控制系统的设计习题解答

第6章 控制系统的设计

6.1 学习要点

1 控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式；

2 各种校正方法、方式的特点和适用性； 3各种校正方法、方式的一般步骤。

6.2 思考与习题祥解

题6.1 校正有哪些方法？各有何特点？

答：控制系统校正有根轨迹方法和频率特性方法。 根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数(通常为开环放大系数)从零变化到无穷大时，如何根据开环零极点的位置确定全部闭环极点的位置。因此，根轨迹校正方法是根据系统给定的动态性能指标确定主导极点位置，通过适当配置开环零极点，改变根轨迹走向与分布，使其通过期望的主导极点，从而满足系统性能要求。

频率特性是系统或元件对不同频率正弦输入信号的响应特性。频域特性简明地表示出了系统各参数对动态特性的影响以及系统对噪声和参数变化的敏感程度。因此，频率特性校正方法是根据系统性能要求，通过适当增加校正环节改变频率特性形状，使其具有合适的高频、中频、低频特性和稳定裕量，以得到满意的闭环品质。由于波德图能比较直观的表示改变放大系数和其他参数对频率特性的影响，所以，在用频率法进行校正时，常常采用波德图方法。

系统校正要求通常是由使用单位和被控对象的设计单位以性能指标的形式提出。性能指标主要有时域和频域两种提法。针对时域性能指标，通常用根轨迹法比较方便；针对频域性能指标，用频率法更为直接。根轨迹法是一种直接的方法，常以超调量%δ和调节时间s t 作为指标来校正系统。频域法是一种间接的方法，常以相位裕量()c γω和速度误差系数v k 作为指标来校正系统。

题6.2 校正有哪些方式？各有何特点？ 答：校正有串联校正方式和反馈校正方式。

校正装置串联在系统前向通道中的连接方式称为串联校正。校正装置接在系统的局部反馈通道中的连接方式称为反馈校正。如图6.1所示。

图6.1 串联校正和反馈校正

串联校正方式因其实现简单而最为常见。反馈校正除能获得串联校正类似的校正效果外，还具有串联校正所不具备的特点：（1）在局部反馈校正中，信号从高能级被引向低能级，因此不需要经过放大；（2）能消除外界扰动或反馈环内部系统参数波动对系统控制性能的影响，提供系统更好的抗干扰能力。

题6.3 串联超前、串联滞后与串联滞后–超前校正各有何适应条件？ 答： （1）串联超前校正通常是在满足稳态精度的条件下，用来提高系统动态性能的一种校正方法。从波德图来看，为满足控制系统的稳态精度要求，往往需要增加系统的开环增益，这样就增大了幅值穿越频率，相应地减小了相位裕量，易导致系统不稳定。因而在系统中加入一个相位超前的校正装置，使之在穿越频率处相位超前，以增加相位裕量。这样既能使开环增益足够大，满足稳态精度的要求，又能提高系统的稳定性。

串联超前校正适合需要附加相角位移在0~65°范围的系统。

超前校正的结果可以使系统的闭环频带宽度BW 增加，从而使动态响应加快；不改变低频段对正弦输入的稳态误差性能；超前校正装置所要求的时间常数是容易满足的。但可能带来因闭环频带宽度BW 加宽引入高频噪声，需要增加增益等问题。 （2）滞后校正有两种作用。一般地，如果稳态性能满足要求，而其动态性能不满足要求，并希望降低频带宽时，可用滞后校正来降低其穿越频率，以满足其动态性能指标。这种滞后校正的结果可以增加系统的相对稳定性，有利于提高系统放大系数以满足稳态精度的要求。由于高频段的衰减，系统的抗高频扰动能力也增强了。但同时由于频带宽度变窄，瞬态响应将变慢。

如果一个反馈控制系统的动态性能是满意的，为了改善其稳态性能，而又不致影响其动态性能，可以采用滞后较正。此时就要求在频率特性低频段提高其增益，而在幅值穿越频率附近仍保持其相位移大小几乎不变。

这两种作用中，前者是降低了幅值穿越频率并衰减了高频段，后者是提高低频段增益。但就滞后校正本身而言，其主要作用是在高频段造成衰减，以使系统获得充分的相位裕量。

（3）滞后-超前校正幅频特性的前段是相位滞后部分，具有使高频段增益衰减的作用，所以容许在低频段提高增益，以改善系统的稳态特性。幅频特性的后段是相位超前部分，因增加了相位超前角度，从而使相位裕量增大，改善了系统的动态响应。因此，滞后-超前校正常适用于系统对稳态精度和动态性能都有进一步改善的情况。

题6.4 单位负反馈系统的对象传递函数为)

5)(4()(++=s s s K

s G p ，设计相位滞后

校正使阻尼比为0.7,稳态速度误差系数为30。

解：采用根轨迹校正方法。

(1) 作系统根轨迹如图6.2(a)所示，并在图中作1cos 45θξ-==的两条射线OA 和OB ，分别与根轨迹交于–1p 和–2p 点。测得–1p 和–2p 的实部为–1.2，因此–1p 和–2

p 的参数为0.7ξ=，0.33

1.710.5

n ω==，即–1p 和–2p 满足期望主导极点的要求。用幅值

条件可算出–1p 点的根轨迹增益为20.6g K =，因此系统的速度误差系数

1.033045

g v K k =

=

稳态性能指标不符合要求。

?

(a)

45

图6.2 题6.4用图

(2) 引入串联滞后校正环节

||||)(c c c

c

c p z p s z s s G >++=

根据第一步的计算，应将系统开环放大系数提高30倍。所引入的校正环节应满足||30||c c z p =，为确保校正环节对根轨迹不产生显著影响，选择0.03,0.001c c z p =-=-，即滞后校正环节

0.03

()0.001

c s G s s +=+

校正后系统的开环传递函数为

1.04(0.03)

()()()(4)(5)(0.001)

c p s G s G s G s s s s s +==+++

校正后系统的根轨迹如下： 分离点由

(0.03)[(4)(5)(0.001)](0.03)[(4)(5)(0.001)]0s s s s s s s s s s ''++++-++++=

4325.001 1.99857.9820.020s s s s ++--=

用试探法解得：1220.0004,0.064, 2.6s s s ≈-≈-≈-。 渐近线与实轴的交点

1

1

()()

(00.00145)(0.03)

2.9943

n m

j

i

j i p z n m

σ==---------=

=

≈---∑∑

渐近线与实轴的夹角

(21)(21)60,180

(0,1)41

k k k n m ππ

θ±+±+=

==±=--

系统的根轨迹如图6.2(b)所示。

-0.03

图6.2 题6.4用图

引入开环偶极子的滞后校正对根轨迹不产生显著影响，既能保证系统瞬态特性又满足了稳态性能指标。

题6.5 单位负反馈系统的对象传递函数为()(4)

p K

G s s s =+，设计相位超前校正，

使校正后系统的超调量不大于10%，上升时间不大于2秒，单位斜坡函数的稳态误差不大于0.5。

解：采用根轨迹校正方法。

(1) 根据期望动态性能指标确定闭环主导极点的位置。为使%10%δ≤并留有余

地(以确保在其他极点的作用下性能指标仍能得到满足) ，选阻尼比2

ξ=

。由于cos ξθ=，主导极点应位于如图6.3所示的45θ=的射线上。再运用二阶系统调节时

间的近似公式3

s n

t ξω=，可选择3n ω=，以保证2s t s ≤并留有余地。因此主导极点为

1,222

n

p j j

ξωω

-=-±=-±。

(2) 画出未校正系统的根轨迹图，如图6.3中的实线所示。由图可见，根轨迹不通过期望主导极点，因此不能通过调节开环放大系数来满足动态性能指标。

?

2

45

图6.3 题6.5用图

(3) 为了使系统根轨迹向左偏移，进行相位超前校正。校正装置环节为

|

||

|

)

(

c

c

c

c

c

p

z

p

s

z

s

s

G<

+

+

=

校正后系统的开环传递函数为

()

()()()

(4)()

g c

c p

c

K s z

G s G s G s

s s s p

+

==

++

为了使期望主导极点位于根轨迹上，根据相角条件应有

1111

()(4)()(21)

c c

p z p p p p kπ

∠+-∠-∠+-∠+=+

由图可知，

11

135,(4)48.4

p p

∠=∠+=，代入上式，并取1

k=可得：

11

()() 3.4

c c

p z p pα

∠+-∠+==

由此可见，只要从图中的–

1

p点作夹角为3.4的两条射线，它们和实轴相交的两点

即是所求的校正环节的零点–

c

z和极点–

c

p。这样的作图不是惟一的，可按如下方法作

图：从–

1

p点作平行于实轴的射线

1

p A，再作

1

Ap B

∠的角平分线

1

p C，然后作

1

p D和1

p E，它们和

1

p C的夹角均为/2 1.7

α=，

1

p D和

1

p E与实轴的交点即为所求的极点

–

c

p和零点–

c

z。如图6.3所示，6,7.5

c c

z p

-=--=-，校正环节为

6

()

7.5

c

s

G s

s

+

=

+

(4) 检验稳态指标。由幅值条件可知

1

111

||

1

|||4|||

c

g

c

p z

K

p p p p

+

=

++

求得11.1

g

K=，由此得开环放大系数

11.16

2.22

47.5

K

?

'==

?

单位斜坡函数的稳态误差()1/0.450.5

e K'

∞==<，因此满足稳态性能指标。校

正后系统的根轨迹图示于图6.4中。

图6.4 题6.5校正后系统的根轨迹图

题6.6 单位负反馈系统的对象传递函数为)

2(4)(+=

s s K

s G p ，若使系统的稳态速度

误差系数为20，相位裕量不小于 50，增益裕量不小于10dB ，试确定系统的串联校正装置传递函数。

解：（1）根据要求，系统应设计为Ⅰ型系统。由稳态指标的要求，开环放大系数

220v K k ==

，取10K =，作20

()1

(1)2

p G s s s =+的波德图如图6.5所示。 （2）计算未校正系统相位裕量，估计需要附加的相角位移。 由

20

()112c c c

A ωωω=≈=?

计算出校正前幅值穿越频率 6.32c ω=，校正前相位裕量

1

()180()18090arctan()9072.517.5502

c c c γω?ωω=+=--=-=<

相位裕量不满足要求。为不影响低频特性并改善动态响应性能，可采用超前校正。

（3）根据相位裕量()50c γω≥的要求，超前校正电路最大相位移应为

max 5017.532.5?≥-=

考虑超前校正后'c c ωω>，会使原系统相角位移更负些，故max ?应相应地加大。取

max 40?=，根据

max arcsin[(1)/(1)]40d d ?γγ=-+=

解得 4.6d γ=。

（4）设计系统校正后的增益穿越频率'c ω为校正装置（0/+1/0特性）两交接频率

1ω和2ω的几何中点（考虑到最大超前相位移max ?是在两交接频率1ω和2ω的几何中

点），即

'c ωω==

因为在'c ωω=时(')1c A ω=，如认为12

'/1,'/1c c ωωωω，则得

1

'20(')11''

2

c

c c c A ωωωωω≈=?

代入'c ωω=解得124.32,18.86,'9.27c ωωω===。校正后系统的对数频率特性如图6.5所示，其传递函数为

20(

1)4.32()()1(1)(1)218.86

c p s

G s G s s s s +=++

(

L ω(?ω

图6.5 题6.6校正前后系统的波德图

（5）校验校正后相位裕量

9.279.279.27()18090arctan

arctan arctan 4.32218.86

c γω=-+-- 906577.826.25150=+--=>

由于相位()180

j ?ω=时，相位穿越频率j ω→∞，故增益裕量为∞，所得结果满

足了系统的要求。

（6）串联超前校正装置传递函数为

(

1)4.32()(1)18.86

c s

G s s +=+ 可以用相位超前校正电路和放大器来实现。放大器的放大系数等于 4.6d γ=。

题6.7设单位负反馈系统的开环传递函数为()(21)(0.21)

p K

G s s s s =++，要求校正

后系统具有稳态速度误差系数不小于10，相位裕量不小于30，并且在频率大于50的高频段具有锐截止-3特性，试确定校正装置。

解：（1）首先确定放大系数。根据要求，系统应设计为Ⅱ型系统。由稳态指标的要求，开环放大系数10a K k =≥，取10K =，作

10

()(21)(0.21)

p G s s s s =++

的波德图如图6.6所示。校正前幅值穿越频率根据

22

10

()1

2(2)1(0.2)1c c c c c c A ωωωωω=≈=++

解得 2.24c ω≈。相位裕量

()18090arctan(2)arctan(0.2)c c c γωωω=---

1809077.424.111.5=---=-

表明系统不稳定。考虑高频抗扰要求，采用串联滞后校正。

(

L ω_(?ω1800

图6.6 题6.7校正前后系统的波德图

（2）按相位裕量的要求，计算未校正系统在新的幅值穿越频率'c ω处的相角为：

()1803015135p G s ∠=-++=-

即

()90arctan(2')arctan(0.2')135p c c G s ωω∠=---=-

解得'0.43c ω≈。

(3) 在'0.43c ω≈处未校正系统的幅值为：

(')20lg1020lg(2')21.3c c L ωω≈-=dB

由(')20lg c i L ωγ=，可确定11.6i γ=。 (4) 选择'/(1/)1/5c T ω=，确定交接频率21/0.1T ω==，11/()0.009i T ωγ==。得到校正环节的传递函数为

/0.11

()/0.0091

c s G s s +=+

将校正环节()c G s 的对数频率特性绘制在图6.6中，并与原系统()p G s 的对数频率特性代数相加，即得出校正后系统()()c p G s G s 的开环对数幅频特性曲线和相频特性曲线。校正后开环传递函数

10(101)

()()(21)(0.21)(1111)

c p s G s G s s s s s +=

+++

(5) 校正后系统的相位裕量

()18090arctan(10')arctan(2')arctan(0.2')arctan(111')

c c c c c γωωωωω=-+--- 90

7740.7 4.988.832.6=+---=

并且在频率大于50的高频段具有锐截止-3特性，满足要求。

题6.8单位负反馈系统的开环传递函数为()(0.021)(0.51)

K

G s s s s =++，要求系统

具有稳态速度误差系数不小于100，相位裕量不小于40，幅值穿越频率等于10弧度/秒的性能指标，试确定串联校正方法和校正装置传递函数。

解：（1）根据稳态性能要求，可得100v K k =≥，取100K =，绘制未校正系统

的波德图如图6.7所示。校正前幅值穿越频率根据

10

()10.5c c c A ωωω=≈=?

解得14.1c ω≈。相位裕量

()18090arctan0.02arctan0.59015.781.97.6c c c γωωω=---=--=-

令相位

()90arctan0.02arctan0.5180j j j ?ωωω=---=-

90arctan0.02arctan0.5j j ωω-=

两边取正切：

tan[90arctan0.02]tan[arctan0.5]j j ωω-=

有

1

0.50.02j j

ωω=

10j ω=

代入幅频特性，得

100

()500.02j j j

A ωωω=

≈

=?

则增益裕量20log ()20log5034j G M A ω=-=-

=-dB 。

不满足要求。采用滞后—超前校正如下。

(

L ω(?ω180

图6.7 题6.8校正前后系统的波德图

（2）确定滞后—超前校正电路相位滞后部分。按照系统动态特性要求，设校正后的穿越频率'10c ω=。

校正前系统在穿越频率'10c ω=处的相角

()90arctan 0.02arctan 0.50c c c ?ωωω'''=---≈

因此校正所需的相位最大超前角约401555+=。

设交接频率11/i T ω=为新的穿越频率'10c ω=的1/5处，即12ω=，

11/0.5i T ω==。考虑所需的相位最大超前角约为55，选择8.5γ=，则交接频率01/0.24i T ωγ== 。

滞后—超前校正装置滞后部分的传递函数可写成

21

(1)

(2)

2

()8.51(0.24)(1)0.24

c s s G s s s ++==?++ （3）确定滞后—超前校正装置相位超前部分。在新的穿越频率'10c ω=处，未校

正系统的幅值100

(')20lg

6'(0.5')

c c c L ωωω≈=?dB ，因此，滞后—超前校正装置在'10c ω=处应产生6-dB 增益，才能实现校正后系统的幅值截止频率为'10c ω=。在波德图上通过点（6-dB ，10 rad/s ）作一条斜率为20dB/十倍频的直线分别与零分贝线和滞后—超前校正装置滞后部分频率特性的20-dB 线相交，交点即为滞后—超前校正装置超前部分的交接频率2 2.4ω=，320ω=。超前部分的传递函数为

11

(

1)

( 2.4)1 2.4

()1(20)8.5(1)

20

c s s G s s s ++==?

++ （4）滞后-超前校正装置的传递函数为

11

(

1)(1) 2.4

2()11(1)(1)0.2420

c s s G s s s ++=?++ 校正装置及校正系统的开环频率特性曲线示于图6.7。 （5）校正系统的开环传递函数为

1100(1)

2.4()()()11

(0.021)(1)(1)

0.2420

c p s G s G s G s s s s s +==

+++ （6）校正后系统的相位裕量 ()180()c c γω?ω=+

111

90arctan arctan 0.02arctan arctan 2.40.2420

c c c c ωωωω''''

=+---

9076.511.388.626.640=+---=

增益裕量大于5dB ，稳态速度误差系数等于100秒-1，满足所提出的要求。