2018版高中数学北师大版必修四学案：第二章 1 从位移、速度、力到向量
数学：2.1 从位移、速度、力到向量 教案 (北师大必修4)
2.1 从位移、速度、力到向量
本节教材分析：
（1）三维目标：
1、知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
2、过程与方法
通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
3、情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
(2)教学重点：向量及向量的有关概念、表示方法.
(3)教学难点：向量及向量的有关概念、表示方法.
(4)教学建议：本节要求学生掌握向量的基本概念及几何表示，本节内容从几何意义与向量的定义两方面学习，1、适当利用有趣问题和物理实例调动学生讨论问题的积极性感性认识向量；
2、类比方法引导学生从数学的角度分析这种现象，归纳出向量的概念；
3、让学生观察分析向量的数学表示，几何表示及相互之间的关系；
4、本节重点找出几何条件下的向量关系。
新课导入设计
导入一：
1. 趣味导入，引起学生的兴趣，结合物理生活背景理向量的概念；
2．通过几何意义与范例分析让学生对向量的表示与应用有个初步了解。
导入二：
1、通过对常见的向量问题分析，引入向量的概念，通过范例巩固向量概念的理解与应用。
高中数学必修4北师大版2.1从位移、速度、力到向量教案
2.1 从位移、速度、力到向量概念1．实例导入物理学中的位移、速度、力2．我能自学引入向量的概念1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？ 既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等 注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
记作：−→−AB注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB 的长度也叫做有向线段−→−AB的长度 有向线段的三要素：起点、方向、长度②字母表示法：也可用字母a 、b 、c （黑体字）来表示，即−→−AB可表示为（印刷时用黑体字） 3. 向量的模的概念是如何定义的？向量−→−AB的大小——长度称为向量的模。
记作：|−→−AB| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量：①零向量——长度（模）为0的向量，记作。
的方向是任意的.注意0与0的区别②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
②−→−AB 与−→−BA是否同一向量？ 答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
5.向量间的关系：1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a ∥b ∥c A(起点)B（终点）a abc规定：0与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：= 规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
2018学年高中数学北师大版必修4学案：2.1 从位移、速
§1从位移、速度、力到向量1．1位移、速度和力1．2向量的概念1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点))3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点[基础·初探]教材整理向量的概念阅读教材P73～P75“练习”以上部分，完成下列问题．1．向量的有关概念(1)定义既有大小，又有方向的量叫作向量．(2)有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB→|. (3)向量的长度|AB→|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)． (4)向量的表示法①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．②向量也可以用黑体小写斜体字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →，b →，c →…来表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小．( ) (2)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (4)向量就是有向线段．( )【解析】 (1)错误．向量不能比较大小． (2)错误.AB→与BA →方向相反不是相等向量．(3)错误．两条直线平行或重合．(4)错误．向量不能等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]①温度、速度、位移这些物理量都是向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正数；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．其中说法正确的是________．(填序号)【精彩点拨】解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．【自主解答】①错误，只有速度、位移是向量．②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．③错误.0的模|0|＝0.④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．【答案】④1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．[再练一题]1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若向量AB→与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上；(2)若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)向量AB→的长度与向量BA →的长度相等；(4)单位向量都相等．【解】 对于(1)，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1)错；对于(2)，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的，所以(2)错；对于(3)，向量AB→与BA →方向相反，但长度相等．所以(3)对；对于(4)，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同，所以(4)错.(1)已知B 和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．(2)一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．①作出向量AB →，BC →，CD →； ②求|AD→|. 【精彩点拨】 (1)根据向量的表示方法求解．(2)先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题． 【自主解答】 (1)设线段AD 的长度是3，则长度为1的向量有AB →＝BC →＝CD →，BA→＝CB →＝DC →，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有AC →＝BD →，CA →＝DB →共有2个互不相等的非零向量，长度为3的向量有AD →，DA →，共2个互不相等的非零向量，综上知共6个互不相等的非零向量．【答案】 6(2)①向量AB→，BC →，CD →如图所示．②由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB→|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD→＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为半径的圆．[再练一题]2．小李离家从A 点出发向东走2 km 到达B 点，然后从B 点沿南偏西60°走4 km ，到达C 点，又改变方向向西走2 km 到达D 点．(1)作出AB→，BC →，CD →；(2)求小李到达D 点时与A 点的距离． 【解】 作AB→，BC →，CD →，如图所示：(2)依题意，四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD →|＝|BC →|＝4，即小李到达D 点时离A 点4 km.[探究共研型]探究1 什么关系？【提示】 方向相同或相反．探究2 相等向量和共线向量有怎样的关系？两个向量能比较大小吗？ 【提示】 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，两个向量不能比较大小．探究3 平行四边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？【提示】 平行四边形的对边平行且相等，表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．探究4 如果非零向量AB →与CD →是共线向量，那么点A ，B ，C ，D 是否一定共线？【提示】 不一定共线．如图2－1－1所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，OC→＝c .图2－1－1(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请分别一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【精彩点拨】 由题目可获得以下主要信息： ①六边形ABCDEF 是正六边形； ②OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ； ③求各相应向量．解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．【自主解答】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF→，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →； 与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →.1．向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，要弄清这三个概念的联系与区别．2．共线向量有四种情况方向相同且模相等；方向相同但模不等；方向相反但模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．3．向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m ，n ，l ，m ∥n ，n ∥l ，则m ∥l ；若向量a ，b ，c ，a ∥b ，b ∥c ，而a ，c 不一定平行．4．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．[再练一题]3.如图2－1－2所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：图2－1－2(1)分别写出与AO→，BO →相等的向量； (2)写出与AO→共线的向量．【解】 (1)∵|AO→|＝|OC →|＝|BF →|，且OC →，BF →与AO →的方向相同，∴与AO →相等的向量是OC→，BF →.同理，与BO →相等的向量是AE →.(2)∵AO ∥DE ∥BF ，A ，O ，C 三点共线， ∴与AO→共线的向量是DE →，OC →，BF →，CO →. [构建·体系]1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 根据向量的概念知速度、力、加速度为向量． 【答案】 D2．下列说法中正确的是( ) A ．零向量没有方向 B ．零向量的模等于零 C ．单位向量的模等于1厘米 D ．单位向量的方向都相同【解析】 零向量也有方向，其方向是任意的，因此A 错误；单位向量的模等于1个单位长度，而不是具体的1厘米，因此C 错误；单位向量的方向要因具体情况而定，因此D 错误．所以只有B 是正确的．【答案】 B 3．给出下列命题：①若|a |>|b |，则a >b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若|a |＝0，则a ＝0；④0＝0；⑤向量AB→大于向量CD →；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【导学号：66470038】【解析】 ①不正确．向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．【答案】 ②③4．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K ，L ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量KL →相等的向量是________．【解析】 因为K ，L 分别是AB ，BC 的中点，所以KL ∥AC ，KL ＝12AC ，同理MN 綊12AC ，所以KL ∥MN .KL ＝MN ，所以KL→＝NM →.【答案】 NM →5．如图2－1－3所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．图2－1－3(1)用有向线段表示与向量AB→相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB→共线的向量．【解】 (1)与向量AB→相等的向量是向量CE →，DC →.(2)与AB→共线的向量为BA →，DC →，CD →，CE →，EC →，ED →，DE →.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
北师大版高中数学高一必修4学案第二章1从位移、速度、力到向量
从位移、速度、力到向量预习课本P73～75，思考并完成以下问题1．向量的定义是什么？2．向量的表示方法有哪些？3．相等向量定义是什么？4．什么是共线向量？[新知初探]1．向量的概念及表示方法(1)向量的定义既有大小又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示方法①具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，以B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫作有向线段AB的长度，记作|AB|.②向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示向量的方向．③向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用a，b，c，…来表示．[点睛]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．与向量有关的概念[点睛](1)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(2)共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a≥0()(2)长度为1的向量是单位向量，它们一定是共线向量()(3)共线向量的方向必须相同()答案：(1)×(2)×(3)×2．下列各量中不是向量的是() A．浮力B．风速C．位移D．路程解析：选D路程没有方向．3．下列说法正确的是() A．零向量是长度为0、没有方向的向量B．任意两个单位向量长度相等、方向相同C．平行向量方向相同D．两个相等的向量起点不同时终点一定不同解析：选D零向量是长度为0、方向任意的向量，A不正确；任意两个单位向量长度相等，但方向不确定，B不正确；平行向量方向相同或相反，C不正确；相等向量长度相等且方向相同，当且仅当起点相同时，终点相同，D正确．4．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________．答案：0向量有关概念的辨析[典例]给出下列六个命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB＝CD，则四边形ABCD为平行四边形；④在▱ABCD中，一定有AB＝CD；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的个数是() A．2 B．3C．4 D．5[解析]若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；AB＝CD可能有A，B，C，D四点在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑤不正确．所以不正确的是①②③⑤，正确的是④.[答案] C向量概念辨析的两个注意点：(1)要准确理解平面向量的相关概念，掌握否定命题的方法，如举反例等．(2)注意零向量的特殊性．[活学活用]下列命题是真命题的是()A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＜|b|，则a＜bC．若|a|＝0，则a＝0 D．若a＝b，则a，b是共线向量解析：选D对于A，a∥b说明a与b的方向相同或相反，也不一定有|a|＝|b|，故A不正确；对于B，向量不能比较大小，故B不正确；对于C，零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故C不正确；D正确，相等向量是共线向量.向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸中，用直尺与圆规画出下列向量．(1)|OA|＝3，点A在点O的正东方向．(2)|OB|＝3，点B在点O的正西方向．[解]如图所示：[一题多变]1．[变设问]本题的前提条件不变，试画出满足下列条件的向量．(1)|OC|＝42，点C在点O的东北方向．(2)|OD|＝2，点D在点O的西南方向．解：如图所示：2．[变条件]若将“|OA|＝3”变为1＜|OA|＜2，试问A点对点的图形是怎样的？解：∵1＜|OA|＜2，∴点A在以O为圆心，半径为2的圆内且在以O为圆心半径为1的圆外．故点A构成的图形是一个圆环．用“四定一标”法来表示向量(1)所谓“四定”，即定向量长度、定向量的起点、定向量方向及终点．(2)所谓“一标”，即用箭头标明向量的方向性．[注意]任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．共线向量或相等向量[典例]如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．(1)找出与向量AB共线的向量；(2)找出与向量AB相等的向量．[解](1)依据图形可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD，DE，CE与BA 方向相反，所以与向量AB共线的向量为BA，CD，DC，ED，DE，EC，CE.(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知DC，ED与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．[活学活用]如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FD，共3个．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是() A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．向量AB与向量BA是两平行向量D．单位向量都相等解析：选C A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故A项错误．由于零向量与任一向量平行，因此，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．故B项错误．由于向量AB与BA方向相反，所以二者是平行向量．故C项正确．单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D项错误．2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，a n，则这n个向量() A．都相等B．都共线C．都不共线D．模都相等解析：选D正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等．3. 如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PE解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．4. 如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有公共起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等向量解析：选C向量OB，OC有公共起点O，不与AO有公共起点，因而A错；圆O未必是单位圆，故OB，OC，AO未必是单位向量，B错；OB，OC，AO方向不相同，不是相等向量，D错．5．某人先向正东方向走了4 km，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km，此时他距离出发点()A. 3 km B．2 3 kmC．3 km D．5 km解析：选D设他距离出发点的距离为x km，由题意，知x2＝42＋32，解得x＝5 (负值舍去)．6．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量．解析：模为1个单位的向量有2个，如AB，DC；模为2个单位的向量有2个，如AC，DB；模为3个单位的向量有2个，如AD，DA，故共有6个．答案：68．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BD|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形9．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，求AD与BC分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD是等腰梯形；(2)四边形ABCD是平行四边形．解：(1)|AD|＝|BC|，且AD与BC不平行．∵AB∥CD，∴四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则|AD|＝|BC|，同时两向量不共线．(2)AD＝BC(或AD∥BC)．若AD＝BC，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．10. 如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与FE共线及相等的向量．解：(1)与FE共线的向量有：FG，EG，GF，GE，BD，DB，DC，CD，BC，CB，EF.(2)与FE相等的向量有：EG，BD，DC.层级二应试能力达标1．下列说法正确的是() A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．2．已知D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点，则|PD ||AD |的值为 ( ) A ．12B. 13 C ．1 D ．2 解析：选C 因为四边形ABPC 是平行四边形，D 为对角线BC 与AP 的交点，所以D为PA 的中点，所以|PD ||AD |的值为1. 3．向量AB 与向量BC 共线，下列关于向量AC 的说法中，正确的为 ( )A ．向量AC 与向量AB 一定同向B ．向量AC ，向量AB ，向量BC 一定共线C ．向量AC 与向量BC 一定相等D ．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB ，BC ，AC 这三个向量一定为共线向量，故选B.4．若|AB |＝|AD |且BA ＝CD ，则四边形ABCD 的形状为 ( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C 由BA ＝CD 知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又由|AB |＝|AD |知四边形为菱形．5．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：平行向量又叫做共线向量，而与不共线向量AB ，BC 都共线的向量只能是零向量．答案：06．设a 0，b 0是单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③7. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．8．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝ 5.(1)画出所有的向量AC；(2)求|BC|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC，如图所示．(2)当点C在点C1或C2时，|BC|取得最小值12＋22＝5；当点C在点C5或C6时，|BC|取得最大值42＋52＝41，故|BC|的最大值为41，最小值为 5.。
2017_2018学年高中数学第二章平面向量1从位移速度力到向量教学案北师大版必修4
A．相等向量
B．平行向量
C．模相等的向量
D．起点相同的向量
解析：选C显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，因此| .
4．如下图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与向量 相等的向量有________；
(2)假设 ＝3，那么向量 的模等于________．
讲一讲
1．判定给出以下命题是不是正确，并说明理由．
(1)假设|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，能够比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，因此，向量只有相等与不相等的关系．
(2)不正确．两向量相等，必需长度相等，且方向相同，因此仅模相等，并非必然是相等的向量；
2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．
练一练
3.如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，那么以下关系不必然成立的是( )
解析：选C由题意知，AB＝EF，∴A成立；
又AB∥FH，DC与EC共线都成立，
∴B，D成立．
而BD不必然等于EH，故C不必然成立．
解析：集合T＝{ |P、Q∈M，且 ≠0}中的元素为非零向量 ，且向量的起点与终点别离为矩形的极点A、B、C、D.依照集合元素的互异性，得集合T＝{ ， }共含有8个元素．
答案：8
三、解答题
9．一架测绘飞机从A点向北飞行200km抵达B点，再从B点向东飞行100km抵达C点，再从C点向东南45°飞行了100 km抵达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?
高中数学2.1《从位移、速度、力到向量》学案(北师大版必修4)
CB《从位移、速度、力到向量》课堂练习Ⅰ.合作交流，感知概念Ⅱ、判断对错，理解概念⑴若向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线.⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =;反之，若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点必能组成平行四边形. ⑶若,,a b b c ==则a c = ⑷若//,//,a b b a 则//a cⅢ.应用迁移，巩固提高如图，,,D E F 依次为等边三解形ABC 的边,,AB BC AC ,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中,⑴找出与DE 相等的向量。
⑵找出与DF 共线的向量。
Ⅳ.创新应用，提升能力请你当一回老师，考考你的搭档，在方格中画出一些向量（要求所画向量的起点和终点必须在方格的格点处），让其辩认出是否存在共线向量、相等相量？若存在，请一一举出。
Ⅴ.回顾历史，感受文化Ⅵ. 总结反思，布置作业数学诗《我的向量》1、小结给你一个方向，你就成为我的向量2、作业给你一个坐标系，你就在我心空飞翔⑴课本73页第4题.给你一个基底，带着我，征途启航⑵请同学们逐步积累资料，在学完繁复的几何关系，变成纯代数的情疡《平面向量》一章后，以《话说“优美的动态结构，没有人情冷暖世态炎凉向量”》为题，写一篇数学短文，不管起点在哪里，你始终在水一方谈谈你对向量知识的理解.哪怕山高路远，哪怕风雨苍茫（参考网址：）啊，我的向量，你是一股力量溶进了我的身体，在我的血管量，静静地流淌Ⅶ.数学日记姓名：日期：今天数学课的课题：；今天所学的重要数学知识：；理解得最好的地方：；不明白或还需要进一步理解的地方：；你对什么问题还有不同见解：；今天你独立或和谁一起合作解决了什么问题：；所学内容能否应用在日常生活中，请举例说明：；自我评价：；教师评价：；。
2017-2018学年高中数学第二章平面向量1从位移、速度、力到向量教学案北师大版必修4
1 从位移、速度、力到向量[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A ，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C 点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( )A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 3 m，则此人位移的方向是( ) A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，|CD|＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。
北师大版高中高二数学必修4《从位移,速度,力到向量》教案及教学反思
北师大版高中高二数学必修4《从位移、速度、力到向量》教案及教学反思1. 教学目标本章教学主要目的是引导学生理解和运用向量的概念和方法，能够用向量的加、减、乘等运算法则，解决静力学问题。
同时，注重拓展学生思维的多样性和可塑性，培养学生创新意识和解决问题的能力。
2. 教学重点及难点重点：1.掌握向量的基本概念和表示方法2.掌握向量的加、减、标量乘法运算，运用于解决静力学问题3.学会构建向量方程，解决静力学问题难点：1.学生根据题目内容理解问题，构建向量方程的能力2.学生对向量乘法的掌握和应用3. 教学环节及具体时间安排教学环节具体时间概念讲解30分钟实例分析40分钟练习演练50分钟解题思路分享30分钟4. 教学内容4.1 向量概念向量是一个既有大小又有方向的量。
在静力学中，一般用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
4.2 向量运算4.2.1 向量加法向量加法满足“交换律”和“结合律”，即：$$ \\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b} =\\overrightarrow{b} + \\overrightarrow{a} $$$$ \\overrightarrow{a} + (\\overrightarrow{b} +\\overrightarrow{c}) = (\\overrightarrow{a}+\\overrightarrow{b})+ \\overrightarrow{c} $$4.2.2 向量减法向量减法可以看做向量加法的一种特殊情况，即：$$ \\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b} =\\overrightarrow{a} + (-\\overrightarrow{b}) $$4.2.3 向量的标量乘法向量的标量乘法是指将向量乘以一个实数，即：$$ k\\overrightarrow{a} = \\overrightarrow{a_1} $$其中，k表示实数，$\\overrightarrow{a}$ 表示向量，$\\overrightarrow{a_1}$ 表示向量的新的大小和方向。
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学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点一向量的概念
思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
梳理向量与数量
(1)向量：既有________，又有________的量统称为向量．
(2)数量：只有________，没有________的量称为数量．
知识点二向量的表示方法
思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
思考20的模长是多少？0有方向吗？
思考3 单位向量的模长是多少？
梳理 (1)向量的表示
①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →
的长度，记作________．
②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________．
③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →
, b →
, c →
，…来表示． (2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0. 知识点三 相等向量与共线向量
思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →
相等吗？它们共线吗？
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？
梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量．
(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线．
①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行．
类型一 向量的概念
例1 下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →
的长度相等
B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C ．零向量没有方向
D ．任意两个单位向量都相等
反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1 下列说法正确的有________． ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
②向量AB →与CD →
是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →
是平行向量． 类型二 共线向量与相等向量
例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D
分别是AC 、AB 、BC 的中点． (1)写出与EF →
共线的向量； (2)写出与EF →
的模大小相等的向量； (3)写出与EF →
相等的向量．
反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反． (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线． 跟踪训练2
如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．
(1)与OA →
的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →
共线的向量有哪些？
类型三 向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．
(1)作出向量AB →、BC →、CD →
； (2)求|AD →|.
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？
1．下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；
③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
2．下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则|a |＝0 B ．零向量是没有方向的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量的方向是任意的
3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →
的关系是( )
A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC → D.AB →<DC →
4．如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与AF →、AE →
相等的向量； (2)写出与AD →
的模相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 思考2 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 梳理 (1)大小 方向 (2)大小 方向 知识点二
思考1 可以用一条有向线段表示． 思考2 0的模长为0，方向任意． 思考3 单位向量的模长为1个单位长度．
梳理 (1)①方向 AB → |AB →
| ②有向线段 向量的大小 向量的方向 (2)长度为0 0或0→
与向量a 同方向，且长度为单位1 知识点三
思考1 因为向量AB →和向量BA →
方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考2 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
思考3 不一定．因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量．
梳理 (1)长度相等 方向相同 (2)平行或重合 ①a ∥b ②任一向量 题型探究 例1 A 跟踪训练1 ③
例2 解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF 綊1
2
BC .又因为D 是BC 的中点，
所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →
. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.
跟踪训练2 解 (1)与OA →
的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →长度相等、方向相反的向量有AO →
，OD →，FE →，BC →
，共4个．
(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →
，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →
，共9个． 例3 解 (1)向量AB →、BC →、CD →
如图所示．
(2)由题意易知，AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →
共线． 又∵|AB →|＝|CD →|，
∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →
|＝200 km.
跟踪训练3 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，5为半径的圆(作图略)． 当堂训练 1．B 2.B 3.B
4．解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →
. (2)与AD →的模相等的向量有DA →，CF →，FC →.。