陕西省西安市 九年级(上)期中数学试卷(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算cos30°的值为（）A. B. C. 1 D. 32.如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（）A.B.C.D.3.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A. B. C. D.4.一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（）A. B. C. D. 25.若双曲线y=过两点（-1，y1），（-3，y2），则y1与y2的大小关系为（）A. B.C. D. 与大小无法确定6.如图，在△ABC中，点D在AB边上，且AD=2BD，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AE=2，则AC的长是（）A. 4B. 3C. 2D. 17.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（）A. 6个B. 10个C. 15个D. 30个8.如图，把△COD扩大后得到△AOB，若点C，D，B的坐标分别为C（1，2），D（2，0），B（5，0）．则点A的坐标为（）A.B.C.D.9.矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（）A. B. C. D.10.将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A. 4B. 6C. 8D. 10二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.一元二次方程x2-8x-1=0的解为______ ．12.若△ABC∽△DEF，且对应高线的比为2：3，则它们的面积比为______ ．13.如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是______．14.如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的交点，PA⊥OP，交x轴于点A，OA=6，则k的值是______ ．15.观察表中数据，则k的值为______ ．16.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为______．三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）17.计算：（）-1-+tan60°+|3-2|．18.如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），请用直尺和圆规在边AD上找一点P，使得BP=2AB．（不写作法，保留作图痕迹）19.求抛物线解析；抛物线顶点D坐标；若物线的对称轴上存在点P使△B=3△PO求此时DP的长．20.如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4-．①求KD的长度；②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S△PMN=时，求m的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：原式=×=，故选：B．根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2.【答案】D【解析】解：所给图形的俯视图是D选项所给的图形．故选：D．俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．3.【答案】A【解析】解：sin∠A=，∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A．根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．4.【答案】A【解析】解：将x=-2代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（-2）2+b×（-2）+c=4a-2b+c，∵4a-2b+c=0，∴x=-2是方程ax2+bx+c=0的根．故选A．将x=-2代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到4a-2b+c，由4a-2b+c=0得到方程左右两边相等，即x=-2是方程的解．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5.【答案】B【解析】解：∵双曲线y=过两点（-1，y1），（-3，y2），∴-1•y1=2，-3•y2=2，∴y1=-2，y2=-，∴y1＜y2．故选B．根据反比例函数图象上点的坐标图特征得到-1•y1=2，-3•y2=2，然后计算出y1和y2比较大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．6.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，AD=2BD，∴=2，∴CE=AE=1，∴AC=AE+CE=3；故选：B．由平行线分线段成比例定理得出比例式求出CE，即可得出结果．本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出CE是解决问题的关键关键．7.【答案】C【解析】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，∴白球所占的比例为=0.6，设盒子中共有白球x个，则=0.6，解得：x=15．故选C．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．8.【答案】B【解析】解：∵把△COD扩大后得到△AOB，点C，D，B的坐标分别为C（1，2），D（2，0），B（5，0），∴△COD与△AOB的位似比为：2：5，则点A的坐标为：（2.5，5）．故选：B．利用已知图形结合B，D点坐标得出两三角形的位似比，进而得出A点坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键．9.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，∴∠BAM=∠AMD，∵AM平分∠DMB，∴∠AMD=∠AMB，∴∠BAM=∠AMB，∴BM=AB=2，∴CM===，∴DM=CD-CM=2-；故选：D．由矩形的性质得出CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长．本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB=AB是解决问题的关键．10.【答案】B【解析】解：将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度，其解析式变换为：y=x2-9而抛物线y=x2-9与x轴的交点的纵坐标为0，所以有：x2-9=0解得：x1=-3，x2=3，则抛物线y=x2-9与x轴的交点为（-3，0）、（3，0），所以，抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x2-9，令x2-9=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握抛物线沿着y轴向下平移时解析式的变换规律，难点是二次函数与x轴的交点与对应一元二次方程的解之间的关系11.【答案】x1=4+，x2=4-【解析】解：由原方程，得x2-8x=1，配方，得x2-8x+42=1+42，即（x-4）2=17，开方，得x-4=±，解得x1=4+，x2=4-．故答案是：x1=4+，x2=4-．在本题中，把常数项-1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-8的一半的平方．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12.【答案】【解析】解：∵△ABC∽△DEF，对应高线的比为2：3，∴它们的相似比为2：3，∴它们的面积比为（）2=．故答案为：．根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行计算即可得解．本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方的性质．13.【答案】24【解析】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO=4，∴BO==3，故BD=6，则菱形的面积是：×6×8=24．故答案为：24．直接利用菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，再利用菱形面积求法得出答案．此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确求出BD的长是解题关键．14.【答案】9【解析】解：过P作PC⊥OA于点C，∵P点在y=x上，∴∠POA=45°，∴△POA为等腰直角三角形，∴PC=OC=OA=3，∴P（3，3），∴k=3×3=9，故答案为：9．由P在y=x上可知△POA为等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于点C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了等腰直角三角形的性质．15.【答案】0【解析】解：由上表可知函数图象经过点（-1，4）和点（1，4），∴对称轴为x==0，即y轴∴当x=2时的函数值等于当x=-2时的函数值，∵当x=-2时，y=0，∴当x=2时，k=0．故答案为：0．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键，另外本题还可以先求出函数的解析式，然后代入求值．16.【答案】（，）【解析】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时PC+PD最短，在RT△AOG中，AG===，∴AC=2，∵OA•BK=•AC•OB，∴BK=4，AK==3，∴点B坐标（8，4），∴直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=-x+1，由解得，∴点P坐标（，）．故答案为：（，）．如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．17.【答案】解：（）-1-+tan60°+|3-2|=3-3+-3+2=0．【解析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．18.【答案】解：如图所示，点P即为所求．【解析】先以A为圆心，AB长为半径画圆，交BA的延长线于E，则BE=2AB，再以B 为圆心，BE长为半径作弧，交AD于P，则BP=2AB．本题主要考查了复杂作图，解决问题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19.【答案】解：将（-1），B（，0）代入=x2+bx+c得：，设直线BC的析式为y=x+a则，∴E=2，∵△PCB的积=PCF的面积△PB的面=F1+2）=3×，∴DP5-4=；∴DP=4+1；∴直线BC的解析式为y-+，的坐标为（1，2），则点F横标为1，设BC物线的对称轴交点F，如图所：解得：a=k=-1，∴顶点D的坐标，4）；x=0时，y3，∴物线析式y=-x2+2x3；-x2+2x+3=-x-1）2+4，解得：PF=，当点P在F的方时，P=PF+E5，上所述：P的长为1或．【解析】利用待定系法即可解析式；求出POC的面积，由三角形面关得F=3，求出直线BC解式，得出F的坐标，分两情况讨，即可得出DP的．题考查待定系数法求和直线的析式；求出抛物线的顶点坐标和与y交点坐是题的关键．20.【答案】解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO∵点O是BD的中点∴DO=BO∴△DOK≌△BOG（AAS）②∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC又∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠BFA=45°∴AB=BF∵OK∥AF，AK∥FG∴四边形AFGK是平行四边形∴AK=FG∵BG=BF+FG∴BG=AB+AK（2）①由（1）得，四边形AFGK是平行四边形∴AK=FG，AF=KG又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG∴AF=KG=KD=BG设AB=a，则AF=KG=KD=BG=a∴AK=4--a，FG=BG-BF=a-a∴4--a=a-a解得a=∴KD=a=2②过点G作GI⊥KD于点I由（2）①可知KD=AF=2∴GI=AB=∴S△DKG=×2×=∵PD=m∴PK=2-m∵PM∥DG，PN∥KG∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN∴△，即S△DPN=（）2△同理S△PKM=（）2∵S△PMN=∴S平行四边形PMGN=2S△PMN=2×又∵S平行四边形PMGN=S△DKG-S△DPN-S△PKM∴2×=-（）2-（）2，即m2-2m+1=0解得m1=m2=1∴当S△PMN=时，m的值为1【解析】（1）①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；（2）①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；②先过点G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表达式，最后根据等量关系S=S△DKG-S△DPN-S△PKM，列出关于m的方程，求得m的值即可．平行四边形PMGN本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解，难度较大，具有一定的综合性．。
西安市九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析(共四套)
西安市九年级上学期期中考试数学试卷（一）一、选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程（）A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．3x+=4 D．x2﹣2=02．如图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（）A． B． C．D．3．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（）A．18 B．20 C．24 D．284．如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC 的长是（）A．msin40°B．mcos40°C．mtan40°D．5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．6．若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在反比例函数y=的图象上，则下列结论中的正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2﹣ab﹣b2=0，则tanA等于（）A．1 B．C．D．8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠09．如图，正方形ABCD的面积为64，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，连接CG，则CG等于（）A．4B．6 C．3D．410．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（，0）二、填空题11．tan15°=．12．如图，小明同学沿着格线从A点到B点，在路线最短的条件下，经过C点的概率是．13．已知函数的图象如图所示，当x≥﹣1时，y的取值范围是．14．高为2米的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距3米，上午的太阳和煦灿烂，樟树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，此时人的影子恰好是人身高的两倍，那么，请你计算这棵樟树的高约为米．15．如图，CD是平面镜，光线从A点射出，经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为．16．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．三、解答题17．用适当的方法解方程（1）2x2﹣4x﹣6=0；（2）（3x+2）（x+3）=x+14．18．（1）cos60°+sin45°+tan30°•cos30°；（2）﹣．19．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．20．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．21．大楼AD的高为10米，不远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30°，求塔BC的高度．22．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD=5，tan∠COD=．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）如图1，若△BPQ∽△BCA，求t的值；（2）如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求的值；（3）证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程（）A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．3x+=4 D．x2﹣2=0【考点】A1：一元二次方程的定义．【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故错误；B、方程去括号得：2x2﹣2x=2x2+3，整理得：﹣2x=3，为一元一次方程，故错误；C、3x+=4是分式方程，故错误；D、x2﹣2=0，符合一元二次方程的形式，正确．故选D．2．如图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（）A． B． C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得到三个左右相邻的长方形，故选D．3．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（）A．18 B．20 C．24 D．28【考点】X4：概率公式．【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意得： =，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得： =，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24．故选：C．4．如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC 的长是（）A．msin40°B．mcos40°C．m tan40°D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵cos40°=，∴BC=AB•cos40°=mcos40°．故选B．5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．【考点】L8：菱形的性质；KQ：勾股定理．【分析】根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选：D．6．若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在反比例函数y=的图象上，则下列结论中的正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】易得此函数图象分布在一、三象限，根据反比例函数的增减性即可比较y 3、y1、y2的大小．【解答】解：k＞0，函数图象在一，三象限；由题意可知：横坐标为﹣2，﹣1的在第三象限，横坐标为﹣1的在第一象限．第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标，那么y3最大，在第三象限内，y随x的增大而减小，所以y2＜y1．故选C．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2﹣ab﹣b2=0，则tanA等于（）A．1 B．C．D．【考点】T7：解直角三角形．【分析】根据a、b之间的等量关系式，可以求出的值，进而得解．【解答】解：∵a、b满足a2﹣ab﹣b2=0，等式两边同时除以b2得：﹣﹣1=0，解得=，∵tanA=＞0，故tanA=．故选B．8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k 的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．9．如图，正方形ABCD的面积为64，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，连接CG，则CG等于（）A．4B．6 C．3D．4【考点】LE：正方形的性质；KK：等边三角形的性质．【分析】要求CG的长度，求出∠CGE即可，BF是EC边上的高，根据∠EGF=∠CGF，求∠EGF即可．【解答】解：∵BF是等边△BEC中EC边上的中线，即BF既是中线又是高，又是角平分线，且BE所在直线是EC的垂直平分线；∴∠FBC=30°，∠EGF=∠CGF，GE=GC，∵∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°+60°=150°，且AB=BE，∴∠BAG=15°，∴∠BGA=180°﹣∠ABG﹣∠BAG=180°﹣15°﹣120°=45°，∴∠EGF=45°，∠CGF=45°，故∠EGC=90°，且GE=GC，∴△GEC为等腰直角三角形，∴CG=×EC=．故选A．10．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（，0）【考点】GB：反比例函数综合题；FA：待定系数法求一次函数解析式；K6：三角形三边关系．【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【解答】解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，∴A（，2），B（2，），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=，∴直线AB的解析式是y=﹣x+，当y=0时，x=，即P（，0），故选：D．二、填空题11．tan15°=2﹣．【考点】T7：解直角三角形．【分析】把15°变为45°﹣30°，然后利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简可得tan15°的值．【解答】解：tan15°=tan（45°﹣30°）===2﹣．故答案为：2﹣．12．如图，小明同学沿着格线从A点到B点，在路线最短的条件下，经过C点的概率是．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】根据题意先求出从A到B的最短路程的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：从A到B的最短路程的路共有：6种；而经过C的有4种所以经过C点的概率==；故答案为：．13．已知函数的图象如图所示，当x≥﹣1时，y的取值范围是y≤﹣1或y＞0 ．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】x≥﹣1时，可能在第三象限，也可能在第一象限，可分﹣1≤x＜0和x＞0两种情况进行解答．【解答】解：∵比例系数大于1，∴图象的两个分支在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当x=﹣1时，y=﹣1，∴当x≥﹣1且在第三象限时，y≤﹣1，当x≥﹣1在第一象限时，y＞0，故答案为：y≤﹣1或y＞0．14．高为2米的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距3米，上午的太阳和煦灿烂，樟树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，此时人的影子恰好是人身高的两倍，那么，请你计算这棵樟树的高约为 4 米．【考点】SA：相似三角形的应用．【分析】根据相似三角形对应线段成比例求解即可．【解答】解：利用投影知识解题，按此时人的影子恰好是人身高的两倍，即墙的影子当地为4米，而树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，即树影子全长为（3+4+1）=8米而树高为树影子的一半，即4米．故填4．15．如图，CD是平面镜，光线从A点射出，经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为．【考点】SA：相似三角形的应用；T8：解直角三角形的应用．【分析】利用相似三角形的判定与性质得出EC的长，进而求出tanα的值．【解答】解：由题意可得：∠AEC=∠BED，又∵∠ACE=∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴=，即=，解得：EC=，tanA=tanα===．故答案为：．16．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1 ．【考点】LE：正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D 三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．三、解答题17．用适当的方法解方程（1）2x2﹣4x﹣6=0；（2）（3x+2）（x+3）=x+14．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）整理后因式分解法求解可得；（2）整理成一般式后公式法求解可得．【解答】解：（1）原方程整理得x2﹣2x﹣3=0，左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）=0，则x+1=0或x﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3；（2）原方程整理，得：3x2+10x﹣8=0，∵a=3，b=10，c=﹣9，∴△=100﹣4×3×（﹣9）=208＞0，则x==．18．（1）cos60°+sin45°+tan30°•cos30°；（2）﹣．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：（1）原式=+×+×=++=；（2）原式=﹣=2﹣++3．19．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．20．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】（1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是：；（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况，∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： =．21．大楼AD的高为10米，不远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30°，求塔BC的高度．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，构造两个直角三角形．设DE=x，分别求解可得AD与DE的值，再利用BC=AD+DE，即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E．在Rt△BED中，∵D点测得塔顶B点的仰角为30°，∴∠BDE=60度．设DE=x，则BE=x．在Rt△BEA中，∠BAE=30度，BE=x．∴AE=3x．∴AD=AE﹣DE=3x﹣x=2x=10．∴x=5．∴BC=AD+DE=10+5=15（米）．答：塔BC的高度为15米．22．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到k≠0且（k+2）2﹣4k•＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）假设存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0，利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1x2=利用两个实数根的倒数和等于0，得出方程的解，结合k的取值范围判定即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（k+2）2﹣4k•＞0，∴k＞﹣1且k≠0．（2）不存在．理由：假设存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0，∵x1+x2=﹣，x1x2=，∴+===0，解得：k=﹣2∴不存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD=5，tan∠COD=．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）由四边形OABC是矩形，得到BC=OA，AB=OC，根据tan∠COD=，设OC=3x，CD=4x，求出OD=5x=5，OC=3，CD=4，得到D（4，3），代入反比例函数的解析式即可．（2）根据D点的坐标求出点B，E的坐标即可求出结论；（3）分类讨论：当∠OPD=90°时，过D作PD⊥x轴于P，点P即为所求，当∠ODP=90°时，根据射影定理即可求得结果．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA，AB=OC，∵tan∠COD=，∴设OC=3x，CD=4x，∴OD=5x=5，∴x=1，∴OC=3，CD=4，设过点D的反比例函数的解析式为：y=，∴k=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）∵点D是BC的中点，∴B（8，3），∴BC=8，AB=3，∵E点在过点D的反比例函数图象上，∴E（8，），∴S=BD•BE==3；△DBE（3）存在，∵△OPD为直角三角形，∴当∠OPD=90°时，PD⊥x轴于P，∴OP=4，∴P（4，0），当∠ODP=90°时，如图，过D作DH⊥x轴于H，∴OD2=OH•OP，∴OP==．∴P（，O），∴存在点P使△OPD为直角三角形，∴P（4，O），（，O）．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）如图1，若△BPQ∽△BCA，求t的值；（2）如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求的值；（3）证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，②当△BPQ∽△BCA时，，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，根据△ACQ ∽△CMP，得出=，即可；（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，由运动知，BP=5t，QC=4t，①当△BPQ∽△BAC时，∵，∴，∴t=1；②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴t=，∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图1所示，在Rt△ABC中，sinB=，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，由运动知，CQ=4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴==；（3）如图，作PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，作PE⊥AC于点E，DF⊥AC 于点F，∵∠ACB=90°，∴DF为梯形PECQ的中位线，∴DF=，∵QC=4t，PE=BC﹣BM=8﹣BM=8﹣4t，∴DF==4，∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在过R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．西安市九年级上学期期中考试数学试卷（二）一、选择题1．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣2ab）2=4a2b2C．（a2）3=a5D．3a3b2÷a2b2=3ab2．不等式组的解集是（）A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥23．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）A．B．C．D．4．已知关于x方程x2﹣4x+m=0，如果从1、2、3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项m，那么所得方程有实数根的概率是（）A．B．C．D．5．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB=3OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积的比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：96．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠57．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（）A． +=B．﹣=C． +10=D．﹣10=8．已知菱形ABCD的边长是9，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC 相交于点M，则的值是（）A．3：1 B．4：3 C．3：4 D．3：4或3：29．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④二、填空题11．两三角形的相似比为1：4，它们的周长之差为27 cm，则较小三角形的周长为．12．分解因式：m4﹣16n4= ．13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．14．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为．三、解答题15．计算：（﹣3）2﹣（）﹣1+×﹣|1﹣|．16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）17．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）18．化简求值：（x﹣5+）÷，其中x=﹣2．19．在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣﹣结伴步行、B﹣﹣自行乘车、C﹣﹣家人接送、D﹣﹣其它方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次抽查的学生人数是多少人？（2）请补全条形统计图和扇形统计图，并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数；（3）如果该校学生有2080人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？20．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．21．昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：（1）求线段AB所表示的函数关系式；（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？22．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1，小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，请用树状图或列表法求着三根绳子能连结成一根长绳的概率．23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．24．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．参考答案与试题解析一、选择题1．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣2ab）2=4a2b2C．（a2）3=a5D．3a3b2÷a2b2=3ab【考点】整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，即可解答．【解答】解：A、a2•a3=a5，故正确；B、正确；C、（a2）3=a6，故错误；D、3a2b2÷a2b2=3，故错误；故选：B．2．不等式组的解集是（）A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥2【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分．【解答】解：，由①得，x≥﹣2；由②得，x≤1；故不等式组的解集为﹣2≤x≤1．故选A．3．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：A、球的俯视图是圆，故本选项错误；B、正方体的俯视图是正方形，故本选项正确；C、圆锥的俯视图是圆，故本选项错误；D、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误．故选B．4．已知关于x方程x2﹣4x+m=0，如果从1、2、3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项m，那么所得方程有实数根的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；根的判别式．【分析】由判别式判断出m的范围，然后根据概率公式求解可得．【解答】解：∵关于x方程x2﹣4x+m=0有实数根，∴△=16﹣4m≥0，解得：m≤4，在从1、2、3、4、5、6中符合条件的有1、2、3、4这4个数，∴所得方程有实数根的概率是=，故选：B．5．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB=3OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积的比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【考点】位似变换．【分析】根据位似变换的性质得到A′B′∥AB，A′C′∥AC，根据平行线的性质求出△A'B'C'与△ABC的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比．【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴==，∴==，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为1：3，∴△A'B'C'与△ABC的面积的比1：9，故选：D．6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．7．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（）A． +=B．﹣=C． +10=D．﹣10=【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，﹣=．故选：B．8．已知菱形ABCD的边长是9，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是（）A．3：1 B．4：3 C．3：4 D．3：4或3：2【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解答】解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD=BC=9，AD∥BC，如图1：当E在线段AD上时，∴AE=AD﹣DE=9﹣3=6，∴△MAE∽△MCB，∴==；如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE=AD+DE=9+3=12，∴△MAE∽△MCB，∴==．∴的值是或．故选D．9．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）。
陕西省西安市长安区2024届九年级上学期期中学习评价数学试卷(含答案)
2023～2024学年度第一学期期中学习评价九年级数学纸笔测试第一部分（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.若关于x 的一元二次方程20x x m --=的一个根是3x =，则m 的值是（）A.6- B.3- C.3D.62.用配方法解方程2620x x --=，配方后的方程是（）A.()232x -= B.()239x -= C.()239x += D.()2311x -=3.若菱形两条对角线的长度是方程2680x x -+=的两根，则该菱形的边长为（）B.4C.5D.254.如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，已知23BC AC =，若3DE =，则DF 的长是（）A.94B.92C.9D.65.阳光明媚的一天，身高为1.6m 的小颖想测量校内一棵大树的高度.如图，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 3.2m BC =，0.8m CA =，于是计算出树的高度应为（）A.8mB.6.4mC.4.8mD.10m6.如图，在菱形ABCD 中，84BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则CDF ∠的度数是（）A.42︒B.48︒C.54︒D.60︒7.如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（）A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④8.如图，在ABC △中，BD AC ⊥于点D ，E 为BC 的中点，DE DC =，81A ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.31︒B.39︒C.41︒D.49︒9.阅览室有十本名著，小红和小燕都想借阅，于是她们通过摸球游戏决定谁先看，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，先由小红从中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小燕从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．若二人摸到乒乓球的颜色相同，则小红先看，否则小燕先看.则小燕先看的概率是（）A.13 B.12C.49 D.5910.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接AP 、EF .给出下列结论：①2PD EC =；②四边形PECF 的周长为8；③EF 的最小值为2；④AP EF =；⑤AP EF ⊥.其中正确的结论有（）A.5个B.4个C.3个D.2个第二部分（非选择题共90分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）11.如图，AB CD ，AC 与BD 相交于点E ，已知1AE=，2CE =，3DE =，则BD 的长为________.12.一个口袋中有若干个白球，小明想用学过的概率知识估计口袋中白球的个数，于是将4个黑球放入口袋中搅匀（黑球与口袋中的白球除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋并摇匀，不断重复上述过程，共摸了300次，其中有48次摸到黑球，估计口袋中大约有________个白球.13.若a 、b 是一元二次方程2290x x +-=的两个根，则223a a ab ++的值为________.14.如图，在矩形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将ADE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为________.15.如图，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S 、2S ，则12S S +的值为________.三、解答题（共9小题，计75分.解答应写出过程）16.（本小题6分）如图，在ABC △中，AB AC =，请用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得DAB ABC △△.17.（本小题8分）解方程：（1）()()2333x x x +=+（2）()()32514x x -+=-18.（本小题8分）已知532a b c ==.（1）求a bc+的值；（2）若29a b c +-=，求2a b c -+的值.19.（本小题8分）如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE BF =.求证：（1）ADE CDF ≅△△；（2）DEFDFE ∠=∠.20.（本小题8分）某校九年级1班为准备学校元旦演讲比赛，通过班级预赛共评选出两位男生和三位女生共5名推荐人选.（1）若该班随机选一名同学参加比赛，求选中男生的概率；（2）若该班随机选出两名同学组成一组选手参加比赛，求恰好选中一男一女的概率（用列表或树状图的方法求解）.21.（本小题9分）已知关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有实数解.（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为1x 、2x ，若()()125114x x --=，求k 的值.22.（本小题9分）某商品专卖店，平均每天可售出40件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若该商品降价5元，那么平均每天销售数量是多少件？（2）若专卖店每天销售该商品盈利2400元，那么每件商品应降价多少元？23.（本小题9分）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，90D ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 交CD 于点E ，F 是AB 的中点，连接AE 、EF ，且AE BE ⊥.求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AEAD EF ⋅=⋅.24.（本小题10分）如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，8cm AB =，6cm BC =.点P 从A 点出发沿AC 向C 点运动，速度为每秒2cm ，同时点Q 从C 点出发沿CB 向B 点运动，速度为每秒1cm ，当点P 到达顶点C 时，P 、Q 同时停止运动，设P 点运动时间为秒.（1）当为何值时，PQC △是以C ∠为顶角的等腰三角形？（2）当为何值时，PQC △的面积为25cm （3）当为何值时，PQC △与ABC △相似？2023~2024学年度第一学期期中学习评价九年级数学纸笔测试参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.D2.D3.A4.C5.A6.C7.B8.B9.C 10.B二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）11.9212.2113.18-14.10315.68三、解答题（共9小题，计75分，解答应写出过程）16.解：作图（略）……………………………………………………………………（5分）则点D 即为所求.…………………………………………………………………………（6分）17.解：（1）原方程可化为()()23330x x x +-+=.……………………………………（1分）即()()3230x x +-=，……………………………………………………………………（2分）∴30x +=或230x -=，………………………………………………………………（3分）∴13x =-，232x =.……………………………………………………………………（4分）（2）原方程可化为22561514x x x +--=-，即2210x x --=，……………………………………………………………………（1分）这里2a =，1b =-，1c =-.∵()()224142190b ac -=--⨯⨯-=>，………………………………………………（2分）∴()113224x --±==⨯，……………………………………………………………………（3分）∴11x =，212x =-.…………………………………………………………………………（4分）18.解：（1）∵532a b c==，∴532a b c +=+，……………………………………………………………………………………（2分）∴842a b c +==.………………………………………………………………………………（3分）（2）∵532a b c ==，∴532252a b c a +-⨯=+-，…………………………………………………………………………（5分）∴459a=.……………………………………………………………………………………（6分）∵532a b c==，∴25325429a b c a ⨯-+==-+，……………………………………………………………………（7分）∴8124a b c -+=.…………………………………………………………………………（8分）19.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD CD AB BC ===，A C ∠=∠，………………………………………………（2分）∵BE BF =，∴AE CF =.……………………………………………………………………（3分）在ADE △与CDF △中，,,,AD CD A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDF ≅△△.（2）∵ADE CDF ≅△△，∴DE DF =，∴DEFDFE ∠=∠.20.解：（1）随机选一名同学参加比赛有5种等可能结果数，而选中男生的结果有2种，∴选中男生的概率为：25P =.………………………………………………………………（3分）（2）5名推荐人选中，两位男生分别记为A ，B ，三位女生分别记为c ，d ，e 列表为：A Bc d eA ABAc Ad Ae BBABc Bd BeccA cB cdceddA dB dcdee eAeBeced…………………………………………………………………………（6分）共有20种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为12种.所以恰好选中一男一女的概率为：123205P ==.………………………………………………（8分）21.解：（1）∵关于x 的方程()22210x k x k +-+=有实数根，∴()22242141b ac k k ∆=-=--⨯⨯……………………………………………………（2分）410k =-+≥，………………………………………………………………………………（3分）∴14k ≤.……………………………………………………………………………………（4分）（2）∵方程()22210x k x k +-+=的两个实数根分别为1x ，2x .∴()1221x x k +=--，212x x k =.……………………………………………………（5分）由()()125114x x --=，∴()1212514x x x x -++=，………………………………………………………………（6分）∴()252114k k +-+=，即24850k k +-=，…………………………………………（7分）∴152k =-，212k =（舍去），…………………………………………………………（8分）∴52k =-.……………………………………………………………………（9分）22.解：（1）若该商品降价5元，平均每天销售数量是405250+⨯=（件）.………………（3分）（2）设每件商品应降价x 元，则每件盈利为：()50x -元，日销售量为：()402x +件，…………（5分）根据题意得：()()504022400x x -+=，……………………………………………………（7分）解这个方程得：110x =，220x =.…………………………………………………………（8分）由于每件盈利不少于35元，那么每件应降价10元.………………………………………………（9分）23.证明：（1）∵AE BE ⊥，F 是AB 的中点.∴EFBF AF ==，∴FEB FBE ∠=∠.……………………………………………………………………………………（1分）∵BE 是ABC ∠的平分线，∴FBE CBE ∠=∠，∴FEB CBE ∠=∠，……………………………………………………………………（2分）∴EFBC ，………………………………………………………………………………（3分）∵AB CD ，∴四边形BCEF 是平行四边形.………………………………………………………………（4分）∵EFBF =，∴四边形BCEF 是菱形.……………………………………………………………………（5分）（2）∵AB CD ，∴DEA EAB ∠=∠.……………………………………………………………………（6分）∵90D AEB ∠=∠=︒，∴ADE BEA △△，………………………………………………………………（7分）∴AE ABAD BE=，…………………………………………………………………………（8分）∴BE AEAD AB ⋅=⋅，即2BE AE AD EF ⋅=⋅.………………………………………………………………（9分）24.解：（1）∵8cm AB =，6cm BC =，∴10cm AC =.由题意2AP t =，102PC t =-，CQ t =，()05t <≤………………………………（1分）∵PQC △是以C ∠为顶角的等腰三角形，∴PC CQ =，……………………………………………………………………（2分）∴102t t -=，解得103t =.……………………………………………………………………………………（3分）（2）过点P 作PD BC ⊥于点D ，∴PD PC AB AC=，………………………………………………………………………………（4分）∴()()810285105t t AB PC PD AC --⋅===，…………………………………………（5分）∴()85115225PQC t S CQ PD t -=⋅=⋅=△，解得：1252t t ==.……………………………………………………………………（6分）（3）当11PQ C ABC △△时，11CP AC CQ BC=，…………………………………………（7分）∴102106t t -=，解得：3011t =.…………………………………………………………………………（8分）当22P Q C BAC △△时，22CP BCCQ AC=，…………………………………………（9分）∴102610t t -=，解得：5013t =.综上所述3011t =或5013t =时，PQC △与ABC △相似.…………………………（10分）11。
陕西省西安市爱知中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题
陕西省西安市爱知中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题一、单选题1．下列数中是无理数的是（）A ．1BC ．0D ．2-2．如图，该几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，a b ∥，1100∠=︒，245∠=︒，则3∠的度数是（）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．65︒4．下列计算正确的是（）A ．235a b ab +=B ．()325a a =C ．()222a b a b +=+D ．()31236a a--=-+5．正比例函数的图象经过(),1M m ，()2,N n 两点，则mn 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．46．如图，在ABC V 中tan 1,6,30B AC C ==∠=︒，则AB 的长为（）A ．3B ．C ．D ．7．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点,O DH BC ⊥于点H ，连接,56OH BAD ∠=︒，则DHO ∠的度数是（）A ．38︒B ．34︒C ．28︒D ．24︒8．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数512y x =-与一次函数184y x =-的图象交于点A ．设x 轴上一点(),0P a ，过点P 作x 轴的垂线（垂线位于y 轴的左侧），分别交512y x =-和184y x =-的图象于点B 、C ，若1613BC OA =，则a 的值为（）A ．13-B ．12-C ．11-D ．10-二、填空题90.5（填“>”“<”或“=”）10．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 与DEF 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点A 、D 均在x 轴正半轴上．若点A 坐标为1,0， 1.5, 4.5AB DE ==，则点D 的坐标为．11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．ABC V 的顶点都在格点上，则cos ABC ∠的值为．12．如图，一次函数()0y ax b a =+≠图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象在第一象限内交于点A 、B ，与x 轴交于点C,AB BC =．若OAC 的面积为7，则k 的值为．13．如图，在ABC V 中，45,4,3,BAC BD CD AD BC ︒∠===⊥，将ADB 沿AB 翻折得到AMB ，将ADC △沿AC 翻折得到ANC ，则AD 的长为．三、解答题14()()2234-+-⨯15．解不等式组()3112235x x x x -⎧+>⎪⎨⎪--≥⎩．16．化简：2221211x x x x x x x ⎛⎫-÷+- ⎪-+-⎝⎭17．如图，在ABC V 中，求作线段CD ，点D 在AB 上，且::ACD BCD S S AC BC =△△．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）18．如图，在ABC V 和ADE V 中，点C 在AD 上，AE BC ∥，BAC E ∠=∠，AC AE =，求证：BC DA =．19．在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小童和小龄计划从古代的赵爽、秦九韶，现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工以及提高效率，小童和小龄决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中，摇匀后放在桌面上，两人轮流摸球，每次摸出一球，不放回，最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料．(1)若小童先摸，第一次摸中写有秦九韶名字的小球的概率是______；(2)若小童先摸，然后小龄再摸，请利用画树状图或列表的方法，求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率．20．某校组织师生去春游，如果单独租用30座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用40座客车，可少租一辆，且余20个座位．求该校参加春游的人数．（请列方程解答．．．．．．）21．如图，小知想测量自家小区居民楼下一棵大树AB 的高度，由于大树旁边还有其他灌木无法直接到达大树下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼CD 的高度为28m ，接着在居民楼CD 的顶端C 处测得大树的顶端A 的俯角为22︒，某一时刻在太阳光的照射下，大树AB 顶端A 的影子落在地面上的点E 处，居民楼CD 顶端C 的影子落在地面上的点F 处，测得10m,30.8m DE DF ==，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点,,,B E D F 在同一条直线上，求大树的高度AB ．结果精确到0.1m ，参考数据：sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）22．为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)本次接受随机调查的学生有______人，图①中m 的值是______；(2)本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．23．某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．(1)求1y 和2y 的表达式；(2)九年级学生小爱计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．24．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E ．（1）求证：BD ＝BE ；（2）若BE ＝10，CE ＝6，连接OE ，求△ODE 的面积．25．如图，在平面直角坐标中，点O 是坐标原点，一次函数1y kx b =+与反比例函数()230y x x=>的图象交于()1,A m 、(),1B n 两点．(1)求直线AB 的解析式；(2)根据图象，当30kx b x+->时，x 的取值范围为______；(3)如图，y 轴正半轴上有一点P ，当四边形OPAB 的面积为5时，求点P 的坐标．26．【问题提出】（1）如图①，在菱形ABCD 中，6,60AB ABC =∠=︒，点E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且EF 平分菱形ABCD 的面积，求EF 的最小值．【问题解决】（2）如图②，m 和n 是两条平行的路，在两条路之间有一块四边形空地，即四边形ABCD ．为了美化环境，市政府决定将这块空地改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点C 修一条笔直的通道CE ，交AD 于点E ，以方便市民观赏花卉．并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，CD n ⊥，垂足为点D ，AB =，CD =，150m AD =，1tan 2ADC ∠=．如果将通道记为CE ，请求出AE 和通道CE 的长（通道的宽度忽略不计）．。
陕西省西安九年级上学期期中考试数学试题有答案
西安市曲江第一中学2015—2016度第一学期九年级(数学)期中试题一、选择题：(每小题3分，共30分)1.下列方程中，不是一元二次方程的是( ) A ．01232=++y y B ．x x 31212-=C ．032611012=+-a a D ．223x x x =-+ 2.当m 不为何值时，函数2(2)45y m x x =-+-(m 是常数)是二次函数( ) A -2 B 2 C 3 D -33.已知直角三角形的两边长是方程x 2-7x+12=0的两根，则第三边长为( ) A ．7 B. 5 C.7 D. 5或74顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 5.如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点 D 作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，则图中与△ABC 全等的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个6.在△ABC 中，∠C =90°，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于( )A ．135B ．1312C ．125D ．5127.如图，关于x 的函数)1(+=x k y 和）0(≠-=k xky 在同一坐标系中的图像大致是( )第5题图8.在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =21，cos B =23，则△ABC 的形状是()A ． 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9.如果点A (－1，1y )、B (1，2y )、C (12，3y )是反比例函数xy 1-=图象上的三个点，则下列结论正确的是( )A ．1y ＞2y ＞3y B.3y ＞2y ＞1y C.2y ＞1y ＞3y D.3y ＞1y ＞2y10.如图，在矩形ABCD 中，AD =3AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上， 连接BM 、DN .若四边形MBND 是菱形，则MDAM 等于( )A.83B.32C.53D.54二、填空题(每小题3分，共18分)11.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是 . 12.若____________,0cos 21==-αα则锐角13.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为 ． 14.已知23-是关于x 的方程：062=+-a x x 的一个解，则12-a 的值是 . 15.已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两个根，则1211x x +=__________.16.如图，已知矩形OABC 的面积是3100，它的对角线OB 与双曲线)0(＞x xky =交于点D ，且OB :OD ＝5:3，则=k ． 西安市曲江第一中学2015—2016度第一学期九年级(数学)期中答题纸一、选择题(共10小题，每小题3分，共计30分)NMDBCA第10题图11． 12． 13． 14． 15． 16． . 三、解答题(共72分)17.用适当方法解方程(每小题3分，共6分)(1)052222=--x x (2)x 2－2x －99=018.计算(每小题3分，共6分) (1)︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30° 10(2))π---19.(6分)某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？20．(8分)如图，花丛中有一路灯杆AB 在灯光下，小明在D 点处的影长DE =3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)．21.(8分)如图，在,,,中，BAC=90于平分交AD于G，ABC AD BC D CE ACB∆∠⊥∠交AB于E，,EF BC F⊥于求证：四边形AEFG是菱形.22. (8分) 在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x，y)．(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；(2)求点(x，y)在函数y=﹣x+5图象上的概率．23.(10分) 如图，一次函数y ax b=+的图象与反比例函数的图象交于A(-4，2)、B(2，n)两点，且与x轴交于点C.(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x24．(8分)一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°续向东航行60海里到达B处，测得小岛C轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？(参考数据：3°≈25，sin63.5°≈910，tan63.5°≈2)BCA25.(12分)已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D 运动．(1)如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；(2)如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；(3)如图3，当b＜2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由．西安市曲江第一中学2015—2016度第一学期九年级(数学)期中答案一、选择题(共10小题，每小题3分，共计30分)11． 3412． 450 13． 114． 13 15． -2 16． 12 . 三、解答题(共72分)17.用适当方法解方程(每小题3分，共6分)(1)052222=--x x (2)x 2－2x －99=0解：因为()845248∆=-⨯-⨯=， 解：(x-11)(x+9)=0所以2248221⨯+=x ，2248222⨯-=x ， 所以111x =或29x =-即2322+=x 或2322-=x .18.计算(每小题3分，共6分) (1)︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30° 10(2))π---解：原式=11-解：原式=1319.(6分)解：设每张贺年卡应降价x 元.则根据题意得：(0.3-x )(500+1000.1x )=120，111(2)121212=--=--=整理，得：21002030x x +-=，解得:120.1,0.3x x ==-(不合题意，舍去).∴0.1x =.答：每张贺年卡应降价0.1元．20．(8分)解：根据题意得：AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，FG ⊥BH ，在Rt △ABE 和Rt △CDE 中，∵AB ⊥BH ， CD ⊥BH ，∴CD//AB ，可证得：△ABE ∽△CDE ∴BDDE DEAB CD +=① 同理：BDGD HG HG AB FG ++=② 又CD ＝FG ＝1.7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+即BD BD +=+10533， 解之得：BD ＝7.5m将BD ＝7.5代入①得：AB=5.95m ≈6m 答：路灯杆AB 的高度约为6m21.(8分)证明：∵平分∠，∴.∵， ∴∥. ∴ ∠∠.又∠∠， ∴ ∠∠，得，∴. 又∥，得四边形是平行四边形. 又，∴ 四边形是菱形.22. (8分) 解：列表得：(1)点P (3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12种；(2)∵共有12种等可能的结果，其中在函数y =﹣x +5图象上的有4种，即：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)∴点P (x ，y )在函数y =﹣x +5图象上的概率为：P =．23.(10分)在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CD BD，∴CD＝x ·tan63.5°≈2x 海里．在Rt△ACD中，AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里，tan∠A＝CD AD∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°≈25( 60＋x )海里．∴()22605x x =+．解得，x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C 最近25.(12分)解：=，。
陕西省西安市莲湖区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
陕西省西安市莲湖区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题B．(7.2x-A．35B．二、填空题9．若m是一元二次方程x10．国庆假期，智慧（6）班的一项创造性设计作业有主学习”三个主题，若智慧（小诗和小语恰好选择同一个主题的概率是11．如图，在正方形ABCD2,6DG CH==，则正方形12．若关于x的一元二次方程等的实数根，则m的值为13．如图，四边形ABCD是正方形，三、解答题14．解方程：220x x -=．15．解方程：22530x x +-=．16．如图，在ABC 中，DE BC ∥，且4=AD ，6DB =，5EC =，求AE 的长．17．如图，ABC 为锐角三角形，请用尺规作图，在AC 上求作一点P ，使得BP 最短．18．如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥2EFC ABE ∠=∠．求证：四边形DBFE 是菱形．19．已知关于x 的一元二次方程()22120x m x -+-=．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根．(2)若方程的两个实数根12,x x 满足12121x x x x ++=，求m 的值．20．杭州亚运会吉祥物“琮琮”“连莲”和“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．三个吉祥物的设计灵感分别来自杭州的三大世界文化遗产——良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．小婷同学购买了一些杭州亚运会吉祥物，她想把其中的两只送给小琪和小雨同学，于是，她把“琮琮”“莲莲”和“宸宸”分别写在三张卡片上，三张卡片除了吉祥物的名字以外，其他全部相同，每张卡片被抽到的可能性相同，且每次抽出以后放回，将卡片洗匀继续抽取．请你用画树状图或列表的方法求出小琪和小雨同学抽到不同吉祥物的概率．21．如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，过点C 作CE OB ∥，且CE OB ，连接DE ．求证：四边形OCED 是矩形．22．国庆假期，小西和同学小婷去大唐不夜城玩，漂亮的团扇吸引了她们的注意力，团扇上不止有唯美的图案，更有古诗，她们喜欢的四把团扇上印的古诗分别是李白的《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》、《渡荆门送别》，杜甫的《春望》以及崔颢的《黄鹤楼》．因为都非常美，她们想通过随机抽选的方法来确定买哪个，具体方案如下：她们把四首古诗分别写在四张卡片的正面，记为A ，B ，C ，D （这四张卡片的背面都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀．(1)从中随机抽取一张，抽得的卡片所代表的古诗是《黄鹤楼》的概率是______．(2)若小西从这四张卡片中随机抽取一张，不放回，小婷再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的概率．23．情满月圆，举国同庆．为了让利顾客，某超市计划将进价是每千克16元的莆蛓在双节期间进行降价销售．经过统计分析发现，当售价为每千克26元时，每天可售出320千克．如果每千克每降价1元．那么每天的销售量将会增加80千克．如果超市每天想要获得销售利润3600元，又要尽可能让顾客得到更多实惠，葡萄的售价应为每千克多少元？。
西安市碑林区九年级上期中数学试卷含答案解析
2022-2023陕西省西安市碑林区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．比﹣1大1的数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣22．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．2a2+a=3a3B．（﹣a）2÷a=a C．（﹣a）3•a2=﹣a6 D．（2a2）3=6a64．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：55．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）8．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=5，AC=3，则tan∠BCD为（）A．B．C．D．9．如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，则S△BCE为（）A．1 B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4二、填空题11．一元二次方程x2﹣3x=0的根是．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣2，1）、B（1，3），将线段AB经过平移后得到线段A'B'．若点A的对应点为A'（﹣3，2），则点B的对应点B'的坐标是．B．比较8cos31°．（填“＞”、“=”或“＜”）13．如图，平行四边形ABCD中，A（﹣1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线y=（x＞0）上，边AD交y轴于点E，若点E恰好是AD的中点，则k=．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=6，BC=14，则四边形ABCD面积的最大值是．三、解答题15．计算：（1）sin260°+cos260°﹣tan45°；（2）|﹣|+﹣4cos45°+2sin30°．16．解方程：．17．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）18．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）回收的问卷数为份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为．（2）把条形统计图补充完整（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？19．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．20．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）21．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．22．四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；（2）随机地从盒子里抽取一张，将数字记为x，不放回再抽取第二张，将数字记为y，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点（x，y）在函数y=图象上的概率．23．如图，平面直角坐标系中，在四边形OABC中，BC∥OA，OC=AB，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P是x轴上一个动点，点P不与点O、A重合，连接CP，点D是边AB上一点，连接PD．（1）求点B的坐标；（2）若△OCP是等腰三角形，求此时点P的坐标；（3）当点P在边OA上，∠CPD=∠OAB，且=时，求此时点P的坐标．24．提出问题在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．探究问题（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，请你过点C画出△ABC的一条“等分积周线”，与AB交于点D，并求出CD的长；（2）如图②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中点E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；解决问题（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积，且要求这条水渠必须经过BC边．请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离．2022-2023陕西省西安市碑林区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．比﹣1大1的数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【考点】有理数的加法．【分析】根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：（﹣1）+1=0，故比﹣1大1的数是0，故选：C．2．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；故选：C．3．下列运算正确的是（）A．2a2+a=3a3B．（﹣a）2÷a=a C．（﹣a）3•a2=﹣a6 D．（2a2）3=6a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A、原式不能合并；B、原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果；C、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式不能合并，故A错误；B、原式=a2÷a=a，故B正确；C、原式=﹣a3•a2=﹣a5，故C错误；D、原式=8a6，故D错误．故选：B．4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5【考点】平行线分线段成比例．【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系．【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，∴AE：EC=3：2，∴AE：AC=3：5．故选：D．5．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，=|k|=2，∴S△AOB解得：k=±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．6．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：【考点】菱形的性质．【分析】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．【解答】解：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，∴AC：BD=1：．故选D．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）【考点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt △CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1，于是可写出C点坐标．【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，∴A点横坐标为2，当x=2时，y=x=2，∴A（2，2），∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，∴BC=BA=2，∠ABC=60°，∴∠CBH=30°，在Rt△CBH中，CH=BC=，BH=CH=3，OH=BH﹣OB=3﹣2=1，∴C（﹣1，）．故选：A．8．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=5，AC=3，则tan∠BCD为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】易证∠BCD=∠A，则求cos∠BCD的值就可以转化为求∠A的三角函数值．从而转化为求△ABC的边长的比．【解答】解：由勾股定理得，BC==4，由同角的余角相等知，∠BCD=∠A，∴tan∠BCD=tan∠A==，故选A．9．如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，则S△BCE为（）A．1 B．C．D．【考点】矩形的性质．【分析】根据题意可得出△BCD的面积占矩形BDFE的一半，再根据CD：BC=AB：AD=1：2可得出△BCE和△DCF的面积比，从而可求出S△BCE．【解答】解：由题意得：△BCD的面积占矩形BDFE的一半，∴S△BCD=1，∴S△BCE +S△CDF=1，又∵CD：BC=AB：AD=1：2，∴S△BCE ：S△CDF=4：1，故可得S△BCE=．故选D．10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】当∠BFE=∠B'FE，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即为所求．【解答】解：如图，当∠BFE=∠B'FE，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE==2，∴DB′=2﹣2．故选：A．二、填空题11．一元二次方程x2﹣3x=0的根是x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．【解答】解：x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣2，1）、B（1，3），将线段AB经过平移后得到线段A'B'．若点A的对应点为A'（﹣3，2），则点B的对应点B'的坐标是（0，4）．B．比较8cos31°＞．（填“＞”、“=”或“＜”）【考点】解直角三角形；实数大小比较；坐标与图形变化﹣平移．【分析】A、根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向左平移6个单位，向下平移了1个单位，然后可得B′点的坐标；B、分别求出8cos31°与的近似值，再比较即可．【解答】解：A、∵A（﹣2，1）平移后得到点A′的坐标为（﹣3，2），∴向左平移1个单位，向上平移了1个单位，∴B（1，3）的对应点坐标为（1﹣1，3+1），即B'（0，4）；B、解：∵8cos31°≈8×0.8572=6.8576，≈5.9161，∴8cos31°＞的．故答案为：（0，4），＞．13．如图，平行四边形ABCD中，A（﹣1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线y=（x＞0）上，边AD交y轴于点E，若点E恰好是AD的中点，则k=4．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【分析】设点D 的坐标为（m ，n ），根据平行四边形的性质结合点A 、B 、D 的坐标即可得出点C 的坐标为（m +1，n ﹣2），由点E 为线段AD 的中点可得出m=﹣1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k=n=2（n ﹣2），解之即可得出k 值．【解答】解：设点D 的坐标为（m ，n ），则点C 的坐标为（m +1，n ﹣2）， ∵边AD 交y 轴于点E ，点E 恰好是AD 的中点，∴m=1．∵k=mn=（m +1）（n ﹣2），即k=n=2（n ﹣2），解得：n=k=4．故答案为：4．14．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=6，BC=14，则四边形ABCD 面积的最大值是 100 ．【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】先判断出四边形ABCD 的面积等于三角形BDE 的面积，再求出BE ，最后判断出三角形BDE 是等腰直角三角形时，面积最大，用三角形的面积公式求出即可．【解答】解：如图，过D 作DE ∥AC ，交BC 延长线于E ．∴四边形ACED 为平行四边形，由等底同高的两三角形面积相等，得出S △ABD =S △DCE ，∴S 四边形ABCD =S △BDE ，∵AC ⊥BD ，∴△BDE 为直角三角形，∵AD=6，BC=14，∴BE=20．∵S 四边形ABCD =S △BDE ，∴当△BDE 为等腰直角三角形时，面积最大， ∴，故答案为100．三、解答题15．计算：（1）sin 260°+cos 260°﹣tan45°；（2）|﹣|+﹣4cos45°+2sin30°． 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=+﹣1=1﹣1=0；（2）原式=+2﹣2+1=．16．解方程：． 【考点】解分式方程．【分析】由x 2﹣4=（x +2）（x ﹣2），故本题的最简公分母是（x +2）（x ﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．【解答】解：方程两边都乘（x +2）（x ﹣2），得：（x ﹣2）2﹣（x 2﹣4）=3，解得：x=．检验：当x=时，（x+2）（x﹣2）≠0．∴x=是原方程的解．17．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—相似变换．【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．【解答】解：如图，AD为所作．18．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）回收的问卷数为120份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为30°．（2）把条形统计图补充完整（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用“从来不管”的问卷数除以其所占百分比求出回收的问卷总数；用“严加干涉”部分的问卷数除以问卷总数得出百分比，再乘以360°即可；（2）用问卷总数减去其他两个部分的问卷数，得到“稍加询问”的问卷数，进而补全条形统计图；（3）用“稍加询问”和“从来不管”两部分所占的百分比的和乘以1500即可得到结果．【解答】解：（1）回收的问卷数为：30÷25%=120（份），“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为：×360°=30°．故答案为：120，30°；（2）“稍加询问”的问卷数为：120﹣（30+10）=80（份），补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×=1375（人），则估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人．19．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF；（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠AFB，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，（2）解：∵AB=6，∴AF=6，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴===，∴．20．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可．【解答】解：∵∠C=30°，∠ADB=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=CD，∵CD=20米，∴AD=20米，在Rt△ADB中，=sin∠ADB，∴AB=AD×sin60°=20×=10米．21．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，b，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出结论；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．【解答】解：（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，1=﹣b+4，解得a=3，b=3，∴A（1，3），B（3，1）；点A（1，3）代入反比例函数y=得k=3，∴反比例函数的表达式y=；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x=，∴点P坐标（，0）．22．四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；（2）随机地从盒子里抽取一张，将数字记为x，不放回再抽取第二张，将数字记为y，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点（x，y）在函数y=图象上的概率．【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征；概率公式．【分析】（1）求出四张卡片中抽出一张为3的概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，得出点的坐标，判断在反比例图象上的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）根据题意得：随机地从盒子里抽取一张，抽到数字3的概率为；（2）列表如下：12341﹣﹣﹣（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）﹣﹣﹣（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）﹣﹣﹣（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）﹣﹣﹣所有等可能的情况数有12种，其中在反比例图象上的点有2种，则P==．23．如图，平面直角坐标系中，在四边形OABC中，BC∥OA，OC=AB，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P是x轴上一个动点，点P不与点O、A重合，连接CP，点D是边AB上一点，连接PD．（1）求点B的坐标；（2）若△OCP是等腰三角形，求此时点P的坐标；（3）当点P在边OA上，∠CPD=∠OAB，且=时，求此时点P的坐标．【考点】相似形综合题．【分析】（1）过B作BF⊥OA，判断出∠BAO=60°，进而求出AF=AB=2，BF=AF=2即可得出点B坐标，（2）分三种情况利用等边三角形的性质即可求出点P的坐标；（3）先判断出∠OCP=∠APB，进而得出△OPC∽△ADP，即，另为求出AD，最后用得出的比例式建立方程求出OP即可得出结论．【解答】（1）如图1，过B作BF⊥OA，∵∠COA=60°，OC=AB，∴∠BAO=60°，∵AB=4，∴AF=AB=2，BF=AF=2，∵AO=7，∴OF=5，∴，（2）①当OC=OP=4时，∴P（4，0），（﹣4，0）②当OC=CP=4时，∵∠COP=60°，∴△OCP是等边三角形，∴P（4，0），③当CP=OP时，∴∠OCP=∠COP=60°，∴△COP是等边三角形，∴∠P（4，0），即：满足条件的点P的坐标为（4，0），（﹣4，0）；（3）∵∠CPD=∠OAB=60°，∴∠COA=∠CPD=∠OAB，∵∠AOC+∠OCP=∠APD+∠DPC，∴∠OCP=∠APD，∴△OPC∽△ADP，∴，∴OP•AP=AD•OC，∵，∴，∴，∴OP•（7﹣OP）=6，∴OP2﹣7OP+6=0，∴OP1=1，OP2=6，∴P（1，0）P（6，0）．24．提出问题在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．探究问题（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，请你过点C画出△ABC的一条“等分积周线”，与AB交于点D，并求出CD的长；（2）如图②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中点E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；解决问题（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积，且要求这条水渠必须经过BC边．请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离．【考点】三角形综合题．【分析】（1）如图1中，过C作CD⊥AB．线段CD即为△ABC的“等分积周线”．根据直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长．（2）不能．当E为AB中点时，S△BCE=S△ACE，由BE=AE，AC≠BC，可知C△BCE≠C △ACE，所以CE不可能是△ABC的“等分积周线”．（3）如图3中，过D作DE⊥BC，则AB=DE=4，首先求出四边形ABCD的面积、周长，分三种情形讨论即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，过C作CD⊥AB．线段CD即为△ABC的“等分积周线”．∵∠ACB=90°，∠ABC=45°∴∠A=∠B=45°，∴CA=CB，∵CD⊥AB，∴AD=DB，∴CD=AB=2；（2）不能．理由：如图2中，当E为AB中点时，S△BCE =S△ACE，∵BE=AE，AC≠BC，∴C△BCE ≠C△ACE∴所以CE不可能是△ABC的“等分积周线”．（3）如图3中，过D作DE⊥BC，则AB=DE=4，∵CD=5， ∴CE=3， ∵BC=6， ∴BE=AD=3，∴S 四边形ABCD =18，C 四边形ABCD =18．①如图4中，当直线l 交AD 、BC 于M 、N ．设BN=x ，则AE=9﹣4﹣x=5﹣x ，S 四边形ABNM =（5﹣x +x ）•4=10≠9，不成立②如图5中，当直线l 交AB 、BC 于M 、N ．设BF=x ，BE=9﹣x ， 则S △BMM =•x （9﹣x ）=9，解得x=6或3（舍弃，此时BM ＞4）， ∴BF=6．③如图，当直线l交CD、BC于M、N．设CN=x，CM=9﹣x，作MH⊥BC于H，易知MH=（9﹣x），=•x•（9﹣x）=9，∴S△CMN∴2x2﹣18x+45=0，△=﹣36＜0，此种情形不存在．综上所述，水渠的位置如图7所示，此时水渠与BC边的交点到点B的距离是6．5月17日。
陕西 西安 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 3x 2−7=5y +1B. 53x − 3=12x 2+x C. 2x 2−7y −2=0D. 3x 2−5x +7=3x 2+6x −42. 已知ba =513，则a−ba +b 的值是（ ）A. 813B. 58C. 49D. 943. 把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）A.B.C.D.4. 把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（ ）A. 3−B. −1C. 1+D. 2− 5. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线相等的四边形是矩形C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形6. 已知（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）是反比例函数y =−4x 的图象上三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 1<0<y 2<y 3 B . y 1>0>y 2>y 3 C . y 1<0<y 3<y 2 D. y 1>0>y 3>y 27. 如图，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A. AE AC =DEBC B. ∠B =∠ADE C. AEAD =ACAB D. ∠C =∠AED8. 若关于x 的一元二次方程（k -1）x 2+2x -2=0有不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）A. k >12B. k ≥12C. k >12且k ≠1D. k ≥12且k ≠19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（）A. (2,2)B. (3,1)C. (3,2)D. (4,2)10.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有（）①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE=34AB2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.若（m-1）x m（m+2）-1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______ ．12.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．如图1，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30°，则∠E= ______ 度．B．如图，l1∥l2∥l3，AM=2，MB=3，CD=4.5，则ND= ______ ，CN= ______ ．13.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是______ ．14.已知双曲线y=kx 与直线y=14x相交于A、B两点，第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线的动点，过点B作BD∥于y轴于点D，过N（-，-n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，则直线CM的解析式为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.解方程：（1）2x2-4x-3=0（配方法）（2）x（x+2）=2+x．四、解答题（本大题共10小题，共72.0分）16.如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．17.为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，求未来两年年平均增长率是多少？18.已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF=∠AFE．19.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE的长；（2）如果DE：DF=2：5，AD=9，CF=14，求BE的长．20.已知正比例函数y1=ax（a≠0）与反比例函数y2=k（k≠0）的图象在第一象限内交于x点A（2，1）（1）求a，k的值；（2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接回答y1＞y2时x的取值范围．21.已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12-x22=0时，求m的值．22.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴．影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．23.小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．依据上述规则，解答下列问题：（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和为7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的小立方块，点数和：两枚骰子朝上的点数之和）24.如图，四边形是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．（1）求证：AE=BF；（2）如图，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明．25.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，与AB相交于点E，且点B（4，2）．的关系式；（1）求反比例函数y=kx（2）求四边形OAED的面积；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F，求直线GH的函数关重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，若GH=554系式．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是二元二次方程，故A不符合题意；B、是一元二次方程，故B符合题意；C、是二元二次方程，故C不符合题意；D、是一元一次方程，故D不符合题意；故选：B．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】C【解析】解：由=，得b=a．==，故选：C．根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=a是解题关键．3.【答案】A【解析】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．故选：A．根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．4.【答案】A【解析】解：把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为×2=-1，则较短线段的长为：2-（-1）=3-，故选：A．根据黄金比值是计算即可．本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，故错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意，故选D．利用菱形的判定定理、矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了矩形的判定、菱形的判定的知识，解题的关键是掌握两个特殊四边形的判定方法，难度不大．6.【答案】D【解析】解：∵k=-4＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，又∵（x2，y2），（x3，y3）是双曲线y=上的两点，且0＜x2＜x3，∴0＞y3＞y2，又∵x1＜0，故（x1，y1）在第二象限，y1＞0，∴y1＞0＞y3＞y2．故选D．根据反比例函数的增减性解答即可．在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分两点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．7.【答案】A【解析】解：（B）∵∠A=∠A，∠B=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，故B可以判断，（C）∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE，故C可以判断，（D）∵∠A=∠A，∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE，故D可以判断，故选（A）根据相似三角形的判定即可判断．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．8.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有不相等实数根，∴△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得k＞；且k-1≠0，即k≠1．故选：C．根据判别式的意义得到△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后解不等式即可．此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9.【答案】C【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，==，即=，=，解得，OB=3，CD=2，∴点C的坐标为（3，2），故选：C．根据位似图形的概念和性质列出比例式，求出OB、CD，求出点C的坐标．本题考查的是位似变换的性质、正方形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似形是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，且∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，又∵E、F分别是AB、AD的中点，∴DE⊥AB，BF⊥AD，∴∠GFA=∠GEA=90°，∴∠BGD=∠FGE=360°-∠A-∠GFA-∠GEA=120°，∴①正确；∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CDG=∠CBG=90°，在Rt△CDG和Rt△CBG中，，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴DG=BG，∠DCG=∠BCG=∠DCB=30°，∴DG=BG=CG，∴DG+BG=CG，∴②正确；在Rt△BDF中，BD为斜边，在Rt△CGB中，CG为斜边，且BD=BC，在Rt△CGB中，显然CG＞BC，即CG＞BD，∴△BDF和△CGB不可能全等，∴③不正确；∵△ABD为等边三角形，∴S△ABD=AB2，∴S△ADE=S△ABD=AB2，∴④不正确；综上可知正确的只有两个，故选B．由条件可判定△ABD为等边三角形，可得出DE⊥AB、BF⊥AD，可求得∠FGE，可判断①；由条件可证得△DCG≌△BCG，可判断②；在△BDF和△CGB中可得出BD≠CG，可判断③；由等边三角形的面积可知S△ABD=AB2可判断④．可得出答案．本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握菱形的四边相等、对边平行及等边三角形的性质是解题的关键．11.【答案】-3【解析】【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意，得m（m+2）-1=2且m-1≠0，解得m=-3，故答案为-3．12.【答案】15；2.7；1.8【解析】解：A．连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．B．解：∵l1∥l2∥l3，∴=，即=，∴CN=1.8，∴ND=4.5-1.8=2.7．故答案为2.7，1.8．A．连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数；B．根据平行线分线段成比例定理得到=，则可根据比例性质计算出CN，然后计算CD-CN得到DN．本题主要考查矩形性质，平行线分线段成比例，比例的性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．13.【答案】4【解析】解：由主视图可得有2列，根据左视图和俯视图可得每列的方块数如图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是2+1+1=4个．故答案为：4．根据主视图以及左视图可得出该小正方形共有两行搭成，俯视图可确定几何体中小正方形的列数，从而得出答案．本题考查了由三视图判断几何体，从不同方向观察，确定该几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键．14.【答案】y=23x+23【解析】解：设B点坐标为（x1，-），代入y=x得，-=x1，x1=-2n；∴B点坐标为（-2n，-）．因为BD∥y轴，所以C点坐标为（-2n，-n）．因为四边形ODCN的面积为2n•n=2n2，三角形ODB，三角形OEN的面积均为，四边形OBCE的面积为4．则有2n2-k=4---①；又因为2n•=k，即n2=k---②②代入①得，4=2k-k，解得k=4；则解析式为y=；又因为n2=4，故n=2或n=-2．M在第一象限，n＞0；将M（m，2）代入解析式y=，得m=2．故M点坐标为（2，2）；C（-4，-2）；设直线CM解析式为y=kx+b，则，解得∴一次函数解析式为：y=x+．故答案为：y=x+．根据一次函数和反比例函数的性质及点的坐标和解析式的关系解答．此题主要考查了待定系数法函数解析式以及一次函数与反比例函数交点的性质，根据四边形OBCE的面积为4得出k的值是解决问题的关键．15.【答案】解：（1）x2-2x=32，x2-2x+1=32+1，（x-1）2=52，x-1=±102，所以x1=1+102，x2=1-102；（2）x（x+2）-（x+2）=0，（x+2）（x-1）=0，、x+2=0或x-1=0，所以x1=-2，x2=1．【解析】（1）利用配方法得到（x-1）2=，然后利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x（x+2）-（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．16.【答案】证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D=90°．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解．考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．17.【答案】解：设年增长率为x，根据题意列方程得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=-2.1（不符合题意舍去）．答：未来两年年平均增长率是10%．【解析】此题可设年增长率为x，第一年为10（1+x）m2，那么第二年为10（1+x）（1+x）m2，列出一元二次方程解答即可．本题主要考查的是一元二次方程的应用，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．18.【答案】证明：（1）∵ABCD 是菱形，∴AB =AD ∠B =∠D ． 又∵BE =DF ， ∴△ABE ≌△ADF ．（2）∵△ABE ≌△ADF ， ∴AE =AF ，∴∠AEF =∠AFE ． 【解析】在菱形中，由SAS 求得△ABF ≌△ADF ，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE ． 本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．19.【答案】解：（1）∵AD ∥BE ∥CF ，∴DEDF =ABAC ，∵AB =6，BC =8，DF =21， ∴DE21=66+8，∴DE =9．（2）过点D 作DG ∥AC ，交BE 于点H ，交CF 于点G ，则CG =BH =AD =9， ∴GF =14-9=5， ∵HE ∥GF ， ∴HEGF =DEDF ，∵DE ：DF =2：5，GF =5， ∴HE5=25， ∴HE =2，∴BE =9+2=11． 【解析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB=6，BC=8，DF=21即可求出DE 的长．（2）过点D 作DG ∥AC ，交BE 于点H ，交CF 于点G ，运用比例关系求出HE 及HB 的长，然后即可得出BE 的长．本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．20.【答案】解：（1）将A（2，1）代入正比例函数解析式得：1=2a，即a=12，故y1=12x；将A（2，1）代入双曲线解析式得：1=k2，即k=2，故y2=2x；（2）如图所示：由图象可得：当y1＞y2时，-2＜x＜0或x＞2．【解析】（1）将A坐标代入双曲线解析式中，求出k的值，确定出反比例函数解析式，将A坐标代入一次函数解析式中，求出a的值，确定出一次函数解析式；（2）画出两函数图象，由函数图象，即可得到y1＞y2时x的取值范围．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法．21.【答案】解：（1）由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，解得m≤14，∴实数m的取值范围是m≤14；（2）由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1•x2=m2，由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m=12，∵1 2＞14，∴m=12不合题意，舍去，若x1-x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知m=14，故当x12-x22=0时，m=14．【解析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）由x12-x22=0得x1+x2=0或x1-x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．22.【答案】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4-4x2=1780×5×4，解得：x1=174（不符合，舍去），x2=14．答：配色条纹宽度为14米．（2）条纹造价：1780×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1-1780）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．【解析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的，列出方程求解即可；（2）根据总价=单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．∴P（点数和为2）=136．…（5分）（2）由表可以看出，点数和大于7的结果有15种．∴P（小轩胜小峰）=1536=512．…（8分）【解析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数和为2的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）根据（1）求得点数和大于7的情况，利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：（1）证明：∵DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F，∴BF⊥AG于点F，∴∠AED=∠BFA=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAF+∠EAD=90°，∵∠EAD+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△AFB和△DEA中，∠AED=∠BFA=90°∠BAF=∠ADEAB=AD，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）DF=CE且DF⊥CE．理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，∴∠FAD=∠EDC，∵△AFB≌△DEA，∴AF=DE，又∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，在△FAD和△EDC中，AF=DE∠FAD=∠EDC，AD=CD∴△FAD≌△EDC（SAS），∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，∴∠DCE+∠CDF=90°，∴DF⊥CE．【解析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质求出∠AED=∠BFA=90°，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF；（2）根据同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△FAD和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CE，全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠DCE，再求出∠DCF+∠CDF=90°，然后根据垂直的定义证明即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵B（4，2），点D为对角线OB的中点，∴D（2，1），∵点D在反比例函数y=k（k≠0）上，x∴k=2×1=2，∴反比例函数的关系式为：y=2；x，四边形OABC是矩形，B（4，2），（2）∵反比例函数的关系式为y=2x∴E（4，12），∴BE=2-12=3 2，∵D（2，1），∴S四边形OAED=S△OAB-S△BDE=12×4×2-12×32×2=4-32=52；（3）设点F（a，2），H（b，0），∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，∴2a=2，解得a=1，∴CF=1，连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2-t）2+12，解得t=54，∴OG=t=54，∴G（0，54），∵GH=554，∴OG2+OH2=GH2，即（54）2+b2=（554）2，解得b=52或b=-52（舍去），∴H（52，0）．设直线GH的解析式为y=kx+c（k≠0），∵G（0，54），H（52，0）．∴ 52k+c=0c=54，解得c=54k=−12，∴直线GH的解析式为y=-12x+54．【解析】（1）先根据点D为对角线OB的中点求出D点坐标，代入反比例函数y=即可得出结论；（2）根据（1）中反比例函数的解析式求出E点坐标，根据S四边形OAED=S△OAB-S△BDE即可得出结论；（3）连接GF，先求出F点的坐标，再由图形翻折变换的性质得出OG=GF，根据勾股定理求出GF的长，进而得出G点坐标，根据GH=，求出H点的坐标，利用待定系数法求出直线GH的函数关系式即可．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、勾股定理等知识，难度适中．。
2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区九年级上册期中数学试题(附答案)
2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区九年级上学期期中数学试题注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页．总分120分．考试时间120分钟．2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．3．清在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．4．作图时先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共24分）一、选择题（共8小题，何小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．方程25410x x +-=的二次项系数和一次项系数分别是（）A ．5和4B ．5和4-C ．5和1-D ．5和12．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法错误的是（）A ．当AB CD =时，四边形ABCD 是矩形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90BAD ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC 平分BAD ∠时，四边形ABCD 是菱形3．用配方法解方程2430x x -+=，下列配方正确的是（）A ．2(2)1x -=B ．2(2)1x +=C ．2(2)7x -=D ．2(2)4x -=4．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向向右平移1cm 得到正方形A B C D ''''，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（）A ．1cmB ．2cmC ．22cm 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(221)cm -5．一个人感染病毒后会感染一批人，我们称为第一轮传播，如果不加控制，这个人与第一批感染的人一起再感染下一批人，我们称为第二轮传播．某地一人感染病毒后经过两轮传播，被感染的总人数达到121人，设每轮传播中平均一个人会感染x 个人，则下列方程正确的是（）A ．12121x +=B ．21121x +=C ．21(1)121x x +++=D ．1(1)121x x x +++=6．已知1x ，2x 是一元二次方程2310x x +-=的两个实数根，则22212x x x +-的值是（）A ．4B ．1C ．2-D ．1-7．如图，菱形ABCD 的周长为8，E 是AC 的中点，//EF CB ，交AB 于点F ，那么EF 的长是（）A ．4B ．3C ．2D ．18．一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，多次重复该实验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则可判断袋子中黑球的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第二部分非选择题（共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．若关于x 的一元二次方程2(1)420k x x --+=有实数根，则k 的取值范围是__________．10．小华在如图所示的44⨯正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是__________．（第10题图）11．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系xOy 中，有一矩形OABC ，点B 的坐标是(1,3)，则AC 的长是__________．（第11题图）12．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，CAD ∠35=︒，则HOB ∠的度数是__________．（第12题图）13．如图，直线过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线的距离AE ，CF 分别为6和4，则正方形ABCD 的面积是__________．（第13题图）三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）用适当的方法解方程：2(3)3(3)40x x +++-=．15．（5分）小明在用公式法解方程251x x -=时出现了错误，解答过程如下：1a = ，5b =-，1c =．（第一步）224(5)41121b ac ∴-=--⨯⨯=．（第二步）52x ∴=．（第三步）152x ∴=，252x =．（第四步）（1）小明的解答过程是从第__________步开始出错的，其错误原因是__________；（2）请你写出此题正确的解答过程．16．（5分）如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且CE CF =．求证：AE AF =．17．（5分）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相等的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，垂直于墙的边长度不超过6米（围栏宽忽略不计）．（1）若每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园各边的长度；（2）每个生态园的面积能不能达到108平方米？18．（5分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，BE CF =，连接AF ，DE 交于点G ．求证：AF DE ⊥．19．（5分）果农张远原计划以每千克4元的单价销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张远为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克2.56元的单价销售．（1）求平均每次下调价格的百分率；（2）若张远第一次下调价格后卖出3吨该水果，第二次下调价格后又卖出2吨该水果，张远共获得销售款多少元？20．（5分）已知关于x 的方程250x ax a ++-=．（1）若该方程的一个根为3，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．（6分）在“双减”政策下，某学校在课后延时服务中开设了A ．轮滑；B ．足球；C ．书法；D ．音乐鉴赏四门课程供学生选择，每门课程被选择的机会均等，若小红和小明两位学生计划各选择一门课程学习．（1）小红选择足球的概率是__________；（2）请你用画树状图或列表的方法，求两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率．22．（7分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．过点A 作//AE BD ，过点D 作DE //AC 交AE 于点E ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若2AB =，60ABC ∠=︒，求四边形AODE 的面积．23．（7分）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，过点B 作BG AE ⊥，垂足为点G ，延长BG 交CD 于点F ，连接AF ．（1）求证：BE CF =；（2）若正方形ABCD 的边长是5，2BE =，求AF 的长．24．（8分）如图所示，在ABC △中，90ACB ∠=︒，50cm AB =，40cm AC =，点P 从点C 开始沿CA 边向点A 以4cm /s 的速度运动，同时，另一点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3cm /s 的速度运动．（1）几秒后，PQ 的长度是15cm ？（2）几秒后，PCQ △的面积是ABC △面积的14？25．（8分）如图，在ABCD 中，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接BD 、CE ．（1）若6BD =，求CE 的长；（2）若ADB A ∠=∠，请判断四边形DBEC 的形状，并说明理由．26．（10分）杭州亚运会期间，各类吉祥物玩偶摆件在市场上热销，俊俊决定购进“吉祥物毛线玩具”与“吉祥物金属摆件”两种款式在自家网店销售，已知一件“吉祥物金属摆件”的进价比一件“吉祥物毛线玩具”多20元，6400元购进的“吉祥物毛线玩具”数量是4000元购进的“吉祥物金属摆件”的两倍．（1）每件“吉祥物毛线玩具”与“吉祥物金属摆件”的进价各是多少元？（2）俊俊通过第一个月的销售数据发现，将“吉祥物毛线元具”定价150元销售时，每周可售出10个，销售单价每降价5元，每周销售量可增加1个，若俊俊希望一周销售“吉祥物毛线玩具”获得720元的销售利润，则“吉祥物毛线玩具”应如何定价？九年级数学参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．A2．A3．A4．C5．D6．A7．D8．A二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．3k ≤且1k ≠10．5161112．70︒13．52三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）解：2(3)3(3)40x x +++-=29140x x ++=分解因式得(2)(7)0x x ++=12x ∴=-，27x =-．15．（5分）解：（1）小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．故答案为：一，方程没有化成一般式；（2）方程化为2510x x --=1a = ，5b =-，1c =-，224(5)41(1)29b ac ∴-=--⨯⨯-=52x ±∴=．152x ∴=，252x =．16．（5分）证明： 四边形ABCD 是菱形，AB AD BC CD ∴===，B D∠=∠CE CF = ，BC CE CD CF ∴-=-，即BE DF=在ABE △和ADF △中，,AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE ADF ∴≌△△，AE AF ∴=．17．（5分）解：（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意得(33 1.523)482x x +⨯-=⨯整理，得：212320x x -+=，解得：14x =，28x =（不合题意，舍去），当4x =时，33 1.523363424x +⨯-=-⨯=，24212∴÷=．即每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；（2）由（1）及题意可知，(33 1.523)1082x x +⨯-=⨯，整理得：212720x x -+=224(12)41721440b ac ∆=-=--⨯⨯=-< ，∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．18．（5分）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC CB ∴==，90ADF DCE ∠=∠=︒，CF BE = ，CD CF CB BE ∴-=-，即DF CE =，(SAS)ADF DCE ∴≌△△，DAF CDE ∴∠=∠，由90DAF DFA ∠+∠=︒，可得90CDE DFA ∠+∠=︒，90DGF ∴∠=︒，AF DE ∴⊥．19．（5分）解：（1）设平均每次下调价格的百分率是x ，由题意得24(1) 2.56x -=解得：10.2x =，2 1.8x =（不合题意，舍去）即平均每次下调价格的百分率是20%；（2）4(10.2)3000 2.5620009600512014720⨯-⨯+⨯=+=（元）．即张远共获得销售款14720元．20．（5分）（1）解：将3x =代入方程250x ax a ++-=可得9350a a ++-=，解得：1a =-；∴原方程为260x x --=，设另一根为1x ，则136x =-，解得12x =-，即方程的另一根为2-；（2）证明：22241(5)420(2)160a a a a a ∆=-⨯⨯-=-+=-+> ，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．（6分）解：（1） 四门课程中每门课程被选择的机会均等，∴小红选择足球的概率是14．故答案为：14；（2）画树状图如下：小红小明由图可知，共有16种等可能的情况，其中两人恰好同时选择体育运动的情况有4种，41164P ==因此两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为14．22．（7分）（1）证明：//AE BD ，//DE AC ，∴四边形AODE 是平行四边形， 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，90AOD ∴∠=︒，∴平行四边形AODE 是矩形；（2）解： 四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，OB OD =，AC BD ⊥，AB BC =，60ABC ∠=︒ ，ABC ∴△是等边三角形，2AC AB ==，112OA AC ∴==，OD OB ===由（1）可知，四边形AODE 是矩形，AODE S OA OD =⋅=矩形23．（7分）（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，BG AE ⊥ ，90BGE ∴∠=︒，90AEB EBG ∴∠+∠=︒，BAE EBG ∴∠=∠，(ASA)ABE BCF ∴≌△△，BE CF ∴=；（2）解： 正方形ABCD 的边长是5，5AD CD ∴==，2BE = ，∴由（1）得2CF BE ==，523DF CD CF ∴=-=-=，在Rt ADF △中，由勾股定理得：AF ===．24．（8分）解：（1）假设秒后PQ 长度是15cm ，4cm CP t ∴=，3cm CQ t =90ACB ∠=︒ ，222PQ CP CQ ∴=+，22215(4)(3)t t ∴=+解得：3t =或3t =-（舍去）即3秒后，PQ 的长度是15cm ；（2）90ACB ∠=︒ ，50cm AB =，40cmAC =30cm BC ∴===，214030600cm 2ABC S ∴=⨯⨯=△设x 秒后，PCQ △的面积是ABC △面积的144cm PC x = ，3cm CQ x =，214362PCQ S x x x ∴=⋅⋅=△依题意得14PCQ ABC S S =△△，即2166004x =⨯，解得：5x =或5x =-（舍去）即5秒后，PCQ △的面积是ABC △面积的14．25．（8分）解：（1） 四边形ABCD 是平行四边形，//DC AB ∴，DC AB =，BE AB = ，DC BE ∴=，//DC AB ，且点E 在AB 的延长线上，//DC BE ∴，∴四边形DBEC 是平行四边形，6BD = ，6CE DB ∴==；（2）四边形DBEC 是菱形，理由如下：由（1）知，四边形DBEC 是平行四边形，A ADB ∠=∠ ，AB DB ∴=，BE AB = ，DB BE ∴=，//DC AB ，且点E 在AB 的延长线上，//DC BE ∴，∴四边形DBEC 是平行四边形，6BD = ，6CE DB ∴==；（2）四边形DBEC 是菱形，理由如下：由（1）知，四边形DBEC 是平行四边形，A ADB ∠=∠ ，AB DB ∴=，BE AB = ，DB BE ∴=，∴平行四边形DBEC 是菱形．26．（10分）解：（1）设每件“吉祥物毛线玩具”的进价是x 元，每件“吉祥物金属摆件”的进价是(20)x +元，64004000220x x =⨯+，解得：80x =，经检验，80x =是原方程的解，且符合题意20100x +=（元）即每件“吉祥物毛线玩具”的进价是80元，每件“吉祥物金属摆件”的进价是100元；（2）设每件“吉祥物毛线玩具”降价y 元，(15080)107205y y ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，解得：1210y y ==．15010140-=（元）即“吉祥物毛线玩具”应定价为每件140元．。
2021-2022学年-有答案-陕西省西安市某校九年级(上)期中数学试卷
2021-2022学年陕西省西安市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线互相垂直平分2. 用配方法解一元二次方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是（）A.(x+2)2=2B.(x−2)2=−2C.(x−2)2=2D.(x−2)2=63. 若a2=b3=c4≠0，则2a−b+c2a=()A.45B.54C.34D.无法确定4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC 的面积为()A.8B.12C.14D.165. 如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A.5或6B.5或7C.4或5或6D.5或6或76. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A.3:1B.4:1C.5:1D.6:17. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∼△ACB，添加一个条件，不正确的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB =ABACD.ABBP=ACCB8. 已知如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论中正确的是（）A.AB2＝AC2+BC2B.BC2＝AC⋅BAC.BCAC =√5−12D.ACBC=√5−129. 关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A.2B.1C.0D.−110. 如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=kx 图象交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF // CD；③△DCE≅△CDF；④AC=BD；其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每题3分，共12分）已知关于x的方程x2+3x−m=0的一个根为x=−3，则它的另一个根是________．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(6, 8)，B(7, 0)，C(7, 8)以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为________．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为________．如图，一次函数y＝k1x+b的图象过点A(0, 4)且与反比例函数y＝(x>0)的图象相交于B、C两点．若BC＝2AB，则k1k2的值为________．三、解答题（共78分）解一元二次方程：（1）(x−5)2−16＝0；（2）x2−4x+1＝0．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若AO=3，∠OBC=30∘，求矩形的周长和面积．嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如下图所示．（1）试写出这个函数的表达式；（2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？（3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？如图，两幅图片中竹竿的影子是在太阳光下形成的，还是在灯光下形成的？请你画出两图中小树的影子．如图，AB⋅AE=AD⋅AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∼△ADE．已知：如图，四边形ABCD中，AD // BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA= EC．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE=BC，且∠CBE:∠BCE=2:3，求证：四边形ABCD是正方形．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀在摸球．（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，求路灯A的高度AB？一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=k的图象相交，其中一个交点的横x坐标是2．(1)求反比例函数的表达式；(2)将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标；在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP⋅AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45∘，∠A＝∠BMP＝60∘，直接写出BP的长．参考答案与试题解析2021-2022学年陕西省西安市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.【答案】C【考点】正方形的性质矩形的性质线段垂直平分线的性质菱形的性质平行四边形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】解一元二次方程-配方法【解析】移项，配方（方程两边都加上4），即可得出选项．【解答】解：x2−4x+2=0，x2−4x=−2，x2−4x+4=−2+4，(x−2)2=2，故选C．3.【答案】B【考点】比例的性质【解析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入算式进行计算即可求解．【解答】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，∴2a−b+c2a =2×2k−3k+4k2×2k=54．故选B．4.【答案】D【考点】相似三角形的性质与判定三角形中位线定理【解析】直接利用三角形中位线定理得出DE // BC，DE=12BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE // BC，DE=12BC，∴△ADE∼△ABC.∵DEBC =12，∴S△ADES△ABC =14.∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为16.故选D.5.【答案】D【考点】由三视图判断几何体【解析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．【解答】由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．6.【答案】C【考点】菱形的性质含30度角的直角三角形根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．【解答】解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30∘，相邻的角为150∘，则该菱形两邻角度数比为5:1．故选C．7.【答案】D【考点】相似三角形的判定【解析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A，当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∼△ACB，故此选项不符合题意；B，当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∼△ACB，故此选项不符合题意；C，当APAB =ABAC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∼△ACB，故此选项不符合题意；D，无法得到△ABP∼△ACB，故此选项符合题意．故选D.8.【答案】C【考点】黄金分割【解析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(√5−12)叫做黄金比．【解答】根据黄金分割的定义可知：BCAC =√5−12．9.【答案】C【考点】根的判别式根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．【解答】解：根据题意得：Δ=4−12(a−1)≥0，且a−1≠0，解得：a≤43且a≠1，则整数a的最大值为0．故选C.10.【答案】C【考点】反比例函数综合题【解析】设点D的坐标为(x, kx )，则F(x, 0)，根据三角形面积公式得到S△DFE=S△CEF=12k，再根据面积相等的两个三角形若同底，则它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD // EF；要判断△DCE≅△CDF，则四边形CEFD为等腰梯形，△OAB为等腰直角三角形，而a的值不确定，所以△DCE和△CDF不一定全等；易得四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，则AC=EF=BD，所以BD=AC．【解答】解：设点D的坐标为(x, kx)，则F(x, 0)．∵由函数的图象可知：x>0，k>0．∴S△DFE=12DF⋅OF=12⋅kx⋅x=12k，同理可得S△CEF=12k，∴S△DEF=S△CEF，所以①正确；∴CD // EF，所以②正确；∵a、b的值不能确定，∴无法确定△OAB为等腰直角三角形，∴无法判断四边形CEFD为等腰梯形，∴不能判断△DCE≅△CDF，所以③错误；∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC=EF=BD，∴BD=AC，所以④正确；故选C．二、填空题（每题3分，共12分）【答案】【考点】根与系数的关系设方程的另一个解是n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．【解答】解：设另一个根为x2，由根与系数的关系得−3+x2=−3，解得x2=0，所以另一个根是x=0.故答案为：x=0.【答案】(3, 4)或(−3, −4)【考点】坐标与图形性质位似变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2【考点】轴对称——最短路线问题正方形的性质【解析】作以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，依据PM−PN＝PM−PN′≤MN′，可得当P，M，N′三点共线时，取“＝”，再求得CMBM =CN′AN′=13，即可得出PM // AB // CD，∠CMN′＝90∘，再根据△N′CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN′＝2．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，根据轴对称性质可知，PN=PN′，∴PM−PN=PM−PN′≤MN′，当P，M，N′三点共线时，PM−PN取最大值MN′，∵正方形边长为8，∴AC=√2AB=8√2，∵O为AC中点，∴AO=OC=4√2，∵N为OA中点，∴ON=2√2，∴ON′=CN′=2√2，∴AN′=6√2，∵BM=6，∴CM=AB−BM=8−6=2，∴CMBM =CN′AN′=13，∴PM // AB // CD，∠CMN′=90∘，∵∠N′CM=45∘，∴△N′CM为等腰直角三角形，∴CM=MN′=2，即PM−PN的最大值为2.故答案为：2.【答案】−3【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共78分）【答案】∵(x−5)2−16＝6，∴(x−5)2＝16，则x−5＝4或x−5＝−8，解得x1＝9，x8＝1；∵x2−4x+1＝0，∴x8−4x＝−1，则x7−4x+4＝−6+4，即(x−2)8＝3，∴x−2＝±，∴x1＝2+，x2＝2−．【考点】解一元二次方程-配方法解一元二次方程-直接开平方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，∴∠ABC=90∘，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，AC=3，∴AB=12由勾股定理得：BC=3√3，∴AB=DC=3，AD=BC=3√3，∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6√3，矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3√3=9√3．【考点】矩形的性质勾股定理含30度角的直角三角形【解析】根据矩形的性质得出∠ABC=90∘，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC= BD，求出AC=BD=2AO=6，OB=OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，∴∠ABC=90∘，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，AC=3，∴AB=12由勾股定理得：BC=3√3，∴AB=DC=3，AD=BC=3√3，∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6√3，矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3√3=9√3．【答案】，解：（1）设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P=kV∵图象过点(1.6, 60)∴k=96；即P=96V（2）当V=2m3时，P=48(m)；（3）当P>120KPa时，气球将爆炸，≤120，∴P≤120，即96V∴V≥0.8．∴气球的体积应大于等于0.8 m3．【考点】反比例函数的应用一元一次不等式的运用【解析】（1）根据气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，且过点(1.6, 60)故P⋅V=96；（2）把V=2代入（1）中的函数关系式求p即可；（3）依题意P≤120，解不等式即可，可判断V≥45．【解答】解：（1）设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P=kV，∵图象过点(1.6, 60)∴k=96即P=96V；（2）当V=2m3时，P=48(m)；（3）当P>120KPa时，气球将爆炸，∴P≤120，即96V≤120，∴V≥0.8．∴气球的体积应大于等于0.8 m3．【答案】图①是灯泡光线形成的，图②是太阳光线形成的【考点】平行投影中心投影【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：如图，∵AB⋅AE=AD⋅AC，∴ABAD =ACAE．又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，∴△ABC∼△ADE．【考点】相似三角形的判定【解析】由已知条件得到：∠BAC=∠DAE，ABAD =ACAE．则由“两边及夹角法”证得结论．【解答】证明：如图，∵AB⋅AE=AD⋅AC，∴ABAD =ACAE．又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，∴△ABC∼△ADE．【答案】证明：(1)在△ADE与△CDE中，{AD=CD，DE=DE，EA=EC，∴△ADE≅△CDE(SSS)，∴∠ADE=∠CDE.∵AD // BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD.∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形.(2)∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE:∠BCE=2:3，∴∠CBE=180∘×22+3+3=45∘，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45∘，∴∠ABC=90∘，∴四边形ABCD是正方形．【考点】全等三角形的性质与判定正方形的判定菱形的判定菱形的性质【解析】（1）首先证得△ADE≅△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD // BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD 是菱形；（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×14=45∘，易得∠ABE=45∘，可得∠ABC=90∘，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．【解答】证明：(1)在△ADE与△CDE中，{AD=CD，DE=DE，EA=EC，∴△ADE≅△CDE(SSS)，∴∠ADE=∠CDE.∵AD // BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD.∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形.(2)∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE:∠BCE=2:3，∴∠CBE=180∘×22+3+3=45∘，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45∘，∴∠ABC=90∘，∴四边形ABCD是正方形．【答案】从中任取一个球，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率＝；画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的结果数为5，所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率＝＝．【考点】列表法与树状图法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：如图，∵王华的身高王华的影长=路灯的高度路灯的影长，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD =CGAB，当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF =EHAB=CGAB，∴CDBD =EFBF，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴1y+1=2y+5，解得：y=3，经检验y=3是原方程的根．∵CDBD =CGAB，即1.5x=14，解得x=6米．即路灯A的高度AB=6米．【考点】相似三角形的应用【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．【解答】∵王华的身高王华的影长=路灯的高度路灯的影长，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD =CGAB，当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF =EHAB=CGAB，∴CDBD =EFBF，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴1y+1=2y+5，解得：y=3，经检验y=3是原方程的根．∵CDBD =CGAB，即1.5x=14，解得x=6米．即路灯A的高度AB=6米．【答案】将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+；根据题意得：(4−2−x)(100+200x)＝300，解得：x1＝，x2＝5，当x＝时，销售量是100+200×；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝7．答：水果店需将每斤的售价降低1元．【考点】一元二次方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答解：(1)将x =2代入y =x +1， 得y =3，故其一个交点的坐标为(2, 3)， 将(2, 3)代入反比例函数表达式， 得：k =2×3=6，故反比例函数表达式为：y =6x .(2)一次函数y =x +1的图象向下平移2个单位， 得到y =x −1，联立{y =6x ，y =x −1，解得：{x =−2，y =−3， 或{x =3，y =2，故交点坐标为(−2, −3)或(3, 2).(3)设一次函数的表达式为：y =kx +5， 联立{y =6x ，y =kx +5，整理得：kx 2+5x −6=0， ∵ 两个函数没有公共点， 故Δ=25+24k <0， 解得：k <−2524，故可以取k =−2，故一次函数表达式为：y =−2x +5． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数与一次函数的综合 【解析】（1）将x ＝2代入y ＝x +1＝3，故其中交点的坐标为(2, 3)，将(2, 3)代入反比例函数表达式，即可求解；（2）一次函数y ＝x +1的图象向下平移2个单位得到y ＝x −1②，联立①②即可求解； （3）设一次函数的表达式为：y ＝kx +5③，联立①③并整理得：kx 2+5x −6−0，则△＝25+24k <0，解得：k <−2524，即可求解． 【解答】解：(1)将x =2代入y =x +1， 得y =3，故其一个交点的坐标为(2, 3)， 将(2, 3)代入反比例函数表达式， 得：k =2×3=6，故反比例函数表达式为：y =6x .(2)一次函数y =x +1的图象向下平移2个单位， 得到y =x −1，联立{y =6x ，y =x −1，解得：{x =−2，y =−3， 或{x =3，y =2，故交点坐标为(−2, −3)或(3, 2).(3)设一次函数的表达式为：y =kx +5， 联立{y =6x ，y =kx +5，整理得：kx 2+5x −6=0， ∵ 两个函数没有公共点， 故Δ=25+24k <0， 解得：k <−2524，故可以取k =−2，故一次函数表达式为：y =−2x +5． 【答案】∵ ∠ACP ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴ △ACP ∽△ABC ， ∴ ACAP =ABAC ， ∴ AC 2＝AP ⋅AB ；①取AP 在中点G ，连接MG ，设AG ＝x ，则PG ＝x ，BG ＝3−x ， ∵ M 是PC 的中点， ∴ MG // AC ， ∴ ∠BGM ＝∠A ， ∵ ∠ACP ＝∠PBM ， ∴ △APC ∽△GMB ， ∴ APGM =ACBG ， 即2x 1=23−x，∴ x =3±√52， ∵ AB ＝3， ∴ AP ＝3−√5， ∴ PB =√5；②过C 作CH ⊥AB 于H ，延长AB 到E ，使BE ＝BP ，设BP ＝x ．∵ ∠ABC ＝45∘，∠A ＝60∘， ∴ CH =√3，HE =√3+x ， ∵ CE 2＝(√3)2+(√3+x)2， ∵ PB ＝BE ，PM ＝CM ， ∴ BM // CE ，∴ ∠PMB ＝∠PCE ＝60∘＝∠A ， ∵ ∠E ＝∠E ，∴△ECP∽△EAC，∴CEEP =AECE，∴CE2＝EP⋅EA，∴3+3+x2+2√3x＝2x(x+√3+1)，∴x=√7−1，∴PB=√7−1．【考点】相似三角形综合题【解析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝3−x，根据三角形的中位线的性质得到MG // AC，由平行线的性质得到∠BGM＝∠A，∵∠根据相似三角形的性质得到2x1=23−x，求得x=3±√52，即可得到结论；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP解直角三角形得到CH=√3，HE=√3+x，根据勾股定理得到CE2＝(√3)2+(√3+x)2根据相似三角形的性质得到CE2＝EP⋅EA列方程即可得到结论．【解答】∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴ACAP =ABAC，∴AC2＝AP⋅AB；①取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝3−x，∵M是PC的中点，∴MG // AC，∴∠BGM＝∠A，∵∠ACP＝∠PBM，∴△APC∽△GMB，∴APGM =ACBG，试卷第21页，总22页即2x1=23−x，∴x=3±√52，∵AB＝3，∴AP＝3−√5，∴PB=√5；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，设BP＝x．∵∠ABC＝45∘，∠A＝60∘，∴CH=√3，HE=√3+x，∵CE2＝(√3)2+(√3+x)2，∵PB＝BE，PM＝CM，∴BM // CE，∴∠PMB＝∠PCE＝60∘＝∠A，∵∠E＝∠E，∴△ECP∽△EAC，∴CEEP =AECE，∴CE2＝EP⋅EA，∴3+3+x2+2√3x＝2x(x+√3+1)，∴x=√7−1，∴PB=√7−1．试卷第22页，总22页。
陕西省西安市2023-—2024学年上学期九年级期中考试数学试卷(文字版有答案解析)
2023-2024学年陕西省西安市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（ ）A．﹣2B．﹣4C．0D．42．（3分）下列各组图形中，不一定相似的是（ ）A．任意两个等腰直角三角形B．任意两个等边三角形C．任意两个矩形D．任意两个正方形3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，不断重复这一过程，共摸了100次球（ ）个白球．A．12B．8C．6D．44．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，则BP＝（ ）A．8B．6C．4D．25．（3分）若α，β是x2﹣2x﹣4＝0的两根，则α2+β2的值是（ ）A．﹣4B．4C．10D．126．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）A．（0，﹣2）B．（0，﹣1.5）C．（0，﹣1）D．（﹣2，0）7．（3分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，下面列出的方程中符合题意的是（ ）A．（x﹣3）（10﹣x）＝40B．（x+3）（10﹣x）＝40C．（x﹣3）（10+x）＝40D．（x+3）（10+x）＝408．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BE⊥AC于点E．若CE＝3AE＝6，则边AD 的长是（ ）A．B．C．D．6二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，c＝3，则d的长为 ．10．（3分）方程x2＝16的解为 ．11．（3分）如图，已知，请再添加一个条件，你添加的条件是 （写出一个即可）．12．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，且分别标有数字，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），则两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率是 ．13．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD 的中点，则GH的最小值为 ．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：（x﹣1）2＝2x（1﹣x）15．（5分）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D16．（5分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，∠OAB＝45°，求证：四边形ABCD 是正方形．17．（5分）已知m，n是方程t2﹣3t﹣5＝0的两个实数根，求m2+mn+3n的值．18．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．19．（5分）某县为创评“全国文明城市”称号，周末团县委组织志愿者进行宣传活动．班主任周老师决定从4名女班干部（小兰，小红，小丽和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，洗匀后放在桌面上，周老师先从中随机抽取一张卡片，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．（1）第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为 ；（2）用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小丽被抽中”的概率．20．（5分）如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，如果＝，求．21．（6分）设一元二次方程4x2+bx+c＝0在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，c＝1；②b＝5；③b＝﹣3，c＝﹣1，c＝1．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．22．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝223．（7分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商7至9月份统计，该品牌电动自行车7月份销售150辆，9月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车这两个月销售量的月均增长率；（2）假设每月的增长率相同，预计10月份的销量会达到300辆吗？24．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，作PF∥BC交CD于点F．（1）证明：△BPE∽△PDF；（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时25．（8分）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），AC＝1米，AG＝8米（DF⊥EF），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米26．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形ABCD中，BC＝3，AB＝4【观察与猜想】（1）如图1，连接AE，交BC于点F，连接AF；【类比探究】（2）如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交BC于点F；【拓展延伸】（3）如图3，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交AB于点F，且△PEF的面积是2.16，求AP的长．2023-2024学年陕西省西安市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（ ）A．﹣2B．﹣4C．0D．4【答案】B【分析】把x＝2代入一元二次方程得4+2b﹣b＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣b＝5得4+2b﹣b＝4，解得b＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（3分）下列各组图形中，不一定相似的是（ ）A．任意两个等腰直角三角形B．任意两个等边三角形C．任意两个矩形D．任意两个正方形【答案】C【分析】对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A．所有的等腰直角三角形对应边成比例，一定相似；B．所有的等边三角形对应边成比例，一定相似；C．所有的矩形，对应角一定相等，故本选项符合题意；D．所有的正方形对应边成比例，一定相似．故选：C．【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，不断重复这一过程，共摸了100次球（ ）个白球．A．12B．8C．6D．4【答案】B【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．【解答】解：根据题意得：20×＝8（个），答：估计这个口袋中有8个白球．故选：B．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．4．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，则BP＝（ ）A．8B．6C．4D．2【答案】C【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝8，然后利用直角三角形斜边上的中线可得BP＝AD＝4，即可解答．【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC＝8，∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点，∴BP＝AD＝4，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．（3分）若α，β是x2﹣2x﹣4＝0的两根，则α2+β2的值是（ ）A．﹣4B．4C．10D．12【答案】D【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣5，∴α2+β2＝（α+β）6﹣2αβ＝4+4＝12；故选：D．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）A．（0，﹣2）B．（0，﹣1.5）C．（0，﹣1）D．（﹣2，0）【答案】见试题解答内容【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（2，3），∴OD＝2，AD＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC＝＝，∴C（6，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据菱形的性质得到CD ＝AD＝3．7．（3分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，下面列出的方程中符合题意的是（ ）A．（x﹣3）（10﹣x）＝40B．（x+3）（10﹣x）＝40C．（x﹣3）（10+x）＝40D．（x+3）（10+x）＝40【答案】B【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（10﹣x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝每盆的总盈利即可得出方程．【解答】解：由题意得：（x+3）（10﹣x）＝40，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BE⊥AC于点E．若CE＝3AE＝6，则边AD 的长是（ ）A．B．C．D．6【答案】C【分析】根据矩形性质和BE⊥AC，可证得：△ABE∽△ACB，由对应线段成比例即可求得AB的值，最后根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵矩形ABCD，BE⊥AC，∴∠ABC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠BAE＝∠CBE，∴△ABE∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AC•AE，∵CE＝3AE＝6，∴AC＝BD＝AE+EC＝2+6＝8，∴AB2＝16，∴AB＝4 或者AB＝﹣2 （舍），∴AB＝4，∴AD＝＝＝4．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，c＝3，则d的长为 6 ．【答案】6．【分析】根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a＝2，b＝4，c＝3代入进行计算即可．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，b＝4，∴2：5＝3：d，∴d＝＝6，故答案为：2．【点评】本题考查了比例线段的定义，解题的关键是掌握若四条线段a，b，c，d有a：b ＝c：d，那么就说这四条线段成比例．10．（3分）方程x2＝16的解为 x1＝4，x2＝﹣4 ．【答案】见试题解答内容【分析】利用直接开平方法解方程．【解答】解：x＝±4，所以x1＝7，x2＝﹣4．故答案为x2＝4，x2＝﹣6．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．11．（3分）如图，已知，请再添加一个条件，你添加的条件是 或∠BAC ＝∠CAD （写出一个即可）．【答案】或∠BAC＝∠CAD．【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【解答】解：添加，∵，∴△ABC∽△ACD；添加∠BAC＝∠CAD，∵，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD；故答案为：或∠BAC＝∠CAD．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．12．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，且分别标有数字，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），则两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率是 ．【答案】．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果，其中两个指针所指区域的数字之积为偶数的结果数为4种，所以两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B 的概率．13．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD 的中点，则GH的最小值为 1 ．【答案】1．【分析】连接CG，根据正方形的性质易证△ADE≌△CDG（SAS），进一步可得∠DCG ＝∠DAC＝45°，可知点G的运动轨迹，根据垂线段最短即可求出GH的最小值．【解答】解：连接CG，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAC＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，∵AB＝2，H是CD的中点，∴HC＝，当HG⊥CG时，GH最小×＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了正方形的性质，涉及点的运动轨迹，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，构造全等三角形是解题的关键．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：（x﹣1）2＝2x（1﹣x）【答案】见试题解答内容【分析】原方程移项变形后，左边利用提公因式法转化为两个因式乘积的形式，右边为0，然后利用两因式乘以为0，至少有一个因式为0，把原方程转化为两个一元一次方程，求出两方程的解即可得到原方程的根．【解答】解：移项得：（x﹣1）2+8x（x﹣1）＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣1+2x）＝7，即x﹣1＝0或3x﹣1＝0，解得：x2＝1，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，用因式分解法解题时，方程左边化为两个因式乘积的形式，右边为0，然后利用两因式乘以为0，至少有一个因式为0，把原方程转化为两个一元一次方程来求解．15．（5分）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D【答案】见试题解答内容【分析】根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出∠CDE＝∠ABE，结合对顶角相等，即可证出△AEB∽△CED．【解答】证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE．∵BC＝CD，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE．又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED．【点评】本题考查了相似三角形的判定、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质及等腰三角形的性质找出∠CDE＝∠ABE．16．（5分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，∠OAB＝45°，求证：四边形ABCD 是正方形．【答案】见解析．【分析】根据等腰三角形的判定和性质以及正方形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠OAB＝45°，AC⊥BD，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AO＝BO，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝OD＝OC，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．17．（5分）已知m，n是方程t2﹣3t﹣5＝0的两个实数根，求m2+mn+3n的值．【答案】9．【分析】由根与系数的关系得出m+n＝3，mn＝﹣5，通过方程的根求出m2＝3m+5，最后代入求值即可．【解答】解：∵m，n是方程t2﹣3t﹣8＝0的两个实数根，∴m+n＝3，mn＝﹣5，m2﹣3m﹣6＝0，∴m2＝8m+5，∴m2+mn+4n＝3m+5+mn+8n＝3（m+n）+mn+5＝3×3+（﹣5）+2＝9．【点评】此题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．18．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．【答案】证明见解析．【分析】根据菱形的性质和SAS证明△ADF与△CDE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝CD﹣CF，即DE＝DF，在△ADF与△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠CED．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻边相等解答．19．（5分）某县为创评“全国文明城市”称号，周末团县委组织志愿者进行宣传活动．班主任周老师决定从4名女班干部（小兰，小红，小丽和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，洗匀后放在桌面上，周老师先从中随机抽取一张卡片，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．（1）第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为 ；（2）用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小丽被抽中”的概率．【答案】（1）；（2）小丽被抽中的概率为．【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；（2）列举出所有情况数，看所求情况数占总情况数的多少即可得到答案．【解答】解：（1）根据题意可得：第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为，故答案为：；（2）根据题意，列出表格如下：小兰小红小丽小倩小兰（小红，小兰）（小丽，小兰）（小倩，小兰）小红（小兰，小红）（小丽，小红）（小倩，小红）小丽（小兰，小丽）（小红，小丽）（小倩，小丽）小倩（小兰，小倩）（小红，小倩）（小丽，小倩）共有12种等可能出现的结果，其中小丽被抽中的有6种结果，∴小丽被抽中的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．20．（5分）如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，如果＝，求．【答案】．【分析】过B点作BG∥AC，根据平行线分线段成比例的性质可得＝＝，再根据中线的定义和平行线分线段成比例的性质即可求解．【解答】解：过B点作BG∥AC，由平行线分线段成比例的性质可得＝＝，∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE，∴＝，∴＝．【点评】考查了平行线分线段成比例，关键是熟练掌握平行线分线段成比例的定理和推论．21．（6分）设一元二次方程4x2+bx+c＝0在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，c＝1；②b＝5；③b＝﹣3，c＝﹣1，c＝1．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】当选②时：x＝﹣或x＝﹣1；当选③时：解得：x＝1或x＝﹣．【分析】根据根的判别式选出b、c的值，再解方程．【解答】解：当Δ＝b2﹣16c＞0时，一元二次方程7x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以可以选②、③，当选②时：5x2+5x+7＝0，（4x+4）（x+1）＝0，解得：x＝﹣或x＝﹣1；当选③时：8x2﹣3x﹣7＝0，（x﹣1）（7x+1）＝0，解得：x＝3或x＝﹣．【点评】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题的关键．22．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2【答案】（1）证明见解答；（2）BF的长是2．【分析】（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四边形ABCD是平行四边形，点E 在BC的延长线上，得AD∥CE，则四边形ACED是平行四边形，即可由∠ACE＝90°，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，则AB＝AE＝BE＝2CE＝4，∠AFB＝90°，所以AF＝AE＝2，即可根据勾股定理求得BF＝＝2．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵∠ACE＝90°，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×5＝4，∴∠AFB＝90°，AF＝×6＝2，∴BF＝＝＝2，∴BF的长是2．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AC∥DE及△ABC是等边三角形是解题的关键．23．（7分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商7至9月份统计，该品牌电动自行车7月份销售150辆，9月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车这两个月销售量的月均增长率；（2）假设每月的增长率相同，预计10月份的销量会达到300辆吗？【答案】（1）该品牌电动自行车销售量的月均增长率为20%；（2）预计10月份的销量不会达到300辆．【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据7月份的销售量×（1+增长率）2＝9月份的销售量，列出一元二次方程，解方程即可；（2）求出10月份的销量，即可得到答案．【解答】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，由题意得：150（1+x）2＝216，解得：x7＝﹣2.2（不合题意，舍去），x4＝0.2＝20%，答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率为20%；（2）10月份的销量为：216×（8+20%）＝259.2（辆），∵259.2＜300，∴预计10月份的销量不会达到300辆．【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，作PF∥BC交CD于点F．（1）证明：△BPE∽△PDF；（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时【答案】（1）见解答；（2）当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为．【分析】（1）由平行线的性质判断出∠BPE＝∠PDF，∠PBE＝∠DPF，即可得出结论；（2）设正方形的边长为x，则PE＝PF＝CE＝CF＝x，进而得出BE＝8﹣x，DF＝6﹣x，再由△BPE∽△PDF，得出，即，解方程即可求出答案．【解答】（1）证明：∵PE∥DC，∴∠BPE＝∠PDF，∵PF∥BC，∴∠PBE＝∠DPF，∴△BPE∽△PDF；（2）解：当四边形PECF是正方形，设此正方形的边长为x，在矩形ABCD中，AB＝6，∴BE＝8﹣x，DF＝4﹣x，由（2）知，△BPE∽△PDF，∴，∴，∴x＝，即当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BPE∽△PDF是解本题的关键．25．（8分）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），AC＝1米，AG＝8米（DF⊥EF），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米【答案】1.3米．【分析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6米，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论．【解答】解：如图，延长DF交MG于Q，DQ＝PG＝23.6，∵BC⊥AP，MG⊥AP，∴BC∥MG，∴△ABC∽△ANG，∴＝，即＝，∴NG＝12米，同理得：△DEF∽△DMQ，∴＝，∵EF＝3.1米，DF＝0.3米，∴DF＝2EF，∴MQ＝DQ＝，∴MN＝MQ+QG﹣GN＝11.7+1.5﹣12＝4.3（米）．答：旗帜的宽度MN是1.5米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．26．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形ABCD中，BC＝3，AB＝4【观察与猜想】（1）如图1，连接AE，交BC于点F，连接AF；【类比探究】（2）如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交BC于点F；【拓展延伸】（3）如图3，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交AB于点F，且△PEF的面积是2.16，求AP的长．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程；（3）3﹣．【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∠C＝∠D＝90°，再利用同角的余角相等得∠DAE＝∠CEF，最后利用ASA证明△ADE≌△ECF，可得AE＝EF ；（2）由（1）同理可得∠DPE＝∠CEF，且∠C＝∠D，则△PDE∽△ECF；（3）由（1）同理可得△PDE∽△EHF，可得＝，设PE＝x，则EF＝3x，利用△PEF的面积是2.16，可得关于x的方程，即可得出PE的长，再用勾股定理求出PD ，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠CEF＝90°，∴∠DAE＝∠CEF，∵DE＝3，∴CE＝3，∴CE＝AD，∴△ADE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）证明：由（1）同理可得∠DPE＝∠CEF，∵∠C＝∠D，∴△PDE∽△ECF；（3）解：过点F作FH⊥CD于点H，则四边形BCHF是矩形，由（1）同理可得△PDE∽△EHF，∴＝，设PE＝x，则EF＝3x，∵△PEF的面积是2.16，∴×PE•EF＝2.16，∴•x•3x＝2.16，解得x＝1.2（负值舍去），∴PE＝2.2，在Rt△PDE中，由勾股定理得＝＝，∴AP＝AD﹣PD＝3﹣．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．。