立方最密堆积
面心立方最密堆积半径和边长的关系
面心立方最密堆积半径和边长的关系
面心立方的最密堆积是学习几何学和化学时很常见的概念，它也
被广泛应用于科学、工程和工业研究中。
面心立方在化学中也有很重
要的作用，它是由六个均匀大小的正方形面和八个共面组成的立方体，每个六边形面上都有一个半径，其边长公式如下：
边长=2r
其中r为半径。
可以看出，边长和半径之间存在着直接的数学关系，而且在计算中也很容易证明：边长乘以2等于半径。
首先，在面心立方的最密堆积中，从未确定的八个共面垂直，形
成了立方体状的物体，其中每个面都是由六个均匀大小的正方形组成的。
然后，在其中的每个正方形面上，确定一个半径，以此作为直角
三角形的斜边，则在原型物体中形成特殊的立方体，比如，当r为1时，其边长就是2。
在实际应用中，面心立方最密堆积还具有很多独特的优势。
首先，它能够最大程度地凸显目标图形和结构，使得其形状变得均一性以及
牢固稳定，从而降低了实际应用中的干扰程度。
其次，由于在几何学
上有精确地定义，使得该结构在计算机上能够不断改进和优化，从而
最大程度地提高了其信息传递和处理的效率。
综上所述，面心立方最密堆积对于科学、工程和工业研究具有重
要的意义，它不仅能够节约物资，而且还能提高信息传递和处理的效率，并且边长和半径之间存在着较为明确的数学关系，可以根据其公
式来计算得到，这也更加地方便了实际的应用。
立方最密堆积
配位多面体的极限半径比
配位多面体
平面三角形 四面体 八面体 立方体 立方八面体
配位数
3 4 6 8 12
半径比（r+/r-）min
0.155 0.225 0.414 0.732 1.000
构性判断
半径比（r+/r-） 0.225-0.414 0.414-0.732 >0.732
A
面心立方最密堆积（A1）分解图
A1 型最密堆积图片
将密堆积层的相对位置按照ABCABC……方式作 最密堆积，重复的周期为3层。这种堆积可划出 面心立方晶胞。
A3型最密堆积图片
将密堆积层的相对位置按照ABABAB…方式作 最密堆积，这时重复的周期为两层。
A1、A3型堆积小结
同一层中球间有三角形空隙，平均每个球摊列2个空隙。 第二层一个密堆积层中的突出部分正好处于第一层的空 隙即凹陷处，第二层的密堆积方式也只有一种，但这两
1 四方晶系(t)：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90º) 2 三方晶系(h)：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90º,
γ=120º) 3 正交晶系(o)：有3个互相垂直的二重对称轴或2个
互相垂直的对称面(α=β=γ=90º) 4 单斜晶系(m)：有1个二重对称轴或对称面
(α=γ=90º) 5 三斜晶系(a)：没有特征对称元素
74.05%
12 4 a 2 2r
六方最密 堆积(A3)
体心立方 密堆积(A2)
金刚石型 堆积(A4)
六方 体心立方 面心立方
74.05% 68.02% 34.01%
12 2 8(或14) 2
48
a b 2r c2 6a
3
r 3a 4
金属晶体的三种密堆积方式
金属晶体的三种密堆积方式金属晶体的三种密堆积方式中，原子排列的密堆积方式是指原子在三维空间中紧密排列，以使得晶体的空间利用率达到最大。
密堆积方式可以有效影响金属的密度、强度、硬度等物理性质，因此在材料科学和固体物理中具有重要意义。
通常，金属晶体的密堆积方式主要分为以下三种：面心立方堆积（FCC）、六方最密堆积（HCP）和体心立方堆积（BCC）。
一、面心立方堆积（FCC）面心立方堆积（Face-Centered Cubic, FCC）是一种常见的密堆积方式，其中每个立方体的面上都有一个原子，且每个顶点上也有一个原子。
FCC结构可以看作是由许多面心立方单元重复堆积而成，其代表性金属包括铜（Cu）、铝（Al）、银（Ag）和金（Au）等。
1. 结构特点：在FCC结构中，每个原子都有12个最近邻原子，即配位数为12。
该结构单胞中包含4个原子（8个顶点上的原子分别与相邻单元共享，6个面的原子与邻近单元共享），堆积因子达到0.74，即约74%的空间被原子占据，属于最密堆积结构。
2. 性质：FCC结构由于其紧密的堆积方式，具有较高的塑性和延展性。
因此，FCC金属在室温下一般较易发生滑移，从而产生延展变形。
例如，铜和铝具有良好的延展性，易于加工成型。
3. 堆积方式：在面心立方堆积中，原子在平面上形成紧密的六边形排列，层间顺序为ABCABC 的排列模式。
这意味着每三层后结构重复，形成周期性排列。
4. 应用：FCC结构的金属由于其良好的延展性和抗冲击性，常用于制造电线、金属薄膜和结构材料等。
二、六方最密堆积（HCP）六方最密堆积（Hexagonal Close-Packed, HCP）是一种与面心立方相似的密堆积方式，但其晶体结构为六方柱体，且具有不同的堆积顺序。
HCP结构的代表性金属包括镁（Mg）、钛（Ti）、锌（Zn）和钴（Co）等。
1. 结构特点：在HCP结构中，原子的配位数同样为12，说明其紧密度与FCC相似。
面心立方紧密堆积的晶胞中ppt课件
最稳定的金属是----------金
3、金属晶体的基本堆积模型
（1）紧密堆积：微粒之间的作用力使微粒 间尽可能的相互接近，使它们占有最小的 空间。
（2）空间利用率：晶体的空间被微粒占 满的体积百分数，用它来表示紧密堆积 的程度。
（3）配位数：在晶体中与每个微粒紧密 相邻的微粒个数。
金属原子尽可能地互相接近，尽量占据较小 的空间。 ——紧密堆积
K﹥ Rb Cs 熔点最低的金属：汞（常温时成液态）
﹥ Li ﹥ Na ﹥
熔点很高的金属：钨（3410℃）
铁的熔点：1535 ℃
资 料
金属之最
熔点最低的金属是-------- 汞 熔点最高的金属是-------- 钨 密度最小的金属是-------- 锂 密度最大的金属是-------- 锇 硬度最小的金属是-------- 铯 硬度最大的金属是-------- 铬 延性最好的金属是-------- 铂 展性最好的金属是-------- 金 最活泼的金属是----------铯
金属晶体熔点变化规律
1、金属晶体熔点变化较大，
与金属晶体紧密堆积方式、金属阳离子与自由电子之间的金 属键的强弱有密切关系．
2、一般情况下，金属晶体熔点由金属键强弱决定：
金属阳离子半径越小，所带电荷越多，自由电子越多，
金属键越强，熔点就相应越高，硬度也越大。但金属性越弱 如：K ﹤ Na ﹤ Mg ﹤ Al
2 8
9
4
3
10
11
1 6
5
2
3
4
②面心立方紧密堆积晶胞平均占有的原子数目：
1 1 + ×6 = 4 × 8 8 2
立方面心最密堆积的配位数 =12
金属原子的半径r与正方体的边长a的关系：
晶体密堆积原理
密堆积：由无方向性的金属键、离子键和范德华 力等结合的晶体中，原子、离子或分子等微观 粒子总是趋向于相互配位数高，能充分利用空 间的堆积密度最大的那些结构。
密堆积方式因充分利用了空间，而使体系的势能 尽可能降低，而结构稳定。
常见的密堆积类型
常见密堆积型式
面心立方最密堆积（A1）
六方最密堆积（A3）
3
r 3a 4
r 3a 8
5.堆积方式与晶胞关系
A1—面心立方晶胞 A2—体心立方晶胞 A4—面心立方晶胞 A3—六方晶胞
六方晶胞中a=bc, ==90º, =120º
晶体类型
根据形成晶体的化合物的种类不同可以 将晶体分为：离子晶体、分子晶体、原 子晶体和金属晶体。
1. 离子晶体
离子键无方向性和饱和性，在离子晶体中 正、负离子尽可能地与异号离子接触，采 用最密堆积。 离子晶体可以看作大离子进行等径球密堆 积，小离子填充在相应空隙中形成的。 离子晶体多种多样，但主要可归结为6种 基本结构型式。
2
3
2a3 8 2r3
V球
2
4
3
r3
(晶胞中有2个球)
V球 V晶胞 100% 74.05%
A1型堆积方式的空间利用率计算
解：V晶胞
a3
32 2
r3
晶胞中含4个球 :
V球
4
4 3
r 3
空间利用率 V球 V晶胞 74.05%
2.体心立方密堆积（A2）
A2不是最密堆积。每个球有八个最近的配体 （处于边长为a的立方体的8个顶点）和6个稍远 的配体，分别处于和这个立方体晶胞相邻的六 个立方体中心。故其配体数可看成是14，空间 利用率为68.02%. 每个球与其8个相近的配体距离 d 3 a
高中化学微课-《空间利用率和空隙填充率》
空间利用率为：
3、六方最密堆积（hcp）
特征：晶胞为底面为菱形的平行六面体， 晶胞含有2个原子。
4、面心立方最密堆积（ccp）
特征：晶胞含有4个原子，在面对角线相切。 即
空间利用率：
二、空隙填充率
空隙填充一般用来看待离子晶体的形成，主 要认为阳离子填入阴离子形成的空隙中。针对 不同的离子晶体结构，有不同的空隙类型（八 面体或四面体）与填充率（填充的正四面体 （正八面体）空隙数/总正四面体（正八面体） 空隙数）。
6、六方ZnS型（纤维锌矿）
阴离子以hcp堆积， 阳离子占据所有正 四面体空隙的一半， 填充率为50%。
4、CaF2 型
阳离子以ccp堆积， 阴离子占据所有 的阳离子形成的 正四面体空隙， 填充率100%。
5、 TiO2 型（金红石）
Ti离子占据晶胞顶点和体心 位置，6个O离子构成八面 体将Ti离子包围起来，Ti的 配位数为6，O的配位数为 3。阳离子占据了一半的阴 离子围成的八面体空隙，填 充率是50%。
一、空间利用率
空间利用率:指构成晶体的原子、离子或分 子在整个晶体空间中积/晶胞体积×100%。
1、简单立方堆积（SCP）
特征：棱上相切，即 a = 2r 此种晶胞只含有一个原子，空间利用率是
即：
说明：立方晶胞的边长为a，金属圆球的半径是r。
2、体心立方（bcp）
1、NaCl型
氯离子以ccp堆积， 钠离子填充在氯 离子形成的正八 面体空隙中，填 充率是100%
2、CsCl型
阴离子（Cl-）以 scp堆积，阳离 子填充在阴离子 形成的立方体空 隙中，填充率为 100%.
3、立方ZnS型（闪锌矿）
典型离子晶体地各种堆积-填隙模型的堆积球和填隙球的半径比-概述说明以及解释
典型离子晶体地各种堆积-填隙模型的堆积球和填隙球的半径比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离子晶体在自然界中广泛存在，并且在许多领域中具有重要的应用价值。
研究离子晶体的结构堆积方式对于理解其物理化学性质以及开发新型功能材料具有重要意义。
在离子晶体的结构中，堆积模型是其中一种重要的研究对象。
堆积模型是指离子晶体中离子排列的方式和顺序。
通过研究和分析不同类型的离子堆积模型，可以了解离子晶体的几何构型、离子间距以及孔隙结构等重要特征。
在典型离子晶体中，常见的堆积模型包括六方最密堆积、立方最密堆积和体心立方堆积等。
填隙模型是一个与堆积模型密切相关的概念。
填隙模型描述了离子晶体中离子球和填隙球之间的相互作用关系。
填隙球指的是在堆积模型中离子之间形成的孔隙，而离子球则是指堆积模型中的离子。
通过研究填隙模型，可以进一步了解离子晶体中的空位、孔径大小以及离子的配位数等重要性质。
本文将重点研究填隙模型的堆积球和填隙球的半径比。
理论上，填隙球的半径与堆积球的半径之间存在一定的关系，这对于准确描述离子晶体的结构和性质非常重要。
通过实验和模拟方法，我们将探讨不同离子晶体中填隙球和堆积球的半径比的变化规律，以期揭示离子晶体材料中的微观结构和宏观性质之间的关联性。
本研究具有重要的理论和实践意义。
首先，对填隙模型的深入研究可以为离子晶体的结构设计和制备提供理论指导。
其次，填隙模型的研究可以为新型功能材料的开发和设计提供参考。
最后，对填隙球和堆积球半径比的研究有助于揭示离子晶体的结构特征与其性质之间的内在联系，为相关领域的进一步研究提供基础和支持。
由于离子晶体的复杂性和多样性，填隙模型的研究还存在一些挑战和尚未解决的问题。
未来的研究可以进一步探索不同离子晶体中填隙球和堆积球的半径比的影响因素，并寻求更精确的描述方法和模型。
希望本研究能够为离子晶体结构与性质的研究提供新的思路和方法，促进相关领域的进一步发展。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文按照以下结构进行展开：第二部分为正文，共分为两个小节。
体心立方111面致密度
体心立方111面致密度
体心立方111面指的是晶体学中一种最紧密的堆积方式，其中111面表示该晶体中最密堆积的平面，而体心立方则表示在该平面上的原子
堆积形式。
致密度则是指该晶体内部的空隙率，也就是晶格中原子的
密集程度。
在晶体学中，晶体的结构和性质都与晶格中的原子排布密切相关。
体
心立方111面致密度最高的原因是由于该平面上的原子堆积是最密集的，原子之间的距离最近，所以该平面上的密度最大。
具体地说，体心立方111面的原子排布是由一个层面上的原子团先堆
积在一个平面上，然后后续的层面每隔一个原子，把新的一层原子排
至上一层的空隙中，从而形成了三维立方体的结构。
该结构中又有一
个体心原子（位于每个面的正中心），使得原子堆积形成了最紧密的
结构，从而实现了最高密度。
体心立方111面致密度的高低决定了晶体的性质，比如硬度、电导性、热导率等。
例如，铜、钨等金属的晶体结构都是体心立方111面，所
以它们具有很高的硬度和较好的导电性和热导率。
总之，体心立方111面致密度是晶体学中一个重要的概念，它决定了
晶体的结构和性质。
对于研究晶体的结构和性质有着重要的意义，也是材料科学和化学等学科的核心内容之一。
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每一状态可放2个电子（ ms =±1/2），故共可放 3 个电子。 (8 / 3)nF
3 ( 4 / 3 ) n 计算n F和EF值，具有n小于n F的点数为 F ，
若金属的立方体势箱的边长为l，则体积为l3。 单位体积有N个电子，则共有N l3个，即
3 Nl 3 (8 / 3)n F
金属键的强度可用金属的原子化热(气化热) 来衡量。原子化热是指1mol的金属变成气态原 子所需吸收的能量。金属的许多性质跟原子化 热有关。例如原子化热小，金属较软，熔点较 低；原子化热大，金属较硬，熔点较高等。
简单金属的自由电子模型是个很简单的模型， 价电子完全公有，构成金属中导电的自由电子， 原子实与价电子间的相互作用完全忽略，自由电 子之间也是毫无相互作用的理想气体。为了保持 金属电中性，可设想原子实带正电分布于整个体 积中，和自由电子的负电荷正好中和。 自由电子波函数可用一平面波表示
其中κ为波矢量，V为金属体积，与边长L关系 V = L3 这样自由电子类似势箱中和自由粒子，自由 电子在金属中的零势场中运动，相应能量可表示为
在绝对零度时，自由电子体系处于基态，N个电子 占据N/2个最低能级，最高占据能为费米能
自由电子气模型完全忽略电子间的相互作用，也忽 略了原子实形成的周期势场对自由电子的作用，处理结 果当然与真实金属有差距，后来发展了“近自由电子模 型”（即在自由电子气中引入周期势场微扰），在一定 程度上反映了简单金属的实际情况，可作为金属电子结 构的一级近似。近年，有人提出用赝势理论处理简单金 属，即采用微弱的赝势代替电子与正离子间的相互作用 势，使问题得到简化。赝势可用正交平面波法解析导出， 也可用参数直接构筑模型势。例如一模型赝势为
3/ 2
每一组量子数(n x , n y , n z )确定一个 2 2 2 2 允许的量子态，因 n nx n y nz 对 E值确定的状态，用n x 2+ n y 2 + n z 2相等 的任意一组数均可。若考虑电子自旋， 还要加入自旋磁量子数ms . 体系处于0K时电子从最低能级填起， 直至 Fermi 能级EF，能量低于EF的能级, 全都填满电子，而所有高于EF的能级都 是空的。对导体，EF就是0K时电子占据 的最高能级，其值可从理论上推导，也 可用实验测定。
2 2 h2 n h 2 2 2 E (n x n y n z ) 2 2 8m l 8m l
1 i 2 exp (n x x n y y n z z ) l l 2 2 2 h n h 2 2 2 E (n x n y n z ) 2 2m l 2 m l2
第九章 金属的结构和性质
（课堂讲授0学时） 1. 金属的性质和金属键 2. 球的密堆积和金属单质的结构 3. 合金的结构和性质 4. 准晶 5. 非晶态合金
第九章 金属的结构和性质
教学目标
了解金属键理论，掌握等径球密堆积原理和金属单质的 主要结构A1、A2、A3、A4,了解合金结构分类并掌握一些典 型合金化合物，了解晶态、非晶态、准晶态之间的区别。
ห้องสมุดไป่ตู้学习要点
⑴ 等径球密堆积原理与空间占有率。 ⑵ 金属单质结构A1、A2、A3、A4堆积形式。 ⑶ 合金结构可分为三类：金属固溶体、金属间隙化合物、 金属化合物及其典型例子。 ⑷ 晶体、准晶、非晶的区别。
学时安排
学时----- 2学时
第九章.金属的结构和性质
9.1 金属键和金属的一般性质
在一百多种化学元素中，金属元素约占80% 。 它们都具有金属光泽、有很好的传热导电性，金属 的这些性质是它们内部结构的反映。金属元素很多， 大致可分为两大类，一类为简单金属，另一类为过 渡金属，稀土和锕系金属。 简单金属主要指碱金属、碱土金属等。在这类 金属中，元素的电负性较小，电离能也较小，最外 层价电子容易脱离原子核的束缚，在金属中运动。 这样原子实和价电子可截然分开。前者原子实对金 属整体来说，它的影响是局域的，而后者—价电子 则是整体公有的。
0.97g cm 3 23 N (6.02 10 e) 23g 2.5 10 e cm
22 3
2.5 1028 e m 3 E F 5.04 10
19
J (3.15eV )
实验测定金属钠的EF值为3.2eV，与计算 所得结果符合较好，由金属钠的EF值可见，即 使在0K时，电子仍有相当大的动能。 当温度升高，部分电子会得到热能，所得 热能的数量级为kT。室温下，kT约为4。 14×10-21J；而大多数金属的EF值约为（3～10） ×10-19J， kT比EF值约小2个数量级。
nF 3N 8 l
2
2 3
0K时的Fermi能级
h nF h2 2 2/3 EF ( 3 N ) 2m l 8 2 m 例如金属钠，密度为0.97g ·cm-3，每一个原子 提供一个自由电子，电子密度为：
2 2
这类金属用近‘自由电子’模型，获 得了与实验大致相符的结果。 另一类金属包括d壳层未填满的过渡 金属、4f壳层未填满的稀土金属，5f壳层 未填满的锕系金属，这些未填满的次层电 子能级和外层S,P电子相近，这些d电子或f 电子介于公有化与局域化状态之间，所以 要有特殊的理论处理。 贵金属介于两者之间，它们部分性能 和简单金属相似，而另一部分性质与过渡 金属相似。
金属键理论主要有两种： 自由电子模型，固体能带理论 9.1.1 金属键的‘自由电子’模型 金属元素的电负性较小，电离能也较小， 最外层价电子容易脱离原子核的束缚，而在 金属晶粒中由各个正离子形成的势场中比较 自由地运动，形成“自由电子”或“离域电 子”。这些金属中的自由电子可看作彼此间 没有相互作用、各自独立地在势 能等于平均 值的势场中运动，相当于在三维势箱中运动 的电子。按照箱中粒子的Schrö dinger方程并 求解，可得波函数表达式和能级表达式。
‘自由电子’模型的Schrö dinger方程:
8 m 2 E 0 h
2 2
2 ( x, y , z ) l
3/ 2
n xx n yy n z z sin sin sin l l l