专题16 解直角三角形(专题评测)(解析版)

专题16 解直角三角形一、单选题(共36分)1．(本题3分)（2021·福建南平市·九年级一模）已知：22sin 32cos α1+=，则锐角α等于（ ） A ．32B ．58C ．68D ．以上结论都不对【答案】A【解析】）sin 2α+cos 2α=1）α是锐角，）α=32°）故选A）2．(本题3分)（2021·福建南平市·九年级一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，）ABC 的三个顶点均在格点上，则tan）ABC 的值为（ ）A ．35B ．34CD ．1【答案】B【分析】根据网格结构找出）ABC 所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．【详解】解：）ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan）ABC ＝34． 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．3．(本题3分)（2021·上海九年级专题练习）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，那么tan A 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】A【分析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得tan A .【详解】解：如图90C ∠=︒，3tan 4BC A AC ∴==. 故选：A.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.4．(本题3分)（2021·上海奉贤区·九年级一模）在 Rt ABC ∆中，90C =∠，如果33,4AC cosA == ，那么 AB 的长为（ ）A ．94B ．4C ．5D ．254【答案】B【分析】 根据cosA 34==AC AB ，即可得出AB 的值 【详解】解：在Rt）ABC 中，）C=90°，AC=3，又）,osA 34c ==AC AB ）AB=4故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．(本题3分)（2021·四川成都市·成都实外九年级开学考试）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（ ）A．10海里B．C．5海里D海里【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．【详解】根据题意建立如图所示Rt）ABC，其中）C=90°，）B=60°，BC=5，）560==⨯︒=AC BC tan B tan故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．6．(本题3分)（2021·上海松江区·九年级一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B 处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．D．千米【答案】C【分析】根据题意，利用30BAD ∠=︒，根据锐角三角函数求出AD 和BD 的长，从而得到CD 的长，再用勾股定理求出AC 的长．【详解】解：如图，根据题意，10AB km =，30BAD ∠=︒， ）1sin 301052BD AB km =⋅︒=⨯=，cos30102AD AB =⋅︒=⨯=， ）20BC km =，）15CD km =，）AC =．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．7．(本题3分)（2021·上海九年级专题练习）已知在Rt ABC 中，90︒∠=C ，B β∠=，5AB =，那么AC 的长为（ ）A ．5cos βB ．5sin βC ．5cos βD ．5sin β【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：在Rt）ABC 中， sinβ=AC AB， ）AC=AB•sinβ=5sinβ，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．8．(本题3分)（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，,2A BC α∠==，那么AB 的长等于（ ）A ．2sin αB ．2sin αC ．2cos αD ．2cos α【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA ＝BC AB，代入求出即可． 【详解】解：）在Rt）ABC 中，）C ＝90°，）A ＝α，BC ＝2， ）sinA ＝BC AB， ）AB ＝sin BC A =2sin α， 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．9．(本题3分)（2021·上海金山区·九年级一模）若α是锐角，()2sin 152α+=，那么锐角α等于（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 【答案】B【分析】由sin45°=2可得()15α+=45°即可确定α． 【详解】解：，()2sin 15α+=α是锐角 ）()15α+=45°，即α=30°．故选：B ．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定()15α+=45°成为解答本题的关键． 10．(本题3分)（2021·云南九年级一模）如图，30ABC ∠=︒，边BA 上有一点D ，4DB =，以点D 为圆心，以DB 长为半径作弧交BC 于点E ，则BE =（ ）A ．B ．4C ．D ．8【答案】A【分析】连接DE ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，解直角三角形BDF 求出BF=【详解】解：连接DE ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，在Rt BDF 中，304ABC BD ∠=︒=，，由cos BF ABC BD ∠=得cos 4BF BD ABC =⋅∠==依题意可得：DB DE =，）BDE 是等腰三角形；）DF BC ⊥， ）12BF EF BE ==（等腰三角形三线合一）；）2BE BF ==故选：A【点睛】此题主要考查了垂径定理和解直角三角形，求出BF=11．(本题3分)（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，在）ABC 中，）C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝2，则sin A 的值为（ ）A ．23BCD 【答案】A【分析】根据在直角三角形中，正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】解：）ABC 中，）C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，得sin A ＝2 3BC AB ＝， 故选A ．【点睛】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键.12．(本题3分)（2021·西安铁一中滨河学校九年级一模）如图）在）ABC中）AC ）8））ABC ）60°））C ）45°）AD ）BC ）垂足为D ））ABC 的平分线交AD 于点E ）则AE 的长为A B ．C ．3 D ．【答案】C【分析】由已知可知）ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得Rt）ABD 中，由）B=60°，可得BD=tan 60AD ︒，再由BE 平分）ABC ，可得）EBD=30°）从而可求得DE 长，再根据AE=AD -DE 即可 【详解】）AD）BC）））ADC 是直角三角形，））C=45°）））DAC=45°））AD=DC））AC=8））在Rt）ABD 中，）B=60°））BD=tan 60AD ︒=3） ）BE 平分）ABC）））EBD=30°）=3））AE=AD -DE=33=） 故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.二、填空题(共12分)13．(本题3分)（2021·上海九年级专题练习）已知某斜坡的坡度1:3,当铅垂高度为3米时，水平宽度为_________________米【答案】9【分析】根据斜坡是铅垂高度与水平距离的比值，而这个斜坡的坡度为1:3，铅垂高度为3米，从而求出斜坡的水平宽度．【详解】解：）斜坡的坡度为1:3，其铅垂高度为3米，）这个斜坡的水平宽度为：3×3=9米，故答案为：9．【点睛】本题考查解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度是指斜坡的铅直高度与水平距离的比值．14．(本题3分)（2021·上海九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果cot 2A ∠=，3BC =，那么AC =________________．【答案】6【分析】 直接根据cot AC A BC ∠=，将已知条件代入，便可求出AC. 【详解】 ）cot AC A BC∠==2，3BC =， ）cot 326AC BC A =⋅∠=⨯=，故答案为：6.【点睛】本题考查余切的定义，正确掌握余切的公式是解题的关键.15．(本题3分)（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．【答案】5【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得APB C ∠=∠，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长． 【详解】解：）AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，）90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠︒=，）APB C ∠=∠， ）1tan 2C =， ）1tan tan 2AB APB C BP ===∠， ）2AB =，10BC =，）4BP =，6PC =，设DP 的长是x ， ）1tan 2DP C CD ==， ）22CD DP x ==，）222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =，故答案为：5． 【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 16．(本题3分)（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4,ACB AC BC CD ∠=︒==是ABC∆的角平分线，将Rt ABC∆绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，连接ED，那么AED∠的正切值为_______________________．【答案】3 7【分析】如图，过点D作DG）AC于G，可得DG//BC，即可证明）AGD））ACB，可得34AG ACDG BC==，由CD是角平分线可得）ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得）CC′A=45°，可得）CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得）DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．【详解】如图，过点D作DG）AC于G，））ACB=90°，）DG//BC，））AGD））ACB，可得34 AG ACDG BC==，）CD是角平分线，））ACD=45°，）CG=DG，）AC=3，AC=AG+CG，）34DG+CG=3，即74DG=3，解得：DG=127，）AG=97，157，）将Rt ABC∆绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，）AC′=AC，AE=AB，））CC′A=）ACD=45°，））CAC′=90°，）旋转角为90°，））DAE=90°，）AC=3，BC=4，）AB=5，tanAD ADAEDAE AB∠===37．故答案为：37【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．三、解答题(共52分)17．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）计算：21|1|2sin45(3.14)2π-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．【答案】4-【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．【详解】201|12sin 45(3.14)2π-︒⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭12142=-⨯+-114=--4=-【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键． 18．(本题4分)（2021·哈尔滨市萧红中学九年级一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，AB 是以网络线的交点（格点）为端点的线段；（1）将线段AB 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD ，请画出线段CD ；（2）以线段CD 为一边，作一个菱形CDEF ，连接DF ，使2tan 3CDF ∠=，点E ，F 也为格点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用平移的性质得出C ，D 点位置，进而得出答案；（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．【详解】（1）如图所示：线段CD 即为所求；（2）如图所示：菱形CDEF 即为所求．【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及平移变换，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．19．(本题4分)（2021·福建南平市·九年级一模）如图，在Rt）ABC 中，设a ，b ，c 分别为）A ，）B ，）C 的对边，）C ＝90°，b ＝8，）A 的平分线AD）B ，a ，c 的值．【答案】）B ＝30°，a ＝c ＝16【分析】根据锐角三角函数，可以求得）CAD 的度数，从而可以得到）CAB 的度数，然后即可得到）B 的度数，再根据锐角三角函数即可得到a 、c 的值．【详解】解：））C =90°，b =8，）CAB 的平分线AD = ）cos）CAD AC AD ===））CAD =30°，））CAB =60°，））B =30°，）c =2b =16，a 30b tan ===︒即）B =30°，ac =16．【点睛】本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．20．(本题4分)（2021·福建南平市·九年级一模）计算：（1）sin 45cos30sin 60(1sin 30)32cos 60︒︒︒︒︒+---； （21124cos30||2-︒-+-． 【答案】（1）4；（2）1 【分析】 （1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简，然后求和得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后求和得出答案．【详解】解：（1）原式221322=-⨯112-）12=44=-4=； （2）原式12-4122⨯+12-12=1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的运算，正确化简各数是解答本题的关键．21．(本题4分)（2021·上海黄浦区·九年级一模）计算：225 32sin60 tan301cot301cos4︒︒-+-︒-︒【答案】5 2【分析】根据各个特殊角的三角函数值和实数的运算法则计算即可．【详解】解：225 32sin60 tan301cot301cos4︒︒-+-︒-︒=2212⎝⎭-+-⎛⎝⎭=321411332⎛-+-⎝⎭=3312--=52．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．22．(本题4分)（2021·上海九年级一模）计算()01cot3012sin60cos60tan30︒--︒+︒+︒．【分析】根据特殊三角函数值化简即可求解．【详解】()01cot3012sin60cos60tan30︒--︒+︒+︒1212-⨯+11【点睛】此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值．23．(本题4分)（2021·哈尔滨市萧红中学九年级一模）先化简，再求值：22121244x x xx x x+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，其中x=tan60°．【答案】3x【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】22121244x x xx x x+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭212(2)22(2)x x xx x x x+--⎛⎫=-⋅⎪---⎝⎭322xx x-=⋅-3x=，当tan60x=︒=原式==【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．24．(本题4分)（2021·山东济宁市·九年级一模）先化简，再求代数式的值．222()111a aa a a++÷+--，其中a =tan60°﹣2sin30°．【答案】31a + 【分析】 根据分式的运算法则，先进行化简，根据特殊锐角三角函数值求出a,再代入化简式子.【详解】解:原式()()()()22211111a a a a a a a a ⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦()()3111a a a a a -=⋅+-， 31a =+， tan602sin30a =-）1a =，∴原式=== 【点睛】 本题考核知识点：分式混合运算，特殊锐角三角函数值.解题关键点：掌握分式运算法则，熟记特殊三角函数值.25．(本题5分)（2021·广东江门市·九年级二模）如图，小山上有一座120m 高的电视发射塔AB ，为了测量小山的高度BC ，在山脚某处D 测得山顶的仰角为22°，测得塔项的仰角为45°．求小山的高．（已知：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果精确到0.1m ）【答案】80米【分析】设BC 为x 米，则AC ＝（120＋x ）米，通过解直角）DBC 和直角）ACE 列出关于x 的方程，利用方程求得【详解】解：设BC为x米，则AC＝（120＋x）米，由条件知：）CDB＝22°，）ADC＝45°，在Rt）DBC中，tan22°＝BCDC＝xCD≈0.40，）DC＝52x（米）．在直角）ACD中，tan45°＝ACCD＝1．）AC＝CD，即120＋x＝52 x，解得x＝80，答：小山BC的高度为80米．【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，准确分析计算是解题的关键．26．(本题5分)（2021·山东淄博市·九年级一模）如图，连接A市和B市的高速公路是AC高速和BC高速，现在要修一条新高速AB，在施工过程中，决定在A、B两地开凿隧道，从而将两地间的公路进行改建，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC ＝80千米，）A＝45°，）B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少干来？(结果保留根号)（2）开通隧道后，汽车从A地到B地少走多少千米？（结果保留根号)【答案】（1）（）千米；（2）（）千米．【分析】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走（）千米；（2）开通隧道后，汽车从A地到B地可以走（+40）千米．解：（1）作CD）AB于D点，由题意可知：BC=80千米．）A=45°，）B=30°，）CD=12BC=40千米，））A=45°，））ACD是等腰直角三角形，）AD=CD=40千米，）AC=2CD=402（千米），）AC+BC=80+402（千米），即开通隧道前，汽车从A地到B地要走（80+402）千米；（2）由（1）知CD=40千米，）CD）AB，）A=45°，））ACD是等腰直角三角形，）AD=CD=40千米，））B=30°，）BD=3CD＝403（千米），）AB=403+40（千米），答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以走（403+40）千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．27．(本题5分)（2021·西安铁一中滨河学校九年级一模）问题提出（1）如图），在ABC 中，120A ∠=︒，5AB AC ==，则ABC 的外接圆半径R 的值为______； 问题探究（2）如图），O 的半径为13，弦24AB =，M 是AB 的中点，P 是O 上一动点，求PM 的最大值； 问题解决（3）如图）所示，AB ，AC ，BC 是某新区的三条规划路，其中6AB km =，3AC km =，60BAC ∠=︒，BC 所对的圆心角为60︒，新区管委会想在BC 路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E ，F ，也就是，分别在BC ，线段AB 和AC 上选取点P ，E ，F ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P E F P →→→的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE ，EF 和FP ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE ，EF ，FP 之和最短，试求PE EF FP ++的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．【答案】（1）5；（2）当P ，O ，M 三点共线时，取等号，此时PM 有最大值，最大值为18．（3）9P E EF P F ''++=【分析】（1）如答图），设点O 是ABC 的外接圆的圆心，可得OA OB OC ==．由120BAC ∠=︒，5AB AC ==，可证明,60,OA BC BAO CAO ⊥∠=∠=︒ 证明ABO 是等边三角形，从而可得答案；（2）如答图），连接OA ，OM ，OP ，由M 是AB 的中点，证明OM AB ⊥，12AM BM ==．再求解5OM ==．13518PM OP OM ≤+=+=，从而可得答案；（3）如答图），设点O 为BC 所在圆的圆心，连接AP ，OP ，分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作点P 关于AB ，AC 的对称点M ，N ，连接MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接PE ，PF ，OA ，OB ，OC ，BC ，证明120MAN ∠=︒，M ，P ，N 在以点A 为圆心，AP 为半径的圆上．设AP r =，过A 作AG MN ⊥于,G 则1,2MG NG MN == 60,MAG ∠=︒ 求解2sin 60MN r =⋅︒=．证明PE EF PF ME EF FN MN ++=++==．可得当AP 最小时，PE EF PF ++可取得最小值．证明点P 在OA 上时，AP 可取得最小值，再求解OA ==【详解】 （1）解：如答图），设点O 是ABC 的外接圆的圆心，）OA OB OC ==．）120BAC ∠=︒，5AB AC ==，,60,OA BC BAO CAO ∴⊥∠=∠=︒）ABO 是等边三角形，）5OA OB AB ===，即5R =．（2）解：如答图），连接OA ，OM ，OP ，）M 是AB 的中点，）由垂径定理可知OMAB ⊥，1122AM BM AB ===． ）13OA =，）由勾股定理可知5OM =．）点P 为O 上一动点，）13518PM OP OM ≤+=+=，）当P ，O ，M 三点共线时，取等号，此时PM 有最大值，最大值为18．（3）解：如答图），设点O 为BC 所在圆的圆心，连接AP ，OP ，分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作点P 关于AB ，AC 的对称点M ，N ，连接MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接PE ，PF ，OA ，OB ，OC ，BC ，）AM AP AN ==，）MAB PAB ∠=∠，NAC PAC ∠=∠，）60BAC PAB PAC MAB NAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，）120MAN ∠=︒，）M ，P ，N 在以点A 为圆心，AP 为半径的圆上．设AP r =，过A 作AG MN ⊥于,G 则1,2MG NG MN == 60,MAG ∠=︒ 由sin ,MGMAG AM ∠= ）1sin 602MN AM =⋅︒，即1sin 602MN r =⋅︒，则2sin 60MN r =⋅︒=．）由轴对称的性质可得：PE ME =，PF FN =，）PE EF PF ME EF FN MN ++=++==．）当AP 最小时，PE EF PF ++可取得最小值．）AP OP OA +≥，）AP OA OP ≥-，即点P 在OA 上时，AP 可取得最小值，设AO 与BC 交于点P '，）6AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，）90ACB ∠=︒，）由勾股定理可知BC ==，30,ABC ∠=︒）60BOC ∠=︒，OB OC =，）OBC 是等边三角形，）60OBC ∠=︒，OB BC ==，）90ABO ABC OBC ∠=∠+∠=︒，）由勾股定理可知OA ==）OP OB '==）AP r OA OP ''==-=，）9P E EF P F MN ''++===．【点睛】本题考查的是三角形的三边之间的关系，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理的应用，同圆的半径相等，垂径定理的应用，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．28．(本题5分)（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△． （2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED ED B AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长． 【详解】解：（1） PD QD ⊥，ED AB ⊥）A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，）ADP EDQ △△． （2）ADP EDQ △△， ）EQ ED AP AD = 又点D 为斜边AB 的中点，）AD BD = ，EQ ED ED AP AD BD== 又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQ B BD AD AP ==， 又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10 D 为AB 中点， ）BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254 AP x =， 可得34EQ x =，BQ BE EQ =-，253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD∠====， ）FPD B ∠=∠， 又）PDF BDQ ∠=∠，）PDF BDQ △△， ）PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=， 542253544x =-， 解得256x ． 若BD BQ =，253544x -=， 解得53x =． ）若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．。