函数变换对称变换与翻折变换
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数的图像
结束
角度一 确定方程根的个数
角度二 求参数的取值范围
角度三 求不等式的解集
结束
角度一 确定方程根的个数
1．(2014· 日照一模)已知
|lg x|，x>0， f(x)＝ |x| 2 ，x≤0，
则函数 y＝2f (x)
第四节
1．利用描点法作函数图像
函数的图像
结束
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数 的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特 殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； ⑤描点，连线．
结束
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换：
4.已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 g(x)＝ log 2 f(x)的定义域是________．
5．设函数 f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的 x∈R， 不等式 f(x)≥g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
结束
3．函数 f(x)＝2ln x 的图像与函数 g(x)＝x －4x＋5 的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 ( )
结束
关于y轴对称 y＝f(x)――――――→y＝f(－x) ；
－ f(－ 关于原点对称 y＝f(x)――――――→y＝ ．
(4)翻折变换：
x)
去掉y轴左边图，保留y轴右边图 y＝f(x)――――――――――――――――→y＝f(|x|)； 将y轴右边的图像翻折到左边去
留下x轴上方图 y＝f(x)――――――――――――→y＝|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去
函数图像的作法-含答案
【知识要点】一、函数图像的作法一般有三种：描点法、图像变换法和性质分析法.二、描点法作函数的图像的一般步骤是：列表→描点→连线 ，描点法一般是在知道函数的图像和性质的情况下使用，其使用对象一般是我们熟悉的初等函数，如2()23 1.f x x x =-+三、图像的变换法就是利用图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等作出函数的图像，其解题对象一般是复合函数，如12()log ||f x x =.1、平移变换（左加右减，上加下减）①把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ②把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像； ③把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ④把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像. 2、伸缩变换①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的ω倍得1()y f x ω= (1w >) ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的ω倍得1()y f x ω= (0ω<<1)③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= ( ω>1) ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1) 3、对称变换①函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称； 函数()y f x =和函数1()y fx -=的图像关于直线x y =对称；简单地记为：x 轴对称y 要变，y 轴对称x 要变，原点对称都要变,y=x 对称交换变.②对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称 轴是2ba x +=. ③()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =- ；()y f x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x f a x b ++-=或()(2)2f x f a x b +-=； ()y f x =与()y g x =的图像关于直线x a =对称⇔ ()(2)f x g a x =-或 ()()f a x g a x +=-； ()y f x =与()y g x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=或 ()(2)2f x g a x b +-=.4、翻折变换①把函数()y f x =图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；②保留y 轴右边的图像，擦去y 轴左边的图像，再把右边的图像对称翻折到y 轴左边，得到函数()y f x =的图像.四、性质分析法一般指通过对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性的综合研究，再画出函数的图像.性质分析法一般是对那些较复杂的函数使用，如223ln 4y x x =--.学科#网五、作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像. 【方法讲评】【例1】用五点法作出函数3sin(2)6y x =+在一个周期的图像.【解析】列表得【点评】对于我们常见的初等函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.【反馈检测1】已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩(1)在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；,(2)写出()f x 的单调递增区间．【例2】 作出下列函数的图象 (1)1||1y x =-； (2)|2|(1)y x x =-+； (3)2|log 1|y x =-； (4)1|2|x y -=【解析】(1)先作函数1y x =的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数11y x =-的图象(如图(a)所示)．再擦掉y 轴左边图像，保留y 轴右边图像，并把y 轴右边图像对称翻折到y 轴左边, 得1||1y x =-的图象(如图(b)所示)．(2)函数式可化为2219()(2)2419()(2)24x x y x x ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩其图象如图所示．【点评】（1）要熟练地画出函数的图像，必须熟练掌握函数的图像变换的知识（见前面的基础知识），能灵活地利用平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换画出函数的图像.（2）作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像.【反馈检测2】关于x 的方程2|43|x x a x -+-=恰有三个不相等的实数根，求实数a 的值.【例3】已知函数2()8f x x x =-+,()6ln g x x m =+，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.∵当0x +→时，()x φ→-∞，当x +∞→时，()x φ→+∞ 函数()()()x g x f x φ=-= 286ln x x x m -++的草图如下图所示，∴要使()0x φ=有三个不同的正实数根，函数的草图必须如图1所示，所以必须且只须⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7156ln3m <<-.【点评】对于较复杂的函数，一般先求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等，再根据前面函数的性质画出函数的图像.【反馈检测3 】 设函数)(x f =2ln x ax b x ++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2． （1）求a b 、的值；（2）证明：()22f x x ≤-．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第08讲：函数图像作法参考答案【反馈检测1答案】（1）见详细解析；（2）[1,0].[2,5]-． 【反馈检测1详细解析】（1）函数的图像如下图所示：(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[1,0].[2,5]-． 【反馈检测2答案】34a =-【反馈检测3答案】（1）1,3a b =-=；（2）证明见解析.。
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
二次函数图象的变换
二次函数图象的变换这里研究二次函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.二次函数图象的平移变换二次函数的图象作平移变换时,其开口方向和开口大小不会发生改变,故平移前后a 的值不变;改变的是顶点坐标和对称轴.一般地,二次函数k ax y +=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向上平移k 个单位长度得到的;二次函数k ax y -=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向下平移k 个单位长度得到的.抛物线k ax y +=2的对称轴是y 轴,顶点坐标是()k ,0.如例图（1）所示.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数2ax y =的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线h x =,顶点坐标是()0,h .如例图（2）所示.一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数2ax y =的图象先沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度,再向上（0>k ）或向下（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线h x =,顶点坐标是()k h ,.如下页例图所示.二次函数图象的对称变换如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向相反,开口大小相同,对称轴相同,顶点坐标关于x 轴对称,与y 轴的交点关于x 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值互为相反数.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2;②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称.如例图（3）所示.xy y = x 2 ()2 1y = x 2 ()2 + 1图 （3）O–1–21234–1–2–3–41234如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向相同,开口大小相同,与y 轴的交点相同,对称轴关于y 轴对称,顶点坐标关于y 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值相等.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于y 轴对称.如例图（4）所示.图 （4）x 2 )2 + 1二次函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对二次函数c bx ax y ++=2图象的翻折变换,可以得到函数c bx ax y ++=2的图象和函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数c bx ax y ++=2的图象如下页例图（5）所示.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧,即可得到函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.如下页例图（6）所示.图 （5）图 （6）高中知识点在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.（1）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;（2）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可. 例题讲解例1. 把抛物线2x y -=向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为【 】（A ）()312---=x y （B ）()312-+-=x y（C ）()312+--=x y （D ）()312++-=x y分析 将函数的图象左右平移时,其解析式将发生有规律的变化——遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”的原则.将二次函数的图象左右平移,其图象的开口方向和开口大小保持不变,所以平移前后a 的值不变,改变的是图象的顶点坐标和对称轴.其中顶点坐标的改变遵循“左减右加”的原则.解析 由题意可知,平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .另外,抛物线2x y -=的顶点坐标为()0,0,平移后函数图象的顶点坐标为()3,1-,所以由顶点式可知平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .所以选择答案【 D 】.例2. 函数()1122---=x y 的图象可由函数()3222++-=x y 的图象平移得到,平移的方法是【 】（A ）先向右平移3个单位,再向下平移4个单位 （B ）先向右平移3个单位,再向上平移4个单位 （C ）先向左平移3个单位,再向下平移4个单位 （D ）先向左平移3个单位,再向上平移4个单位分析 首先,要确定函数()3222++-=x y 的图象是平移的对象,平移后得到抛物线()1122---=x y .解析将函数()3222++-=x y 的图象先向右平移3个单位,得到函数()3122+--=x y 的图象,再向下平移4个单位,得到函数()1122---=x y 的图象.∴选择答案【 A 】.例3. 抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得到抛物线x x y 422+-=,则平移前抛物线的解析式为________________.分析 把抛物线x x y 422+-=向左平移3个单位,在向上平移2个单位,即可得到平移前的抛物线.解析 ∵()2124222+--=+-=x x x y∴平移前抛物线的解析式为()()4222231222++-=+++--=x x y .即4822---=x x y .例4. 已知二次函数()1322+-=x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线()k h x a y +-=2关于x 轴对称的抛物线为()k h x a y ---=2;（2）抛物线()k h x a y +-=2关于y 轴对称的抛物线为()k h x a y ++=2.解析 （1）()1322---=x y ;（2）()1322++=x y .例5. 已知二次函数122--=x x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为c bx ax y ---=2;（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线为c bx ax y +-=2. 解析 （1）122++-=x x y ;（2）122-+=x x y .例6. 已知二次函数5432+-=x x y .（1）图象关于x 轴对称后再关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________; （2）图象关于y 轴对称后再关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________. 分析 （1）（2）中的两条抛物线关于原点对称:若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为()k h x a y -+-=2;若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为c bx ax y -+-=2. 解析 （1）5432---=x x y ; （2）5432---=x x y .例7. 画出函数12-=x y 的图象.分析 把二次函数12-=x y 的图象沿x 轴进行翻折变换,即可得到函数12-=x y 的图象,具体做法是:先画出二次函数12-=x y 的图象,保留x 轴及其上方的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数12-=x y 的图象. 解析 函数12-=x y 的图象如下图所示.。
函数图象的四大变换
你会利用图象的直观性来解决问题吗？
函数图象的四大变换
平移
翻折
对称 伸缩
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据：⑴解析式及定义域；⑵图象变换
2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
y=f(x)
x
x－h ( h > 0 )
练习2：
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=－x2+2，则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，
当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
y
y
y
O
1x -1
-1 O
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数的图象基础知识(艺考生)
函数的图象思维导图知识梳理1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2020秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【跟踪训练1-1】（2020秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnxx x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 题型3 函数图象的应用【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【例3-2】（2020秋•琼海校级月考）已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【跟踪训练3-1】（2021•嘉定区一模）已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．配套练习1．（2021·北京101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·西藏高三其他模拟（文））函数2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国高一）函数22()21xf x x =-的图像的是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·江苏无锡市·高一期末）函数2()ln f x x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C．D．5．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）函数cos622x xxy-=-的图像大致为（）A．B．C．D．6．（2021·天津滨海新区·高三月考）函数ln||cos()sinx xf xx x⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（）A．B．C．D．7．（2021·浙江高一期末）函数ln||()||x xf xx=的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8．（2021·浙江高一期末）函数log (01)a y x a a =>≠且与函数2(1)21y a x x =---在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2021·全国高一）向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h 随时间t 变化的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 11．（2021·全国高一）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·江苏高一）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2021·上海浦东新区·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是____.函数的图象解析题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2020秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【解析】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图； （Ⅱ）当1x <-时，满足1()4f x ， 当11x -，由1()4f x 得214x ，得12x 或12x -，此时112x --或112x ， 当1x >时，1()4f x 恒成立， 综上得12x或12x -， 即x 的取值范围是得12x或12x -； （Ⅲ）由图象知()0f x ，即()y f x =的值域是[0，)+∞．【跟踪训练1-1】（2020秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【解析】解：（1）函数22221,2||121,x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩． 当0x 时，2(1)2y x =--； 当0x <时，(1)2y x =+-． 故图象如图所示；（2）函数的增区间为：(1-，0]，(1,)+∞； 减区间为：(-∞，1]-，(0，1]．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】解：函数241xy x =+的定义域为实数集R ，关于原点对称，函数24()1x y f x x ==+，则24()()1xf x f x x -=-=-+，则函数()y f x =为奇函数，故排除C ，D ， 当0x >是，()0y f x =>，故排除B ， 故选：A ．【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnxx x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩【解析】解：由图可知，函数()f x 为奇函数，而选项A 和C 中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项A 和C ；当(0,1)x ∈时，从图象可知，()0f x <，而对于选项D ，0lnx <，20x >，所以()0f x >，与图象不符，排除选项D ． 故选：B ．【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由题知，点(2,0)A ，点(2cos ,2sin )B θθ，点(2cos ,0)C θ， 则11()||||(22cos )2|sin |022S AC BC θθθ=⨯=-，故排除选项C 和D ，又因为当34πθ=时，1()(222122S θ=⨯+⨯>，排除选项B ．故选：A ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由32()22x x x y f x -==+在[6-，6]，知332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，()f x ∴是[6-，6]上的奇函数，因此排除C又f （4）1182721=>+，因此排除A ，D ．故选：B ．【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【解析】解：令()x x s x e e -=+，该函数的定义域为R ，且()()x x s x e e s x --=+=， ()s x ∴为R 上的偶函数；令()x x t x e e -=-，该函数的定义域为R ，且()()()x x x x t x e e e e t x ---=-=--=-， ()t x ∴为R 上的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数， 且图中所给出的函数为偶函数，排除A 与C ； 又由图可知，所求函数在[0，1]上为减函数，而B 中内层函数()t x 在[0，1]上为增函数，而外层函数正弦函数在[0，]2π上为增函数，故当x 大于0且在0附近时，B 中函数为增函数，排除B ． 故选：D ．【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：()2cos 2sin )4y f x PA PB x x x π==+=+=+，选项D 符合题意， 故选：D ． 【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 题型3 函数图象的应用【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【解析】解：202x x ->+，2x ∴>或2x <-，即函数的定义域为(-∞，2)(2-⋃，)+∞（定义域关于原点对称）， 32()2x y f x x lgx -==+，333222()()()222x x x f x x lg x lg x lg f x x x x --+-∴-=-=-==-+-+， ∴函数()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选：B ．【例3-2】（2020秋•琼海校级月考）已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【解析】解：根据题意，由()f x 的图象分析可得：在(0,1)和(2,)+∞上，()0f x >，在区间(1,2)上，()0f x <， 又由()f x 为偶函数，则在(1,0)-和(,2)-∞-上，()0f x >，在区间(2,1)--上，()0f x <， 0()0()0x xf x f x >⎧>⇒⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩， 则有01x <<或2x >或21x -<<-，即不等式的解集为{|01x x <<或2x >或21}x -<<-； 故答案为：{|01x x <<或2x >或21}x -<<-．【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【解析】解：函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，∴函数的图象如下图所示：(1)y kx k k x =+=+，故函数图象一定过(1,0)-点若()f x kx k =+有三个不同的根，则y kx k =+与()y f x =的图象有三个交点 当y kx k =+过(2,1)点时，13k =，当y kx k =+过(3,1)点时，14k =，故()f x kx k =+有三个不同的根，则实数k 的取值范围是11[,)43故答案为：11[,)43．【跟踪训练3-1】（2021•嘉定区一模）已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【解析】解：由图象()log a f x x =可得(0,1)x ∈时，()0f x <， (1,)x ∈+∞时，()0f x >，当1x =时()0f x =由图象()(2)g x k x =-可得(,2)x ∈-∞时，()0g x >， (2,)x ∈+∞时，()0g x <，不等式()0()f x g x ，即()0()0f x g x ⎧⎨>⎩或()0()0f x g x ⎧⎨<⎩； [1x ∴∈，2) ∴不等式()0()f xg x 的解集为[1，2) 故答案为：[1，2) 【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．配套练习1．（2021·北京101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】[0,]2x π∈时，B x x π+=()2,B f x AB x x x π∴==-=-[0,]2x π∈时()f x 表示递减的一次函数所以选A.2．（2021·西藏高三其他模拟（文））函数2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：根据题意，当0x ≥时，2x y =，为指数函数，单调递增，且在0x =时函数有最小值1； 当0x <时，122xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，单调递减，且函数值1y >. 故选：B.3．（2021·全国高一）函数22()21x f x x =-的图像的是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：因为22()21x f x x =-，所以2210x -≠，解得2x ≠±，故函数的定义域为|x R x ⎧⎪∈≠⎨⎪⎪⎩⎭，故排除AC ；当0x <<时，20x <，2210x -<，所以22()021x f x x =>-，故排除D ； 故选：B4．（2021·江苏无锡市·高一期末）函数2()ln f x x x =+的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】()2ln f x x x =+，()()22ln ln ()f x x x x f x x -=-∴=+-+=,所以()f x 为偶函数，排除D ；当0x →时，()f x →-∞ ，排除AC ；故选：B.5．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）函数cos622x x xy -=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：()cos622x x xy f x -==-定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()cos622x x xf x f x --==--即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故A 错误；当x →+∞是，2x →+∞，20x -→，[]cos61,1x ∈-，故()0f x →，故C 错误；当0x >且，0x →时，cos60x >，220x x -->，故()0f x >，故B 错误，D 正确；故选：D6．（2021·天津滨海新区·高三月考）函数ln ||cos ()sin x xf x x x ⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 因为ln ||cos()ln ||cos ()()sin()sin x x x x f x f x x x x x-⋅-⋅-==-=--+-+，[)π,00,π(]x -⋃∈， 所以()f x 为奇函数，因此函数()f x 的图像关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选：D 7．（2021·浙江高一期末）函数ln ||()||x x f x x =的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】 函数的定义域是{}0x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，关于原点对称，排除A,C ，当01x <<时，ln 0x <，所以()0f x <，故排除D.故选：B8．（2021·浙江高一期末）函数log (01)a y x a a =>≠且与函数2(1)21y a x x =---在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当1a >时，log a y x =单调递增，()2121y a x x =---开口向上，不过原点，且对称轴101x a =>-，可排除AB 选项；当1a <时，log a y x =单调递减，()2121y a x x =---开口向下，可排除D ，故选C 9．（2021·全国高一）向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h 随时间t 变化的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C.10．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+【答案】A【解析】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ，故选：A11．（2021·全国高一）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得12x ≤≤时，2(1)22,42,,2BE x x CE x CF x DF x =-=-=-==-，所以AEF 的面积y 211142(22)(42)2(2)34222x x x x x x =-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅-=-+， 它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A12．（2021·江苏高一）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】当0a <时，()a g x x =为奇函数，定义域为{}|0x x ≠，且在()0,∞+上递减，而2()21f x ax x =++开口向下，对称轴为10x a =->，(0)1f =，故A 符合； 当()2a n n N+=∈时，()a g x x =为偶函数，且在()0,∞+上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a =-<，440a ∆=-<，其图象和x 轴没有交点，故D 符合； 当()12a n N n+=∈时，函数()a g x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a=-<，440∆=->a ，图象和x 轴有两个交点，故C 符合． 故选：ACD ．13．（2021·上海浦东新区·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是____.【答案】[]3,3-【解析】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：不等式()()000x x f x f x >⎧⋅⇒⎨≥⎩或()00x f x <⎧⎨≤⎩或0x =， 由图可得：03x <≤或-<3≤0x 或0x =， 综上：解集为：[]3,3-故答案为：[]3,3-.。
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例说函数变换·对称变换与翻折变换
一、对称变换
还是从一个常见的例子开始：
引例1：（1997全国，文）设函数()y f x =定义在实数上，则函数(1)y f x =-与
(1)y f x =-的图像关于 （ ）
A ，直线0y =对称
B ，直线0x =对称
C ，直线1y =对称
D ，直线1x =对称
引例2：（1997全国，文改）设函数()y f x =定义在实数上，且(1)(1)f x f x -=-，则()f x 的图像关于 （ ）
A ，直线0y =对称
B ，直线0x =对称
C ，直线1y =对称
D ，直线1x =对称 答案：引例1 D ，引例2 B 。
为何？还是要来一点深入的分析。
引例1的分析：
1()(1)y f x y f x =−−−−−−→=-向右平移个单位
1()()[(1)](1)y f x y f x f x f x =−−−−−→=-−−−−−−→--=-关于y 轴对称向右平移个单位
故它是研究两个不同函数(1)y f x =-，(1)y f x =-图像的对称问题（异对称），这两个函数均由()y f x =经平移或对称产生。
设点000(,)A x y 在()y f x =上，有
1000100(,)(1,)A x y A x y −−−−−−→+向右平移个单位
1000200300(,)(,)(1,)A x y A x y A x y −−−−−→-−−−−−−→-+关于y 轴对称向右平移个单位
1A 与3A 的中点为0(1,)y ，故(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称。
引例2的分析：
该问题只在一个函数()y f x =的图像上研究对称性的问题（自对称）。
设点000(,)A x y 在
()y f x =上，则点100(1,)A x y -，200(1,)A x y -均在()y f x =上。
1A 与3A 的中点为0(0,)y ，
()f x 的图像关于直线0x =对称。
评注：是异对称问题还是自对称问题，其解题思路完全不同，前者通过函数变换，后者找自对称点。
将上两例推广可得以结论：（1）函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图像关于
直线x a =对称；（2）若函数()y f x =满足()()f a x f x a -=-，则()y f x =的图像关于
y 轴对称。
问题探讨： 问题1填空：
（1）()y f x =−−−−
−→关于x 轴对称 （2）()y f x =−−−−−→关于y 轴对称
（3）()y f x =−−−−−
→关于原点轴对称
（4）()y f x =−−−−−−→关于直线y=x 轴对称
（5）()y f x =−−−−−−
→关于直线x=a 轴对称 （6）若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则()f x 的图像关于 对称。
（7）若函数()f x 满足()()f a x f x a +=-，则()f x 的周期为 。
答案：（1）()y f x =-，（2）()y f x =-，（3）()y f x =--，（4）1
()y f x -=，
（5）(2)y f a x =-，（6）直线x a =，（7）2a 。
问题2（1997“希望杯”高一）函数(1)y f x =+与函数1
(1)y f
x -=+的图像 （ ）
A ，关于直线y x =对称
B ，关于直线1y x =+对称
C ，关于直线1y x =-对称
D ，关于直线y x =-对称
解答指导1：()(1)y f x y f x =−−−−−−
→=+向左平移1个单位
11()()(1)y f x y f x y f x --=−−−−−→=−−−−−−→=+关于y=x 对称向左平移1个单位
设点000(,)A x y 在()y f x =上，则000100(,)(1,)A x y A x y −−−−−−
→-向左平移1个单位
000200300(,)(,)(1,)A x y A y x A y x −−−−−→−−−−−−→-关于y=x 对称向左平移1个单位
1A 与3A 的中点为0000
2(
,)22
x y x y +-+，又易知过1A ，3A 的直线的斜率为1-， 故可设1A 与3A 的对称轴的方程为y x b =+则：
002x y +=002
2
x y +-+b ,得1b =，于是选B 。
解答指导2：令'1x x +=，则'(1)()y f x f x =+= 1
1'(1)()y f x f x --=+=这两个函数的
图像关于'
y x =对称，即关于1y x =+对称，选B 。
评注：指导1较繁杂，但可深刻揭示两者的内在联系；指导2较简捷，但要有深刻的洞察力。
问题3 (2004浙江，理)曲线2
4y x =关于直线2x =对称的曲线方程是 （ ） A ，2
84y x =- B ，2
48y x =- C ，2164y x =- D ，2
416y x =-
解答指导：设(,)x y 是所求曲线上任一点，它关于2x =对称的点(4,)x y -在2
4y x =上，得2
4(4)164y x x =-=-，选C 。
问题4 （2004上海，理）若函数()f x 的图像可由函数lg(1)y x =+的图像绕坐标原点O 逆时针旋转2
π
得到，则()f x = （ ） A ，10
1x -- B ，101x - C ，110x -- D ，110x -
解答指导：设(,)x y 是所求曲线上任一点，它绕坐标原点O 顺时针旋转2
π
得到的点(,)y x -在lg(1)y x =+上，得lg(1)x y -=+，即101x
y -=-，选A 。
二、翻折变换
引例3（1990“希望杯”高一，改）函数1y x =-的图像与x 轴围成的封闭区域的面积是（ ）
A ，2
B
C ，1
D ，1
2
分析：我们看一下1y x =-是怎么来的。
y x y x =−−−−−−−−−−−−−−−→=保留x 轴上方的图像,并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方去
1y x y x =−−−−−−→=-向下平移1个单位
11y x y x =-−−−−−−−−−−−−−−−→=-保留x 轴上方的图像,并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方去
根据以上过程，画一下图像知C 正确。
引例4画下列函数的图像，并探讨它们的奇偶性，周期性。
（1）sin y x = （2）sin y x = 分析：经过一翻的试验，我们得到如下画法： （1）sin sin y x
y x ==保留y 轴右边的图像,去掉y 轴左边的图像
再作关于y 轴对称的图像
（2）sin sin y x y x =−−−−−−−−−−−−−−−
→=保留x 轴上方的图像,并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方去
画图留给读者。
（两个都是偶函数，前者不是周期函数，后者是周期函数，它的周期为π。
）
其实我们有如下更一般的结论：
()
()y f x y f x ==保留y 轴右边的图像,去掉y 轴左边的图像
再作关于y 轴对称的图像
()()y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=保留x 轴上方的图像,并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方去。