二.贝叶斯公式
1
全概率公式与贝叶斯公式
, i = 1,2,, n.
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
= P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
图示
B2
B1
A
B3
Bn1
化整为零 各个击破
Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2, , n ), 则
例2 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的, 其他 二厂各生产25%. 又知第一、第二家工厂生产的有 2%是次品, 第三家工厂生产的有4%是次品. 现从此 箱中任取一个产品, 求拿到的是次品的概率.
例3
例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射 击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击 中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机 必定被击落, 求飞机被击落的概率。
§1.6 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
三、小结
一. 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验 E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件 , 若 (i ) Bi B j = , i j , i , j = 1, 2,, n ; (ii ) B1 U B2 U U Bn = S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
贝叶斯公式
(1) A1 A2 An S, (2) Ai Aj , 1 i j n.
n
P(B) P( Ai )P(B Ai ). i 1
P( Ai
B)
P( Ai )P(B P(B)
Ai ) .
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贝叶斯公式
设随机事件A1, A2 , , An是一个完备事件组, 则对任一事件B有P(B) 0, 则
概率是多少？
收到信号0 0.8
0
发
收到信号1 0.2
报
收到信号1 0.9
1
收到信号0 0.1
2020/5中/28国 人 民 武 装 警 察 部 队 学 院
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例题 在数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的。
设发报台分别以概率0.7和0.3发出信号0和1.
问当收报台收到信号1时，
归纳 A1 , A2是 样本 空 间 S中的事件, 满足: (1) A1 A2 S, (2) A1 A2 .
2
P(B) P( Ai )P(B Ai ). i 1
P( Ai
B)
P( Ai )P(B P(B)
Ai ) .
2020/5中/28国 人 民 武 装 警 察 部 队 学 院
推广
A1, A2 , , An是样本空间 S中的事件, 满足:
收到信号0 0.8
发报台确是发出信号1的
A
发
0
概率是多少？
报
A1
收到信号1 0.2
收到信号1 0.9 B
收到信号0 0.1
解：设B={收到信号1}， A={发出信号1}，
则 A={发出信号0}，
2020/5中/28国 人 民 武 装 警 察 部 队 学 院
全概率公式—叶贝斯公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
0.26
13
例如2：试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个
答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答
案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该
考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起
的概率，则用Bayes公式 即求 PAi B
P ( B1 | A)
0.397.
P ( A)
P ( A)
0.956
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收
为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为
0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
i 1
2. 贝叶斯公式：
设A1 ,A2 ,,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且P ( Ai ) 0 ,
i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P ( B) 0 ,有
P ( Ai B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P(B)
0.475
1
=
19
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
条件概率、全概率、贝叶斯公式
杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。
故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。