函数图像的变换

是定义在R上的偶函数 例4.f(x)是定义在 上的偶函数，其图象关于直 是定义在 上的偶函数， 对称， ∈(线x=1对称，且当 ∈(-1,1)时，f(x)=-x2+1, 对称 且当x∈( 1,1)时 f(x)=则当x∈( 3,-1)时 x∈(则当x∈(-3,-1)时，f(x)= (x+2)2+1 .
O
1
x y=a(a=0) 有两个交点
-4
例4：已知α是方程 x + log = 4 的实根,β是方 4 程 2x + x = 4 的实根，那么 α +β=
y=2x y=4-x y=log y=4-x A(α,4- α) B(β,4- β)
B y=2x y=x A
y=log
y=4-x (α+ β)=( 4- α)+( 4- β) α+β= 4
y y y y
1
O
1 1 x
O
1 x -1
O
-1
x
O1
x
对 称 变 换
（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 ） 与 的图象关于 （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 ） 与 的图象关于 （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 ） 与 的图象关于
对称； 对称； 对称； 对称； 对称； 对称；
函数图象的伸缩变换规律
( 2 ) 函数 y = sin ω x ( ω > 0 且 ω ≠ 1 ）的图象，可以看作是 y = sin x 的图象上所有点的横坐 或伸长（当 0 < ω < 1时）到原来的 2π 标缩短（当 1
把
ω > 1时）
ω
倍（纵坐标不变）
而得到的这种变换称为
周期变换，它是由 T =
y
y=2|x| y=2x
1
y=log2x| y=|log x
O
1
x
O
x
翻 折 变 换
(5)由y=f(x)的图象作 由 的图象作 y=f(|x|)的图象： 的图象： 的图象 保留y=f(x)中y轴右 保留 中 轴右 侧部分， 侧部分，再加上这部分 关于y轴对称的图形 轴对称的图形. 关于 轴对称的图形
y
1 x
-3
-2
-1
O
1
2
3
小
结
1.已学的画函数图象的基本方法： 已学的画函数图象的基本方法： 已学的画函数图象的基本方法 （1）描点法： ）描点法： （2）图象变换法：平移变换、对称变换 ）图象变换法：平移变换、 2.画函数图象时可先确定函数的定义域、讨论函数的性 画函数图象时可先确定函数的定义域、 画函数图象时可先确定函数的定义域 如单调性、奇偶性、特殊点等),再用描点法或图象 质（如单调性、奇偶性、特殊点等 再用描点法或图象 变换法得出图象。 变换法得出图象。 3.用图象变换法画函数图象的简图时，往往要找出该函 用图象变换法画函数图象的简图时， 用图象变换法画函数图象的简图时 数的基本初等函数，分析其通过怎样的变换(平移 平移、 数的基本初等函数，分析其通过怎样的变换 平移、对称 而得到。 等)而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。 而得到 有时要先对解析式进行适当的变形。 4.利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、解 利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、 利用函数的图象判定单调性 不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。 不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。
寻找规律，你能得到什么结论？ 寻找规律，你能得到什么结论？
y = A sin x ( A > 0 且 A ≠ 1 ）的图象可以看作是把 y = sin x 的图象上所有点的纵坐 标伸长（当 A > 1时）或缩短 （当 0 < A < 1时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得 到， 这种变换称为振幅变换 ，它是由 A 的变化引起的， A 叫做函数 y = A sin x 的振幅。
(6)由y=f(x)的图象作 由 的图象作 y=|f(x)|的图象： 的图象： 的图象 保留y=f(x)中x轴上 保留 中 轴上 方部分， 方部分，再加上这部分 关于x轴对称的图形 轴对称的图形. 关于 轴对称的图形
问题4 问题4
1 （1）绘制观察 ）绘制观察y=sinx，y=2sinx ， y= sinx ， 2 的图象
对称. （4）y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于 直线y=x 对称 ） 与 的图象关于
问题3： 问题 ：分别在同一坐标系中作出下列各组函 数的图象，并说明它们之间有什么关系？ 数的图象，并说明它们之间有什么关系？
（1）y=2x与y=2|x| ）
y
（2）y=log2x与y=|log2x| ） 与
y=f(x+1)
y=f(x-1) 1 -1 O 1
x
y=f(x)-1 -1
问题2 说出下列函数的图象与指数函数y=2 问题2：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的 图象的关系，并画出它们的示意图. 图象的关系，并画出它们的示意图. (4)y=log2x (3)y=-2-x (1)y=2-x (2)y=-2x
ω 的变化而
引起的， ω 与周期的关系为
ω
。
例1.已知函数y=|2x-2| 已知函数 （1）作出函数的图象； ）作出函数的图象； 的单调区间； （2）指出函数 的单调区间； ） 取何值时， （3）指出 取何值时，函数有最值。 ）指出x取何值时 函数有最值。
y
y=2x
y=|2x-2|
y=2x-2 y=|2x-
3
x
-1
y=a(a>4)有二个交点
y
解：在同一坐 标系中， 标系中，作出 y=|x2+2x-3| 的图象。 和y=a的图象。 的图象 由图可知： 由图可知：
4
y=a(a=4) 有三个交点 y=a(0<a<4) 有四个交点
-1
y=a(a<0) 当a<0时, 方程无解 时 方程无解; 当a=0时, 方程有两个解 没有交点 时 方程有两个解; 当0<a<4时,方程有四个解 时 方程有四个解; 方程有两个解. 当a>4或a=0时,方程有两个解 或 时 方程有两个解 当a=4时， 方程有三个解 时 方程有三个解; 当a>4时, 方程有两个解 时 方程有两个解.
问题5 问题5
1 的图象。 （1）绘制观察 ）绘制观察y=sinx，y=sin2x ， y= sin x的图象。 ， 的图象 2 寻找规律，你能得到什么结论？ 寻找规律，你能得到什么结论？
函数图象的平移变换规律： 函数图象的平移变换规律： a>0,向左平移 向左平移a a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a) 左右平移 （1）y=f(x) ） a<0,向右平移|a|个单位 向右平移|a| a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移 向上平移k k>0,向上平移k个单位 （2）y=f(x) y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位 向下平移|k| k<0,向下平移|k|个单位 函数图象的对称变换规律： 函数图象的对称变换规律： （1）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴 对称； ） 与 的图象关于 轴 对称； （2）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y轴 对称； ） 与 的图象关于 轴 对称； 对称； （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原点 对称； ） 与 的图象关于 对称. （4）y=f(x)与y=f -1 (x)的图象关于 直线 ） 与 的图象关于 直线y=x 对称 函数图象的翻折变换规律： 函数图象的翻折变换规律： (1)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象 保留y=f(x) 的图象作y=f(|x|)的图象： y=f(x)中 (1)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中 y轴右侧 部分，再加上这部分关于 y轴 对称的图形. 部分， 对称的图形. (2)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象 保留y=f(x) 的图象作y=|f(x)|的图象： y=f(x)中 (2)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：保留y=f(x)中 x轴上方 部分， 对称的图形. 部分，再加上这部分关于 x轴 对称的图形.
你想画好函数的图象吗？ 你想画好函数的图象吗？ 你想利用图象的直观性来解决问 题吗？ 题吗？ 那么你首先应该认识与掌握
函数图象的四大变换
平移
对称 翻折 伸缩
问题1：如何由 问题 ：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函 y 数的图象？ 数的图象？ y=f(x)+1
（1）f(x-1)=(x-1)2 ） （2）f(x+1)=(x+1)2 ） （3）f(x)+1=x2+1 ） （4）f(x) -1=x2-1 函数图象的平移变换： 函数图象的平移变换： y=f(x) y=f(x) a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a)左右平移 a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移k个单位 y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位