江苏省无锡市八年级(上)期中数学试卷-(含答案)

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.的平方根是（）A. 4B. 2C.D.2.若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（）A. 或B.C. 或D.3.如图，与左边正方形图案属于全等的图案是（）A.B.C.D.4.在3.14159、、-、、π、1.20202020…，这五个数中，无理数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.下列各图中，一定全等的是（）A. 顶角相等的两个等腰三角形B. 有两边和一角分别相等的等腰三角形C. 各有一个角是，腰长都是3cm的两个等腰三角形D. 底边和顶角都相等的两个等腰三角形6.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 12，15，18B. 12，35，36C. ，，D. 5，12，137.若x＜-1，则等于（）A. B. C. 3x D.8.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS，其中正确的是（）A. ①②③B. ①C. ①②D. ①③9.野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮（如图所示），她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种10.如图1所示为三角形纸片ABC，上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线，，，其中Q、R、S、T四点会分别在，，，上，如图2所示．若△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，则△PRS面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.若，则x2008+2008y= ______ ．12.已知a、b为两个连续的整数，且＜＜，则a+b=______．13.如图，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．△BCE的周长是53cm，则BC= ______ cm．14.△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则BC的长为______．15.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=______°．16.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2016= ______ ．17.△ABC中，AB=13，BC=20，AC=21，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AB上的点，则BM+MN的最小值是______．18.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共74.0分）19.求x的值：（1）（x-1）3=-27（2）（2x+1）2=；（3）=100．20.已知5a-1的平方根是±3，b、c均为有理数，且b、c满足等式b+c+2=c2+5，求a+b+c的算术平方根．21.如图A、B在方格纸的格点位置上．（1）若要再找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的格点C在图中共有______ 个；（2）若要再找一个格点D，使△ABD的面积为3，则这样的格点D在图中共有______ 个；（3）若要再找一个个点E，使△ABE的三边均为无理数，则这样的格点E在图中共有______ 个．22.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证：OE＝OF．23.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CA=CB，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．（1）求证：AD=CE；（2）连接AE，若AB=5，BE=3，求四边形AEBC的周长和面积．24.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由；（3）连接BD，试说明：△ABD的面积和△ACE的面积相等．25.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．（1）探索AB与BF的数量关系，说明理由．（2）若BF=1，求BC的长．26.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒（1）出发1秒后，△ABP的周长=______；（2）当t=______时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？27.已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：=4，4的平方根是±2．故选：D．先求得的值，然后根据平方根的定义求解即可．本题主要考查的是主要考查的是平方根和算术平方根的定义，求得的值是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，∴等腰三角形的一个内角为80°，①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．故选C．等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．3.【答案】C【解析】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．A、B、D图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合．故选c．根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，对选择项逐个与原图对比验证．本题考查的是全等形的识别，主要根据全等图形的定义做题，属于较容易的基础题．4.【答案】D【解析】解：无理数有：-，π，1.20202020…共3个．故选D．无理数就是无限不循环小数，根据定义即可判断．本题考查了无理数的定义，无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．5.【答案】D【解析】解：A、两个等腰三角形的腰不一定相等，所以A错误；B、有两边和一角分别相等的等腰三角形不一定全等，所以B错误；C、各有一个角是45°，腰长都是3cm的两个等腰三角形不一定全等，所以C也错误；D、正确，利用了AAS或ASA都可以．故选D此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．6.【答案】D【解析】解：A、不是，因为122+152≠182；B、不是，因为122+352≠362；C、不是，因为0.3，0.4，0.5不是正整数；D、是，因为52+122≠132．且5、12、13是正整数．故选D．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．7.【答案】D【解析】解：∵x＜-1，∴2x-1＜0，x+1＜0，∴|2x-1|+=|2x-1|+=1-2x-1-x=-3x．故选D．将原式化为|2x-1|+，再根据x＜-1判断出2x-1和x+1的大小，化简即可．主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=-a．8.【答案】C【解析】解：如图，在RT△APR和RT△APS中，，∴RT△APR≌RT△APS（HL），∴∠AR=AS，①正确；∠BAP=∠1，∵AQ=PQ，∴∠1=∠2，∴∠BAP=∠2，∴QP∥AB，②正确，∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．故选：C．易证RT△APR≌RT△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证RT△APR≌RT△APS是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：如图，第一个沿直角三角形作斜边上的中线切，第二个三角形在钝角处沿20°角的另一边切，第三个三角形在60°角处沿20°角的另一边切，第四个三角形无法分成两个等腰三角形，所以，她的选择最多有3种．故选C．根据翻身后饼也能正好落在“锅”中，考虑把三角形分成两个等腰三角形即可．本题考查了全等三角形的应用，判断出翻折后正好能够重合是三角形是等腰三角形是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：根据题意，得△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR的面积和△PSR的面积相等．又△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，∴△PRS面积等于（16-5×2）÷2=3．故选C．根据折叠，知△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR的面积和△PSR的面积相等，结合已知△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，即可求解．此题主要是能够根据折叠，得到重合图形的面积相等．11.【答案】2【解析】解：由，根据二次根式的意义，得解得x=1，故y=0，∴x2008+2008y=12008+20080=2．由于已知等式的两个二次根式有意义，而二次根式要求被开方数为非负数，由此列不等式组求x、y的值，接着就可以求出结果．本题考查了二次根式的意义，指数运算，属于基础题，需要熟练掌握．12.【答案】11【解析】解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a=5，b=6，∴a+b=11．故答案为：11．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．13.【答案】21【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，∴AE=EB，AE+EC=AC=32cm，∴BE+EC=32cm，∵△BCE的周长是53cm，∴BE+EC+BC=53cm，∴BC=53-BE-EC=53-32=21cm，故答案为：21．利用线段的垂直平分线的性质可得AE=EB，然后根据△BCE的周长是53cm，即可求得答案．此题考查了线段垂直平分线的性质．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】14或4【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为DC-BD=9-5=4．故答案为14或4．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．15.【答案】45【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-45°）=67.5°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵EF=BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴BF=EF=CF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．故答案为：45．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．16.【答案】22015【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1，a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1，以此类推：a2016=22015．故答案是：22015根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而得出答案．此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．17.【答案】12【解析】解：∵AD平分∠BAC，作N关于AD的对称点N′，则N′在AC上，连接MN′，则MN=MN′，过B作BE⊥AC于E，∵BM+MN=BM+MN′，∴BM+MN≥BE（垂线段最短），设AE=x，则CE=21-x，则，解得：x=5，∴BE==12，即BM+MN的最小值是12．通过作辅助线，先找出BM+MN的最小值是BE，设AE=x，根据勾股定理列方程组可求出x的值，从而得BE的长，即是BM+MN的最小值．本题考查了最短路径问题，根据角平分线的性质定理及垂线段最短，得三角形的高线BE即是最短路径．18.【答案】【解析】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为：．根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．19.【答案】解：（1）由题意得x-1=3，解得：x=4；（2）由题意得：2x+1=±2，解得：x=或x=-．（3）由题意得：x-1=±100，解得：x=101，x=-99．【解析】（1）依据平方根的定义可得到x-1=3，故此可求得x的值；（2）依据平方根和算术平方根的定义可得到2x+1=±2，故此可求得x的值；（3）先依据平方根的定义得到|x-1|=100，从而可求得x的值．本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．20.【答案】解：∵5a-1的平方根是±3，∴5a-1=9∴a=2，∵b+c+2=c2+5，∴c=-2，b=9，∴a+b+c=2-2+9=9，∴9的算术平方根是3．【解析】根据平方根、算术平方根，即可解答．本题考查了实数，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根．21.【答案】10；8；16【解析】解：（1）如图所示：AB==2，以B为顶点，BC=BA，这样的C点有2个；以A为顶点，AC=AB，这样的C点有2个；以C为顶点，CA=CB，这样的点有6个，所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有10个．（2）如图所示：若要再找一个格点D，使△ABD的面积为3，则这样的格点D在图中共有8个．（3）如图所示：若要再找一个个点E，使△ABE的三边均为无理数，则这样的格点E在图中共有16个，故答案为：10；8；16．（1）根据勾股定理计算出AB=2，然后分类讨论确定C点位置；（2）找到△ABD的面积为3的格点即为所求；（3）本题需根据勾股定理和图形即可找出所有满足条件的点．．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．22.【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．23.【答案】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB=90°，∴，∠ADE=∠ADC=∠E=90°=∠ACB，∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE；（2）解：连接AE，如图所示：∵∠ACB=90°，CA=CB，∴CA=CB=AB=5，∴AD=CE===4，∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE=3，∴DE=CE-CD=1，∴AE===，∴四边形AEBC的周长=AE+BE+BC+AC=+3+5+5=13+；四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积=×4×4+×4×3=14．【解析】（1）证出∠CBE=∠ACD，由AAS证明△ACD≌△CBE，得出对应边相等即可；（2）连接AE，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得出CA=CB=AB=5，由勾股定理求出AD=CE=4，由全等三角形的性质得出CD=BE=3，求出DE=CE-CD=1，再由勾股定理求出AE即可得出四边形AEBC的周长，四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积，代入计算即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）图2中△ABE≌△ACD，证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD；（2）DC=BE，CD⊥BE，理由：∵△ABE≌△ACD，∴CD=BE，∠ACD=∠B=45°，∵∠ACB=45°，∴∠DCB=90°，∴CD⊥BE；（3）过A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH=BC，∴S△BCD=BC•CD=AH•BE，S△ABE=BE•AH，∴S△BCD=2S△ABE，∵△ABE≌△ACD，∴S△ABD+S△ABC=S△ABE=S△ABC+S△ACE，即S△ABD=S△ACE．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，求出∠BAE=∠CAD，根据SAS证△ABE≌△ACD即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过A作AH⊥BC于H，根据三角形面积的和差即可得到结论．本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，主要考查学生的计算能力和推理能力．25.【答案】解：（1）结论：AB=3BF．理由：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD平分∠BAC，∴DC=BD，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF（ASA），∴DE=DF，CE=BF，∵AE=2BF，∴AC=3BF，∴AB=3BF．（2）∵AC=AB，CD=BD，DE⊥AC，∴AD⊥BC，∴∠CDA=∠CED=90°，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CDA，∴CD2=CE•CA，∵CE=BF=1，AC=3BF=3，∴CD2=3，∴CD=，∴BC=2CD=2．【解析】（1）首先证明AC=AB，再证明△CDE≌△DBF，推出DE=DF，CE=BF，由题意AE=2BF，AC=AB=3BF．（2）只要证明△CED∽△CDA，得CD2=CE•CA，由此即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．26.【答案】（7+）cm，；1.5s或2.7s【解析】解：（1）如图1所示：由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC===4（cm），动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2cm，∴AP=2cm，∵∠C=90°，∴PB==（cm），∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7+（cm），故答案为：（7+）cm，（2）分两种情况：①如图2所示：当点P在边AC上时，CP=BC=3cm，3÷2=1.5（s），此时用的时间为1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；②如图3所示：当点P在边AB上时，CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高CD，则CD==2.4（cm），在Rt△PCD中，PD===1.8（cm），∴BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9-3.6=5.4（cm），则用的时间为5.4÷2=2.7（s），△BCP为等腰三角形；综上所述：当t=1.5s或2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；故答案为：1.5s或2.7s；（3）分两种情况：①如图6所示：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴2t+t=4-2t+3-t+5，解得：t=2；②如图7所示：当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9∴AQ=5-（t-3）=8-t，CQ=3-（2t-9）=12-2t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴4+8-t+12-2t=t-3+2t-9，解得：t=6，综上所述：当t为2s或6s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．（1）根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）由勾股定理得AC=4cm，有两种情况，①当点P在边AC上时；②当点P 在边AB上时；求出点P运动的路程，即可得出结果；．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，根据题意得出方程，解方程即可；当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9；根据题意得出方程，解方程即可．此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；此题涉及到了动点，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．27.【答案】解：（1）①连接CD，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF．②连接DG，∵∠ACB=90°，G为EF的中点，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G为EF的中点，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH．（2）如图，当E在线段AC上时，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，∴AC=AE+EC=3+4=7；如图，当E在线段CA延长线时，AC=EC-AE=4-3=1，综合上述AC=7或1．【解析】（1）①连接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，证△ADE≌△CDF 即可；②连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；（2）求出EF=5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案．本题考查了等腰三角形性质和判定，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．。

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江苏省无锡市八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下面的图形都是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A. 3、4、5B. 6、8、10C. 5、12、13D. 5、5、73.和三角形三条边距离相等的点是（）A. 三条角平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三边上高所在直线的交点D. 三边的垂直平分线的交点4.若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的第三条边长为（）A. 2或5B. 3C. 4D. 55.如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组6.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm7.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A. ∠EDBB. ∠BEDC. 12∠AFBD. 2∠ABF8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是（）A. 28∘B. 118∘C. 62∘D. 62∘或118∘9.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A. 9B. 10C. 11D. 1510.将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A. 833cm2B. 8cm2C. 1633cm2D. 16cm2二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．12.若等腰三角形的周长为20，且有一边长为6，则另外两边分别是______．13.等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=______．14.如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AF=BD．添加一个条件______，使△AEF≌△BCD．15.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：2，且最长边为10cm，则最短边长为______cm．16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是______．17.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为______．18.如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有______个（不含△ABC）．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）19.已知D、E两点在△ABC内，求作一点P，使PE=PD，且点P到∠B两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹）．20.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=21．EC，其中△ABC的周长为24cm，CF=3cm，则制成整个金属框架所需材料的长度为多少？21.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于多少？22.如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是______；（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．23.在等腰直角三角形ABC左侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD、CD，其中CD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAB=28°，求∠ACD的度数；24.如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．25.如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．（1）求证：△APM≌△BPN；（2）当MN=2BN时，求α的度数；（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）记△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．①当直线l经过点A时，求AQ的长；②直接写出这样t的值，使得直线l经过点B．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D【解析】解：A、42+32=52，能够成直角三角形，故此选项错误；B、62+82=102，能构成直角三角形，故此选项错误；C、122+52=132，能构成直角三角形，故此选项错误；D、52+52≠72，不能构成直角三角形，故此选项正确．故选：D．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．此题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．3.【答案】A【解析】解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．故选：A．题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；故选：D．题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm；∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．7.【答案】C【解析】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．8.【答案】D【解析】解：分两种情况：①当高在三角形内部时（如图1），∵∠ABD=28°，∴顶角∠A=90°-28°=62°；②当高在三角形外部时（如图2），∵∠ABD=28°，∴顶角∠CAB=90°+28°=118°．故选：D．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出62°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．9.【答案】B【解析】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选：B．由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选：B．当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．11.【答案】3【解析】解：等边三角形是一个轴对称图形，它有3条对称轴．故答案为：3．根据轴对称图形和对称轴的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．12.【答案】6，8或7，7【解析】解：（1）当6是腰长时，底边为20-6×2=8，此时能够组成三角形，∴另外两边分别是6，8；（2）当6是底边，此时腰为：=7，能构成三角形三条边，∴另外两边分别是7，7．故答案为6，8或7，7．题目给出等腰三角形有一条边长为6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13.【答案】30°，75°，120°【解析】解：分两种情况讨论：（1）当∠A=30°为顶角时，∠B==75°；（2）当∠A=30°为底角时，∠B为底角时∠B=∠A=30°；∠B为顶角时∠B=180°-∠A-∠B=180°-30°-30°=120°．故填30°或75°或120°．本题要分两种情况讨论：（1）当∠A=30°为顶角；（2）当∠A=30°为底角时，则∠B 为底角时或顶角．然后求出∠B．本题是考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，在解答时一定要讨论已知角为顶角或底角两种情况不要漏解．14.【答案】EF=CD（或∠A=∠B或AE∥CB或∠E=∠C=90°）【解析】解：当EF=CD时，依据AE=BC，AF=BD，EF=CD，可得△AEF≌△BCD（SSS）．当∠A=∠B或AE∥CB时，依据AE=BC，∠A=∠B，AF=BD，可得△AEF≌△BCD（SAS）．当∠E=∠C=90°时，依据AE=BC，AF=BD，可得△AEF≌△BCD（HL）．故答案为：EF=CD（或∠A=∠B或AE∥CB或∠E=∠C=90°）．根据AE=BC，且AF=BD，利用全等三角形的判定方法，得出所需的条件即可，答案不唯一．本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．15.【答案】5【解析】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴设∠A、∠B、∠C分别为k、3k、2k，k+2k+3k=180°，解得k=30°，∴∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°，∵最长边为10cm，∴最短边长=×10=5cm．故答案为：5根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、3k、2k，然后根据三角形的内角和等于180°列式求出各角的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．本题考查了含30°角的直角三角形，主要利用了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据比例求出各角的度数是解题的关键．16.【答案】4：3【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．17.【答案】12013【解析】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，∴CN===，∵E关于AD的对称点M，∴EF=FM，∴CF+EF=CF+FM=CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN，即CF+EF≥，即CF+EF的最小值是，故答案为：．作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥，即可得出答案．本题考查了平面展开-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．18.【答案】7【解析】解：如图所示每个大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去△ABC外有七个与△ABC全等的三角形．故答案为：7．本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．19.【答案】解：如图所示：①作∠B的角平分线；②作DE中垂线；③两直线的交点就是所求作的点P．【解析】根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可知点P为线段DE的垂直平分线与∠B的角平分线的交点．本题主要考查的是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键．20.【答案】解：∵BF=EC，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵在△ABC和△DEF中AB=DE∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF，∵△ABC的周长为24cm，CF=3cm，∴制成整个金属框架所需这种材料的长度为24×2-3=45cm．【解析】首先证明△ABC≌△DEF（SAS）可得AC=DF，然后再根据△ABC的周长为24cm，CF=3cm可得制成整个金属框架所需这种材料的长度．此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握证明三角形全等的方法，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．21.【答案】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．【解析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．22.【答案】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∵EP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案为：PA=PB=PC；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-2×70°=40°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°，∵PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．【解析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．23.【答案】解：（1）如图，（2）连接AD，由对称知，∠PAD=∠PAB=28°，AD=AB，∵AB=AC，∴AD=AC，∵∠BAC=90°，∴∠CAD=∠PAD+∠PAB+∠BAC=28°+28°+90°=146°，∴∠ACD=12（180°-∠CAD）=17°；【解析】（1）根据对称性即可画出图形；（2）由对称性得出AB=AD，进而求出∠CAD，即可得出结论；主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出AD=AC．24.【答案】解：根据题意可得：AE=3m，AB=20m，BD=13m．如图，设该位置为点C，且AC=xm．由AC=xm得：BC=（20-x）m（1分）由题意得：CE=CD，则CE2=CD2，∴32+x2=（20-x）2+132，解得：x=14，∴CB=20-x=6，由0＜14＜20可知，该位置是存在的．答：该位置与旗杆之间的距离为6米．【解析】根据题意可得：AE=3m，AB=20m，BD=13m，由于CE2=CD2，根据勾股定理得到方程求解即可．考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．25.【答案】（1）证明：∵P是AB的中点，∴PA=PB，在△APM和△BPN中，∵∠A=∠BPA=PB∠APM=∠BPN，∴△APM≌△BPN（ASA）；（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，∴PM=PN，∴MN=2PN，∵MN=2BN，∴BN=PN，∴α=∠B=50°；（3）解：∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN是锐角三角形，∵∠B=50°，∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．【解析】（1）根据AAS证明：△APM≌△BPN；（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．26.【答案】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AB2+BC2=32+42=25，AC2=25，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，即△ABC是直角三角形．（2）如图1，当0＜t≤3时，BQ=t，BC=4，∴S=12×4×t=2t；如图2，当3＜t≤5时，，AQ=t-3，则BQ=3-（t-3）=6-t，∴S=12×4×（6-t）=12-2t；（3）①如图3，∵QP的垂直平分线过A，∴AP=AQ，∴3-t=t，解得t=1.5；或t-3=t，显然不成立；∴AP=AQ=1.5；②（Ⅰ）如图4，当点Q从B向A运动时l经过点B，当点P运动到AC中点时，PA=BQ=BP，可得t=2.5．（Ⅱ）如图5，当点Q从A向B运动时l经过点B；BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，过点P作PG⊥CB于点G，则PG∥AB，∴△PGC∽△ABC，∴PCAC=PGAB=GCBC，∴PG=PCAC•AB=35（5-t），CG=PCAC•BC=45（5-t），∴BG=4-45（5-t）=45t，由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，即（6-t）2=（45t）2+[35（5-t）]2，解得：t=4514；综上所述：存在t的值，使得直线l经过点B，t的值是2.5或4514．【解析】（1）由勾股定理逆定理可得；（2）分0＜t≤3和3＜t≤5两种情况，表示出BQ的长度，根据三角形的面积公式可得；（3）①根据线段的垂直平分线的性质求出AP=AQ，得出3-t=t，求出即可；②分点Q从B向A运动时l经过点B和点Q从A向B运动时l经过点B两种情况分别求解可得．本题是三角形的综合问题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．。

江苏无锡八校联考2024年上学期八年级期中数学试卷+答案

八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.若2xx−2与3xx−8是有理数a的两个不相等的平方根，则有理数a是( )A. 2B. −2C. 4D. −43.根据下列已知条件，能画出唯一的△AAAAAA的是( )A. ∠AA=90∘，AAAA=6B. AAAA=4，AAAA=3，∠AA=30∘C. ∠AA=60∘，∠AA=45∘，AAAA=4D. AAAA=3，AAAA=4，AAAA=84.某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是( )A. 三角形三条角平分线的交点B. 三角形三边垂直平分线的交点C. 三角形三条中线的交点D. 三角形三条高的交点5.如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是( )A. 10：05B. 20：01C. 20：10D. 10：026.下面命题中，不正确的是( )A. 在△AAAAAA中，若三个内角满足∠AA=∠AA−∠AA，则△AAAAAA是直角三角形B. 在△AAAAAA中，若三个内角满足∠AA：∠AA：∠AA=3：4：5，则△AAAAAA是直角三角形C. 在△AAAAAA中，若对应三边满足a：b：cc=3：4：5，则△AAAAAA是直角三角形D. 在△AAAAAA中，若对应三边满足(aa+bb)(aa−bb)=cc2，则△AAAAAA是直角三角形7.等腰△AAAAAA中，AAAA=AAAA，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A. 8B. 24C. 8或24D. 8或128.如图，△AAAAAA中，∠AAAAAA=90∘，AAAA=5，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为SS1、SS2、SS3，则SS1+SS2+SS3的值为( )A. 25ππB. 9ππC. 254ππD. 252ππ9.如图，在四边形ABCD中，∠AAAAAA=∠AAAAAA=90∘，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EEEE.若AAAA=10，AAAA=6，则EF的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. √ 710.如图，△AAAAAA中，∠AAAAAA=90∘，AAAA=6，AAAA=8，点D是AB的中点，将△AAAAAA沿CD翻折得到△EEAAAA，连接AE，BE，则线段AE的长等于( )A. 3B. 4C. 103D. 145二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

江苏省无锡市江南中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(原卷版+解析)(原卷+答案解析)

无锡市江南中学2022-2023学年第一学期初二数学期中试卷一、选择题1. 下列冬奥会会徽中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2. 有下列说法，其中正确的有（）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A. 9，12，15B. 3，4，5C. 6，8，11D. 7，24，254. “三角形具有稳定性”这个事实说明了（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS5. 等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（）A 80°或20° B. 80° C. 80°或50° D. 20°6. 如图，已知AM ＝CN ，∠MAB ＝∠NCD ，下列条件不能判定是 ABM ≅ CDN 的是（）A ∠M ＝∠N B. BM ∥DN C. AB ＝CD D. MB ＝ND 7. 如图，某市的三个城镇中心A 、B 、C 构成△ABC ，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育..中心到三个城镇中心A 、B 、C 的距离相等，则P 点应设计在（）A. 三个角的角平分线的交点B. 三角形三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三角形三条中线的交点8. 如图，A ABC ED ≌△△，点E 在线段BC 上，146∠=°，则AED ∠的大小为（）A. 54°B. 56°C. 62°D. 67°9. 如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过O 点作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+；②1902BOC A ∠=+∠°；③点O 到ABC 各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则12AEF S mn =，正确的结论有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，90MON ∠=°，已知ABC 中，5AC BC ==，6AB =，ABC 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC 的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（）A 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题11. 等边三角形有_______条对称轴．12. 已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是______．13. 如图，已知ABC 中，4060ABC ACB ∠=°∠=°，，DE 垂直平分AC ，连接AE ，则BAE ∠的度数是_______°．14. 如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝36°，∠BAD ＝46°，则∠ACD 的度数是_______°．15. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为___________. .16. 《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x 分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．.17. 如图，△ABC 中，90ABC ∠=° ，点I 为ABC 各内角平分线的交点，过I 作AC 的垂线，垂足为H ，若3,4,5BC AB AC ===，那么IH 的值为______．18. 如图1，将一张直角三角形纸片ABC （已知90ACB ∠=°，AC BC >）折叠，使得点A 落在点B 处，折痕为DE ．将纸片展平后，再沿着CD 将纸片按着如图2方式折叠，BD 边交AC 于点F ．若ADF ∆是等腰三角形，则A ∠的度数可能是 __．三、解答题19. 已知：如图，AC 、DB 相交于点O ，AB DC =，ABO DCO ∠=∠．（1）求证：ABO DCO ≅ ；（2）若34OBC ∠= ，求OCB ∠的度数．20. 如图，在三角形ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AD 为BC 边上的中线，且AD ＝4，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AD ⊥BC ；（2）求DE 的长．21. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ′′′ ；（2）三角形ABC 的面积为_______；（3）以AC 为边作与ABC 全等的三角形，则可作出______个三角形与ABC 全等；（4）在直线l 上找一点P ，使PB PC +的长最短．22. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且 AE =AB ．（1）求证：∠B =2∠C ；（2）若AC =10，AD =6，求△ABC 的周长．23. 已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，点D 是平面内任意一点，CD 绕着点C 逆时针旋转90°到CE ．（1）如图①，若D 为ABC 内一点，求证：AD BE =；（2）如图②，若D 为AB 边上一点，5,12AD BD ==，求DE 的长． 24. 如图，在Rt ABC △中， 90,10cm,6cm ACB AB AC ∠=°==，动点P 从B 出发沿射线BC 以1cm/s 速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）直接写出BC 边的长______；（2）当ABP 为等腰三角形时，求t 的值；（3）直接写出当ABP 的BAP ∠为直角时，t 的值_____．25. 在Rt ABC △ 中，,90AC BC ACB =∠=°，P 为线段AB 上一动点．（1）如图1，点D 、E 分别在,AC BC 上（点D 不与点A 重合），若P 运动到AB 的中点，且PD PE ⊥．①求证：AD CE =；②若7,1AD BE ==，求PD 的长；（2）如图2，点F 在BC 上，且PC PF =，过点F 作FH AB ⊥，垂足为H ，若10AB =，在点P 运动的过程中，线段PH 的长度是否发生变化？若不变，请求出PH 的长度；若变化，请说明理由． 26. 四边形ABCD 中，=90==5==4A B C D AB CD BC AD ∠∠∠∠︒＝＝＝，，．的在（1）P 为BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP △的位置（点B 落在点E 处）． ①如图1，当点B 落在边CD 上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即AEP △的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE=______；②如图2，PB 与CD 相交于点F ，AB 与CD 相交于点G ，且FC FE ＝，求BP 的长；（2）如图3，已知点Q 为射线BA 上的一个动点，将BCQ △沿CQ 翻折，点B 恰好落在直线DQ 上的点B ′处，求BQ 的长．无锡市江南中学2022-2023学年第一学期初二数学期中试卷一、选择题1. 下列冬奥会会徽中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可．【详解】A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，符合题意；C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、不轴对称图形，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2. 有下列说法，其中正确的有（）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据全等三角形的判定，等边三角形，等腰三角形的性质判定即可．【详解】解：①两个等边三角形不一定能完全重合，是故此选项不合题意；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A. 9，12，15B. 3，4，5C. 6，8，11D. 7，24，25【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理逐一进行判断即可．【详解】解：A 、22291222515+==，9，12，15能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B 、22234255+==，3，4，5能作为直角三角形的三边长，不符合题意；C 、2222681001011+≠，6，8，11不能作为直角三角形的三边长，符合题意；D 、22272462525+==，7，24，25能作为直角三角形的三边长，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查勾股定理．熟记常见的勾股数可以快速的解题．4. “三角形具有稳定性”这个事实说明了（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS 【答案】D【解析】【分析】三角形具有稳定性是因为三条边的【详解】只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,这也是三角形具有稳定性的原理.故选D.【点睛】本题考查三角形全等的判定,关键在于理解三角形全等判定条件的意思.5. 等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（）A. 80°或20°B. 80°C. 80°或50°D. 20°【答案】C【解析】【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°，解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；综上，该等腰三角形的底角的度数是50°或80°．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和定理，列出方程求解是正确解答本题的关键．6. 如图，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列条件不能判定是 ABM≅ CDN的是（）A. ∠M＝∠NB. BM∥DNC. AB＝CDD. MB＝ND【答案】D【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理，有AAS、ASA、SAS、SSS四种．逐条验证．【详解】解：A、由∠M＝∠N，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合ASA，能判定 ABM≅ CDN，故不符合题意；B、由BM∥DN，可得∠ABM＝∠CDN，由AAS能判定 ABM≅ CDN，故不符合题意；C、由AB＝CD，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合SAS，能判定 ABM≅ CDN，故不符合题意；D、由MB＝ND，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，不能判定 ABM≅ CDN，故符合题意；故选D．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，本题是一道较为简单的题目．7. 如图，某市的三个城镇中心A 、B 、C 构成△ABC ，该市政府打算修建一个大型体育中心P ，使得该体育中心到三个城镇中心A 、B 、C 的距离相等，则P 点应设计在（）A. 三个角的角平分线的交点B. 三角形三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三角形三条中线的交点【答案】C【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．【详解】解：∵体育中心到城镇中心A 、B 的距离相等，∴P A ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，同理，点P 在线段AC ，BC 的垂直平分线上，∴P故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8. 如图，A ABC ED ≌△△，点E 在线段BC 上，146∠=°，则AED ∠的大小为（）A. 54°B. 56°C. 62°D. 67°【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的性质得到AB AE BAC EAD AED ABC ===，∠∠，∠∠，进而求出BAE ∠，再求出ABC ∠即可得到答案．【详解】解：∵A ABC ED ≌△△，∴AB AE BAC EAD AED ABC ===，∠∠，∠∠，∴BAC CAE EAD CAE ∠−∠=∠−∠，即146BAE ==°∠∠， ∴180672BAE ABE AEB °−===°∠∠∠， ∴67AED ABC ==°∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质是解题的关键．9. 如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过O 点作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+；②1902BOC A ∠=+∠°；③点O 到ABC 各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则12AEF S mn =，正确的结论有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC =90°−12∠A ；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形，得出EF =BE +CF ；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等；由角平分线的性质与三角形面积的求解方法，即可判定④．【详解】解：在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，180A ABC ACB ∠+∠+∠=°， 1902OBC OCB A ∴∠+∠=°−∠，1180()902BOC OBC OCB A ∴∠=°−∠+∠=°+∠；故②正确；在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，OBC OBE ∴∠=∠，OCB OCF ∠=∠，EF BC ∥ ，OBC EOB ∴∠=∠，OCB FOC ∠=∠，EOB OBE ∴∠=∠，FOC OCF ∠=∠，BE OE ∴=，CF OF =，EF OE OF BE CF ∴=+=+，故①正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，ON OD OM m ∴===，1111()2222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn ∴=+=⋅+⋅=⋅+=△△△；故④正确；在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴点O 到ABC 各边的距离相等，故③正确．故选：D ．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．10. 如图，90MON ∠=°，已知ABC 中，5AC BC ==，6AB =，ABC 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC 的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由先等腰三角形的性质得132BD AB ==，由勾股定理求出4CD =，再由三角形的三边关系得OC OD DC ≤+，则当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +，然后由直角三角形斜边上的中线性质求出132OD AB ==，即可解决问题．【详解】解：取AB 的中点D ，连接CD ，如图所示：∵==5AC BC ，=6AB ，∵点D 是AB 边中点， ∴132BD AB ==，∴4CD ==，连接OD ，OC ，有OC OD DC ≤+，当O D C 、、共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +，又∵AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，∴132OD AB ==， ∴347OD CD +=+=，即点C 到点O 的最大距离为7，故选：C ．【点睛】此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的三边关系等知识，证出OC 最大时的长为CD +OD 是解本题的关键．二、填空题11. 等边三角形有_______条对称轴．【答案】3【解析】【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线折叠，能够与另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，再结合等边三角形的性质即可求解．【详解】如图，等边三角形有3条对称轴．故答案为：3．【点睛】本题考查求对称轴的条数，等边三角形的性质．正确理解轴对称图形的定义是解题关键． 12. 已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是______．【答案】10【解析】【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是会根据题意，分类讨论． 13. 如图，已知ABC 中，4060ABC ACB ∠=°∠=°，，DE 垂直平分AC ，连接AE ，则BAE ∠的度数是_______°．【答案】20【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再由线段垂直平分线的性质得到AE CE =，则60CAE ACE ==°∠∠，20BAE BAC CAE =−=°∠∠∠．详解】解：∵ABC 中，4060ABC ACB ∠=°∠=°，，∴18080BAC ABC ACB ∠=°−∠−∠=°，∵DE 垂直平分AC ，∴AE CE =，∴60CAE ACE ==°∠∠，∴20BAE BAC CAE =−=°∠∠∠，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确求出BAC CAE ∠、∠的度数是解题的关键．14. 如图，AB ＝AD ，CB ＝CD B 36°，∠BAD ＝46°，则∠ACD 的度数是_______°．【答案】121【解析】【分析】证()ABC ADC SSS △△≌，得出36B D ∠=∠=°，1===232BAC DAC BAD ∠∠︒，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：在ABC 与ADC △中，【AB AD AC AC CB CD＝＝＝，∴()ABC ADC SSS △△≌，∴36B D ∠=∠=°，∠11462322BAC DAC BAD =∠=∠=⨯︒=︒， ∴1801803623121ACD D DAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：121．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．15. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为___________. .【答案】120 cm 2【解析】【分析】设三边的长是5x ，12x ，13x ，根据周长即可求得x 的值，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【详解】设三边的长是5x ，12x ，13x ，则5121360x x x ++=，解得：=2x ，则三边长是10 cm ，24 cm ，26 cm ∵222102426+=，∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面积是110241202××=（cm 2）故答案为：120 cm 2【点睛】考查勾股定理逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．16. 《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x 分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．【答案】()()222710310x x −=+【解析】【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：设经 x 秒二人在C 处相遇，这时乙共行 AC =3x ，甲共行AB +BC =7x ，∵AB =10，∴ BC =7x -10，又 ∵∠A =90°，∴BC 2= AC 2 + AB 2，∴(7x -10)2=(3x )2+102，故答案是：(7x -10)2= (3x )2+102．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．17. 如图，△ABC 中，90ABC ∠=° ，点I 为ABC 各内角平分线的交点，过I 作AC 的垂线，垂足为H ，若3,4,5BC AB AC ===IH 的值为______．【答案】1【解析】【分析】连接,,IA IB IC ，过点I 作IM AB ⊥于M ，IN BC ⊥于N ，利用角平分线的性质，以及等积法求线段的长度，即可得解．【详解】解：连接,,IA IB IC ，过点I 作IM AB ⊥于M ，IN BC ⊥于N ，∵点I 为ABC 各内角平分线的交点，,,IM AB IN BC IH AC ⊥⊥⊥，∴IH IM IN ==，∵90ABC ∠=°，3,4,5BC AB AC ===， ∴1134622ABC S AB BC ∆=××=××= ∵ABC AIB BIC AIC S S S S ∆∆∆∆=++， ∴()111162222AB IM BC IN AC IH AB BC AC IH =××+××+××=++×，即：16122IH =××， ∴1IH =；故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线性质，等积法求线段长度．熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线段的长度是解题的关键．18. 如图1，将一张直角三角形纸片ABC （已知90ACB ∠=°，AC BC >）折叠，使得点A 落在点B 处，折痕为DE ．将纸片展平后，再沿着CD 将纸片按着如图2方式折叠，BD 边交AC 于点F ．若ADF ∆是等腰三角形，则A ∠的度数可能是 __．【答案】1807°＃＃36° 【解析】的【分析】由翻折可得AD =BD =B ′D ，∠BDC =∠B ′DC ，所以∠BDB ′=4∠A ，所以∠ADF =180°-4∠A ，∠AFD =∠DCF +∠CDF =3∠A ，若∠ADF 是等腰三角形，有三种情况：①当AD =AF 时，∠ADF =∠AFD ，②当AD =DF 时，∠AFD =∠A ，③当DF =AF 时，∠ADF =∠A ，然后分别列式计算即可解决问题．【详解】由翻折可知：AD BD B D ==′，BDC B DC ∠=∠′，90ACB ∠=° ，CD AD BD B D ∴===′， DCA A ∴∠=∠，2B DC BDC A ∴∠′=∠=∠，4BDB A ∴∠′=∠，1804ADF A ∴∠=°−∠，3AFD DCF CDF A ∠=∠+∠=∠，若ADF ∠是等腰三角形，有三种情况：①当AD AF =时，ADF AFD ∠=∠，18043A A ∴°−∠∠，解得1807A °∠=； ②当AD DF =时，AFD A ∠=∠，3A A ∴∠=∠，0A ∴∠=°（不符合题意舍去）；③当DF AF =时，ADF A ∠=∠，1804A A ∴°−∠=∠，解得36A ∠=°．综上所述：A ∠的度数可能是1807°或36°．故答案为：1807°或36°．【点睛】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．三、解答题19. 已知：如图，AC 、DB 相交于点O ，AB DC =，ABO DCO ∠=∠．（1）求证：ABO DCO ≅ ；（2）若34OBC ∠= ，求OCB ∠的度数．【答案】（1）证明见解析（2）34OCB ∠=【解析】【分析】(1)利用AAS 证明即可．(2)利用全等的三角形的对应边相等证明即可．【小问1详解】在ABO 和DCO 中，AOB COD ABO DCO AB CD ∠=∠ ∠=∠ =∴ABO DCO ≅ （AAS ）．【小问2详解】由（1）知，ABO DCO ≅ ，∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠，∵34OBC ∠= ，∴34OCB ∠= ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边对等角，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20. 如图，在三角形ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AD 为BC 边上的中线，且AD ＝4，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AD ⊥BC ；（2）求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）DE ＝2.4．【解析】【分析】（1）根据三角形中线的定义求得BD ，在ABD △中，根据勾股定理的逆定理判定ABD △是直角三角形即可证明AD BC ⊥；（2）根据（1）的结论可得AD 垂直平分BC ，进而可得AC 的长，进而根据等面积法求得DE 即可．【详解】（1）证明：∵BC ＝6，AD 为BC 边上的中线，∴BD ＝DC ＝12BC ＝3，∵AD ＝4，AB ＝5，22225,25BD AD AB ∴+== ∴BD 2+AD 2＝AB 2，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ；（2）解：∵AD ⊥BC ，AD 为BC∴AB ＝AC ，∵AB ＝5，∴AC ＝5，∵△ADC 的面积S ＝12AD DC ××＝12AC DE ××，解得：DE ＝2.4．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形中线的定义，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．21. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ′′′ ；（2）三角形ABC 的面积为_______；（3）以AC 为边作与ABC 全等的三角形，则可作出______个三角形与ABC 全等；（4）在直线l 上找一点P ，使PB PC +的长最短．【答案】（1）见解析（2）3（3）3 （4）见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称的定义去构图即可．（2）运用分割法计算．（3）利用对称法、构造平行四边形法和同侧共边全等法构造即可．（4）利用轴对称思想去确定即可．【小问1详解】根据题意，画图如下：则A B C ′′′ 即为所求．【小问2详解】根据题意，得111241422123222ABC S =×−××−××−××= ．故答案为：3．【小问3详解】利用轴对称法、构造平行四边形法，确定全等三角形如下：共有3个，故答案为：3．【小问4详解】如图，作出点C 关于直线l 的对称点C ′，连接C B ′，交直线l 于点P ，则点P 即为所求．【点睛】本题考查了画轴对称图形，构造全等三角形，将军饮马河原理，分割法计算三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键．22. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且 AE =AB ．（1）求证：∠B =2∠C ；（2）若AC =10，AD =6，求△ABC 的周长．【答案】（1）见解析（2）26【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB =AE =CE ，求出∠AEB =∠B 和∠C =∠EAC ，再根据外角性质即可得出答案；（2）根据勾股定理求出CD =8，由已知能推出AB +BC =2DE +2EC =2×8=16，即可得出答案．【小问1详解】∵AD ⊥BC ，AE =AB ，EF 垂直平分AC ，∴AB =AE =EC ，∴∠C =∠CAE ，∠B =∠AEB ，∴∠B =∠AEB =∠C +∠CAE =2∠C 【小问2详解】在直角三角形ACD 中，∵∠ADC =90°，∴8CD ，∵AD ⊥BC ，AE =AB ，EF 垂直平分AC ，∴AB =AE =EC ，DE =BE ，∴AB +BC =AB +BD +DE +CE =2DE +2CE =2CD =2×8=16，∴△ABC 的周长=AB +BC +AC =16+10=26．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．23. 已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，点D 是平面内任意一点，CD 绕着点C 逆时针旋转90°到CE ．（1）如图①，若D ABC 内一点，求证：AD BE =；（2）如图②，若D 为AB 边上一点，5,12AD BD ==，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）13DE =【解析】【分析】（1）根据已知条件和旋转的性质，证明≌ACD BCE ，即可得证；（2）根据全等三角形的性质，以及勾股定理进行求解即可．【小问1详解】证明：∵ABC 是等腰直角三角形，∴90,ACB AC BC ∠=°=， ∵CD 绕着点C 逆时针旋转90°到CE ，∴90,DCE CD CE ∠=°=． ∴ACB DCB DCE DCB ∠−∠=∠−∠，即ACD BCE ∠=∠，在ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE = ∠=∠ =， ∴≌ACD BCE （SAS ），∴AD BE =．【小问2详解】解：∵ABC 是等腰直角三角形，∴45A ABC ∠=∠=°．∵≌ACD BCE ，∴45,CBE A AD BE ∠=∠=°=， ∴90ABE ABC CBE ∠=∠+∠=°在Rt BDE △中，由勾股定理得：222BD BE DE +=，为∴2222222125169DE BD BE BD AD =+=+=+=，∴13DE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24. 如图，在Rt ABC △中， 90,10cm,6cm ACB AB AC ∠=°==，动点P 从B 出发沿射线BC 以1cm/s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）直接写出BC 边的长______；（2）当ABP 为等腰三角形时，求t 的值；（3）直接写出当ABP 的BAP ∠为直角时，t 的值_____．【答案】（1）8cm（2）t 的值为254或10或16 （3）252【解析】【分析】（1）利用勾股定理进行计算即可；（2）分,,AP BPAB BP AB AP ===，三种情况进行讨论，利用等腰三角形的定义和勾股定理进行求解即可；（3）利用勾股定理进行计算即可．小问1详解】解：90,10cm,6cm ACB AB AC ∠=°==，∴8cm BC =；故答案为：8cm ；【小问2详解】①当AP BP = 时，如图1，则,8AP t PC BC BP t ==−=−，【在Rt ACP 中，222AC CP AP +=，∴22268t t +−=（），解得254t =；②当AB BP = 时，如图2，则10BP t ==；③当AB AP =时，如图3，则2BP BC =；∴2816t =×=，综上，t 的值为254或10或16．【小问3详解】解：如图，90BAP ∠=°，此时：,8BP t CP BP BC t ==−=−，在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，∴222222BP AB AP AB AC CP =+=++，即：()22221068t t =++−，解得：252t =．故答案为：252．【点睛】本题考查三角形中的动点问题．熟练掌握等腰三角形的性质，根据动点所在位置，利用勾股定理求解是解题的关键．注意分类讨论．25. 在Rt ABC △ 中，,90AC BC ACB =∠=°，P 为线段AB 上一动点．（1）如图1，点D 、E 分别在,AC BC 上（点D 不与点A 重合），若P 运动到AB 的中点，且PD PE ⊥．①求证：AD CE =；②若7,1AD BE ==，求PD 的长；（2）如图2，点F 在BC 上，且PC PF =，过点F 作FH AB ⊥，垂足为H ，若10AB =，在点P 运动的过程中，线段PH 的长度是否发生变化？若不变，请求出PH 的长度；若变化，请说明理由．【答案】（1）①证明见解析；②5（2）PH 的值不变，为 5【解析】【分析】（1）①连接CP ，根据等腰三角形的性质可得CP AB ⊥，,45AP PB PCE PCA A =∠=∠=∠=°，从而得到CP PA PB ==，可证得APD CPE ≌ ，即可求证；②连接DE ，根据APD CPE ≌ ，可得PD PE =，从而得到7CEAD ==，1CD BE ==，再由勾股定理，即可求解；（2）作CQ AB ⊥，垂足为Q ，证明CPQ PFH ≌ ，可得PH CQ =，再由直角三角形的性质，即可求解．【小问1详解】①证明∶ 如图1中，连接CP ，∵,90CA CB ACB =∠=°，P 为AB 的中点， ∴CP AB ⊥，,45AP PB PCE PCA A =∠=∠=∠=°， ∴CP PA PB ==， ∵90APC DPE ∠=∠=° ， ∴APD CPE ∠=∠，在△APD 和△CPE 中，A PCEAP CP APD CPE∠=∠ = ∠=∠ ，∴()ASA APD CPE ≌ ， ∴AD CE =；②解∶ 如图1中，连接DE ， ∵APD CPE ≌ ， ∴PD PE =， ∵7,1AD BE ==， ∴87AC BC CE AD ====，， ∴1CD BE ==， ∴222221750DE CD CE ===++， ∴222502PE PD PD ==+， ∴5PD =；【小问2详解】解：PH 的值不变，为5．理由：如图2中，作CQ AB ⊥，垂足为Q ，∵PC PF =，∴PCF PFC ∠=∠，∴PCQ QCB FPH B ∠+∠=∠+∠，∵45QCB B ∠=∠=°， ∴PCQ FPH ∠=∠，在CPQ 和PFH △中，CQP PFH PCQ FPH CP PF ∠=∠ ∠=∠ =∴()AAS CPQ PFH ≌ ，∴PH CQ =，∵,90,CA CB ACB CQ AB =∠=°⊥， ∴AQ BQ =， ∴125CQ AB ==， ∴5PH =是定值．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．26. 在四边形ABCD 中，=90==5==4A B C D AB CD BC AD ∠∠∠∠︒＝＝＝，，．（1）P 为BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP △的位置（点B 落在点E 处）．①如图1，当点B 落在边CD 上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即AEP △的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE=______；②如图2，PB 与CD 相交于点F ，AB 与CD 相交于点G ，且FC FE ＝，求BP 的长；（2）如图3，已知点Q 为射线BA 上的一个动点，将BCQ △沿CQ 翻折，点B 恰好落在直线DQ 上的点B ′处，求BQ 的长．【答案】（1）①3；②BP ＝103（2）BQ 的长为2或8【解析】【分析】（1）①以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，作BE 的垂直平分线交BC 于点P ，连接EP AP 、，再由翻折的性质和勾股定理求出DE 即可；②由翻折得：10BP EP AE AB ===，，设BP EP x ==,则8PC x =−,再证GEF PCF ASA △≌△（），得GF PF =，8GE PC x ==-,则,10,2GC EP x DG CD GC x AG AE GE x ===-=-=-=+，然后在Rt ADG 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①点Q 在线段AB 上时，证10QD CD ==，再由勾股定理得'6DB =，则''4BQ B Q QD DB ==-=；②点Q 在BA 延长线上时，由勾股定理得DB '=3，设',BQ B Q y ==则3DQ y =-，5AQ y =-，然后在Rt ADQ △中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【小问1详解】解：①以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，作BE 的垂直平分线交BC 于点P ，连接,EP AP AEP 、△即为所求的三角形，3DE ＝②由翻折得：===5==90BP EP AE AB E B ∠∠︒，，，∴∠E ＝∠C ，设BP EP x ＝＝，则4PC x ＝﹣，∵EFG CFP FE FC ∠∠＝，＝，∴()GEF PCF ASA ≌，∴4GF PF GE PC x ＝，＝＝﹣，∴GC EP x ＝＝，∴-5-DG CD GC x ＝＝，()541AG AE GE x x +＝-＝--＝，在Rt ADG 中，由勾股定理得：()()222451x x ++﹣＝，解得： 10=3x ,即03=1BP 【小问2详解】解：分两种情况：①点Q 在线段AB 上时，如图3所示：由翻折的性质得：''4''90CQB CQB B C BC BQ B Q CB Q B ∠∠∠∠︒＝，＝＝，＝，＝＝，∴'90CB D ∠︒＝，∵180A ADC ∠+∠︒＝，∴//CD AB ，∴DCQ CQB ∠∠＝，∴DCQ CQD ∠∠＝，∴5QD CD ＝＝，∴'3DB ＝，∴''532BQ B Q QDDB ＝＝﹣＝﹣＝； ②点Q 在BA 延长线上时，如图4所示：由翻折的性质得：''4'90BQ B Q B C BC B B ∠∠︒＝，＝＝，＝＝，∴'3DB ＝，设'BQ B Q y ＝＝，则3DQ y＝﹣，5AQ y ＝﹣， ∵90BAD ∠°＝，∴90DAQ ∠︒＝，在 Rt ADQ 中，由勾股定理得：()()222453y y +﹣＝﹣，解得：8y ＝，即8BQ ＝；综上所述，BQ 的长为2或8．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论以及尺规作图等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型．。

江苏省无锡市梁溪区江南中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

江苏省无锡市梁溪区江南中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知图中的两个三角形全等，则α∠等于（）A ．72︒B ．40︒C ．58︒D ．50︒3．下列各组数中，是勾股数的是（）A ．2，3，4B ．3，5，7C ．3，4，5D ．0.6，0.8，14．下列说法中错误的是（）A ．轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分B ．形状相同的两个三角形全等C ．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合D ．三角形具有稳定性5．如图，AC 与BD 相交于点O ，OA OD A D =∠=∠，，不添加辅助线，判定ABO DCO △△≌的依据是（）A ．角边角B ．边角边C ．角角边D ．斜边直角边6．如图，ABC 中，,40=∠=︒AB AC A ，则ACD ∠的度数为（）A ．70︒B ．100︒C ．110︒D ．140︒7．ABC 纸片上有一点P ，量得5cm PA PB PC ===，则点P 一定是（）A ．ABC 三条高的交点B ．ABC 三条角平分线的交点C ．ABC 三条边垂直平分线的交点D ．ABC 三条中线的交点8．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝35°，AD 是斜边BC 上的中线，将△ACD 沿AD 对折，使点C 落在点F 处，线段DF 与AB 相交于点E ，则∠FAE 等于（）A ．105°B ．75°C ．40°D ．20°9．如图，ABC 中，2AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，延长AC 至E ，使得CE AC =，连接DE BE 、．下列判断：①BD ED =；②2BD CD =；③ED 平分CEB ∠；④ABD EBD S S = ，不一定成立的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．四个正方形按如图所示的方式摆放，已知其中三个面积，则x 的值为（）A ．550B ．325C ．261D ．18913．已知等腰三角形的周长是14．若a 、b 、c 是ABC 的三边，15．如图，ABC ∠的平分线与点F ，已知3DE BDC =V ，16．如图，ABC 中，C ∠D 、E ，连接AE ，若BE 17．如图，ABC 中，AB =出发以每秒2cm 的速度沿线段PAD 是以AD 为腰的等腰三角形．18．如图，45AOB ∠=︒，点是直线MN 上的一个动点，点三、证明题19．如图，已知AB CF ，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，且DE FE =．(1)求证：ADE AFE ≌△△；(2)若7AB =，4CF =，求BD 的长．20．如图，在ABC 中，AB AC =，CD 是ACB ∠的平分线，DE BC ∥，交AC 于点E ，且25CDE ∠=︒．(1)求证：CDE 是等腰三角形；(2)求A ∠和B ∠的度数．四、作图题21．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点、、A B C 在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ''△．(2)作ABC ∠的平分线交AC 于D ．(3)2BC 的值为______．(4)与ABC 全等且有1个公共顶点C 的格点三角形有______个（ABC 除外）．五、证明题六、作图题23．金秋十月，我校第32届体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上A 、B 两点相距25m C D ，、为两个班级，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，为方便同学们接取饮用水，现要在过道AB 上临时设立一个饮水站E ，使得C 、D 两个班级到E 站的距离相等．(1)请用直尺（不带刻度）和圆规画出饮水站E 的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；(2)已知15m 10m AD BC ==，，求饮水站E 到点B 的距离．(1)【操作判断】操作一：对折正方形纸片ABCD 把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿把纸片展平，连接PM BM 、．当点M 在EF 上时，写出图(2)【迁移探究】将正方形纸片ABCD 按照“操作判断点Q ，连接BQ ，改变点P 在AD 上的位置（点与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】在“迁移探究”中，已知正方形纸片求AP 的长．八、证明题25．如图，等边ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E 为线段AD 上一动点(不与A 、D 重合)，连接BE 、CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF ，连接AF ．(1)如图1，求证：CBE CAF ∠=∠；(2)如图2，连接BF 交AC 于G ，连接DG ．①直接写出EDG ∠的度数为______；②求证：BF是AC的垂直平分线．→方向运动，当到达点E时，立即(3)动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿B E→方向运动，当点P到达点A时运动停止．为使P能最短以每秒2个单位的速度沿E AAB=，运动所需的总时间为t，直接写出2t的最小值是多少，并标时间到达A处，若6出此时E的位置，用E'表示．。

【其中考试】江苏省无锡市某校八年级(上)期中数学试卷 (2)答案与详细解析

江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1. 下列银行标志中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 如图，已知AB＝CD，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定△ABC≅△CDA的是（）A.BC＝ADB.∠B＝∠D＝90∘C.∠BAC＝∠DCAD.∠ACB＝∠CAD3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1.5，2，2.5B.4，5，6C.2，3，4D.1，√2，34. 三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS5. 在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A.三边中垂线的交点B.三边中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边上高的交点6. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A.两组直角边对应相等B.一组边对应相等C.两组锐角对应相等D.一组锐角对应相等8.如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为( )A.30∘B.36∘C.40∘D.45∘9. 如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC＝4m，BC＝3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（）A.2种B.3种C.4种D.5种10. 如图，己知△ABC中，∠ABC=50∘，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（）A.100∘B.105∘C.115∘D.无法确定二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）已知△ABC≅△DEF，∠A＝30∘，∠E＝50∘，则∠C＝________．已知一个等腰三角形的顶角为100∘，则它的底角为________．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是________．若(a−1)2+|b−2|=0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是________．如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≅△BOP，则需添加的一个条件是________（只写一个即可，不添加辅助线）．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BD，AC与BD相交于H，且AC⊥BD．①AB // CD；②△ABD≅△BAC；③AB2+CD2＝AD2+CB2；④∠ACB+∠BDA＝135∘．其中正确的有________个．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是________．三、解答题（本大题共8小题，共54分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在如图所示的网格中，已知△ABC．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）借助图中的网格，请只用直尺（不含刻度）完成以下要求：（友情提醒：请别忘了标注字母！）①在图中找一点P，使得P到AB、AC的距离相等，且PA＝PB；②在x轴上找一点Q，使得△QAB的周长最小．如图，已知△ABC，∠C=90∘，AC<BC，若D为BC上一点，且到A，B两点距离相等．（1）利用尺规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若AB=5，AC=3，求CD的长．如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≅△AED；（2）若E为AB中点，求∠B的度数．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=3，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，求CE的长．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P且平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、点E．（1）求证：DB＝DP；（2）若DB＝5，DE＝9，求CE的长．如图1，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形．（1）求证：直线AG垂直平分BC；（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由．如图，△ABC中，∠ACB＝90∘，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（2）点P在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值________．参考答案与试题解析江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】A、是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故正确．2.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】A【考点】勾股定理的逆定理【解析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、12+(√2)2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误.故选A．4.【答案】D【考点】三角形的稳定性全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】列表法与树状图法游戏公平性线段垂直平分线的性质三角形的角平分线、中线和高【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．6.【答案】A【考点】勾股定理的应用勾股定理的综合与创新【解析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD−AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】AB=4cm，CD=3cm，解：Rt△ACD中，AC=12根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5(cm)，∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2(cm)，故橡皮筋被拉长了2cm．故选A.7.【答案】A【考点】直角三角形全等的判定【解析】利用SAS、HL、AAS进行判定．【解答】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；B、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，则选项错误；C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误．故选A．8.【答案】B【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180∘，求∠B，【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180∘，∴5∠B=180∘，∴∠B=36∘.故选B.9.【答案】B【考点】等腰三角形的性质勾股定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据三角形的内角和得到∠BAC +∠ACB =130∘，根据线段的垂直平分线的性质得到AM =PM ，PN =CN ，由等腰三角形的性质得到∠MAP =∠APM ，∠CPN =∠PCN ，推出∠MAP +∠PCN =∠PAC +∠ACP =12×130∘=65∘，于是得到结论．【解答】解：∵ ∠ABC =50∘，∴ ∠BAC +∠ACB =130∘，∵ 若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，∴ AM =PM ，PN =CN ，∴ ∠MAP =∠APM ，∠CPN =∠PCN ，∵ ∠APC =180∘−∠APM −∠CPN =180∘−∠PAC −∠ACP ，∴ ∠MAP +∠PCN =∠PAC +∠ACP =12×130∘=65∘，∴ ∠APC =115∘，故选C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）【答案】100∘【考点】全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】40∘【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论．【解答】解：∵ 一个等腰三角形的顶角为100∘，∴ 它的底角=180∘−100∘2=40∘．故答案为：40∘．【答案】5【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线【解析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．【解答】解：已知直角三角形的两直角边为6，8，则斜边长为√62+82=10，×10=5.故斜边的中线长为12故答案为：5.【答案】5【考点】等腰三角形的判定与性质非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方三角形三边关系【解析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．【解答】解：根据题意得，a−1=0，b−2=0，解得a=1，b=2，①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1，1，2，∵1+1=2，∴不能组成三角形；②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2，2，1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．【答案】6【考点】轴对称的性质等腰三角形的判定与性质勾股定理【解析】根据等腰三角形性质求出BD=DC，AD⊥BC，推出△CEF和△BEF关于直线AD对称，S△ABC求出即可．得出S△BEF=S△CEF，根据图中阴影部分的面积是12【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴BD=DC=3，AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF=S△CEF，由勾股定理得：AD=√AB2−BD2=4，∵△ABC的面积是12×BC×AD=12×6×4=12，∴图中阴影部分的面积是12S△ABC=6．故答案为：6．【答案】∠APO=∠BPO等【考点】全等三角形的判定【解析】首先添加∠APO=∠BPO，利用ASA判断得出△AOP≅△BOP．【解答】解：∠APO=∠BPO等．理由：∵点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中{∠AOP=∠BOPOP=OP∠OPA=∠OPB，∴△AOP≅△BOP(ASA)，故答案为：∠APO=∠BPO等．【答案】2【考点】勾股定理全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】10【考点】轴对称——最短路线问题等腰直角三角形【解析】首先作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时PB+PE最小，然后由在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，可得∠BAD=90∘，又由BE=2，AE= 3BE，可求得AE与AD的长，继而求得PE+PB=DE的长．【解答】解：作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时PB+PE最小，则PB=PD，∠BAC=∠DAC，AD=AB，∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，∴∠BAC=45∘，∴∠DAC=∠BAC=45∘，∴∠BAD=90∘，∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=AE+BE=8，∴DE=√AE2+AD2=10，∴PB+PE=PD+PE=DE=10．故答案为：10．三、解答题（本大题共8小题，共54分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】如图所示，点P即为所求；如图所示，点Q即为所求．【考点】作图-轴对称变换角平分线的性质勾股定理线段垂直平分线的性质轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：（1）如图，点D为所作；（2）在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√52−32=4，设CD的长为x，则BD的长为(4−x)，由题意得AD=BD=4−x，在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴32+x2=(4−x)2，，解得x=78∴CD的长为7．8【考点】作图—复杂作图线段垂直平分线的性质勾股定理【解析】（1）作AB的垂直平分线交BC于D点，则DA=DB；（2）先Rt△ABC中利用勾股定理计算出BC=4，设CD的长为x，则BD的长为(4−x)，所有AD=BD=4−x，然后在Rt△ACD中利用勾股定理得到32+x2=(4−x)2，再解方程求出x即可．【解答】解：（1）如图，点D为所作；（2）在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√52−32=4，设CD的长为x，则BD的长为(4−x)，由题意得AD=BD=4−x，在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴32+x2=(4−x)2，解得x=78，∴CD的长为78．【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90∘，∴∠DEA=∠C，在△ACD和△AED中，{∠CAD=∠EAD∠C=∠DEAAD=AD，∴△ACD≅△AED(AAS)．（2）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD=DB，∴∠B=∠EAD，∵∠CAD=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD=∠B，∵∠CAD+∠EAD+∠B=90∘，∴∠B=30∘．【考点】全等三角形的性质角平分线的性质【解析】（1）由角平分线得出∠CAD=∠EAD，再由∠DEA=∠C和公共边，根据AAS证明△ACD≅△AED即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出AD=DB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠EAD，因此∠CAD+∠EAD+∠B=90∘，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90∘，∴∠DEA=∠C，在△ACD和△AED中，{∠CAD=∠EAD∠C=∠DEAAD=AD，∴△ACD≅△AED(AAS)．（2）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD=DB，∴∠B=∠EAD，∵∠CAD=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD=∠B，∵∠CAD+∠EAD+∠B=90∘，∴∠B=30∘．【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵∠ACB=90∘，DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED，在△ACD与△AED中，{∠ACD=∠AED=90∘∠EAD=∠CADAD=AD，∴△ACD≅△AED，∴AE=AC，∵∠B=30∘，∴∠BAC=60∘，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=3．【考点】含30度角的直角三角形直角三角形斜边上的中线【解析】由AD是△ABC的角平分线，得到∠EAD=∠CAD，推出∠ACD=∠AED，根据全等三角形的性质得到AE=AC，得到△ACE是等边三角形，于是得到结论．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵∠ACB=90∘，DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED，在△ACD与△AED中，{∠ACD=∠AED=90∘∠EAD=∠CADAD=AD，∴△ACD≅△AED，∴AE=AC，∵∠B=30∘，∴∠BAC=60∘，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=3．【答案】证明：∵DE // BC，∴∠DPB＝∠PBC，∵BP平分∠ABC，∴∠PBA＝∠PBC，∴∠DPB＝∠PBA，∴DB＝DP．由（1）同理可得EC＝EP，∴DE＝DP+EP＝DB+CE，∵DB＝5，DE＝9，∴CE＝4．【考点】平行线的性质等腰三角形的性质与判定【解析】（1）根据等角对等边证明即可；（2）首先证明DE＝BD+EC，利用结论即可解决问题；【解答】证明：∵DE // BC，∴∠DPB＝∠PBC，∵BP平分∠ABC，∴∠PBA＝∠PBC，∴∠DPB＝∠PBA，∴DB＝DP．由（1）同理可得EC＝EP，∴DE＝DP+EP＝DB+CE，∵DB＝5，DE＝9，∴CE＝4．【答案】∵△GBC为等边三角形，∴GB＝GC，∴点G在BC的垂直平分线上，又∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴直线AG垂直平分BC；△EGC构成直角三角形，理由如下：∵△GBC和△ABE为等边三角形，∴GB＝BC＝GC，EB＝BA，∴∠EBC＝∠ABG，在△EBC和△ABG中，，∴△EBC≅△ABG(SAS)，∴∠ECB＝∠AGB，∵GB＝GC且AG⊥BC，∴∠AGB＝∠BGC＝30∘，∴∠ECB＝30∘，∴∠ECG＝90∘，即△EGC构成直角三角形．【考点】等边三角形的性质全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图1，过P作PE⊥AB，∵∠ACB＝90∘，∴AC＝＝＝3，∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90∘，BC＝6，∴CP＝EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，，∴Rt△ACP≅Rt△AEP(HL)，∴AC＝8cm＝AE，BE＝4，设CP＝x，则BP＝6−x，∴Rt△BEP中，BE2+PE8＝BP2，即24+x2＝(6−x)4，解得x＝，∴CP＝，∴CA+CP＝8+＝，∴t＝÷4＝；当点P沿折线A−C−B−A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝(10+8+6)÷2＝6．综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上或6；或5.3或5或【考点】等腰三角形的性质角平分线的性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

江苏省无锡八年级上学期期中考试数学试卷有答案

AC DEF B（第14题图）（第16题图）EDC BA（第13题图）ABDC（第15题图）江苏省无锡市八年级上学期期中考试数学试卷（考试时间：100分钟满分：100分）一．选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分.）1．16的平方根是……………………………………………………………………（）A ．±4B ．4C ．－4D ．±82．下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是……………………………………（）A ．B ．C ．D ．3．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A ．3、4、5B ．6、8、10C ．5、12、13D ．3、2、 54. 如图，在数轴上表示实数15的点可能是………………………………………（）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N 5. 下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是………………（）A ．任意两边之和大于第三边B ．内角和等于180°C ．有两个锐角的和等于90°D ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边6.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果B 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是……………（）A ．6 B ．7C ．8D ．98.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为……………（）A ．13B ．12C ．23D ．不能确定二．填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分.）9．若3是a ＋7的算术平方根，2是2b ＋2的立方根，则3a ＋b 的值是．10．已知a －3＋||b －4＝0，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边长为. 11．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边长为.12.一直角三角形的两条直角边长分别为12、5，则斜边长是，斜边上的高是. 13.如图△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∠A ＝30o ，∠ACB ＝80o ，则∠BCE ＝oCBA（第6题图）（第7题图）（第8题图）BA1 0234NMQP????。

2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级(上)期中数学试卷[含答案]

2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．60°C．58°D．50°3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A．1B．C．2D．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜68．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．2B．3C．3.5D．410．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是．（填写序号）17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝，c＝　时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝，c＝　时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝．2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝50°．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．【解答】解：A、∵202＝62+82，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵a2﹣c2＝b2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、设∠A＝x°，则∠B＝（）°，∠C＝（）°，则x++＝180，∴x＝，即∠A＝（）°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用线段的垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的定义、全等三角形等知识点逐项判断即可．灵活运用相关定义是解题的关键．【解答】解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；④两边分别相等且其夹角也相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．综上，真命题有2个．故选：B．【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形，灵活运用相关定义是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A．1B．C．2D．【分析】点D到AB的距离，指的是过点D作AB的垂线段DE的长度，根据角平分线的性质，可以得到DE＝CD，利用AC＝4，DC＝AD，可以求出线段CD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝，AC＝4，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，点D到AB的距离指的是过点D作AB的垂线段的长度，是解决此题的突破口．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜6【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．【解答】解：A、当AB＝BC＝4.5，即x＝4.5时，△ABC是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；B、周长为12的等边三角形，边长为4，而AC＝3，故△ABC不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；C、△ABC是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知AC＝3，AB＝x＝4时，BC＝5或AC＝3，AB＝x＝5，BC＝4都可以，原说法错误，故选项符合题意；D、根据三角形的三边关系可知3＜x＜6，说法正确，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解决问题；【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MBN＝30°，∴∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．2B．3C．3.5D．4【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣2＝3．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．10．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴折叠成直三棱柱后CM＝＝，折叠成直三棱柱后CP＝＝，折叠成直三棱柱后CN＝＝，∵＞＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为　15　．【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，所以其另一边只能是6，故其周长为6+6+3＝15．故答案为15．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于　16　．【分析】根据线段垂直平分线得到AC＝CE＝5，直接根据周长公式计算即可．【解答】解：∵MN垂直平分AE，∴AC＝CE＝5，∴AB＝AC＝5，又∵BC＝6，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+5+6＝16，故答案为：16．【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　15　度．【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为　2　．【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BD＝2．【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，则∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，，∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴．∵AC＝10，BC＝6，∴，故答案是：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　1.4m　．【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD、OE＝BD，求出DE的长即可解答．【解答】解：由题意可知：∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），∵AD＝1m，∴AE＝AD+DE＝1+0.4＝1.4（m）．故答案为：1.4m．【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△COE≌△OBD（AAS）是解题的关键．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是　①②③　．（填写序号）【分析】先根据勾股定理求得长方体的体对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可解答．【解答】解：如图，连接AC，CE．由题意知：AD＝20cm，CD＝50cm，AE＝40cm．在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝AD2+CD2＝202+502．在直角△ACE中，CE2＝AE2+AC2．∴CE2＝402+202+502＝4500．因为382＝1444＜4500，402＝1600＜4500，602＝3600＜4500，682＝4624＞4500，所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查勾股定理，求得长方体的体对角线的长度是解题的关键．17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝　6　．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）【分析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．证明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP 是矩形，推出MG＝PC＝BC，证明△MGW≌△BCT（AAS），推出MW＝BT，由MN＝BM，NW＝MT，可证△NWE≌MTP，推出S1+S5＝S3＝6，【解答】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，∴∠ABC＝∠MBQ，∵BA＝BM，BC＝BQ，∴△ABC≌△MBQ（SAS），∴∠ACB＝∠BQM＝90°，∵∠PQB＝90°，∴M，P，Q共线，∵四边形CGMP是矩形，∴MG＝PC＝BC，∵∠BCT＝∠MGB＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，∴∠MQG＝∠BTC，∴△MGW≌△BCT（AAS），∴MW＝BT，∵MN＝BM，∴NW＝MT，可证△NWE≌MTP，∴S1+S5＝S3＝6，解法二：∵AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2+S左空+S右空+S5＝S3+S4+S左空+S右空，∴S1+S5＝S4＝6故答案为6．【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为　22.5°或67.5°或45°　．【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答．【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，分三种情况：当A′D＝A′E时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；当DA′＝DE时，∴∠A′＝∠DEA′＝30°，∵∠DEA′是△ACE的一个外角，∴∠DEA′＞30°，∴此种情况不成立；当ED＝EA′时，如图：∴∠EDA′＝∠A′＝30°，∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°，故答案为：22.5°或67.5°或45°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．【分析】（1）利用平行线的性质得∠B＝∠C，再利用AAS证明△ABE≌△DCF；（2）利用全等三角形的性质得∠D＝∠A＝45°，再利用三角形外角的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴∠D＝∠A＝55°，∴∠BFD＝∠C+∠D＝30°+55°＝85°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为　4　；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．【分析】（1）根据轴对称的性质确定A，B，C的对应点D，E，F，然后再顺次连接即可，再运用割补法求△ABC的面积即可；（2）先构造等腰直角三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质作图即可．【解答】解：（1）如图1：△DEF即为所求．△ABC的面积为．（2）如图2：线段BD即为所求．．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：连接AC∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，BC＝12m，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，则AC＝5m，∴AC2+CD2＝25+144＝169＝132又∵AD2＝132，∴AC2+CD2＝CD2∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝6+30＝36（m2），∴学校要投入资金为：200×36＝7200（元）；答：学校需要投入7200元买草皮．【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．【分析】（1）由角的和差可得∠DAC＝∠BAE，进而证得△ACD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）如图2：连接BE，由垂直平分线的性质可得AD＝DE，进而得到△ADE是等边三角形，即；再运用全等三角形的性质可得BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，最后运用勾股定理即可解答．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）解：如图2：连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝　1　时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．【分析】（1）先由勾股定理可得BC的长，当AP是中线时，AP平分△ABC的面积，即2t＝2，可得结论；（2）当△ABP为等腰三角形时，存在三种情况：AP＝BP或AB＝AP或AB＝BP，根据BP＝2t和等量关系列方程可解答；（3）如图4中，如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，根据对称可知：AE+EF的最小值就是AF'的长，根据面积法可得结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，当BP＝CP时，AP平分△ABC的面积，即BP＝2t＝2，∴t＝1，则当t＝1时，AP平分△ABC的面积；故答案为：1；（2）分三种情况：①如图1，AP＝PB，由题意得：AP＝BP＝2t，∴CP＝4﹣2t，由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2，∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，∴t＝；②如图2，AB＝BP＝5，∴2t＝5，∴t＝；③如图3，AB＝AP，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴BP＝2BC＝8，∴2t＝8，∴t＝4；综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值是或或4；（3）如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，则AB与A'B关于BC对称，∴EF＝EF'，∴AE+EF＝AE+EF'＝AF'，即此时AE+EF的值最小，且最小值是AF'的长，∵AC＝A'C＝3，AB＝A'B＝5，∴△ABA'的面积＝×6×4＝×5AF'，∴AF'＝，∴AE+EF的最小值是．【点评】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．【分析】（1）由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明△BAD≌△CAE，推得∠ADB＝∠AEC，再由∠DAE+∠DFE＝180°，∠BFC+∠DFE＝180°得∠BFC＝∠DAE＝∠BAC；（2）当点D在△ABC的内部时，延长BD交CE于点F，由（1）中的结论直接推得∠BFC＝∠DAE＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；当点D在△ABC的外部时，设BD交CE于点F，交AC于点G，先证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，由此推得∠AFC＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；（3）连接AC、BD交于点F，则∠BFC＝∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，由勾股定理可推得AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，则AD2+42＝62+52，可求出AD长．【解答】解：（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．理由：如图1，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∴∠ADF+∠AEC＝∠ADF+∠ADB＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∵∠BFC+∠DFE＝180°，∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC．（2）当点D在△ABC的内部时，如图2甲，延长BD交CE于点F，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BFC＝∠DAE＝90°，∵∠DCE＝62°，∴∠BDC＝∠BFC+∠DCE＝90°+62°＝152°；当点D在△ABC的外部时，如图2乙，BD交CE于点F，交AC于点G，∵∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE＝90°+∠CAD，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠CGD＝∠AGB，∴∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC﹣∠DCE＝90°﹣62°＝28°，综上所述，∠BDC＝152°或∠BDC＝28°.（3）如图3，连接AC、BD交于点F，∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BFC＝∠COD＝90°，∴∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，∴AD2＝FA2+FD2，BC2＝FB2+FC2，AB2＝FA2+FB2，CD2＝FC2+FD2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，∵AB＝6，BC＝4，CD＝5，∴AD2+42＝62+52，∴AD＝3，∴AD的长为3．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　60　、　61　；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝，c＝时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝，c＝　；　时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝　25或52或101或29　．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；（4）由勾股定理可得：a2+b2＝c2，再根据勾股定理可得（c﹣b）（c+b）＝400；然后根据列举法即可解答．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61．（2）观察发现：当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：；证明如下：∵，∴，又∵n为奇数，且n≥3，∴n，三个数组成的数是勾股数．（3）观察发现：当a＝n（n为偶数，且n≥5）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方。

2022-2023学年江苏省无锡市惠山区八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年江苏省无锡市惠山区八年级（上）期中数学试卷1. 2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )A.B.C.D.2. 在实数3.1415926，√643，1.010010001…，2−√5，π2，√81，中无理数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 1 3. 下列各式中，一定是二次根式的是( )A. −√−2B. √33C. √a −1D. √a 2+14. 如图，点A ，E ，B ，D 在同一直线上．在△ABC 和△DEF 中，AC//DF ，AC =DF ，只添加一个条件，能判定△ABC ≌△DEF 的是( )A. BC =DEB. ∠ABC =∠DC. ∠A =∠DEFD. AE =DB5. 小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程(如图所示).连接CD 、C′D′得出了△OCD ≌△O′C′D′，从而得到∠O =∠O′.其中小明作出△OCD ≌△O′C′D′判定的依据是( )A. 角边角B. 边角边C. 边边边D. 角角边AB的长为半径画圆6.如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A，B两点为圆心，大于12弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )A. 8B. 10C. 11D. 137.如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为( )A. 5B. 2.5C. 2.4D. 38.在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( )A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三边垂直平分线的交点D. 三边上高的交点9.如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC=6，DE=2，则△BCE的面积是( )A. 4B. 6C. 8D. 1210.如图，钝角△ABC中，AC=4，BC=5，AB=7，过三角形一个顶点的一条直线可将△ABC 分成两个三角形．若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有条．( )A. 5B. 6C. 7D. 811.比较大小：√7______3.(选填“>”、“<”或“=”)12.9的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为______.13.七大洲的总面积约为1.49亿km2，这个数据1.49亿精确到______位．14.如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90∘)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm.15.如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2=50∘，则∠1的度数是______.16.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC=______尺．(注：1丈=10尺．) 17.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm.点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以xcm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为______时，△ABP与△PCQ全等．18.在△ABC中，BC=AC=2，∠ACB=90∘，D是线段AB上的动点．连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90∘至CE的位置．连接BE，则BE的最大值为______.19.计算：3+(−1)2022；(1)(√2−1)0+|−3|−√273−2−2.(2)√16+√−820.求下列各式中x的值：(1)2x2−50=0；(2)3(x+1)3+24=0.21.如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D，BF与EC相交于点M.求证：∠E=∠F.22.如图，AB//CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P 为线段BC的中点，连接PE.(1)猜想线段AB、BC、CD有何数量关系？请说明理由．(2)若BE=5，CE=12，求线段PE的长度．23.如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图．(1)图中的△ACD是等腰三角形吗？______(填“是”或“不是”)(2)在图中找一格点E，使CA平分∠BCE.(3)点P、点Q分别为线段AC、BC上的动点，连接BP、PQ，作出当BP+PQ最小时，点P 位置．24.如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1.小明站在E处，眼睛F望向楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余．过点F作FG⊥AB于点G.已知BG=1.5米，BE=CD=20米，BD=60米，点B、E、D在一条直线上．AB⊥BD，FE⊥BD，CD⊥BD，试求单元楼AB的高．(注：BE=FG，BG=EF，∠1与∠3互余).25.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6.若动点P从点C出发，以2个单位每秒的速度沿折线C−A−B−C运动，设运动时间为t秒．(1)当t=1时，连接BP，则BP=______.(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．26.在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交线段BC于点F.(1)如图1，当∠BAC=90∘，DE//AC时．①AE和BC有怎样的位置关系，为什么？②若BF=8，EF=4，求线段AB的长．(2)如图2，若∠C=3∠B，折叠后要使△DEF和△AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时∠B的度数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项A 、C 、D 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：B.根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.【答案】B【解析】解：√643=4，√81=9，故在实数3.1415926，√643，1.010010001…，2−√5，π2，√81中，无理数有1.010010001…，2−√5，π2，共3个．故选：B.根据无理数是无限不循环小数，可得答案．此题主要考查了算术平方根，立方根以及无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．3.【答案】D【解析】解：A.被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意； B .根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；C .a −1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；D .被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．故选：D.根据二次根式的定义进行判断．本题考查了二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如√a(a ≥0)的式子叫做二次根式．4.【答案】D【解析】解：添加AE =DB ，理由如下： ∵AC//DF ，∴∠A=∠D，∵AE=DB，∴AE+BE=DB+BE，∴AB=DE，∵AC=DF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF.故选：D.先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．5.【答案】C【解析】解：在△OCD与△O′C′D′中，{OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，∴△COD≌△C′O′D′(SSS).故选：C.由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，由SSS的判定定理可以得到三角形全等，从而求解．本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC.【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴△BDC的周长为：DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.故选：A.7.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√42+32=5.∵CD是斜边AB上的中线，AB=2.5，∴CD=12故选：B.首先根据勾股定理求得斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长．此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，故选C.9.【答案】B【解析】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，×BC×EF=6，∴△BCE的面积=12故选：B.作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，∴满足条件的直线有4条；分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，∴满足条件的直线有3条，综上可知满足条件的直线共有7条，故选：C.分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，即可得出结论．本题主要考查了等腰三角形的性质以及分类讨论，正确画出图形是解题的关键．11.【答案】<【解析】解：∵(√7)2=7，32=9，7<9，∴√7<3.故答案为：<.利用平方法比较大小即可．本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．12.【答案】7或1【解析】解：∵9的平方根是x，64的立方根是y，∴x=±3，y=4，∴当x=3，y=4时，x+y=3+4=7；当x=−3，y=4时，x+y=−3+4=1；综上所述：x+y的值为7或1，故答案为：7或1.根据平方根与立方根的意义可得x=±3，y=4，然后分两种情况进行计算即可解答．本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．13.【答案】百万【解析】解：数据1.49亿精确到百万位．故答案为：百万．关键近似数的精确度求解．本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．14.【答案】30【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90∘，∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠DAC=90∘，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠BCE AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，∴DE=DC+CE=30(cm)，答：两堵木墙之间的距离为30cm.故答案为：30.根据题意可得AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90∘，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．15.【答案】65∘【解析】解：如图，由折叠知，∠1=∠3，∵∠2=50∘，∴∠1=∠3=(180∘−50∘)÷2=65∘，故答案为：65∘.根据折叠的性质得∠1=∠3，再利用平角的定义可得答案．本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．16.【答案】9120【解析】解：设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10−x)尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+32=(10−x)2，，解得：x=9120.故答案为：9120设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10−x)尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题考查了勾股定理的应用以及数学常识，由勾股定理得出方程是解题的关键．17.【答案】2或32【解析】解：设点Q从点C出发t s，同时点P从点B出发t s，①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB=8cm，∴PC=8cm，∵BP=12−8=4(cm)，∴2t=4，解得：t=2，∴CQ=BP=4cm，∴x×2=4，解得：x=2；②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，∵BA=CQ，∴2t=8，∴t=4，∴BP=PC=6cm，∴4x=6，，解得：x=32综上所述，当x=2或3时，△ABP与△PQC全等，2.故答案为：2或32可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP=CQ，AB=PC，②△ABP≌△QCP得到BA=CQ，PB= PC，然后分别计算出t的值，进而得到x的值．主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．18.【答案】2√2【解析】解：∵BC=AC=2，∠ACB=90∘，∴AB=2√2，∠CAB=∠CBA=45∘，∵将CD绕点C逆时针旋转90∘至CE的位置，∴CD=CE，∠DCE=90∘=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD，∵D在△ABC的边AB上，∴AD的最大值为AB，∴BE的最大值为2√2，故答案为：2√2.由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)原式=1+3−3+1=2；(2)原式=4−2−14=134.【解析】(1)直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；(2)直接利用二次根式的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：(1)2x2−50=0，2x2=50，x2=25，x=±5；(2)3(x+1)3+24=0，3(x+1)3=−24，(x+1)3=−8，x+1=−2，x=−3.【解析】(1)利用平方根的意义，进行计算即可解答；(2)利用立方根的意义，进行计算即可解答．本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．21.【答案】证明：∵AB=CD，∴AC=BD，在△ACE和△DBF中，{AE=DF ∠A=∠D AC=DB，∴△ACE≌△DBF(SAS)，∴∠E=∠F.【解析】根据SAS证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质即可得证．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22.【答案】解：(1)BC=AB+CD.证明：过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∵AD⊥AB，∴∠BAE=90∘，∵AB//CD ∴∠BAD+∠ADC=90∘，∴∠EDC=90∘，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠HBE，在△ABE和△HBE中，{∠ABE=∠HBE ∠BHE=∠BAE BE=BE，∴△ABE≌△HBE(AAS)，∴AB=BH，同理可证：△CHE≌△CDE(AAS)，∴CH=CD，∵BC=BH+CH，∴BC=AB+CD；(2)∵△ABE≌△HBE，∴∠AEB=∠HEB，∵△CHE≌△CDE，∴∠HEC=∠DEC，∴∠BEC=∠BEH+∠CEH=12∠AED=90∘，∵BE=5，CE=12，∴BC=√BE2+CE2=√52+122=13，∵P为BC的中点，∴PE=12BC=6.5.【解析】(1)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，证明△ABE≌△HBE(AAS)，得出AB=BH，同理可证△CHE≌△CDE(AAS)，得出CH=CD，则可得出结论；(2)证出∠BEC=90∘，由勾股定理求出BC=13，则可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】是【解析】解：(1)由勾股定理得：AD=√32+42=5，∵CD=5，∴AD=CD，∴△ACD是等腰三角形；故答案为：是；(2)如图1，点E即为所求；(3)如图2，取格点M，作射线BM交AC于点P，则点P即为所求．(1)由勾股定理和等腰三角形的判定可解答；(2)取线段CE=AE=5，则△ADC≌△AEC，从而可知：CA平分∠BCE；(3)构建全等三角形构建格点M，从而得点P的位置．本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】解：由图可得∠1+∠2=90∘，∠1+∠3=90∘，∴∠2=∠3，∵FG⊥AB，CD⊥BD，∴∠AGF=∠EDC=90∘，∵BE=CD，FG=BE，∴FG=CD=20，在△AFG与△EDC中，{∠AGF=∠EDC FG=CD∠2=∠3，∴△AFG≌△ECD(ASA)，∴AG=DE=BD−BE=40米，∴AB=AG+BG=40+1.5=41.5(米)，答：单元楼AB的高为41.5米．【解析】根据题意得四边形BEFG是矩形，求得FG=BE=20米，BG=EF=1.5米，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25.【答案】2√10【解析】解：(1)∵△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，由勾股定理得AC=√AB2−BC2=√102−62=8，连接BP，如图所示：t=1时，CP=2，∴BP=√CP2+BP2=√22+62=2√10，故答案为：2√10；(2)解：如图，过P作PE⊥AB于E，又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90∘，AB=10，BC=6，∴CP=EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，{AP=APCP=EP，∴Rt△ACP≌Rt△AEP(HL)，∴AC=AE=8，∴BE=2，设CP=EP=x，则BP=6−x，在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，即22+x2=(6−x)2，解得x=83，∴CP=83，∴CA+CP=24−83=643，∴t=323；当点P沿折线C−A−B−C运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t=4；综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为323或4；(3)①如图2，点P在CA上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形，则t=62=3；②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，∴AP=AB−BP=10−6=4，∴AC+AP=8+4=12，∴t=6；③如图4，若点P在AB上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形；=4.8，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD=6×810在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=√62−4.82=3.6，∴PB=2BD=7.2，∴CA+AP=8+10−7.2=10.8，此时t=5.4；④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，AB=5，∴AP=BP=12∴AC+AP=8+5=13，∴t=6.5；综上所述，t为3或6或5.4或6.5时，△BCP为等腰三角形．(1)根据勾股定理即可得出答案；(2)过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可；(3)分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC 于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则可得t的值；当BP= BC=6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．26.【答案】解：①AE垂直BC，理由如下：由折叠可知，∠B=∠E，∵DE//AC，∴∠E=∠EAC，∵∠DFE=∠AFC，∴∠EDF=∠C，∵∠BAC=90∘，∴∠B+∠C=90∘，∴∠E+∠EDF=90∘，∴∠DFE=90∘，∴AE⊥BC；②设BD=x，则DF=8−x，由折叠可知，DE=BD=x，在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，∴x2=(8−x)2+42，解得x=5，∴BD=5，DF=3，∵∠B=∠E，∴tan∠E=34=AFBF，∴AF=6，在Rt△ABF中，AB=√BF2+AF2=10；(2)∵∠C=3∠B，∴设∠B=α，则∠C=3α，由折叠可知，∠E=∠B=α，当∠DFE=90∘时，△DEF是直角三角形，则△AFC是等腰三角形，∴∠C=45∘，∴∠B=15∘；当∠FDE=90∘时，△DFE是直角三角形，则△ACF是等腰三角形，∴∠DFE=90∘−α，∴∠AFC=90∘−α，当AC=FC时，2(90∘−α)+3α=180∘，此时α=0∘，不符合题意，舍去；当AF=AC时，3α=90∘−α，此时α=22.5∘，∴∠B=22.5∘；当AF=FC时，3α+3α+90∘−α=180∘，此时α=18∘，∴∠B=18∘；当∠E=90∘时，此时∠B=90∘，∠C=270∘，不成立；当∠C=90∘时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠B=30∘；当∠AFC=90∘时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠E=45∘，∴∠B=45∘，此时∠C=135∘，与题意不符合，不成立；当∠FAC=90∘时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠AFC=90∘−3α，∴∠DFE=90∘−3α，当DF=EF时，α+α+90∘−3α=180∘，此时α=−90∘，不成立；当DF=DE时，90∘−3α=α，此时α=22.5∘，∴∠B=22.5∘；当DE=EF时，90∘−3α=12(180∘−α)，此时α=0∘，不成立；综上所述，∠B的值为15∘、18∘、22.5∘、30∘.【解析】(1)①由折叠可知∠B=∠E，由平行可知∠E=∠FAC，根据三角形内角和得到∠FDE=∠C，再由∠B+∠C=90∘，利用等量代换可求∠DFE=90∘，即可求解；②设BD=x，则DF=8−x，在Rt△DEF中，x2=(8−x)2+42，解出x=5，再由tan∠E=34=AFBF，求出AF=6，在Rt△ABF中，AB=√BF2+AF2=10；(2)设∠B=α，则∠C=3α，当∠DFE=90∘时，∠B=15∘；当∠FDE=90∘时，当AC=FC时，2(90∘−α)+3α=180∘，不成立；当AF=AC时，3α=90∘−α，∠B=22.5∘；当AF=FC时，3α+3α+90∘−α=180∘，∠B=18∘；当∠E=90∘时，不成立；当∠C=90∘时，∠B=30∘；当∠AFC=90∘时，不成立；当∠FAC=90∘时，当DF=EF时，α+α+90∘−3α=180∘，不成立；当DF=DE时，90∘−3α=α，∠B=22.5∘；当DE=EF时，不成立．本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．第21页，共21页。

【其中考试】江苏省无锡市某校八年级(上)期中数学试卷答案与详细解析

江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）1. 下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 27的立方根是（）A. B.3 C.9 D.3. 下列各式中，正确的是( )A.√4=±2B.±√9=3C.√(−3)2=−3D.√(−3)2=34. 下列说法正确的是( )A.√5是有理数B.5的平方根是√5C.2<√5<3D.数轴上不存在表示√5的点5. 下列式子为最简二次根式的是（）A. B. C. D.6. 如图，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≅△DEF，这个条件是（）A.∠A＝∠DB.BE＝CFC.∠ACB＝∠DFE＝90∘D.∠B＝∠DEF7. 如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（）A.SASB.SSSC.HLD.AAS8. 等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A.140∘或44∘或80∘B.20∘或80∘C.44∘或80∘D.140∘9. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF // AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A.①②③④B.①②④C.①②③D.②③④10. 一个三角形中，已知一个角为30∘，两条边长为4和6，符合条件且互不全等的三角形有（）个．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分）36的平方根是________；若y＝+−3，则x+y＝________．据统计：我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿精确到________位．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要若最简二次根式与能合并，则x＝________．若实数m、n满足|m−3|+＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是________．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118∘，则∠MCN的度数为________．如图，等边△ABC中，AO⊥BC，且AO＝2，E是线段AO上的一个动点，连接BE，线段BF与线段BE关于直线BA对称，连接OF，在点E运动的过程中，当OF的长取得最小值时，AE的长为________．如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有________个．三、解答题（本大题共有8小题，共52分）计算：（1）；求下列各式中x的值．（1）9x2−121＝0；（2）24(x−1)3+3＝0．操作题：如图，图1是8×8的方格纸、图2是6×9的方格纸，其中每个小正方形的边长为1cm，每个小正方形的顶点称为格点．（1）请在图1的方格纸中，利用网格线和三角尺画图，在AC上找一点P，使得P到AB、BC的距离相等；（2）在图2的四边形ABCD内找一点P，使∠APB＝∠CPB，∠APD＝∠CPD．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．（1）求m的值．（2）求|m−1|+m+6的值．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80∘，求∠DEC的度数．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90∘，∠DCB＝90∘，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）若∠ABC＝45∘，AC＝16时，求EF的长．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝________，BQ＝________．（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4:5两部分？（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形？【阅读】如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90∘，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ, a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45∘, 3]；【尝试】（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；（2）经过FZ[45∘, a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．参考答案与试题解析江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）1.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【解答】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；2.【答案】B【考点】算术平方根立方根的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】立方根的应用算术平方根平方根【解析】根据一个正数的算术平方根和平方根的性质可判断A、B；根据√a2=|a|可判断C；根据立方根的定义可判断D．【解答】解：√4=2，故A错误；√(−3)2=3，故C错误；√(−3)2=3，故D正确．故选D．4.【答案】C【考点】估算无理数的大小在数轴上表示实数平方根无理数的判定【解析】根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．【解答】解：A，√5是无理数，故A错误；B，5的平方根是±√5，故B错误；C，因为4<5<9，所以√4<√5<√9，所以2<√5<3，故C正确；D，数轴上存在表示√5的点，故D错误.故选C.5.【答案】A【考点】最简二次根式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】全等三角形的判定根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．【解答】∵AC＝DF，AB＝DE，∴添加∠A＝∠D，可利用SAS证明△ABC≅△DEF，故A正确；∴添加BE＝CF，得出BC＝EF，利用SSS证明△ABC≅△DEF，故B正确；∴添加∠ACB＝∠DFE＝90∘，利用HL证明Rt△ABC≅Rt△DEF，故C正确；7.【答案】C【考点】角平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A【考点】等腰三角形的性质【解析】设另一个角是x，表示出一个角是2x−20∘，然后分①x是顶角，2x−20∘是底角，②x 是底角，2x−20∘是顶角，③x与2x−20∘都是底角根据三角形的内角和等于180∘与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【解答】设另一个角是x，表示出一个角是2x−20∘，①x是顶角，2x−20∘是底角时，x+2(2x−20∘)＝180∘，解得x＝44∘，所以，顶角是44∘；②x是底角，2x−20∘是顶角时，2x+(2x−20∘)＝180∘，解得x＝50∘，所以，顶角是2×50∘−20∘＝80∘；③x与2x−20∘都是底角时，x＝2x−20∘，解得x＝20∘，所以，顶角是180∘−20∘×2＝140∘；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44∘或80∘或140∘．9.【答案】A【考点】全等三角形的性质与判定角平分线的性质本题通过证明Rt△CDE≅Rt△BDF(AAS)和△ABC为等腰三角形即可求解．【解答】∵BC恰好平分∠ABF，∴∠FBC=∠ABC∵BF // AC，∴∠FBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ABC=∠CBF，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠ACB=∠ABC，∴△ABC为等腰三角形，∴CD=BD，（故②正确），CA=AB，AD⊥BC（故③正确），∵∠ACB=∠CBF，CD=BD，∴Rt△CDE≅Rt△BDF(AAS)，∴DE=DF，（故①正确），BF=CE，CA=AB=AE+CE=2BF+BF=3BF，（故④正确），10.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分）【答案】±6,−1【考点】二次根式有意义的条件平方根【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】百万【考点】近似数和有效数字【解析】根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，找出7在哪一位上即可．【解答】近似数8.87亿精确到0.01亿，即精确到百万位，【答案】3三角形的稳定性【解析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可．【解答】解：根据三角形的稳定性，得如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．【答案】4【考点】最简二次根式同类二次根式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】10或11【考点】算术平方根等腰三角形的性质三角形三边关系绝对值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】56∘【考点】线段垂直平分线的性质【解析】据三角形内角和定理求出∠A+∠B；根据等腰三角形性质得∠ACM+∠BCN的度数，然后求解．【解答】∵∠ACB＝118∘，∴∠A+∠B＝62∘．∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠ACM+∠BCN＝62∘．∴∠MCN＝∠ACB−(∠ACM+∠BCN)＝118∘−62∘＝56∘．【答案】1【考点】轴对称的性质等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】8【考点】等腰三角形的判定【解析】分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，看其与方格是的交点是格点的个数即可．【解答】如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，则其与方格的交点为格点的有8个，三、解答题（本大题共有8小题，共52分）【答案】＝6−4−+5＝-．3×(−）＝3××(−＝2×(−＝-×＝−5．【考点】实数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意得：9x2＝121，∴x6＝，∴x＝±；24(x−5)3+3＝5，则(x−1)3＝-，故x−1＝-，解得：x＝．【考点】立方根的性质平方根【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图，点P即为所求．如图，点P即为所求．【考点】作图—应用与设计作图角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为．把m的值代入得：|m−1|+m+6＝|7−1|+6−，＝|1|+8−，＝−1+8−，＝7．【考点】实数数轴在数轴上表示实数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】∵∠BCE＝∠ACD＝90∘，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠8，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≅△DEC(AAS)，∴AC＝CD；∵∠ACD＝80∘，AC＝CD，∴∠2＝∠D＝50∘，∵AE＝AC，∴∠4＝∠7＝65∘，∴∠DEC＝180∘−∠6＝115∘．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论；（2）根据∠ACD＝80∘，AC＝CD，得到∠2＝∠D＝50∘，根据等腰三角形的性质得到∠4＝∠6＝65∘，由平角的定义得到∠DEC＝180∘−∠6＝115∘．【解答】∵∠BCE＝∠ACD＝90∘，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠8，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≅△DEC(AAS)，∴AC＝CD；∵∠ACD＝80∘，AC＝CD，∴∠2＝∠D＝50∘，∵AE＝AC，∴∠4＝∠7＝65∘，∴∠DEC＝180∘−∠6＝115∘．【答案】EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90∘，E为BD中点，∴AE＝DB，∵∠DCB＝90∘，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；∵∠BAD+∠DCB＝90∘+90∘＝180∘，∴A、B、C、D四点共圆，E为圆心，∴∠AEC＝2∠ABC＝4×45∘＝90∘，又∵F是AC中点，∴EF＝AC＝．【考点】等腰三角形的判定与性质直角三角形斜边上的中线勾股定理【解析】（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE＝CE＝BD，再根据等腰三角形三线合一的性质即可解决问题．（2）先证明A、B、C、D四点共圆，再根据圆周角定理得出∠AEC＝2∠ABC＝90∘，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．【解答】EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90∘，E为BD中点，∴AE＝DB，∵∠DCB＝90∘，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；∵∠BAD+∠DCB＝90∘+90∘＝180∘，∴A、B、C、D四点共圆，E为圆心，∴∠AEC＝2∠ABC＝4×45∘＝90∘，又∵F是AC中点，∴EF＝AC＝．【答案】9−2t,5t当点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，设ts时，如图，第1部分周长为：AB+AQ′+BP′＝8+5t−9+5−2t＝9+5t，第2部分周长为：CP′+CQ′＝2t+18−6t＝18−3t，①(9+8t)：(18−3t)＝4:3，解得t＝1，②(18−3t)：(3+3t)＝4:8，解得t＝2，答：t为1s或2s时，直线PQ把△ABC的周长分成4:5两部分；①若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP＝PQ，即2−2t＝5t，解得t＝(s)，所以当t＝s时，点P；②若△PCQ为等边三角形，则有PQ＝PC＝CQ，即18−5t＝2t，解得t＝(s)，所以当t＝s时，点P；③当点Q在AB边上，点P在BC边上，则有BQ＝BP＝PQ，即18−5t＝3t−18，解得t＝(s)，所以当t＝s时，点P；综上所述：当t＝s或s，点P．【考点】三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F．在△BCD与△AFD中，{∠BDC=∠ADFBD=AD∠CBD=∠FAD，∴△BCD≅△AFD(ASA)．∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，∴OD=12CF=CD．又由折叠可知，OD=OC，∴OD=OC=CD，∴△OCD为等边三角形，∠COD=60∘，∴θ=12∠COD=30∘；（2）∵点E四边形0ABC的边AB上，∴AB⊥直线l由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．∵θ=45∘，AB⊥直线l，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5；由图可知，当0<a<5时，点E落在四边形0ABC的外部．【考点】几何变换综合题【解析】（1）先根据ASA定理得出△BCD≅△AFD，故可得出CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，由折叠可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD为等边三角形，∠COD=60∘，根据等边三角形三线合一的性质可得出结论；（2）根据点E四边形0ABC的边AB上可知AB⊥直线l，根据由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45∘，AB⊥直线l，得出△ADE为等腰直角三角形，故可得出OA的长，由此可得出结论．【解答】解：（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F．在△BCD与△AFD中，{∠BDC=∠ADFBD=AD∠CBD=∠FAD，∴△BCD≅△AFD(ASA)．∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，∴OD=12CF=CD．又由折叠可知，OD=OC，∴OD=OC=CD，∴△OCD为等边三角形，∠COD=60∘，∴θ=12∠COD=30∘；（2）∵点E四边形0ABC的边AB上，∴AB⊥直线l由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．∵θ=45∘，AB⊥直线l，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5；由图可知，当0<a<5时，点E落在四边形0ABC的外部．试卷第21页，总21页。

初中数学无锡市南长区八年级上期中数学考试卷含答案解析.docx

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx 题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A． B． C． D．试题2:在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个试题3:已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( ) A．8或10 B．8 C．10 D．6或12试题4:如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠C=30°，则∠E的度数为( )A．30° B．50° C．60° D．100°评卷人得分试题5:．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P 有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个试题6:如图，△ABC中，AB=AC=12，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是( )A．20 B．12 C．16 D．13试题7:如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的最小值为( )A．PQ＜2 B．PQ=2C．PQ＞2 D．以上情况都有可能试题8:已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是( )A．|a|＜1＜|b| B．1＜﹣a＜b C．1＜|a|＜b D．﹣b＜a＜﹣1试题9:如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为( )A．6 B．12 C．32 D．64试题10:如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT 的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )A．3 B． C．5 D．试题11:4的算术平方根是__________试题12:9的平方根是_________试题13:﹣27的立方根是__________．试题14:若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则a b=__________．试题15:把0.697按四舍五入法精确到0.01的近似值是__________．试题16:已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为__________．试题17:如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD=30°，则∠A=__________°．试题18:等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是__________．1试题19:如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P 有__________个．试题20:如图，在△ABC中，AC=BC=，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是__________．试题21:（）2+|1﹣|+（）0试题22:（﹣1）2015﹣（）﹣2﹣|﹣2|试题23:8x3+125=0试题24:64（x+1）2﹣25=0．试题25:已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的平方根，求x﹣y的平方根．试题26:如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和PQ的端点均在小正方形的顶点上．（1）在线段PQ上确定一点C（点C在小正方形的顶点上）．使△ABC是轴对称图形，并在网格中画出△ABC；（2）请直接写出△ABC的周长和面积．试题27:如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．试题28:如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数．试题29:如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．试题30:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．现将线段AC沿AD折叠后，使得点C落在AB上，求折痕AD的长度．试题31:数学活动﹣﹣求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．试题32:阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B=180°，BC=4，AC=5，求AB的长．小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．解决下列问题：（1）图2中，AE=__________，AB=__________；（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．①如图3，当3∠A+2∠B=180°时，用含a，c式子表示b；（要求写解答过程）②当3∠A+4∠B=180°，b=2，c=3时，可得a=__________．试题1答案:A【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．试题2答案:B【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：π，是无理数，故选：B．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．试题3答案:C【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．试题4答案:D考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质得出∠F=∠C=30°，∠D=∠A=50°，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠C=30°，∴∠F=∠C=30°，∠D=∠A=50°，∴∠D=180°﹣∠D﹣∠F=180°﹣50°﹣30°=100°，故选D．【点评】本题考查了对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．试题5答案:C考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．试题6答案:C考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD=BC=4，∵AD⊥BC，点E为AC的中点，∴DE=EC=AC=6，∴△CDE的周长=CD+DE+EC=16，故选：C．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．试题7答案:B考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ=PD．【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PQ=PD=2，即线段PQ的最小值是2．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出PN与OB垂直时PN的值最小是解题的关键．试题8答案:A考点】实数大小比较；实数与数轴．【分析】首先根据数轴的特征，判断出a、﹣1、0、1、b的大小关系；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，逐一判断每个选项的正确性即可．【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置，可得a＜﹣1＜0＜1＜b，∵1＜|a|＜|b|，∴选项A错误；∵1＜﹣a＜b，∴选项B正确；∵1＜|a|＜|b|，∴选项C正确；∵﹣b＜a＜﹣1，∴选项D正确．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了实数与数轴，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）此题还考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．试题9答案:D考点】等边三角形的性质．【专题】规律型．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A7B7=64B1A2=64．故选D【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．试题10答案:C考点】勾股定理的证明．【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（NG﹣NF）2，S1+S2+S3=15得出3GF2=15，求出GF2的值即可．【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（NG﹣NF）2=NG2+NF2﹣2NG•NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF=3GF2=15，∴GF2=5，∴S2=5．故选C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2=15是解决问题的关键．试题11答案:2试题12答案:±3试题13答案:﹣3．试题14答案:8．【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算出的范围，即可得出a、b的值，代入求出即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴a=2，b=3，∴a b=8．故答案为：8．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的范围．试题15答案:0.70．【考点】近似数和有效数字．【分析】首先确定精确到哪一位，然后按要求四舍五入即可得到答案；【解答】解：∵0.697中0.01是指9所表示的数位，且7＞5∴把0.697按四舍五入法精确到0.01的近似值是0.70，故答案为：0.70．【点评】本题考查了近似数与有效数字，解题的关键是根据题意确定需要精确的数位．试题16答案:13．【考点】勾股定理．【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC两直角边长为5，12，∴斜边长==13．故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．试题17答案:30°．【考点】全等三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据全等三角形对应边相等可得OB=OD，全等三角形对应角相等可得∠ABO=∠D，再根据等边对等角求出∠OBD=∠D，然后求出∠ABC，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．【解答】解：∵△ABO≌△CDO，∴OB=OD，∠ABO=∠D，∴∠OBD=∠D=（180°﹣∠BOD）=×（180°﹣30）=75°，∴∠ABC=180°﹣75°×2=30°，∴∠A=∠ABC=30°，故答案为：30．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．试题18答案:110°或70°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为：110°或70°．【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．试题19答案:5个．【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，故答案为5．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．试题20答案:．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算．【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接C′B，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=，∵D是BC边的中点，∴BD=，根据勾股定理可得：DC′===，故EC+ED的最小值是．故答案为：．【点评】此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．试题21答案:原式=3+﹣1+1=3+；试题22答案:原式=﹣1﹣9﹣2=﹣12．试题23答案:方程整理得：x3=﹣，解得：x=﹣；试题24答案:方程整理得：（x+1）2=，开方得：x+1=±，解得：x1=﹣，x1=﹣．【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．试题25答案:【考点】平方根．【专题】计算题．【分析】根据题意可求出2x﹣y及3x+y的值，从而可得出x﹣y的值，继而可求出x﹣y的平方根．【解答】解：由题意得：2x﹣y=9，3x+y=16，解得：x=5，y=1，∴x﹣y=4，∴x﹣y的平方根为±=±2．【点评】本题主要考查了平方根的知识，难度不大，解题的关键是求x、y的值．试题26答案:【考点】利用轴对称设计图案．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质得出答案即可；（2）利用勾股定理以及结合矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）△ABC的周长为：5+5+5=10+5，面积为：7×4﹣×3×4﹣×3×4﹣×1×7=12.5．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及勾股定理，熟练利用等腰三角形的性质得出是解题关键．试题27答案:【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AB=DE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．试题28答案:【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先利用等腰三角形的性质得出∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°，进而利用等边三角形各内角度数求出∠BAD 即可，再利用三角形外角性质得出答案．【解答】解：当DE⊥AC时，∵AD=AE，∠DAE=80°，∴∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=60°﹣40°=20°，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∴60°+20°=50°+∠EDC，∴∠EDC=30°．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和三角形外角的性质等知识，熟练结合外角性质得出是解题关键．试题29答案:【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】探究型．【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，再由垂直平分线的性质得出∠A=∠ABE，根据CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，故BF是∠EBC的平分线，故（∠ABC﹣∠A）+∠C=90°，把所得等式联立即可求出∠A的度数．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=①，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A=∠ABE，∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，∴BF是∠EBC的平分线，∴（∠ABC﹣∠A）+∠C=90°，即（∠C﹣∠A）+∠C=90°②，①②联立得，∠A=36°．故∠A=36°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和为180°这一隐含条件．试题30答案:【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设点C折叠后与点E重合，由折叠的性质知AE=AC=3．在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=5，则BE=AB﹣AE=2．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【解答】解：设点C折叠后与点E重合，可得△ACD≌△AED，∴AE=AC=3．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB2=AC2+BC2，∴AB=5，∴BE=AB﹣AE=2．设CD=DE=x，则BD=4﹣x，在Rt△BDE中，∵BD2=DE2+BE2，∴（4﹣x）2=x2+22，∴x=．∵AD2=CD2+AC2∴AD=．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．试题31答案:【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】（1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点．即可求出；（2）如图2所示：先证明AG=GH，再求出，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式，求出，即可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA．∴∠B=∠DCB．又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．∴∠FDE=∠DCB．∴DG∥BC．∴∠AGD=∠ACB=90°．∴DG⊥AC．又∵DC=DA，∴G是AC的中点．∴．∴．（2）如图2所示：∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，∴GH=GD，∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3，∴AG=GD，∴AG=GH，∴点G为AH的中点；在Rt△ABC中，，∵D是AB中点，∴，在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，∴△ADH∽△ACB，∴，∴，∴．∴．【点评】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算方法；本题难度较大，综合性强，培养学生综合运用定理进行推理论证和计算的能力．试题32答案:【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．（2）①解题思路同（1），②如图3，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得AB=AD，连接BD，故AB=AD=3，∠ABD=∠D．由于3∠A+4∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，于是得到2∠A+3∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD=∠ABC+∠CBD+∠CBD，推出∠A+∠ABC=∠CBD=∠BCD，得到BD=CD=AD﹣AC=1，在直角△BDE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：BD2﹣DE2=AB2﹣AE2，即12﹣（1﹣CE）2=32﹣（2+CE）2，求得CE=，BE=，进而求得a==，【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是中垂线，故AB=BD，∠A=∠D．∵3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∴∠BCA=2∠A，又∵∠BCA=∠D+∠CBD，∴∠BCA=∠A+∠CBD=2∠A，则∠CBD=∠A，∴DC=BC=4，∴AD=DC+AC=4+5=9，∴AE=AD=4.5，∴EC=AD﹣CD=4.5﹣4=0.5．∴在直角△BCE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：BC2﹣CE2=AB2﹣AE2，即42﹣0.52=AB2﹣4.52，解得 AB=6．故答案是：4.5；6；（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是边AD的中垂线，故AB=BD，∠A=∠D．①∵3∠A+2∠B=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∴2∠A+∠ABC=∠ACB，∵∠ACB=∠D+∠DBC，∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC，∵∠A=∠D，∴∠A+∠ABC=∠DBC，BD=AB=c，即∠DCB=∠DBC，∴DB=DC=c，设EC=x，∴DE=AE=∴EC=AE﹣AC=﹣b=，∵BE2=BC2﹣EC2，BE2=AB2﹣AE2，∴a2﹣（）2=c2﹣（）2，解得，b=．②如图3，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得AB=AD，连接BD，故AB=AD=3，∠ABD=∠D．∵3∠A+4∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∴2∠A+3∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD=∠ABC+∠CBD+∠CBD，∴2∠A+2∠ABC=2∠CBD，∴∠A+∠ABC=∠CBD=∠BCD，∴BD=CD=AD﹣AC=1，∴在直角△BDE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：BD2﹣DE2=AB2﹣AE2，即12﹣（1﹣CE）2=32﹣（2+CE）2，解得 CE=，∴BE=，∴a==，故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题过程中注意等腰三角形“三线合一”性质的利用．解题的难点是通过作辅助线“作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD”构建等腰三角形和直角三角形，便于利用勾股定理求相关线段的长度．。

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江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷-(含答案)