一元三次不等式穿根法
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。
使用方法:①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0(2) 错误!≤1解:(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0(2)根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为x(２ｘ＋５)(x-3)〉0顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．(5．．－．２．)．.． 二.数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。
(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０第二步:将不等号换成等号解出所有根。
不等式穿根法原理
不等式穿根法原理
1.消去分式：如果不等式中存在分式，首先需要通过乘以分母来消去
分式。
这是因为分数的正负性较为复杂，可能会干扰到不等式的整体性质。
消去分式后得到的不等式是等价的，即两个不等式具有相同的解集。
2.变形：将不等式转化为更简单的形式，使得其容易解决。
常用的变
形方法包括配方、开平方、加减法等。
变形后得到的不等式仍然与原来的
不等式等价。
3.确定解集：根据变形后的不等式确定其解集。
解集即满足不等式的
一切实数的集合。
可以通过画数轴、构造实数集合等方法确定解集。
接下来，我们将通过一个实际的例子来说明不等式穿根法的应用。
例子：求解不等式2x-5<3x+2
首先，我们需要消去不等式中的分式。
由于不等式中不存在分式，所
以我们可以直接进行变形。
将不等式移项得到：-5-2<3x-2x。
化简得到：-7<x。
根据不等式的性质，我们知道如果一个数小于-7，那么它一定满足不
等式。
因此，解集为x<-7
以上就是不等式穿根法的原理和应用方法。
不等式穿根法适用于解决
一元一次不等式，特别是在分数和根式出现时能发挥更大的作用。
通过将
不等式转化为等价的形式，不等式穿根法能够更方便地确定解集并求解不
等式。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题29 常见不等式的解法
专题29 常见不等式的解法【热点聚焦与扩展】高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等);一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式:()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可-—关键点：图象与x 轴的交点 2、高次不等式(1）可考虑采用“数轴穿根法",分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图象,()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分(2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式(1)将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2)分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f x g x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积）,进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 (1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用）；二是通过平方(3）若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法:(1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析,例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ）,将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=,因为()f x x c =+为增函数,所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立,再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。
穿根法ppt课件
学段（高）数学 必修五第三章不等式穿根法
作者：严叶龙 作者单位：大厂民族中学 适用对象：初次接触高次不等式者 所属学科：数学 教材：必修五第三章不等式 知识点：学段（高）数学必修五43;3)(x+4)=0的解集 • 2,求不等式(x+3)(x+4)>0的解集 • 3，求不等式(x+3)(x+4)<0的解集 • 4,做出函数y=(x+3)(x+4)的图像
.
思考（奇穿偶回）：
• 1，(x+3)2(x+4)(x+5)3<0 • 2，(x+3)2(x+4)(x+5)3=0 • 3，(x+3)2(x+4)(x+5)3>0
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总结
• 整理 • 标根 • 画线(奇穿偶回) • 选解
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思考题：遇到（-x+3）(-x+5)(x+6)>0应如何 求解
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观察：
• 观察函数y=(x+3)(x+4)的图像与 不等式(x+3)(x+4)<0解集之间的关系 等式(x+3)(x+4)=0解集之间的关系 不等式(x+3)(x+4)>0解集之间的关系
一元高次不等式的解法穿针引线
一元高次不等式的解法穿针引线高次不等式在数学中是一个重要的概念，它能够帮助我们解决许多实际问题。
而其中最为关键的一种就是一元高次不等式。
然而，由于其解答过程较为复杂，学习者经常会遇到困难，下面我们来详细探究一下它的解法。
1. 函数的单调性在解决一元高次不等式的过程中，我们首先需要了解函数的单调性。
如果一个函数在某个区间内单调递增，那么在该区间内应当符合f(x)>0的条件。
反之，如果函数在某个区间内单调递减，那么在该区间内应当符合f(x)<0的条件。
因此，我们可以通过观察函数图像在某个区间内的单调性来判断函数在该区间内是否符合一元高次不等式中的条件。
2. 辅助函数的构建对于一元高次不等式进行求解时，我们通常会想办法将其转化为处于同一变量次数上的形式，或者是进行配方法，而辅助函数的构建就是其中一种重要的策略。
辅助函数的构建通常需要依照不等式的特点和待求变量的实际值情况来决定。
比如，当我们需要将一元高次不等式中的同次项合并时，我们通常需要构建辅助函数f(x)=((ax^k)+(bx^(k-1))+...+(px+q))，其中k为待求变量的次数，a、b、 ... 、p、q为常数。
这样，我们就可以将原始的不等式变为ax^k+b_1x^(k-1)+...+p_1x+q_1>0的形式。
同样地，对于需要配方法的一元高次不等式，我们也可以采用辅助函数的方式来进行求解。
3. 特殊不等式的解决在解决一元高次不等式时，我们同样需要注意到一些特殊情况下的解法。
比如，当我们需要求解x^2+a/x>0时，我们可以采用平方根法来进行求解。
具体来说，我们将该不等式变形为x^3+a>0的形式，观察出该不等式的值域，并通过平方根的形式求解。
4. 其他解法除了以上三种解法，我们还可以采用其它方式来解决一元高次不等式。
比如，当我们遇到类似x^4-4x^3-3x^2+16x-5>0的四次不等式时，我们可以采用因式分解来进行求解。
管理类联考数学核心考点精讲丨穿根法解分式不等式
/ 管理类联考数学核心考点精讲丨穿根法解分式不等式
在管理类联考的理论考试中，一元二次不等式是历年考试的重点，利用穿根法求解不等式是在此基础上的延伸。
文都考研dudu汇总了穿根法解分式不等式相关知识，分式不等式以及高次不等式的求解基本上都是利用穿根法进行求解的，虽然出题频率不高，但是穿根法学起来好用却并不难，希望同学们掌握这部分的内容，在考试之前多掌握些题型和做题方法。
一、不等式基本性质的理论基础
1.高次不等式求解
第一步：分解因式——因式定理、十字相乘法、分组分解法。
第二步：化最高次项系数为正或者为1。
第三步：穿线法——奇穿偶不穿，正负看区间。
2.分式不等式求解
第一步，先移项把不等式的右边化为0，左边是分式。
第二步，再通分，对左边的分式进行通分。
第三步，对分子分母同时进行因式分解。
第四步，化最高次项系数为正或者为1。
第五步，通过穿线法求得不等式的解集，找解验分母。
注：不能忘掉分母不能为0的限制。
考研选文都不当陪考族
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穿根法解不等式的原理
穿根法解不等式的原理穿根法，也称作区间套马鞍法，是一种解非线性不等式的方法。
该方法利用了开闭区间套定理的思想，通过递归地构造一列嵌套的闭区间，然后利用闭区间的性质来确定不等式的解集。
具体的步骤如下：1.首先，根据不等式的形式，我们可以确定解的集合在一个区间内。
这个区间的选择可以根据不等式的特点来确定，例如可以考虑自变量的范围、不等式中的其他函数、不等式的性质等。
选定一个初步的区间，将其记作I0。
2.接下来，我们需要将初步的区间I0划分成更小的子区间。
划分的方法可以根据不等式的特点来选择，例如可以根据函数的单调性、零点等进行划分。
将划分后的子区间的个数记作n，记子区间的集合为{I1,I2,...,In}。
3.然后，我们需要判断每个子区间是否满足不等式。
如果一些子区间Ii满足不等式，则将其作为新的区间进行下一次的划分和判断。
如果一些子区间Ii不满足不等式，则将其舍弃。
4. 继续进行上述划分和判断的过程，直到满足一定的停止条件。
停止条件可以根据不等式的要求来选择，例如可以根据区间长度的要求来选择。
当满足停止条件时，我们可以得到一个最终的区间集合{In1,In2, ..., Inm}。
5.最后，我们需要根据不等式的要求来确定解的集合。
根据不等式的形式，我们可以确定解集的性质，例如可以确定解集是无穷区间、有限区间还是单个数点等。
根据这些性质，我们可以将最终的区间集合转化为解集。
穿根法的原理可以从数学的角度来解释。
根据闭区间套定理，如果一列闭区间{I1,I2,...}满足两个条件，即闭区间的长度趋近于零极限为零，并且这些闭区间两两交集非空，则存在唯一的数x，使得x同时属于所有的闭区间。
这里的闭区间可以看作是穿根法中构造的区间。
穿根法利用了闭区间套定理的思想，通过划分和判断区间来逐步逼近不等式的解。
由于区间的嵌套性质，可以保证逼近过程中解的存在性和唯一性。
穿根法的效果受到选择区间和划分方法的影响，不同的选择可能会导致计算过程的复杂性和结果的准确性不同。
一元三次方程的一般解法 求根公式
一元三次方程的一般解法求根公式求解一元三次方程是数学中常见的问题，可以通过一般解法来求得方程的根公式。
一元三次方程的一般形式是ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知系数。
下面将介绍一元三次方程的解法。
我们可以利用一元三次方程的根公式来求解。
根公式的推导过程较为复杂，这里不做详细展开，只介绍其一般形式。
一元三次方程的根公式可以表示为：x = (-b + √(b^2 - 3ac))/(3a) 或x = (-b - √(b^2 - 3ac))/(3a)其中，√表示开方，b^2 - 3ac为判别式，当判别式大于0时，方程有三个不同的实根；当判别式等于0时，方程有一个实根和一个重根；当判别式小于0时，方程有三个不同的虚根。
接下来，我们可以通过代入系数的值来计算根的具体数值。
需要注意的是，由于一元三次方程的计算较为复杂，一般需要使用计算器或计算软件进行求解。
在实际计算中，可以先计算判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质，最后再通过根公式来求解根的具体数值。
需要强调的是，求解一元三次方程的过程中，应该注意将方程化简为标准形式，确保系数的准确性。
此外，对于复数解，可以使用复数形式表示，其中虚部为√(-1)。
在实际应用中，可以根据具体问题的需要，选择合适的解法来求解一元三次方程。
总结起来，求解一元三次方程可以通过一般解法来求得根公式。
通过代入系数的值，计算判别式的值，来确定方程的根的性质，最后通过根公式求解根的具体数值。
求解过程中需要注意方程的标准形式和系数的准确性，以及对于复数解的处理。
通过掌握一元三次方程的解法，可以更好地应对实际问题的求解。
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一元三次不等式穿根法
一元三次不等式的解法可以通过穿根法来进行，穿根法也称为
区间判断法，它是一种通过对不等式左边和右边的函数图像进行分析，找出不等式成立的区间的方法。
首先，我们将一元三次不等式转化为函数的形式，即将不等式
左边和右边分别表示为一个函数。
然后，我们找出这两个函数的零点，即函数与x轴的交点，这些点就是不等式的根。
接下来，我们
根据这些根将实数轴分成若干个区间，并在每个区间内选取一个代
表点，然后代入原不等式中，判断不等式在每个区间内的符号。
最后，根据符号的变化确定不等式的解集。
举个例子，如果我们有一个一元三次不等式 x^3 2x^2 3x + 6 > 0，首先我们将其转化为函数形式 f(x) = x^3 2x^2 3x + 6，然后
找出函数的零点，即解方程 x^3 2x^2 3x + 6 = 0，得到函数的根。
接着，我们根据根将实数轴分成若干个区间，并在每个区间内选取
一个代表点，代入原不等式中，判断不等式在每个区间内的符号。
最后根据符号的变化确定不等式的解集。
需要注意的是，穿根法在解决一元三次不等式时，需要对函数
的图像、根的位置和符号变化有清晰的认识，以便准确判断不等式的解集。
同时，穿根法在解决复杂的不等式时可能会比较繁琐，因此需要耐心和细心地进行分析和计算。