三元一次不等式的解法
初中数学七年级《8.4三元一次方程组解法举例》
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4
C -2
D2
直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
C2 D3
直接代入法
选项代入
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
分析：在这个题目中，要我们 求的有三个未知数，我们自然 会想到设1元、2元、5元的纸 币分别是x张、y张、 z张，根 据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
对于这个问题的角必须同时满 足上面三个条件，因此，我们 把三个方程合在一起写成
x y z 12,
次方程组？
观察方程组：
x y z 12, ①
x
2
y
5z
22,
②
x 4 y.
③
仿照前面学过的代入法，可以把③分
别代入①②，得到两个只含y，z的方程
5 y z 12 6 y 5z 22
这个方程组就是我们上节学过的二元一次方程组。
三元一次不等式的解法
三元一次不等式的解法三元一次不等式是指含有三个未知数的一次不等式，例如：ax+by+cz>d。
求解三元一次不等式的方法与二元一次不等式类似，需要利用数学知识以及一些常用不等式的性质。
1. 消元法消元法是解决三元一次不等式的一种常见方法，通过消去其中一个未知数，将三元一次不等式化为二元一次不等式，然后再进行求解。
具体方法如下：①如果要求解ax+by+cz>d中的x的范围，可以将x消去，得到： bx+cz>(d-ay)/a②然后再将y消去，得到：cz>(d-ay-bx)/a③最后求解z的范围即可。
2. 套路法套路法是解决三元一次不等式的另一种常见方法，通过利用一些常用不等式的性质，将三元一次不等式化为一个已知的不等式，然后再进行求解。
例如：①对于a1x+b1y+c1z>d1和a2x+b2y+c2z>d2，如果a1/a2<b1/b2<c1/c2，那么两个不等式的解集有交集。
②对于a1x+b1y+c1z>d1和a2x+b2y+c2z>d2，如果a1>b1+c1，那么第一个不等式的解集包含于第二个不等式的解集中。
3. 图像法图像法是解决三元一次不等式的一种直观方法，通过将三元一次不等式转化为三维空间中的图像，求解出图像所对应的区域，即可得到三元一次不等式的解集。
例如：①对于ax+by+cz>d，可以将其转化为一个平面方程，然后再绘制出平面图像，确定其所对应的区域。
②对于ax+by>c和cx+dy>e，可以将其转化为两个平面方程，然后再绘制出两个平面图像，确定两个平面所对应的交集区域。
总之，解决三元一次不等式的方法有多种，需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，对于三元一次不等式的求解过程，也需要注意数学性质的应用，以及细致的计算过程，避免出现错误。
广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第20讲 三元一次方程组和一元一次不等式组培优讲义
第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组考点·方法·破译1．了解三元一次方程组和它的解的概念；2．会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题；3．了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集；4．会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会进行一些简单的应用．经典·考题·赏析【例１】解方程组275322 34416x yx y zx y z-=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③【解法指导】观察发现，本方程组共有两个三元一次方程，一个二元一次方程．解三元一次方程组的基本思想是消元，将其转化为二元一次方程组来求解．因此，根据本题特点有两种主要思路：一是代入法，将①分别代入②、③消去y，从而得到一个以x、z为未知数的二元一次方程组；二是由②③用加减法消去z得一个以x、y为未知数的方程，再与①联系，得一个二元一次方程组．解：方法⑴由①得：y＝2x－7 ④将④代入②，得5x＋3(2x－7)－3z＝2即11x＋3z＝23 ⑤将④代入③，得3x－4(2x－7)－4z＝16即－5x－4z＝－12 ⑥解二元一次113235412x zx z+=⎧⎨+=⎩得212xz=⎧⎪⎨=⎪⎩将x＝2代入①得y＝－3∴原方程组的解为2312 xyz⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩方法⑵②×2得10x＋6y＋4z＝4 ④④＋③得13x＋2y＝20 ⑤解方程组2713220x yx y-=⎧⎨+=⎩得23xy=⎧⎨=-⎩将23xy=⎧⎨=-⎩代入②得12z=∴原方程组的解为2312 xyz⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩【变式题组】1．解下列议程组：⑴126218x yx y zx z y-=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩⑵27328344x yy zx z-=⎧⎪+=-⎨⎪-=⎩⑶:5:3:7:2234x yx zx y z=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩2．解方程组864x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，并且mx＋2y－z1994＝10，求m的值．【例2】北京时间2006年1月23日，科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的挑战．在比赛中，科比全场46投28中，罚篮命中率高达90%，疯狂砍下职业生涯最高分81分，其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了3分，最终湖人队以122︰104获胜．科比的81分超越了近20年来乔丹69分的得分记录，也成为继张伯伦1962年3月2日对阵纽约尼克斯砍下的NBA 单场最高得分记录100分之后，联盟历史上排名第二的单场个人最高分．在篮球比赛中，三分球每投中一个加3分，除此之外其他的投篮每投中一个加2分．若是对方犯规，罚球每中一个，加1分，且在计算命中率时，罚球是单独计算的，不计入总的出手次数，那么通过上面的这则新闻，你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球分别是多少个吗？【解法指导】列方程组解决实际问题时，关键是找出题中的等量关系（注意找全所有的等量关系），然后适当设出未知数，列出各个方程组成方程组．本题中，等量关系有3个：⑴科比全场共得81分；⑵科比46投28中，即他的三分球和二分球总共中了28次；⑶罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了3分，即三分球和罚球的分数之和比二分球得分少3分．利用这三点就很容易建立方程组求解．解：设科比投中x 个二分球，y 个三分球，z 个罚球． 依题意得：238128323x y z x y y z x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩解得L 21718x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【变式题组】1．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？2．2003年全国足球甲A 联赛的前12轮（场）比赛后，前三各比赛成绩如下表．胜（场） 平（场） 负（场） 积分 大连实德队 8 2 2 26 上海申花队 6 5 1 23 北京现代队5722问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？【例3】下列各命题，是真命题的有（ ）①若a ＞b ,则a －b ＞0 ②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2③若ac ＞bc ，则a ＞b④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ⑤若a ＞b ，则3a ＞3b ;⑥若a ＞b ，则－3a ＋1＞－3b ＋1 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解法指导】不等式的三条性质，是解决有关不等式的命题的重要依据，深入透彻理解不等式的三条性质的真实内涵，是判断上述各命题的关键．第①题是直接运用不等式的性质1，完全正确．第②题是将不等式a ＞b 的两边同乘以c 2，但c 2≥0，当c 2＝0时，ac 2＝bc 2，故本题不对．第③题是将ac ＞bc 的两边同除c 得到a ＞b ，虽然条件知c ≠0，但c 可正可负，当c ＜0时，a ＞b 就不成立，故本题不对．第④题由条件ac 2＞bc 2知c 2≠0，因而c 2＞0,故本题正确．第⑤题中，设a ＞b 两边同乘以3，满足性质2，故正确．第⑥题中由a ＞b 得－3a ＜－3b ．因而－3a ＋1＜－3b ＋1，因此不对，本小题运用了性质3和性质1．解：C 【变式题组】1．下列各命题，正确的有（）①若a －b ＞0,则a ＞b ②若a ＜b ,则ac ＜bc ③若ab c c＞,则a ＞b④若a ＜b ，则22a bc c ＜⑤若a ＞b ，则2211a bm m ++＞ ⑥若a ＞b ，则a 2＞abA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2． ⑴关于x 的不等式（m 2＋1）x ＞m 2＋1解集是________________；⑵若关于x 的不等式（m ＋1）x ＜m ＋1的解集是x ＜1，则m 满足的条件是_________ 3．若关于x 的不等式（2a －b ）x ＞3a ＋b 的解集是x ＜73,则关于x 的不等式2ax ≥3b 的解集是多少？【例4】解不等式组159104131722x x x x -<-⎧⎪⎨--⎪⎩①≤②并把解集在数轴上表示出来． 【解法指导】不等式的解集就是不等式组中每个不等式的公共解集．这就要求首先会解每个不等式然后会综合不等式组的解集．一般地，对于a ＜b ，有下列四种情形．⑴x ax b x b>⎧⇒>⎨>⎩即同大取大⑵x ax a x b <⎧⇒<⎨<⎩即同小取小 ⑶x aa xb x b>⎧⇒<<⎨<⎩即大小小大中间找⑷x ax b>⎧⇒⎨>⎩无解即大大小小无法找解：由不等式①可得x ＞1， 由不等式②得x ≤4综合可得此不等式组的解集是1＜x ≤4【变式题组】1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．⑴31422x x x ->-⎧⎨+⎩≤ ⑵5122(43)3112x x x --⎧⎪⎨-<⎪⎩≤2．已知整数x 满足不等式3x －4≤6x －2和不等式21132x x +--1＜,并且满足3(x ＋a )－5a ＋2＝0，试求2152a a-的值.3．已知|1－x |＝x －1，则不等式组5421312x x x +>-⎧⎨-<⎩的解集为________________【例5】若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩①②有解，则a 的取值范围是多少？【解法指导】分别解每个不等式，可得22x a x >⎧⎪⎨<⎪⎩，若原不等式组有解，由“大小小大中间找”的法则，可知︰在数轴上看，2与2a 之间必有“空隙”，且2在2a的左边，将它们表示在数轴上如下图：显然只有图⑶才符合要求，所以2＜2a,即a ＜4． 解：由⑴可知：x ＞2 由⑵可知：x ＜2a ∵原不等式有解 ∴2＜2a 即a ＞4故a 的取值范围是a ＞4 【变式题组】 1．选择题：⑴若关于x 的不等式组210340x a x a -+⎧⎨-+⎩≤≥有解，则a 的取值范围是()A ．a ＜3B ．a ≤3C ．a ＞3D ．a ≥3⑵若关于x 的不等式组3(2)432x x x a x --<⎧⎨-<⎩无解，则a 的取值范围是（）A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥122 2 2a22a ⑴⑵⑶⑶若不等式组0122x a x x +⎧⎨--⎩≥＞有解，则a 的取值范围是（）A ．a ＞－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ＜12．试确定a 的取值范围，使不等式组：114111.5(1)()0.5(21)22x x a a a x x +⎧+⎪⎪⎨⎪-+-+-⎪⎩＞①＞② 只有一个整数解． 3．不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中，任一个x 的值均不在3≤x ≤7的范围内，求a 的取值范围。
人教版七年级数学下册第八章第四节三元一次方程组的解法复习试题(含答案) (34)
人教版七年级数学下册第八章第四节三元一次方程组的解法复习试题（含答案)阅读下列解方程组的过程：解方程组：123x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③由①+②+③，得2(x +y +z )＝6，即x +y +z ＝3．④ 由④-①，得z ＝2；由④-②，得x ＝1；由④-③，得y ＝0．则原方程组的解为102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩按上述方法解方程组：215216217x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【答案】345x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】【分析】三个方程相加可得x+y+z=12，然后用减法进行计算即可得答案.【详解】215216217x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ①+②+③得：4x+4y+4z+48，即x+y+z=12④，①-④得：x=3，②-④得：y=4，③-④得：z=5，∴方程组的解为：45y z ⎪=⎨⎪=⎩. 【点睛】本题考查解三元一次方程组，三个方程相加求出x+y+z 的值是解题关键.32．解方程组：6321234x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪--=-⎩【答案】312x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】【分析】先把三元一次方程组化为二元一次方程组，然后再通过消元、移项、系数化为1，求出二元一次方程组的解，从而求出三元一次方程组的解【详解】6321234x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪--=-⎩①②③ ①+②得：4x+3z=18④，①+③得：2x-2z=2，即x-z=1⑤，④+⑤×3得7x=21，解得：x=3，把x=3代入⑤得：z=2，把x=3，z=2代入①得：y=1，∴方程组的解为12y z ⎪=⎨⎪=⎩. 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.33．解方程组：(1)1310224x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩； (2)64239318a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【答案】（1）32x x =⎧⎨=⎩ ；（2）123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩. 【解析】【分析】(1)利用加减消元法进行求解即可；(2)先消去c ，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解二元一次方程组求得a 、b 的值，继而求得c 的值即可.【详解】 (1)1310224x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩①②， ①×2+②，得8x=24，解得：x=3，把x=3代入②，得6-y=4，解得;y=2，所以方程组的解为2x ⎨=⎩； (2)64239318a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③， ②-①，得3a+3b=-3④，③-①，得8a-2b=12⑤，④÷3+⑤÷2，得5a=5，解得a=1，把a=1代入④，得3+3b=-3，解得b=-2，把a=1，b=-2代入①，得1+2+c=6，解得c=3，所以方程组的解为123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握和灵活运用加减消元法、代入消元法是解题此类问题的关键.34．根据下面的等式，求出妈妈买回来的鱼、鸭、鸡各花了多少钱. 鸡＋鸭＋鱼=35.4元，鸡＋鱼=20.4元，鸭＋鱼=21.4元.【答案】妈妈买回来的鱼、鸭、鸡分别花了6.4元，15元，14元.【解析】【分析】设买鱼花了x 元，买鸭花了y 元，买鸡花了z 元，根据题意列出三元一次方程组，即可求解.设买鱼花了x 元，买鸭花了y 元，买鸡花了z 元.由题意列出方程组得35.4,20.4,21.4.x y z x z y x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得 6.41514.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，， 答：妈妈买回来的鱼、鸭、鸡分别花了6.4元，15元，14元.【点睛】此题主要考查三元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程.35．已知方程4360x y z --=与方程330x y z --=有相同的解，求::x y z .【答案】()3:2:3-【解析】【分析】联立两方程组成方程组，把z 看做已知数表示出x 与y ，即可求出x ：y ：z 的值．【详解】联立得：43633x y z x y z -=⎧⎨-=⎩①②， ①-①得：33x z =，即x z =，把x z =代入①得：23y z =-， 则()2::::3:2:33x y z z z z ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．36．某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？【答案】应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支【解析】【分析】根据题意结合奖品的价格得出5x+7y+10z=346，y=2z，再利用共花费346元，分别得出x，y，z的取值范围，进而得出z的取值范围，分别分析得出所有的可能.【详解】解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有5x+7y+10z=346,y=2z.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,∴5x+14z+10z=346,5x+24z=346，即346245zx-= .∵x，y，z均为正整数，346-24z≥0，即0＜z≤14 ∴z只能取14，9和4.①当z为14时，346242,228.445zx y z x y z-====++=。
第六章 第三节 三元一次不等式(组)与简单的线性规划
第六章 第三节 三元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 课下练兵场一、选择题1.满足条件202305350y x x y x y -⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩≤的可行域中共有整点的个数为 ( )A.3B.4C.5D.6解析：画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)， (1，－1)，(2，－2). 答案：B2.点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( ) A.[0,5] B.[0,10] C.[5,10] D.[5,15]解析：因x ，y 满足－14≤x －y ≤7， 则点P(x ，y)在14x y x y -⎧⎨--⎩≤7≥所确定的区域内， 且原点也在这个区域内. 又点0在直线4x ＋3y ＝0上，430,14x y x y -=⎧⎨-=-⎩解得430(6,8).,(3,4).14x y A B x y -=⎧-⎨-=-⎩解得P 到坐标原点的距离的最小值为0， 又|AO |＝10，|BO |＝5，故最大值为10.∴其取值范围是[0,10]. 答案：B3.设二元一次不等式组2190,80,2140x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 ( ) A.[1,3] B.[2，10] C.[2,9] D.[10，9]解析：画出可行域如图由.80,2190,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得交点A(1,9)，2140,2190,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩由 得交点B (3,8)，当y ＝a x 的图象过点A (1,9)时，a ＝9，当y ＝a x 的图象过点B (3,8)时，a ＝2，∴2≤a ≤9. 答案：C4.如果点P 在平面区域22021030x y x y x y ++⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最 小值为 ( ) A .5－1 B .45－1 C .22－1 D .2－1解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离d ＝|0－2·(－2)＋1|12＋(－2)2＝5，此时点P 恰好是(－1,0)，符合题意. ∴|PQ |min ＝d －1＝5－1. 答案：A5.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元 解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件2010100,04,08,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值. 解得当4,2x y =⎧⎨=⎩时，z min ＝2 200.答案：B6.(2010·海口模拟)已知约束条件340210,380x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( ) A.0＜a ＜13 B.a ≥13 C.a ＞13 D.0＜a ＜12解析：画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边 界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目 标函数z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋z a ，则由题意得－3＝k AC ＜－1a＜0，故a ＞13.综上所述，a ＞13.答案：C 二、填空题7.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 .解析：由阴影部分知x≤0,0≤y≤1，又2×0－0＋2＞0，故2x－y＋2≥0，∴所求二元一次不等式组为01. 220 xyx y⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤≥答案：01. 220 xyx y⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤≥8.(2009·上海高考)已知实数x、y满足2,2y xy xx⎧⎪⎨⎪⎩≤≥-,≤3则目标函数z＝x－2y的最小值是.解析：如图作出阴影部分为可行域，由2,3,36,y x xx x==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得即A(3,6)，经过分析可知直线z＝x－2y经过A点时z取最小值为－9. 答案：－99.若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件3020x yx yy a+-⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≤下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是.解析：作出可行域如图：由图可知直线y＝－x与y＝－x＋3平行，若最大值只有一个，则直线y＝a必须在直线y＝2x与y＝－x＋3的交点(1,2)的下方，故a≤2.答案：a≤2三、解答题10.求由约束条件2600x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≤5≤≤≥确定的平面区域的面积S 和周长c.解：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4).过P 点作y 轴的垂线，垂足为C . 则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1， OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2， PB ＝(4－0)2＋(1－3)2＝2 5. 得S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8.所以S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172， c ＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8＋2＋2 5.11.某班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？解：设可购买大球x 个，小球y 个.依题意有21001020,x y x y x N x N**⎧+<⎪⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪∈⎩≥≥其整数解为102030,,,203030x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩35,29x y =⎧⎨=⎩…都符合题目要求(满足2x ＋y －100＜0即可). 12.某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计总收益z ＝80x ＋60y.则2030300105110,x y x y x N y N +⎧⎪+⎨⎪∈∈⎩≤≤，作出可行域，如图.作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330,222x y x y +=⎧⎨+=⎩解得9,4x y =⎧⎨=⎩，即M (9,4).所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元).答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元.。
2.15 三元一次方程组及其解法 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练巩固篇(含答案)
专题2.15 三元一次方程组及其解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知三个实数a、b、c满足a+b+c＝0，a﹣b+c＝0，则下列结论一定成立的是（）A．a+b≥0B．a+c＞0C．b+c≥0D．b2﹣4ac≥02．三元一次方程的正整数解有（）A．2组B．4组C．6组D．8组3．如果，其中，那么等于（）A．1：2：3B．2：3：1C．4：3：1D．3：2：14．已知方程组的解，使成立，则的值是() A．0B．C．1D．25．在y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=﹣1时，y=6；当x=2时，y=3；则当x=﹣2时，y=（）A．13B．14C．15D．166．已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是()A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣67．解方程组若要使运算简便，消元时应( )A．先消去x B．先消去zC．先消去y D．以上说法都对8．以为解建立三元一次方程组，不正确的是（）A．B．C．D．9．已知是方程组的解，则的值为（）A．3B．2C．1D．010．已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组的解，则m2﹣7n+3k的值为()A．125B．119C．113D．71二、填空题11．已知方程组那么的值为_______．12．已知x，y，z满足，且，则____________．13．在方程中，若，，则________．14．已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为__．15．有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需________元钱？16．某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．17．重庆市举行了中学生足球联赛，共赛17轮（即每队均需比赛17场），记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若文德中学足球队的积分为16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，且胜、平、负的场数各不相同．则文德中学足球队共负____场．18．新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．三、解答题19．解下列方程组：（1）；（2）．20．下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．例1解方程组：解由方程②，得．……步骤一④将④分别代入方程①和③，得……步骤二整理，得解这个二元一次方程组，得代入④，得．所以原方程组的解是(1) 其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______．(2) 仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______．21．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．(1) 求方程x+2y＝5的所有“好解”；(2) 关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．22．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共(1) 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？(2) 若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．23．在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．例如1：已知：，，求：的值．解：令……①……②①＋②得，所以，已知，求的值．解：①×2得：……③②－③得：．利用材料中提供的方法，解决下列问题：(1) 已知：关于，的二元一次方程组的解满足，求的值；(2) 某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别，，盆．甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？24．某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．(1) 小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？(2) 小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？(3) 如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？参考答案1．D【分析】由a+b+c＝0，a﹣b+c＝0可以得出：b＝0，a+c＝0，即：b＝0，a、c互为相反数，然后判断各个选项正确与否.解：由a+b+c＝0，a﹣b+c＝0得，b＝0，a+c＝0，即：b＝0，a、c互为相反数，于是，选项A不正确，选项B不正确，选项C不正确，∵a、c互为相反数，∴ac≤0，﹣4ac≥0，又b＝0，∴b2﹣4ac≥0，因此选项D正确，故选：D.【点拨】此题考查解三元一次方程，互为相反数的应用，根据已知方程判定代数式的值，正确计算是解此题的关键.2．C【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y 分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可．解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解；所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）．故选：C．【点拨】本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论．3．B【分析】把z当作已知数求出x、y的值，再代入求出即可．解：整理得：∵①×2−②得：7y=21z，∴y=3z，把y=3z代入①得：x+6z=8z，解得：x=2z，∴x:y:z=2z:3z:z=2:3:1，故选B.【点拨】此题考查解三元一次方程组，解题关键在于掌握运算法则.4．D【分析】先利用方程组得出用含m的代数式表示x、y，再把x、y的值代入到，解方程即可得到m的值．解：由题意可知，①，②，由①+②并化简，可得，由②×2-①并化简，可得，将，的值代入，可解得．故选：D．【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法．5．C【分析】根据题意得到三元一次方程组得，再解方程组得，则y=2x2-3x+1，然后把x=-2代入计算．解：根据题意得，解方程组得，所以y=2x2-3x+1，当x=-2时，y=2×4-3×（-2）+1=15．故选C．【点拨】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．6．B【分析】将方程组②-①得：3x-3z=-5，整理得：3（x-z）=-5，把3（x-z）=-5代入代数式3（x-z）+1，即可得到答案．解：方程组，②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3(x﹣z)＝﹣5，把3(x﹣z)＝﹣5代入代数式3(x﹣z)+1得：﹣5+1＝﹣4，即代数式3(x﹣z)+1的值是﹣4，故选B．【点拨】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．7．C【分析】经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．解：方程①+②可直接消去未知数y，②-③也可直接消去y，那么即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，故选C．【点拨】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．8．C【分析】将未知数的值分别代入方程中验算即可得解.解：因为将未知数的值分别代入A、B、D选项中，左边=右边，代入C项中为，所以选择C．9．A【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案解：根据题意，把代入方程组，得，由①+②+③，得，∴；故选：A【点拨】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算10．C【分析】把x、y、z的值代入方程组，求出m、n、k的值，最后代入求出代数式的值即可．解：∵x=2，y=﹣1，z=﹣3是三元一次方程组的解，∴代入得：，解得：k=﹣2，m=7，n=﹣10，∴m2﹣7n+3k=49+70﹣6=113．故选C．【点拨】本题考查了方程组的解、解三元一次方程组、求代数式的值等知识点，能求出m、n、k的值是解答此题的关键．11．-3【分析】把三个方程相加得到新的方程，再用新的方程分别减去三个方程得到x，y，z 的值最后进行计算即可．解：，将①+②+③，得x+y+z=6④，由④-①得z=5，由④-②得x=1，由④-③得y=0，∴=-3．故答案为：-3．【点拨】本题考查了三元一次方程组的计算，解决此题的关键是掌握一些基本的三元一次方程组的解法．12．14【分析】设，则整理得出，，，代入求得t，进一步代入求得x的值．解：设，则，，，代入得：解得：，，故答案为：14．【点拨】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．13．6【分析】将已知的x、y的值代入方程中，即可求出z的值．解：将x＝−1，y＝−2代入方程5x−2y＋z＝5中，得−5＋4＋z＝5，z＝6．即z的值为6．故答案为：6【点拨】此题主要考查的是三元一次方程的解法以及方程解的定义．所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．14．【分析】先把c看作已知数，分别用c表示出a和b，让a≥0，b≥0列式求出c的取值范围，再求得m用c表示的形式，结合c的取值范围即可求得s的值．解：3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，解得a＝7c﹣4，b＝9﹣11c；∵a≥0、b≥0，∴7c﹣4≥0，9﹣11c≥0，∴≤c≤．∵m＝3a+b﹣7c＝3c﹣3，∴m随c的增大而增大，∵c≤．∴当c取最大值，m有最大值，∴m的最大值为s＝3×﹣3＝．故答案为．【点拨】本题考查了三元一次方程组、解不等式组，解题的关键是：把看作已知数，分别用表示出．15．10【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要元，根据题意列出方程组，利用整理思想进行解题即可．解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要元，由题意得：，②－①得：，代入①得：，∴；∴甲、乙、丙各买1件需10元钱；故答案为：10．【点拨】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组，利用整体思想进行计算是解题的关键．16．80【分析】设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，根据“购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用①×2-②，即可求出用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c 元，依题意得：，①×2-②得：28a+10b=c+80，∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．故答案为：80．【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．17．1或5##5或1【分析】设该校足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意建立方程组，解方程组从而用k（整数）表示负场数y=kz，根据z为整数，分别求出k的取值，然后求出x、y的值，继而可得出该校足球队负几场即可．解：设文德中学足球队胜了x场，平了y场，负了z场，由题意得，，把③代入①②得：，解得：（k为整数）．又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7，y=7，x=3，（因为胜、平、负的场数各不相同，所以，不符合题意，舍去）当k=2时，z=5，y=10，x=2；当k=16时，z=1，y=16，x=0，所以，文德中学足球队负了1或5场．故答案为：1或5．【点拨】本题考查了三元一次组的应用，解答本题的关键是设出未知数列出方程组，用k表示出z的值，根据z为整数，即可分类讨论出z的值．18．1【分析】设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，根据给出的已知条件找出等量关系进行求解，可得每种零食的价格，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，根据给出的已知条件找出等量关系，再根据、、为正整数，即可得出结果．解：设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，由题意得，解得，则B、C礼包的成本为，A礼包中零食袋数为袋，C礼包中零食袋数为袋，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，则，解得，由知，，由知，又、、为正整数，，，，，故答案为：．【点拨】本题主要考查了三元方程组的应用，解本题要理解题意，通过找出三组等量关系进行求解．19．（1）；（2）．【分析】根据三元一次方程组的基本思路，通过“代入”或“加减生”进行消元，把“三元”化“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，计算即可．解：⑴①+②得：5x-2z=14④①+③得：4x+2z=15⑤④+⑤得：9x=29解得：x=将x=代入④，得：5×-2z=14解得：z=将x=，z=代入③得：+y+=12解得：y=∴原方程组的解是⑵①+③×4得：17x+4y=85④②+③×（-3）得：-7x+y=-35⑤④-⑤×4得：45x=225解得：x=5将x=5代入⑤得：-7×5+y=-35解得：y=0将x=5，y=0代入③得：3×5+2×0-z=18解得：z=-3∴原方程组的解是【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，做题的关键是熟练的掌握三元一次方程组的解法思路，认真计算即可．20．(1) 代入消元（代入），二元一次方程组(2) ①或或等，答案不唯一【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．解：（1）解方程组：由方程②，得将④分别代入方程①和③，得整理，得故答案为：代入消元（代入）二元一次方程组（2）解方程组：由方程②+①，得3x+3y=9由方程①+③，得4x+6y=14由方程③-②得x+3y=5由x+y=3 （3x+3y=9），2x+3y=7（4x+6y=14），x+3y=5中任意两个组合得到均可故答案为：或或等，答案不唯一【点拨】此题考查了一次方程组的解法，解三元一次方程组，解本题的关键是消元．21．(1) 或或(2) 有，或或或【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求；（2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解．（1）解：当y＝0时，x＝5；当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或；（2）解：有．，②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，∵x、y、k为非负整数，∴6﹣2y≥0，解得y≤3，∴y＝0、1、2，3，当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或．【点拨】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键．22．(1) (2) 由甲队单独完成此项工程花钱最少．【分析】（1）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元，根据题意列出方程组，解方程组，进而求得答案．（1）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意可知解得：（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元．．解之得∶．因为工期要求不超过20天完成全部工程，由(1)知可选甲或乙．甲的费用为，乙的费用为．答∶由甲队单独完成此项工程花钱最少．【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．(1) m=﹣16(2) 黄花一共用了1330朵【分析】（1）由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．再根据x﹣y=6，可得到关于m的方程，即可求解；（2）根据“甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，”列出方程组，再由由①+②得：，从而得到，即可求解．（1）解：，由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．∵x﹣y=6，∴2﹣m=18，∴m=﹣16．（2）解：根据题意得：黄花一共用朵，∵一共用了2900朵红花，3750朵紫花，∴，由①+②得：③，由③÷5得：，答：黄花一共用了1330朵．【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组以及三元一次方程组的应用，利用整体思想来解决问题是解题的关键．24．(1) 小明原计划购买文具袋13个(2) 小明购买了30支钢笔，20支签字笔(3) 一共有7种购买方案，见解析【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，依题意得：，解得：．答：小明原计划购买文具袋13个．（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，依题意得：，解得：．答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，由题意得，∵三样都要买，且把48元恰好用完，∴有如下方案：①当时，把48元恰好用完；②当时，把48元恰好用完；③当时，把48元恰好用完；④当时，把48元恰好用完；⑤当时，把48元恰好用完；⑥当时，把48元恰好用完；⑦当时，把48元恰好用完，综上所述，一共有7种购买方案．【点拨】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．。
三元一次方程组、一元一次不等式的解法
三元一次方程组（1）解三元一次方程组的思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z)表示题目中的两个(或三个) ；2．找出能够表达应用题全部含义的 关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义， 求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否 ．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．类型二、三元一次方程组的解法例1. 解方程组23520x yzx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【总结升华】例2. 解三元一次方程组1234234253x y x y z yz--⎧=⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩①②③【思路点拨】特点：①，③是比例形式，策略：引入参数k ．举一反三：【变式1】解方程组:2:3,:4:5,2329x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③【变式2】若303340x y zx y z-+=⎧⎨--=⎩①②，则x：y：z＝ .类型三、三元一次方程组的应用例3.黄冈市在国庆节前夕举办了庆祝建国六十一周年足球联赛活动，这次足球联赛共赛11 轮，胜一场记3分，平一场记一分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的12，结果共得20分．问该校队胜、平、负各多少场?【思路点拨】该题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的场数与负的场数之间的关系，等量关系有：①胜场数+负场数+平场数＝11；②胜得分+平得分+负得分＝总得分；③胜场数＝负场数×2．将以上相等关系转化成方程(组)可得解．【总结升华】例4.(凉山)甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地133公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?【思路点拨】本题草地上原有一些草，其数量不知，草地上的草还在不停地生长，但生长的速度不知道，因此解题时应把原有的草量、草的生长速度及每头牛每周的食草量用字母表示，设成辅助未知数，再根据题意便可列出方程组．【总结升华】举一反三：【变式】某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套?一元一次不等式的解法(基础)一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解一元一次不等式的概念; ● 会解一元一次不等式．学习策略：● 将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.二、学习与应用1.如果a 2x ＞a 2y(a ≠0)，那么x_______y.2. 如果ax ＞b 的解集为x>b a,则a_____0. “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？3.a是任意实数，下列判断一定正确的是( ).A、a＞－aB、2a＜a C、a3＞a2D、a2≥04.如果a＜b＜0，那么( ).A、11a b<B、ab＜0 C、ab＞1 D、ab＜1要点一、相交线要点一、一元一次不等式的概念只含有未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x>是一个一元一次不等式．要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是 (单项式或多项式)；②只含有未知数；③未知数的最高次数为 .(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是．不同点：一元一次不等式表示关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：ax<（或ax>）的形式.解一元一次不等式的一般步骤为：(1) ；(2) ；(3) ；(4)化为的形式（其中0a≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘；②移项时不要忘记；③去括号时，若括号前面是，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要．3.不等式的解集在数轴上表示：要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#50106#406464它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定和：（1）边界：有的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．类型一、一元一次不等式的概念例1．下列不等式是一元一次不等式的有哪些?(1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3)384x< (4)1x≥2 (5)2x+y≤8【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数．【总结升华】__________________________________________________________________．类型二、解一元一次不等式例2.解不等式：2)1x(3)1x(2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【总结升华】________________________________________________________．举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ).例3.解不等式：2121312+-≤-xx,并把它的解集在数轴上表示出来．【思路点拨】按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．．典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：#50109#406464举一反三：【变式】若3511+-=x y ,14522--=x y ,问x 取何值时，21y y >．例4.关于x 的不等式2x-a ≤-1的解集为x ≤-1，则a 的值是_________．【思路点拨】首先把a 作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即 可得到关于a 的方程，解方程即可求解．【总结升华】________________________________________________________． 举一反三：【变式1】如果关于x 的不等式(a+1)x ＜a+1的解集是x ＞l ，则a 的取值范围是________．【变式2】已知关于x 的方程2233x m xx ---=的解是非负数，m 是正整数，求m 的值．。
三元一次方程组解法练习题
8.4三元一次方程组解法举例(一)、基础练习1．在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.2．已知单项式－8a3x＋y－z b12 c x＋y＋z与2a4b2x－y＋3z c6，则x＝____，y＝____，z＝_____.3．解方程组x＝_____，y＝______，z＝_______.4．已知代数式ax2＋bx＋c，当x＝－1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为_______. 5．已知，则x∶y∶z＝___________.6．解方程组）A、先消去xB、先消去y C、先消去z D、以上说法都不对7．方程组A8．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）A、2B、3C、4D、59．若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）A、4B、10C、11D、1210．已知∣x－8y∣＋2（4y－1）2＋3∣8z－3x∣＝0，求x＋y＋z的值. 11．解方程组（1（2）4x＋3y＝1ax＋（a－1）y＝3x－3y＋2z＝03x－3y－4z＝012．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？（二）拓展训练 13、解下列方程组：(1)323231112x y z x y z x y z -+=+-=++= (2)|23|(2)2011x y z x y z x y z -+++-=++=（三）达标测试 14、已知方程组1620224ax by cx y +=-+=-的解应该是810x y ==-，一个学生解题时，把c 看错了，因此得到解为1213x y ==-，求a 、b 、c 的值。
三、课后巩固15.小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？例1 一个口袋装有5只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3只，以ξ表示取出最小的号码，求ξ的分布列。
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三元一次不等式的解法
三元一次不等式的解法是指在三元一次不等式中，找到符合不等式的解集合。
一般情况下，我们可以通过代数或者图像的方式来解决这种不等式。
首先，我们需要了解三元一次不等式的基本形式。
它通常是这样的：ax + by + cz > d，其中 a、b、c、d 是常数，而 x、y、z 是未知数。
当然，还有其他的形式，但是它们都可以转化为这种基本形式。
我们可以通过以下方式来解决三元一次不等式：
1. 代数方法：将不等式进行变形，使其变为关于一个变量的一元二次不等式或者二元一次不等式。
然后，我们可以用求解这些一元二次或者二元一次不等式的方法来求解原来的三元一次不等式。
2. 图像方法：将不等式中的 x、y、z 分别看作立体坐标系中的x、y、z 坐标。
然后，我们可以将不等式转化为一个立体空间中的不等式，然后找到符合条件的解集合。
这种方法适用于不等式图像比较简单的情况。
不论是哪种方法，我们都需要注意以下几点：
1. 在变形的过程中一定要保证变形后的不等式与原来的不等式等价。
2. 在求解一元二次或者二元一次不等式时，要注意判别式的正负与值的大小关系。
3. 在图像解法中要注意画出立体图像，以便更好地理解不等式
的解集合。
综上所述，三元一次不等式可以用代数方法和图像方法来解决。
我们需要注意变形过程中的等价性和解的正确性，才能找到符合条件的解集合。