高中数学解题技巧之一元多次不等式
一元二次不等式与基本不等式常见题型及讲解
一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。
掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。
本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。
一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。
2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。
三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。
需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。
2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。
当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。
(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。
根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。
(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。
四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
一元二次不等式和简单高次不等式的解法
C.
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4.已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为(1,+∞)，则关
于x的不等式(ax-b)(x-2)＜0的解集是
{x|-1＜x＜2} .
【解析】由题设，得a＞0，b=-a， ∴不等式(ax-b)·(x-2)＜0， 可化为(x+1)(x-2)＜0，解得-1＜x＜2.
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5.不等式(x+3)(x+1)2(x-1)(x-2)(x2+x+1)≤0的解集是
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3.如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取值范 围是 (
C
)
A．-1≤k≤0
C．-1＜k≤0
B．-1≤k＜0
D．-1＜k＜0
【解析】若k=0时,不等式为-2＜0，对x∈R成立, ∴k=0. 若k≠0时，则k＜0,Δ＜0，-1＜k＜0.
故-1＜k≤0
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根为x1，x2且x1＜x2.
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3 7 故a、b的取值范围分别为［- ，-2］，［-3, ］. 2 2
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【小结】关于二次不等式的求解问题， 要注意利用“三个二次”之间的联系(如一 元二次不等式的解区间端点是对应二次方 程的根)，结合二次函数的图象、数轴和韦
达定理等知识灵活求解.
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基 础 训 练
1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}， 则A∩B= ( A) A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4} B．{1，2，3，4} C．{x|1≤x≤4} D．R 【解析】∵A={x|1≤x≤4}， B={x|x≤2或x≥3}， ∴A∩B= {x|1≤x≤2或3≤x≤4}.
如何解一元多项式不等式
如何解一元多项式不等式1. 背景介绍一元多项式不等式是数学中常见的问题之一，它涉及到多项式函数的大小比较。
解一元多项式不等式的过程需要运用一些基本的代数知识和不等式性质，以得出不等式的解集。
2. 解一元多项式不等式的一般步骤解一元多项式不等式的一般步骤如下：步骤1：将不等式转化为标准形式将不等式中的一元多项式移项并合并同类项，使其等于零，得到标准形式。
步骤2：求解标准形式的零点将标准形式的多项式等于零，求解出多项式的零点。
步骤3：确定不等式的几何区域根据零点的位置，确定不等式的几何区域。
可以通过绘制数轴或作图的方式，辅助确定。
步骤4：判断不等式的符号在每个区域内选取一个测试点，代入不等式中，并根据测试点的结果判断不等式的符号。
符号取决于不等式中的不等号类型（大于或大于等于为正，小于或小于等于为负）。
步骤5：写出不等式的解集根据步骤4中得到的符号，将各个区域内满足不等式的数字表达出来，合并起来即为不等式的解集。
3. 示例以一元二次不等式为例，演示解一元多项式不等式的过程。
假设有一元二次不等式：x^2 - 2x > 3。
步骤1：转化为标准形式将不等式移项，得到：x^2 - 2x - 3 > 0。
步骤2：求解零点将标准形式的多项式等于零，求解出多项式的零点。
由于这是一元二次方程，可以使用因式分解、配方或求根公式等方法，得到零点为x = -1，x = 3。
步骤3：确定几何区域在数轴上，将零点 -1 和 3 标记出来。
-∞ -1 3 +∞步骤4：判断符号在区域 -∞ 到 -1 内选取一个测试点，例如 x = -2，代入不等式x^2 - 2x - 3 > 0 中得到 (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 7 > 0。
因此，在该区域内，不等式为正。
在区域 3 到+∞ 内选取一个测试点，例如 x = 4，代入不等式x^2 - 2x - 3 > 0 中得到 4^2 - 2(4) - 3 = 5 > 0。
一元高次不等式的解法
一元高次方程的解法
分解因式法
通过因式分解将高次方程 化为低次方程，从而求解。
公式法
利用一元高次方程的求根 公式进行求解。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的 解。
一元高次不等式的变种
区间不等式
在给定区间内解一元高次不等式。
参数不等式
含有参数的一元高次不等式，需 要讨论参数的取值范围。
绝对值不等式
含有绝对值符号的一元高次不等 式，需要去掉绝对值符号进行求
配方法
总结词
通过配方将高次不等式化为完全平方形式，便于求解。
详细描述
配方法是另一种常用的解一元高次不等式的方法。它通过将高次多项式配成完全平方的形式，将高次 不等式转化为易于解决的一元二次不等式。在进行配方时，需要注意项的调整和符号的处理，以确保 不等式的正确性。
迭代法
总结词
通过不断迭代逼近解，适用于求解复杂 或难以因式分解的高次不等式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ决策分析
在决策分析中，一元高次不等式可 以用来描述成本、收益和风险等因 素之间的关系，帮助决策者做出最 优选择。
04 一元高次不等式的注意事 项
符号判断
符号判断是解一元高次不等式的重要步骤，需要根据不等式的性质和一元函数的单 调性来判断解集的符号。
在判断符号时，需要特别注意不等式的临界点和拐点，这些点可能会导致符号发生 变化。
特殊情况处理
特殊情况是指一些特殊形式的一 元高次不等式，如等根、重根、
不等式两边同时为0等。
在处理特殊情况时，需要根据具 体情况采用不同的方法，如因式
分解、配方法、参数方程等。
特殊情况处理需要综合考虑不等 式的形式和性质，以及解的取值 范围和实际意义，采用合适的方
一元二次不等式的求解方法
一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，掌握其求解方法对于解决数学题目和实际问题非常重要。
本文将介绍一元二次不等式的基本概念及其求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、一元二次不等式的基本概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
其解集表示x的取值范围，以使得不等式成立。
解一元二次不等式的关键在于确定x的取值范围。
二、一元二次不等式的求解方法1. 图示法通过绘制一元二次函数的图像，可以直观地得到不等式的解集。
首先，将不等式化为等式ax^2 + bx + c = 0，求解得到方程的根，记为x1和x2。
然后，根据抛物线的凹凸性质和与x轴的交点情况，得到不等式的解集。
- 当a > 0时，抛物线开口向上，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。
- 当a < 0时，抛物线开口向下，解集为x ∈ (x1, x2)。
2. 辅助函数法通过引入一个辅助函数来求解一元二次不等式。
根据不等式的性质，我们可以构造一个与原不等式等价的辅助方程。
具体步骤如下：- 对于ax^2 + bx + c > 0，构造辅助函数f(x) = ax^2 + bx + c，将不等式转化为f(x) > 0的形式。
- 求解辅助方程f(x) = 0，得到方程的根，记为x1和x2。
- 根据辅助方程的根和函数的凹凸性质，确定不等式的解集。
3. 判别式法判别式法是一种常用的简化计算的方法，适用于某些特定的一元二次不等式。
通过求解方程ax^2 + bx + c = 0，得到判别式D = b^2 - 4ac。
- 当D > 0时，不等式有两个不相等的实根x1和x2，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。
- 当D = 0时，不等式有两个相等的实根x1 = x2，解集为x ∈ (-∞,x1) ∪ (x1, +∞)。
一元二次不等式全部解法
一元二次不等式全部解法一元二次不等式是高中数学中的一种常见题型，解决不等式问题需要运用一定的方法和技巧。
本文将介绍一元二次不等式的全部解法，帮助读者深入理解和掌握这一知识点。
一、基本概念一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c为实数，且a≠0。
解一元二次不等式，即找出不等式的解集。
二、判别式法判别式法是解一元二次不等式的基本方法之一。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，可以先求出方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac，然后根据判别式的大小确定不等式的解集。
1. 当Δ > 0时，方程ax^2 + bx + c = 0有两个不相等的实根x1和x2。
此时，可以将一元二次不等式分解为两个一元一次不等式，即(ax-x1)(ax-x2) > 0或(ax-x1)(ax-x2) < 0。
根据一元一次不等式的性质，可以求得一元二次不等式的解集。
2. 当Δ = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0有两个相等的实根x1=x2。
此时，可以将一元二次不等式分解为一个一元一次不等式(ax-x1)^2 > 0或(ax-x1)^2 < 0。
根据一元一次不等式的性质，可以求得一元二次不等式的解集。
3. 当Δ < 0时，方程ax^2 + bx + c = 0没有实根。
此时，一元二次不等式的解集为空集∅。
三、图像法图像法是解一元二次不等式的另一种常用方法。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，可以将其对应的二次函数y = ax^2 + bx + c的图像画出，然后根据图像确定不等式的解集。
1. 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，形状为抛物线。
高一数学必修1一元二次不等式及其解法
专题讲解:一元二次不等式及其解法知识点一:一元二次不等式的定义我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.知识点2:一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意:一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.知识点3:一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围. 表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:由上表可知:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点4:一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意:一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.知识点5:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例1. 解下列不等式:（1）03722>++x x ; （2）542--x x ≤0. 解:（1）∵02532472>=⨯⨯-=∆∴方程03722=++x x 的两个根为3,2121-=-=x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）∵()()03651442>=-⨯⨯--=∆∴方程0542=--x x 的两个根为1,521-==x x ∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x . 一元二次不等式的解法,可借助于因式分解. 另解:（1）()()0123>++x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）()()51-+x x ≤0∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x .例2. 解下列不等式:（1）91242-+-x x ≥0; （2）053212>-+-x x . 解:（1）原不等式可化为91242+-x x ≤0 ∴()232-x ≤0∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=23x x ;（2）原不等式可化为01062<+-x x∵()04101462<-=⨯⨯--=∆∴方程01062=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为∅.例3. 解不等式:02322<-+-x x .解:原不等式可化为02322>+-x x ∵()0722432<-=⨯⨯--=∆∴方程02322=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为R .习题1: 解下列不等式:（1）0652>--x x ; （2）672>+-x x ;（3）()()032<+-x x ; （4）()()x x x x ->+-412242.习题2. 不等式()02>-x x 的解集为【 】（A ）{}0>x x （B ）{}2<x x （C ）{}02<>x x x 或 （D ）{}20<<x x习题3. 已知集合{}{}06,028322>--=≤--=x x x N x x x M ,则=N M ____________. 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,一般情况下均需要进行分类讨论.根据讨论对象的不同,分为以下三种情形:一、二次项系数含有参数,对二次项系数的讨论 例4. 解不等式:()0122>+++x a ax .解:当0=a 时,原不等式为012>+x ,其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21x x ;当0≠a 时,()044222>+=-+=∆a a a解方程()0122=+++x a ax 得:aa a x a a a x 242,2422221+---=++--= ①当0>a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 24224222或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 24224222.例5. 解不等式:()00652≠>+-a a ax ax . 解:∵0≠a∴()0245222>=--=∆a a a解方程0652=+-a ax ax 得:3,221==x x 分为以下两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为{}23<>x x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为{}32<<x x .二、对判别式∆的符号的讨论 例6. 解不等式042>++ax x . 解:162-=∆a当0>∆,即4>a 或4-<a 时方程042=++ax x 的两根分别为21621-+-=a a x ,21622---=a a x ,显然21x x >,所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---<-+->21621622a a x a a x x 或;当0=∆,即4±=a 时原不等式可化为()022>+x 或()022>-x ,所以原不等式的解集为{}2-≠x x 或{}2≠x x ;当0<∆,即44<<-a 时方程042=++ax x 无实数根,所以原不等式的解集为R . 例7. 解不等式()14122+-+x x m ≥0()R m ∈. 解:∵2m ≥0 ∴012>+m()()222412144m m -=+--=∆当0>∆,即33<<-m 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--≤+-+≥1321322222m m x m m x x 或; 当0=∆,即3±=m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21x x ; 当0<∆,即3>m 或3-<m 时,原不等式的解集为R . 三、对一元二次方程两根大小的讨论例8. 解不等式0112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x a a x ()0≠a .解:原不等式可化为:()01<⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x当aa 1=,即1±=a 时,原不等式的解集为∅; 当aa 1>,()()()()011,011,012>-+>-+>-a a a a a a a a ,即101><<-a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1;当a a 1<,即101<<-<a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1. 例9. 解不等式()006522≠>+-a a ax x . 解:原不等式可化为:()()032>--a x a x 方程()()032=--a x a x 的解为a x a x 3,221== ∵0≠a ,∴21x x ≠.当a a 32>,即0<a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 32<>或; 当a a 32<,即0>a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 23<>或. 例10. 解关于x 的不等式:()0112<---x a ax . 解:当0=a 时,原不等式为01<-x ,其解集为{}1<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为:()()011<-+x ax ,方程()()011=-+x ax 的根为1,121=-=x ax当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<-11x a x ;当0<a 时,①若11=-a,即1-=a ,则原不等式的解集为{}1≠x x ; ②若11>-a ,即01<<-a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->11x a x x 或;③若11<-a ,即1-<a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 11或.注意:一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 知识点:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.例11. 已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为{}21<<x x ,解关于x 的不等式012>++ax bx 的解集.解:∵02<++b ax x 的解集为{}21<<x x∴2,121==x x 是方程02=++b ax x 的两个根由根与系数的关系定理可知:⎩⎨⎧⨯=+=-2121b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=23b a代入不等式012>++ax bx 得:01322>+-x x ∴()()0112>--x x ,解之得:211<>x x 或 ∴012>++ax bx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>211x x x 或. 习题4. 已知方程022=++bx ax 的两根为21-和2. （1）求b a 、的值;（2）解不等式012>-+bx ax .例12. 若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或,求02>+-c bx ax 的解集.解:∵02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或∴0<a ,且2-和21-是方程02=++c bx ax 的两个根 由根与系数的关系定理可知:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=--=-212212ac a b ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==125a c a b∵0<a∴02>+-c bx ax 可化为:02<+-acx a b x ∴01252<+-x x ,解之得:221<<x∴02>+-c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x .习题5. 已知关于x 的不等式02<++q px x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,求关于x 的不等式012>++px qx 的解集.习题6. 若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x x ,则=a _________,=b _________.习题7. 解下列不等式:（1）()x x -7≥12; （2）()122->x x .知识点: 一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例13. 关于x 的不等式()1122+<+++x m mx x m 对∈x R 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:原不等式可化为:012<-++m mx mx 当0=m 时,01<-,符合题意; 当m 0≠时,则有:()⎩⎨⎧<--=∆<01402m m m m ,解之得:0<m 综上所述,实数m 的取值范围为{}0≤m m .注意:若二次项系数中含有参数,不要忽略对二次项系数的讨论. 重要结论:（1）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为R 的条件为:⎩⎨⎧<∆>00a ;（2）对于一元二次不等式c bx ax ++2≥0,它的解集为R 的条件为: ⎩⎨⎧≤∆>00a ;（3）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为∅的条件为:⎩⎨⎧≤∆<00a .习题8. 若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.习题9. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）[]4,4- （B ）()4,4-（C ）]([)∞+-∞-,44, （D ）()()+∞-∞-,44,习题10. 已知函数()422)(2+-+=x a x x f ,如果对一切∈x R 恒成立,求实数a 的取值范围.第11页 例14. 若函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）()+∞∞-, （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34 （D ⎢⎣⎡⎪⎭⎫34,0 分析:本题仍是与不等式有关的恒成立问题. 函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,即分母0342≠++x mx 恒成立.此时,当0≠m 时,方程0342=++x mx 无实数根或二次函数342++=x mx y 的图象与x 轴无交点.不要忽略对m 的讨论.解:当0=m 时,函数344)(+-=x x x f ,其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,4343, ,不符合题意; 当0≠m 时,则有01216<-=∆m ,解之得:34>m ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34. 习题11. 已知函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 【 】（A ）](4,0 （B ）][1,0 （C ）[)∞+,4 （D ）[]4,0习题12. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则=a _________,=b _________. 习题13. 已知函数13122+++=kx x k kx y 的定义域为R ,则实数k 的值为_________. 习题14. 函数()()6131)(22+-+-=x a x a x f .（1）若)(x f 的定义域为[]1,2-,求实数a 的值;（2）若)(x f 的定义域为R ,求实数a 的取值范围.。
一元三次不等式
一元三次不等式是高中数学中比较基础的数学知识之一，对于学习不等式的同学来说，是必须要掌握的内容。
而在实际应用中，常常被用来解决生活中的一些实际问题，例如求解不等式解集，判断当前方案是否可行等等，因此的学习对于我们的综合素质提升有着重要的意义。
以一元的幂次最高项为三次幂，最低项为常数项组成，其一般形式为：$ax^3+bx^2+cx+d>0$（其中a, b, c, d均为实数且$a\neq 0$）。
解通常有以下两个步骤：1. 求数轴上的关键点关键点是指方程的左侧取零的点，也就是说当$x\to$关键点时，方程左侧的符号会发生改变。
为了求方程左侧的符号，在数轴上必须确定所有可能的关键点。
通常情况下，关键点分为两类：思考方程的不等式形式，当$x$的值在哪些区间时，不等式左侧大于零，哪些区间时不等式左侧小于零，以及不等式左侧等于零的点是什么。
一旦确定了关键点的位置，就能根据题目要求，利用这些关键点的位置确定不等式的解集。
2. 根据关键点判断不等式解集经过求解可以得到存有关键点的数轴，通过判断关键点附近的符号确定不等式的解集。
具体来说，如果关键点左侧不等式符号一致，右侧的解集也符号一致，否则右侧的解集符号相反。
值得注意的是，解集中也可能存在两个关键点之间的区间，此时需要将这些区间当做一个整体的进行考虑，需要在求解过程中进行特别记号。
总之，在生活中应用极为广泛，例如在一些经济学模型中，不等式不仅可以用于表达条件，而且还可以通过反推该不等式的解，来研究当前经济状况。
关于不等式的进一步深入学习和应用，可以帮助我们更好地理解生活中的各种模型，并且可以帮助我们更好地进行数学建模，用数学的方法解决现实生活中的实际问题。
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高中数学解题技巧之一元多次不等式
在高中数学中，一元多次不等式是一个常见的考点。
解决一元多次不等式问题
需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将从基本概念入手，逐步介绍解决一元多次不等式的方法，并通过具体的例题进行说明和分析，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。
一、基本概念
一元多次不等式是指含有一元变量的多项式不等式，其中变量的次数大于等于2。
解决一元多次不等式的关键在于确定不等式的解集，即满足不等式的变量取值
范围。
二、解决一元多次不等式的方法
1. 求解不等式的根
对于一元多次不等式，我们可以通过求解其等式的根来确定不等式的解集。
例如，对于不等式$x^2-3x>0$，我们可以先求解方程$x^2-3x=0$，得到根$x=0$和
$x=3$，然后根据根的位置和不等式的符号确定解集为$x<0$或$x>3$。
2. 利用函数图像
对于一元多次不等式，我们可以利用函数图像来确定不等式的解集。
例如，对
于不等式$x^3-4x^2+4x>0$，我们可以画出函数$y=x^3-4x^2+4x$的图像，然后根据
函数图像和不等式的符号确定解集为$x<0$或$0<x<1$或$x>2$。
3. 利用不等式的性质
一元多次不等式具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来简化解题过程。
例如，对于不等式$x^4-5x^2+4>0$，我们可以将其转化为$(x^2-4)(x^2-1)>0$，然后利用零点的位置和不等式的符号确定解集为$x<-2$或$-1<x<1$或$x>2$。
三、具体例题分析
1. 例题一：解不等式$x^3-3x^2-4x+12>0$。
解题思路：首先，我们可以通过求解方程$x^3-3x^2-4x+12=0$得到根$x=2$和
$x=3$，然后根据根的位置和不等式的符号确定解集为$x<2$或$x>3$。
2. 例题二：解不等式$x^4-4x^3+4x^2-4x+1\leq0$。
解题思路：我们可以将不等式左边的多项式进行因式分解，得到$(x-1)^4\leq0$，然后利用零点的位置和不等式的符号确定解集为$x=1$。
以上是两个简单的例题，通过这些例题的分析，我们可以看到解决一元多次不
等式的关键在于确定不等式的解集。
在实际解题过程中，我们可以根据具体的题目要求和条件选择合适的方法来解决问题。
同时，我们还需要注意一些常见的错误和易错点，例如忽略解集的边界点、忽略解集的非连续性等。
四、举一反三
通过对一元多次不等式的解题过程的分析，我们可以发现解决一元多次不等式
的方法和技巧可以应用于其他类型的不等式问题。
例如，对于一元有理不等式、一元指数不等式等，我们可以根据具体的题目要求和条件选择合适的方法来解决问题。
因此，掌握解决一元多次不等式的方法和技巧对于解决其他类型的不等式问题也具有一定的指导意义。
总结起来，解决一元多次不等式需要掌握基本概念和解题方法，通过求解根、
利用函数图像和利用不等式的性质等方法来确定不等式的解集。
通过具体的例题分析，我们可以更好地理解和应用这些技巧。
同时，这些解题技巧也可以应用于其他类型的不等式问题，具有一定的指导意义。
希望本文的介绍和分析能够帮助高中学生和他们的父母更好地掌握解决一元多次不等式的方法和技巧，提高数学解题能力。