沪科版-数学-八年级上册-巧用等腰三角形性质证明
上海沪科版初中数学八年级上册15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论
的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则 an= （用含 n 的代数式表示）．
所剪次数
1
2
3
4
…
n
正三角形个数 4
7
10
13
…
an
12．（2015•安徽模拟）将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的 “面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的 “面径”．已知等边三角形的边长为 2，则它的“面径”长可以是 （写出 2 个）． 13．（2015•湖州模拟）如图，有一个正三角形图片高为 1 米，A 是三角形的一个顶点，现 在 A 与数轴的原点 O 重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点 A 恰好与数轴上点 A′ 重合，则点 A′对应的实数是 ．
，则
此等腰三角形的周长为（ ）
A 5
B4
C3
D 5或4
．
．
．
．
3．（2015•徐州一模）如果等腰三角形的底角为 50°，那么它的顶角为（ ）
A 50°
B 60°
C 70°
D 80°
．
．
．
．
4．（2015•武汉模拟）如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ）
A 80°
B 100°
14．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上，点 D 在 BC 边上，且 ED=EC．若△ABC 的边长 为 4，AE=2，则 BD 的长为 ．
一．选择题（共 7 小题） 1．C 2．A 3．D 二．填空题（共 7 小题）
4．C
参考答案
矩形纸板上，剪下一个腰长为 10 厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形
沪科版八年级数学上册15.等腰三角形的判定导学课件
感悟新知
例 1 [模拟·广东] 如图15.3-8，在△ ABC 中，BD，AE 分 别是AC，BC 边上的高，它们相交于点F，且AF ＝ BC．求证：△ ABD 是等腰三角形．
解题秘方：利用三角形全等即可得出BD ＝ AD，从而利 用定义判定△ ABD 是等腰三角形．
感悟新知
解法提醒 掌握判定三角形是等腰三角形的两种方法是解题
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
学习目标
1 本节要点 等腰三角形的判定
2 学习流程
逐点 学练本节 小结来自作业 提升感悟新知
知识点 1 等腰三角形的判定
1. 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形( 简称 “等角对等边”). 几何语言：如图15.3-7，在△ ABC 中， ∵∠ B= ∠ C， ∴ AB=AC.
∠ CBD= ∠ FAD， BC=AF， ∴△ BCD ≌△ AFD，(AAS) ∴ BD=AD， ∴△ ABD 是等腰三角形．
感悟新知
例2 [期末·上海松江区] 如图15.3-9，已知在△ ABD 中， AB=BD，∠ ADE= ∠ B. 求证：△ ADE 是等腰三角形.
解题秘方：根据等腰三角形的性质和 三角形的内角和定理可得∠ AED= ∠ BAD，利用等 腰三角形的判定定理即可．
感悟新知
方法点拨 根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是
等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等, 所 以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.
感悟新知
证明：∵ AB=BD， ∴∠ BAD= ∠ BDA. ∵∠ ADE= ∠ B， ∠ ADE+ ∠ BAD+ ∠ AED=180°， ∠ B+ ∠ BDA+ ∠ BAD=180°， ∴∠ AED= ∠ BAD， ∴ ED=AD， ∴△ ADE 是等腰三角形．
沪科八年级等腰三角形性质课件
建筑物 中充满 了大量 的轴对 称图形
温故知新
课本14章《三角形的边角关系》 中的三角形的分类。
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
不等边三角形 三角形 底边和腰不等的等腰三角形
等腰三角形
三条边都相等的等边三角形
随堂练习
快速找出下图中的等腰三角形
腰
B 底边
C
知识探究
• 把折叠出来的等腰三角形沿着中间的折痕 进行折叠你会发现什么？
动手做一做
探究新知
归纳出你所得出的结论。
1.沿着折痕的两个三角形完 全重合（全等）。
2.是轴对称图形。 3.两底角相等。 4.底边被平分（中线） 顶角被平分（角平分线） 垂直于底边（高）
新课讲授
• 性质1、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
E B 三形的一个顶角为36° ，则它 72° 的两个底角分别为 。 （2）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它 100° 70° 两个角分别为 或 。 （3）已知等腰三角形的一个外角为70°，则这 个三角形的三个内角分别为 35° 35° 110° 。
课堂小结
探究新知
自己动手做一做，制作 一个等腰三角形
材料: 剪刀、一张矩形纸
方法： ①先将矩形纸按图中虚线对折 ②剪去阴影部分； ③将剩余部分展开。
相关概念
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两边都叫做腰 另一边叫做底边 两腰的夹角叫做顶角 腰和底边的夹角叫做底角
底角 底角
A
顶 角
腰
1.等腰三角形的概念以及相关定义 2.等腰三角形的基本性质1
课后作业
初中数学沪科版八年级上册利用等腰三角形的性质进行证明
变式：若把等腰RtΔABC改为一般三
角形，其他条件不变，当AC=8，
BC=6时你能求ΔCEF的周长吗？
E
变式：若把等腰RtΔABC改为∠CEF=30°A ， ∠C=90°其他条件不变，当AC=8，BC=6
时你能求ΔABC的周长吗？
C
O
F
B C
O
F
B
四、实际问题中的等腰三角形：
建筑工人在建房子时，为了 确定房梁是否水平，常用这样 的方法：
A
BA
C
80°
20°
80°
BA
50°
50°
B
C
50° 50°
B
活动三： 转化思想
若等腰直角三角形两底角的平分线 AO与BO交于点O，过O作底边AB的 平行线EF，交AC于E，交BC于F。
（1）则图中有几个等腰三角形？
E
（2）AE，EF，BF之间的长度有何关系？
A
（3）若AC=8，则ΔCEF的周长为多少？
D,连结DE.
（1）. DE⊥AB吗?
（2）. 若CE=1,则DE=___1__. DB=____1__.
（3）.你还能找出哪些相等的线段吗?
（4）. 若AB=6,则△DEB的周长等于多少?
课堂小结：
1. 通过本堂课的探索,你有何收获? 2. 反思一下你所获的, 与同学交流!
数学知识: 等腰（等边）三角形性质和判定 数学思想: 转化思想、分类思想！ 数学美学: 对称美.
用一块等腰直角三角形的三 角板放在梁上，从顶角顶点系 一重物，如果系重物的绳刚好 经过三角板底边的中点，就认 为房梁就是水平的，你认为这 样做有道理吗？
C
A
D
B
沪科版八上数学1等腰三角形--含30°角的直角三角形的性质教学课件
第3节 等腰三角形
含30°角的直角三角形的性质
1 课堂讲授
含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
知识点 1 含30°角的直角三角形的性质
知1－讲
1.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半．
知2－讲
1 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横
梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长
度为( A )
A．4 m
B．8 mC．10 mD．16源自m知2－练知2－练
2 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，
其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，
∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到
(1)画出礁石C的位置；(2)求从B处到礁石C的距离.
解：（1）以B为顶点，向北偏西60°作角， 这角一边与AC交于点C, 则点C为 礁石所在地.
知2－讲
解： （2）∵∠ACB= 60°-30°=30°，（三角形 的外角性质） 又∵∠BAC= 30°，∴∠BCA=∠BAC. ∴BC=BA. ∵BA=10×(10-8)=20(n mile), ∴BC=20（n mile）. 即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
1.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一 半．这个定理将特殊的直角三角形中的角度关系转化 为直角三角形中边的等量关系．在一般情况下，遇到 30°角常用的添加辅助线的方法就是作垂线，构造含 30°角的直角三角形，解决相关的线段问题．
2.利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的 长：
沪科版-数学-八年级上册-16.3等腰三角形 点悟等腰三角形性质
点悟“等腰三角形性质”【基础知识精讲】等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质:1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 其中，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这一性质叫做等腰三角形的“三线合一”。
这两个性质用几何语言表述为：在△ABC 中，如图，∵AB ＝AC ∴∠B ＝∠C （等边对等角） 在△ABC 中，如图（1）∵AB ＝AC ，∠1＝∠2∴AD ⊥BC ，BD ＝DC （等腰三角形三线合一） （2）∵AB ＝AC ，BD ＝DC∴AD ⊥BC ，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一） （3）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC∴BD ＝DC ，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）等腰三角形的性质定理1揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是今后证明两角相等的重要依据之一，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.【重点难点解析】本节研究的重点是在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题.难点是掌握等腰三角形中常用的辅助线：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时则需要选择其中一条，这要视情况而定，如果作的不合适，可能使证明变得复杂，甚至很难证明，注意在做题时分析总结规律. 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD ⊥BC ，使∠1=∠2.ABCD12ABCD12【典型应用指南】（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
沪科版数学八年级上册 等腰三角形的性质定理及推论
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性 质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和 差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一 般设较小的角的度数为 x.
变式训练：如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，
∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数.
A
解：∵ AB = AD = DC，
（√）
典例精析
例5 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
A
A
图①
图②
B DE C
B DF E C
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G. A
想一想：刚才的证明中除了能得到∠B＝∠C ，
你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B＝∠C
BD＝CD ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD ∠ADB＝∠ADC＝90° B D C
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边 上的高互相重合 (简写成“三线合一”).
填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.
导入新课
情境引入
定义及相关概念
A 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边 腰
顶 角
腰
叫做腰，另一边叫做底边，两腰
的夹角叫做顶角，腰
角叫做底角.
B
C
底边
讲授新课
一 等腰三角形的性质 互动探究 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线 对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到 的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？
沪科版-数学-八年级上册-等腰三角形的相关要点总结
等腰三角形的相关要点总结1．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．2．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴ AB ＝AC ＝BC ，∴ △ABC 是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ． 又∵ ∠B ＝60°，∴ ∠B ＝∠C ＝60°． 又∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴ ∠A ＝180°－（∠B ＋∠C ）＝60°． ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ，∴ AB ＝BC ＝AC ． ∴ △ABC 为等边三角形． （4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC 为等边三角形，D 、E 为直线BC 上的两点，且BD ＝BC ＝CE ，求∠DAE 的度数．分析：要求∠DAE 的度数，需分开求，先求∠BAC ，再求∠DAB 和∠CAE ，由△ABC 为等边三角形知∠BAC ＝60°，又∵ BD ＝BC ，而BC ＝BA ，则BD ＝BA ，∴ △ABD 为等腰三角形，∴ ∠D ＝∠DAB ＝21∠ABC ＝30°．同理可知，∠CAE ＝30°．解：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°． 又∵ BD ＝BC ，∴ BD ＝BC ＝AB ．∴ ∠DAB ＝∠D ，又∵ ∠ABC ＝∠D ＋∠DAB ， ∴ ∠ABC ＝2∠DAB ＝60°，∴ ∠DAB ＝30°． 同理，∠CAE ＝30°．∴ ∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠CAE ＝30°＋60°＋30°＝120°． 【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的点，且BD ＝CE ＝AF ，直线AD 、BE 、CF 两两相交于点R 、Q 、P ． 求证：△PQR 是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．3．证明线段相等的方法到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．（2）等角对等边（在一个三角形中）．（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．（5）中点的概念（在一条直线上）．（6）利用第三条等量线段．（7）作辅助线、创造条件．例如：如图14-3-20，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．分析：因BD与CE在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明，也可用轴对称的性质进行证明．证法一：用全等三角形∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．证法二：用中线如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF（三线合一）．又∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF（三线合一）．∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．证法三：用轴对称过A作BC边上的垂线，垂足为F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴△ABC关于直线AF对称，∴BF＝CF．同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．即BD＝CE．【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．4．证明角相等的方法到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：（1）角平分线的定义及性质．（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．（3）等边对等角（在一个三角形中）．（4）轴对称的性质．（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，则∠A＝∠B）．（6）作辅助线，创造条件．例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：∠BAD＝∠CAD．分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进行证明．证法一：用全等三角形∵∠1＝∠2，∴DB＝DC在△ABD和△ACD中，AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴∠ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．证法二：用轴对称∵∠1＝∠2，∴DB＝DC∴点D在BC的垂直平分线上．又∵AB＝AC，∴A点也在BC的垂直平分线上．∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．∴∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．证法三：用角平分线∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，∴点A、D都在BC的垂直平分线上．∴AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．∴∠BAD＝∠CAD．例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC 的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．证明：∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD．∴∠1＝∠3＋∠4．又∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．即∠B＝∠CAF．5．得到等腰三角形的方法（1）如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．（2）把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合部分是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．（6）36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．（7）90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．。
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巧用等腰三角形性质证明
等腰三角形是一种特殊的三角形，也是常见的一种基本图形。
它除具有三角形的一切性质外，还有其特殊性质，这就是
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合。
灵活巧用这些性质，可帮我们迅捷地证明一些几何问题。
例1如图1，AE是△ABC外角∠DAC的平分线，且AB＝AC。
求证：AE∥BC。
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C。
∴∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B。
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠1。
∴2∠B＝2∠1，∠B＝∠1。
∴AE∥BC。
F
D
B C
图1图2
例2如图2，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，连EF交AD于G。
求证：EG＝FG，AD⊥EF。
证明：∵DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°。
∵∠1＝∠2，AD＝AD,
∴△ADE≌△ADF（AAS）。
∴AE＝AF。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AG是等腰三角形△AEF的顶角平分线。
∴ AG 是等腰三角形△AEF 的底边上的高和底边上的中线。
∴ EG ＝FG ，AD ⊥EF 。
例3 如图3，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，延长CA 到E ，使AE ＝AD 。
求证：ED ⊥BC 。
证明：过A 作AF ⊥BC 于F 。
∵ AB ＝AC ，AF ⊥BC 于F ，
∴ AF 是等腰△ABC 的底边上的高。
∴ AF 是等腰△ABC 的顶角平分线。
∴ ∠BAC ＝2∠1。
∵ AE ＝AD ，
∴ ∠2＝∠E 。
∴ ∠BAC ＝∠E ＋∠2＝2∠2。
∴ ∠1＝∠2，ED ∥AF 。
∴ ED ⊥BC 。
E B
F B C C D
图3 图4
例4 如图4，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＋BD ＝DC 。
求证：∠B ＝2∠C 。
证明：在DC 上截取ED ＝BD ，连AE 。
∵ ∠ADE ＝∠ADB ＝90°，AD ＝AD,
∴ △ADE ≌△ADB （SAS ）。
∴ ∠1＝∠B ，AE ＝AB 。
∵ AB ＋BD ＝DC ，CE ＋ED ＝DC ，
∴ AB ＝CE 。
∴ AE ＝CE ，∠2＝∠C 。
∴ ∠1＝∠2＋∠C ＝2∠C 。
∴ ∠B ＝2∠C 。