第三章 热平衡时非简并半导体载流子浓度

a
x x+L
L=a×N
在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
e ikx u ( x) e ik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e
ikx
e
ik ( x L )
e ikL e ikNa 1 cos k L 1 k L 2n (n 0,1,2 ) 2n k L 2 4 k 0, , L L
2
电子态数变化dZ(E)：
2V dV 2V 2 dZ 4k dk 3 3 (2 ) (2 )
2mn 3 / 2 1/ 2 dZ ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
*
2mn 3 / 2 dZ 1/ 2 gc (E) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
∴ 电子浓度no：
3/ 2
e

Ec E F kT
2k Tmdn no N / V 2 2 h
3/ 2
e
Ec E F kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
2k Tmdn Nc 2 2 h
3/ 2
—— 导带的有效状态密度
Ec EF kT
ky
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • •
•
• • • •
ky
小立方的体积为：
2 2 2 (2 ) L L L V
3
一个允许电子存在的状 态在 k 空间所占的体积
单位 k 空间允许的状态数为：
V 3 (2 ) (2 )3 V
单位k空间体积内所含的允许状态数 等于晶体体积 V/(2)3 －－k 空间的量子态（状态）密度 考虑自旋，k空间的电子态密度为：2V/(2)3
任意k空间体积 V V 中所包含的电子态数为： 2VV
1
(2 )
3
波矢k ～ 电子状态的关系 能量E~波矢k
能量E ～ 电子状态的关系
二、半导体导带底附近和价带顶附近的 状态密度
1. 极值点 k0=0，E(k)为球形等能面 (1) 导带底
h 2 2 2 E (k ) Ec (k x k y k z ) * 2mn
no N c e
导带中的电子浓度是 Nc 中有电子占据的 量子态数。
2. 空穴浓度po
价带中的空穴浓度为：
EF EV kT
po NV e
其中
2k Tmdp NV 2 h2
3/ 2
—— 价带的有效状态密度
价带中的空穴浓度等于 Nv 中有空穴占据的 量子态数。
● NC 、 NV ～ T ● f(EC) 、 f(EV) ～T
1/2
T↑
E＞EF： f(E)↑ E＜EF：f(E)↓
f (E) e 1
E EF kT
T2>T1
T1 T2 E
EF
1
例：量子态的能量 E 比 EF 高或低 5kT
当 E－EF 5 kT 时： f (E) 0.007
当 E－EF －5 kT 时： f (E) 0.993 温度不很高时: 能量大于 EF 的量子态基本没有被电子占据 能量小于 EF 的量子态基本为电子所占据 电子占据 EF 的概率在各种温度下总是 1/2

2mdp h
)
3/ 2
EV E
1/ 2
称mdp为价带空穴的状态密度有效质量
2. 极值点ko≠0
导带底附近：
2 2 2 k k k z k zo h k x k xo y yo E (k ) Ec * * * 2 my mz mx 2
在室温时：
Nc(cm-3) Si Ge GaAs 2.8×1019 1.04×1019 4.7×1017 Nv(cm-3) 1.2×1019 6.1×1018 7×1018
no N c e
po NV e
Ec EF kT
EF EV kT
二、影响no 和po 的因素
1. mdn 和 mdp 的影响 — 材料的影响 2. 温度的影响
1 f (E) e
1
E EF kT

1
1 e
EF E kT
1
E kT
当 EF－E＞＞kT 时，
1 f (E) e
EF E kT
Be
E↑，空穴占有几率增加；EF↑，空穴占
有几率下降，即电子填充水平增高。
服从Boltzmann分布的电子系统
相应的半导体
非简并系统 非简并半导体
二、玻尔兹曼分布
1.电子的玻氏分布
E EF 当 E－EF＞＞kT 时， kT ＞＞1
e
f (E) e
1
E EF kT
≈
1
e
E EF ( ) kT
Ae
E ( ) kT
f B (E)
—玻尔兹曼分布
例如：E－EF=5kT 时，
f (E) e 1
E EF kT
1
1 5 0.006693 e 1
E EF kT 满足： 或E F E kT
服从Fermi分布的电子系统
简并系统 相应的半导体 简并半导体
§3.3 状态密度
状态密度 – 能带中能量 E－ E+dE 之间有 dZ 个量子 态，则状态密度为：
dZ g (E) = dE
– 即状态密度是能带中能量 E 附近单位能 量间隔内的量子态数目
称mdn导带电子的状态密度有效质量
由此可知：
状态密度gC（E）和gV（E）
与能量E
有抛物线关系，
还与有效质量有关，
有效质量大的能带中的状态
密度大。
§3.4 热平衡时非简并半导体的 载流子浓度no和po
一、导带电子浓度no和价带空穴浓度po
1. 电子浓度 no
在能量 E→E+dE 间隔内的电子数 dN 为：
状态密度的计算
– K 空间的状态密度——k 空间单位体积内 的量子态数
如何计算：
能量间隔 dE 对应的 k 空间体积 能量间隔 dE 对应的量子态数 dZ 计算状态密度 g (E)
一、理想晶体的 k 空间的状态密度
1.一维晶体 设它由 N+1 个原子组成，晶格常数为 a， 晶体的长为 L，起点在 x 处
*
(2)价带顶
gV ( E ) 4V (
E
2m p h
2
*
)
3/ 2
EV E (k )
1/ 2
1
Ec
Ev
gc(E)
gv(E) 2
状态密度与能量的关系
对Si、Ge、GaAs材料：
gv(E)=gvh(E)+gvl(E)
4V ( 2(m p ) h h * 2(m p )l
2 *
)
态数—价带的状态密度
§3.2 热平衡态时电子在量 子态上的分布几率
一、费米分布函数和费米能级
1.在导带和价带
能带中的能级可容纳自旋相反的两个电子
电子占据能量 E 的量子态的几率 1 f ( E ) E EF —费米分布函数 e kT 1
式中 EF 具有能量量纲，称为费米能级。
没有被电子占有的几率为：
导带底附近的状态密度为：
2 dZ gc (E) 4VS dE
3/ 2
( mx m y mz ) h3
*
*
* 1/ 2
E (k ) Ec1/ 2
式中S为导带极小值的个数 Si：S=6，Ge：S=4
令：
mdn S
2/3
( mx m y mz )
*
*
* 1/ 3
2mdn 3 / 2 1/ 2 g c ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec h
(2)f(E)与 EF 有关
EF↑，f(E)↑，能带中的电子占有几率增加
EF
EF EF EA EF EF
Ec
Ei
EV
（a）
（b ）
（c）
（d）
（e）
强p型
p型
本征
n型
强n型
费米能级位置标志着电子填充能级水平的高低。
EF 的意义:
EF 的位置比较直观地反映了 电子占据电子态的情况。即标志 了电子填充能级的水平。 EF 越高，说明有较多的能量较高 的电子态上有电子占据。
●
●
ED
Ec
产生
复合
Ev
○ ○
在一定温度 T 下，载流子的产生过程 与复合过程之间处于动态 的平衡， 这种状态就叫热平衡状态。
二、热平衡时载流子浓度
处于热平衡状态的载流子n0和p0称为热平衡 载流子。数值保持一定，其浓度决定于：
●允许电子存在的量子态是如何按能 量分布的，或者说每一个能量 E 有多 少允许电子存在的量子态？
c
式中 Ec 为导带顶的能量
若晶体的体积为 V，那么电子的浓度为：
Ec '
N n V
Ec
f ( E ) g ( E )dE
c
V
空穴占据能量 E 的几率为：1－f(E) 空穴的浓度 p 为：
EV
p
＇
EV '
1 f ( E )g
V
V
( E )dE
式中 Ev 为价带底的能量
gV(E)为价带中单位能量间隔含有的状