2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（二）数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷选择题部分（单选和多选）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数220z a i a i =-->（其中a R ∈，i 为虚数单位），则实数a 值为（ ） A. 0 B. 1C. 1-D. ±1【答案】C 【解析】 【分析】根据复数和0的大小关系，可知虚部为0，即可结合不等式求得a 的值. 【详解】∵()22221z a i a i a a i =--=-+-为正实数， ∴20a ->且210a -=， 解得1a =-.故选：C.【点睛】本题考查了复数的概念，虚数不能比较大小，当虚部为0时，复数变为实数才可比较大小，属于基础题.2.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}AB x x =>D. AB =∅【答案】A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A3.已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ） A. b c a << B. b a c << C. a b c << D. c a b <<【答案】C 【解析】试题分析：∵(0,1)m ∈，∴log 20m a =<，2(0,1)b m =∈，21m c =>，即a b c <<，故选C ．考点：对数函数与指数函数．4.已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)r 与(1,)s 的残差相同，则有() A. r s = B. 2s r =C. 23s r =-+D. 21s r =+【答案】C 【解析】 【分析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.【详解】样本点(,1)r 的残差为21r a +-，样本点(1,)s 的残差为2a s +-，依题意212r a a s +-=+-，故23s r =-+，所以选C.【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.5.已知扇形AOB ，AOB θ∠=，C 是弧AB 上一点，若333OC OA OB =+，则θ=（ ）. A.6πB.3πC.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos θ，即可求得结果.【详解】由233OC OA OB =+，两边同时平方得2OC =2333OA OB ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则有3=4+1+23OB ⋅=5+2⨯2cos θ， ∴cos 12θ=-，23πθ=，故选D. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.6.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm ),那么该壶的容量约为（ ）A. 1003cmB. 3200cmC. 3003cmD. 4003cm【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．【详解】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =． 故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．8.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-.若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（ ）A. 51,4k k ⎛⎫++⎪⎝⎭（k Z ∈） B. 521,24k k ⎛⎫++⎪⎝⎭（k Z ∈） C. 52,214k k ⎛⎫--⎪⎝⎭（k Z ∈） D. 5,14k k ⎛⎫--⎪⎝⎭（k Z ∈） 【答案】B【解析】 【分析】根据偶函数及条件()()11f x f x -=+，可知()f x 的对称轴及周期，由01x ≤≤时的解析式，画出函数图像，结合函数图像即可求得直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点时a 的取值集合. 【详解】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+， 所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =. 当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x ∈R ）有两个公共点； 由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x ∈R ）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（k Z ∈）. 故选：B.【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性与周期性的综合应用，直线与曲线交点问题的求法，数形结合的综合应用，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知点P 为ABC 所在平面内一点，且230PA PB PC ++=，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 向量PA 与PC 可能平行； B. 向量PA 与PC 可能垂直； C. 点P 在线段EF 上； D. :1:2PE PF =.【答案】BC 【解析】 【分析】由题意并根据平面向量线性运算可知()12PE PA PC =+，()12PF PB PC =+，代入等式可得2PE PF =-，即可判断C 和D ；根据平面向量线性运算，可判断A 和B.【详解】根据题意，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点， 结合平面向量的线性运算可知则()12PE PA PC =+，()12PF PB PC =+， 代入230PA PB PC ++=可得2PE PF =-， 则点P 在线段EF 上，且:2:1PE PF =，所以C 正确.而由平面向量线性运算可知，向量PA 与PC 不可能平行，但可能垂直，所以B 正确. 由以上可知，正确的为BC. 故选：BC.【点睛】本题考查了平面向量线性运算，向量共线基本定理的简单应用，属于基础题. 10.设函数()()05f x sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭, 已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点.下述四个结论中正确的是（ ）A. ()f x 在()0,2π有且仅有3个最大值点B. ()f x 在()0,2π有且仅有2个最小值点C. ()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】先求已知求出ω的范围，然后再结合sin y x =的图象判断选择支,,A B C 是否正确． 【详解】由于0>ω，(0)sinsin 05f π=>，而()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，所以5265ππωππ≤+<，解得1229510ω≤<，D 正确；因此只有满足59,,5222x ππππω+=的x 是()f x 在(0,2)π上的最大值点，共3个，A 正确；满足37,522x πππω+=的x 显然是()f x 在(0,2)π上的最小值点，但当ω接近2910时，11652x ππωπ+=<，也是一个最小值点，这时有3个最小值点，B 错； 当(0,)10x π∈时，由49(2)105101002ππππωωπ⨯+=+⨯<<，所以()f x 是递增的，C 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．把5x ωπ+作为一个整体，函数就可与sin y x =进行类比．11.如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值1y ，2y ，使得()()12f y f y =，就称()f x 为定义域上的“不严格的增函数”.下列所给的四个函数中为“不严格增函数”的是（ ）A. (),10,11,1x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩＜＜；B. ()1,2sin ,22x f x x x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩＜；C. ()1,10,111,1x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩＜＜；D. (),11,1x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩＜.【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义，结合函数的定义域和解析式，借助分析法和特殊值，即可判断各选项是否为“不严格的增函数”. 【详解】由已知可知函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值1y ，2y ，使得()()12f y f y =，就称()f x 为定义域上的不严格的增函数.A .(),10,11,1x x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪≤-⎩，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；B .()1,2sin ,22x f x x x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，当12x π=-，2,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()12f x f x >，故不是不严格的增函数；C .()1,10,111,1x f x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；D .(),11,1x x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，当112x =，231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()12f x f x >，故不是不严格的增函数，故已知的四个函数中为不严格增函数的是AC . 故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的简单应用，读懂题意是解决问题的关键，属于中档题.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（ ）A. 若点P 总保持PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段；B. 若点P 到点A，则动点P 的轨迹是一段圆弧； C. 若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D. 若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由1BD ⊥平面1AB C 且平面1AB C平面111BCC B B C =，即可判断A ；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B ；作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ，作1PQ CC ⊥.建立空间直角坐标系，由PF PQ =即可求得动点P 的轨迹方程，即可判断C ；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D. 【详解】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1B C ，所以A 正确；对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为233的球面与面11BCC B的交线，即为一段圆弧，所以B正确；对于C，作PE BC⊥，EF AD⊥，连接PF；作1PQ CC⊥.由PF PQ=，在面11BCC B内，以C原点、以直线CB、CD、1CC为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x z21z x+=，化简得221x z-=，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.对于D，由题意可知点P到点1C的距离与点P到直线BC的距离之比为2:1，结合C中所建立空间直角坐标系，可得121PCPE=，所以21241PCPE=，代入可得()222141x zz+-=，化简可得221314493zx⎛⎫+⎪⎝⎭-=，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.综上可知，正确的为ABD.故选：ABD.【点睛】本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.第Ⅱ部分非选择题部分（填空和解答）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.3261(31)()x xx--的展开式中常数项为【答案】-33【解析】261()xx-展开式通项为26123661()()(1)r r r r r rT C x C xx--=-=-，令12-3r=0得：r=4,它的常数项是446(1)15,C-=令12-3r=-3得：r=5,它的3x-项系数为：556(1)6C-=-；故3261(31)()x x x--的展开式中常数项为:3(6)(1)1533⨯-+-⨯=-14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为222+=a b c （a ，b ，c *∈N ），把a ，b ，c 叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，以此类推，可猜测第6组勾股数的第二个数是______. 【答案】84 【解析】 【分析】根据所给示例，找出数据的排列规律和特征，即可确定第6组勾股数的第二个数.【详解】先找出所给勾股数的规律：①以上各组数均满足222+=a b c ，最小的数a 为奇数； ②其余两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方是另两个连续整数的和. 如23945==+；25251213==+；27492425==+；29814041==+， 依次类推，第六组的奇数为13，则()222131x x +=+， 解得84x =. 故答案为：84.【点睛】本题考查了归纳推理在数与式推理中的简单应用，找到规律和特征是解决问题的关键，属于基础题.15.在ABC 中，AB AC =，点D 在边AC 上，且2CD DA =，4BD =，则ABC 的面积最大值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意可设AD x =，则3AB AC x ==，在ABD △中，由余弦定理求得cos A 的表达式，结合同角三角函数关系式，即可求得sin A ；根据三角形面积公式，表示出ABCS ，结合二次函数性质即可确定三角形面积的最大值.【详解】设AD x =， 则3AB AC x ==，在ABD △中，由余弦定理得22296cos 16x x x A +-=， 解得258cos 33A x=-，则由同角三角函数关系式可知sin A =则由三角形面积公式可得21133sin 922ABCS x x A x =⋅⋅=⋅△=所以当2x =时，()max 9ABC S =△. 故答案为：9.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数关系式的应用，三角形面积的综合应用，根据二次函数性质求最值，属于中档题.16.双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，已知点2F 为抛物线C ：214y x=的焦点，且到双曲线E ，又点P 为双曲线E 上一点，满足1260F PF ∠=︒.则 （1）双曲线的标准方程为______；（2）12PF F △的内切圆半径与外接圆半径之比为______.【答案】 (1). 2212564x y -= (2). 27【解析】 【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标，由2F 到其双曲线的渐近线的距离可求得,b 再由双曲线中,,a b c 的关系即可求得双曲线标准方程；设点P 在双曲线的右支上，2PF x =，则15PF x =+，根据余弦定理求得2PF ，进而结合双曲线中焦点三角形面积公式求得内切圆半径，由正弦定理求得外接圆半径，即可求得12PF F △的内切圆半径与外接圆半径之比.【详解】2Fb =214y x =的焦点27,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2224925644a cb =-=-=，则双曲线的标准方程为2212564x y -=； 设点P 在双曲线的右支上，2PF x =，则15PF x =+， 则由余弦定理可得()()224955x x x x =++-+， 解得3x =，8x =-（舍去），设12F PF △的内切圆和外接圆的半径分别为r ，R ，()121138387222PF F S r =⨯⨯⨯==++△，解得3r =， 而由正弦定理可得12172sin 60F F R =⨯=， 所以27r R =. 故答案为：2212564x y -=；27. 【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线几何性质的综合应用，焦点三角形面积公式的应用，三角形内切圆和外接圆半径求法，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，综合性强，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，且111a b ==，432a b +=.在①22a b =，②6243b =，③424S S =这三个条件中任选一个，回答下列问题： （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）如果m n a b =（m ，n *∈N ），写出m ，n 的关系式()m f n =，并求()()()()123f f f f n ++++.【答案】（1）见解析；（2）()11312n m -=+；3214n n +-【解析】 【分析】（1）若选①②，结合等差数列与等比数列通项公式的基本量计算，即可求得公差和公比，即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式；若选③，结合等差数列前n 项和公式、等差数列与等比数列通项公式，即可求得公差和公比，即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n a 和{}n b 的通项公式，即可由m n a b =得m ，n 的关系式()m f n =，利用分组求和法即可求得()()()()123f f f f n ++++.【详解】（1）若选①：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则21132d q d q +=⎧⎨++=⎩，解得23d q =⎧⎨=⎩或1d q =-⎧⎨=⎩（舍），则21n a n =-，13n n b -=，若选②：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则由561b q b =得3q =， 13n n b -∴=，又432a b +=，139d ∴+=，2d ∴=，21n a n ∴=-.若选③：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则()24344112132dd d q⨯⎧+=++⎪⎨⎪++=⎩，解得23d q =⎧⎨=⎩或23d q =⎧⎨=-⎩（舍）， 则21n a n =-，13n n b -=.（2）∵m n a b =，∴1213n m --=，即()11312n m -=+， ()()()12f f f n +++()()()01113131312-⎡⎤=++++++⎣⎦()01113332n n -=++++ 1133212134nn n n ⎛⎫-+-=+= ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式与等比数列通项公式的综合应用，等差数列求和与等比数列求和公式的应用，属于基础题.18.在三角形ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =b c ，求12b a -的取值范围.【答案】（Ⅰ）3π，（Ⅱ）⎣【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角C ； （2）由正弦定理可得2sin ,2sin b B a A ==，将12b a -转化为关于B 的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围. 【详解】解：（1）()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-由正弦定理，()()()a c a c b a b -+=-，即222a c ab b -=-由余弦定理，222b c 1cos 2b 2a C a +-==，又C (0,)π∈C .3π∴=（2）因为3c =且b c ≥，由正弦定理得32sin sinsin 32b a cB A C====， 2sin ,2sin b B a A ∴==，23B A π+= 23A B π∴=- b c ≥ B C ∴≥233B ππ∴≤<122sin sin 2sin sin 23b a B A B B π⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭33sin cos 22B B =- 3sin()6B π=-662B πππ∴≤-<1sin 126B π⎛⎫∴≤-< ⎪⎝⎭ 13,322b a ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎪⎣ 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】 【分析】（1）根据平面与平面垂直的性质，结合线面垂直性质即可判定CD PA ⊥；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，可证明OB AD ⊥，进而建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面PAC 和平面PAD 的法向量，即可由空间向量法求得二面角C PA D --的余弦值. 【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ， 因为PA ⊂平面PAD ， 所以CD PA ⊥.（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 因为PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为CD AD ⊥，//BC AD ，2AD BC =，所以//BC OD ，BC OD =， 所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB AD ⊥. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，()0,0,1P .()2,2,0AC =-，()1,0,1AP =-.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1y =，1z =，所以()1,1,1n =.因为平面PAD 的法向量()0,2,0OB =， 所以3cos ,3n OB n OB n OB⋅==由图可知二面角C PA D --为锐二面角， 所以二面角C PA D --的余弦值为3. 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直性质的应用，由空间向量法求二面角大小，属于中档题.20.某摄影协会在2019年10月举办了主题“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲70岁的生日献了一份厚礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[]25,85之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（1）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()6073.4P X <<；13.4≈，若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.（ii ）摄影协会从年龄在[]45,55和[]65,75的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[]45,55的人数是Y ，求变量Y 的分布列和数学期望.【答案】（1）60；180；（2）（i ）0.3413；（ii ）分布列见解析，()97E Y = 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，即可由平均数求法求得这100位作者年龄的样本平均数x ；结合方差公式即可求得这100位作者年龄的样本方差2s ； （2）（i ）结合（1）可得正态分布()60,180XN ，即可由参考数据计算得解.（ii ）根据分层抽样方法特征可知抽取的这7人中年龄在[]45,55内有3人，在[]65,75内有4人，所以Y 可能的取值为0，1，2，3，分别求得各组的概率，即可得变量Y 的分布列和数学期望. 【详解】（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()222222300.05200.1100.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=（i ）由（1）知，()60,180XN ，从而()()116073.46013.46013.40.68260.341322P X P X <<=-<<+=⨯=； （ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[]45,55内有3人，在[]65,75内有4人，故Y 可能的取值为0，1，2，3()0334374035C C P Y C ===， ()12343718135C C P Y C ===，()21343712235C C P Y C ===，()3034371335C C P Y C === 所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为()41812190123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了由频率分布直方图求平均数和方差的方法，正态分布曲线求指定区间的概率，3σ原则的应用，分层抽样的应用，离散型随机变量分布列与数学期望的求法，属于中档题.21.已知直线l ：1y kx =+与曲线C ：22221x y a b+=（0a >，0b >）交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点.（1）若1k =，OA OB =，求证：曲线C 是一个圆；（2）若曲线C 过()0,2、()1,0，是否存在一定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出定点Q 和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，定点170,8⎛⎫⎪⎝⎭， 3364QA QB ⋅= 【解析】 【分析】（1）设直线l 与曲线C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，由两点间距离公式及OA OB =可得22221122x y x y +=+，将A ，B 代入曲线方程，作差化简变形即可证明22a b =，因而可知曲线C 是一个圆；（2）由曲线C 过()0,2、()1,0，可得曲线C 为椭圆，且求得标准方程，假设存在点()00,Q x y ，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆，并由韦达定理表示出12x x +，12x x ,由平面向量数量积的坐标运算，代入化简即可确定所过定点坐标，亦可求得QA QB ⋅的值. 【详解】（1）证明：设直线l 与曲线C 的交点为()11,A x y ，()22,B x yOA OB =，=22221122x y x y +=+， ∴22221221x x y y -=- ∵A ，B 在曲线C 上，∴2211221x y a b +=，2222221x y a b +=， ∴两式相减得()2222212212a x x y y b-=-∴221a b=即22a b =,所以221x y +=， ∴曲线C 是一个圆.（2）由题意知，椭圆C 的方程为2214y x +=,假设存在点()00,Q x y ，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()224230k x kx ++-=, 12224kx x k -+=+，12234x x k -=+, 直线l ：1y kx =+恒过椭圆内定点()0,1，故>0∆恒成立.()()10102020,,QA QB x x y y x x y y ⋅=--⋅--()()()()10201020x x x x y y y y =-⋅-+--()()()2120120102011x x x x x x kx y kx y =-++++-+- ()()()()22212001200111k x x k y x x x x y =++--+++-⎡⎤⎣⎦()()()2220000223211144k k k y x x y k k --=++--++-⎡⎤⎣⎦++ ()()()22002002312114k k y x kx y k -+---⎡⎤⎣⎦=++-+()()22002002252314y k x k x y k -+-=++-+ 当0003254x y =⎧⎪⎨--=⎪⎩时，即00x =，0178y =时23933 4864QA QB ⎛⎫⋅=-+= ⎪⎝⎭, 故存在定点170,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，不论k 为何值，3364QA QB ⋅=为定值. 【点睛】本题考查了圆方程的特征，直线与椭圆位置关系的综合应用，解析几何与向量的综合，椭圆中的定点求法，平面向量数量积的应用，属于难题.22.已知函数()2xf x x e = （1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由；（3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）增区间为(),2-∞-，()0,∞+，单调减区间为()2,0-；（2）三条切线，理由见解析；（3）0,2⎡+⎣ 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分别令()0f x '>，()0f x '<，得到()f x 的单调区间；（2）设切点坐标为()0200,x x x e ，利用导数得切线斜率，表示出切线方程，代入过点()1,0P ，得到0x 的方程，解出0x 的值，从而得到结论；（3）设()()21xg x x e k x -=-，分为0k =，k 0<，0k >进行讨论，易得0k =，k 0<时的情况，当0k >时，易得1x ≤时成立，1x >时，令()21xx e h x x =-，利用导数，得到()min h x ，从而得到k 的范围. 【详解】（1）()()()222x x f x x x e x x e '==++， ()0f x '>得，2x <-或0x >；()0f x '<得，20x -<<；所以()f x 的单调增区间为(),2-∞-，()0,∞+；单调减区间为()2,0-；（2）过()1,0P 点可做()f x 的三条切线；理由如下：设切点坐标为()0200,x x x e ，所以切线斜率()()00002xx x k x e f '=+= 所以过切点的切线方程为：()()002200002x x x ex x e x y x -=+-， 切线过()1,0P 点，代入得()()00220000210x x x ex x e x -=+-，化简得(00000x x x x e =，方程有三个解，00x =，0x =0x =所以过()1,0P 点可做()f x 的三条切线.（3）设()()21xg x x e k x -=-， ①0k =时，因为20x ≥，0x e >，所以显然20x x e ≥对任意x ∈R 恒成立；②k 0<时，若0x =，则()()0001f k k =>-=-不成立，所以k 0<不合题意.③0k >时，1x ≤时，()()210xg x x e k x -=->显然成立， 只需考虑1x >时情况； 转化为21xx e k x ≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立 令()21xx e h x x =-（1x >）， 则()min k h x ≤，()()()(()2222(2)111x x xx x x e x x e x x e h x x x +--'==--，当1x <<时，()0h x '<，()h x 单调减；当x >()0h x '>，()h x 单调增；所以()(min 2h x h ==+=，所以(2k ≤+综上所述，k 的取值范围(0,2+⎡⎣. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数的几何意义求函数的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.。