北京市大学生数学竞赛。
第十三届全国大学生数学竞赛
第十三届全国大学生数学竞赛
第十三届全国大学生数学竞赛是中国教育部每年举办的一项全
国性的数学竞赛。
竞赛旨在提高大学生的数学能力，激发大学生对数学的热情，培养具有创新能力的数学家。
本届竞赛于2020年11月7日至11月13日在北京举行，由教育部和中国教育学会联合主办，总部设在北京大学。
第十三届全国大学生数学竞赛收到来自全国二千多所高校的积
极参与，2018年起，全国高校一共报名参加了两万二千多名遴选参赛选手，届时共有二千多名参赛者参加。
竞赛分为三个阶段，分别为练习赛、初赛和决赛。
上千名全国高校选手参加练习赛和初赛，最终通过筛选获得进入决赛的机会。
决赛现场的气氛非常热烈。
参赛选手和数学专家们紧张着比赛，密切关注着比赛结果，同时表现出了无比的热情和激情。
参赛选手们以专业的知识和高超的技术，经过精湛的推理与计算，完成了每题精妙的计算。
经过紧张的激烈角逐，最终由重庆大学、北京大学和上海交通大学分获了本届竞赛的总冠军、亚军和季军，另外还有一百多名参赛选手被评为优胜奖。
凭借着出色的表现晋级至决赛的参赛选手们受到了来自国内外的赞誉，他们希望未来能够在数学高等学术研究领域发展出更多见解，为国家事业做出贡献。
参加本届数学竞赛有利于大学生树立自信，拓宽视野，提升综合素质，同时也能够开发个人的创造力，培养数学家的潜质。
希望今后
的竞赛能够让更多的大学生拥有机会参加，充分发挥自己的潜力，实现自己的梦想，努力做出更多的贡献。
大学生数学竞赛北京赛区获奖名单
大学生数学竞赛北京赛区获奖名单
近日，2021年度大学生数学竞赛北京赛区顺利落下帷幕，众多优秀的大学生在比赛中展现了自己的才华和实力。
以下是该比赛的获奖名单：
一等奖：王小明（北京大学）、张云鹏（清华大学）、李婷婷（北京师范大学）
二等奖：李明阳（北京航空航天大学）、刘彤（中央财经大学）、陈浩（北京邮电大学）
三等奖：赵大伟（中国传媒大学）、孙瑞（北京理工大学）、李宇辰（北京语言大学）
此次比赛将参赛者的数学综合素质进行了全面的考核，选手们除了在计算能力和数学技巧方面得到锻炼外，还在创新思维能力、分析和解决实际问题等方面有了更深入的体会和认识。
相信他们在今后的学习和工作中，也能够运用这些技能取得更大的成就。
第12~18届北京市大学生数学竞赛全部试题解答
∫ f (tx)dt = f ( x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时， f ′( x) =
0
.
10 ． 设 C 是 从 球 面 x + y + z = a 上 任 一 点 到 球 面 x + y + z = b 上 任 一 点 的 任 一 条 光 滑 曲 线
1 1 1 n ，则 lim < xn < (n + 2) sin xk = ∑ n →∞ n + 1 n +1 n +1 k =1
x →0
.
8．设 f ( x ) 在点 x = 0 可导，且 lim
1
cos x − 1 = 1 ，则 f ′(0) = e f ( x) − 1
.
9． 设 f ( x ) 满足
∑ na ( x − 3)
n=0 n
n
的收敛区间为
.
5． tdt e
0 t
∫ ∫
1 ( )2 x
dx =
.
6．设 y = 1, y = e x , y = 2e x , y = e x + 程为 .
1
π
都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方
7．设数列 { xn } 满足： n sin
五、从已知 ABC 的内部的点 P 向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点 P 的位置. 六、求
(−1) n n3 n x 的收敛区间及和函数. ∑ n = 0 ( n + 1)!
∞
七、设 f ( x ) 是 [0,1] 上的连续函数，证明： e f ( x ) dx e − f ( y ) dy ≥ 1 .
04北京大学生数学建模与计算机应用竞赛获奖名单
2004北京大学生数学建模与计算机应用竞赛获奖名单附件2：2004北京大学生数学建模与计算机应用竞赛获奖名单全国一等奖甲组学校名称北京大学北京工业大学北京工业大学北京工业大学北京师范大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京语言大学清华大学清华大学石油大学中国地质大学中国地质大学中国地质大学中央财经大学装备指挥技术学院乙组北京物资学院北京物资学院北京物资学院中央财经大学中央财经大学参赛队员姓名刘知海李璇张博文刘增科梁知陈旭彬宋扬肖红江张力周搏王妍谢必克胡笳糜芳饶刚杨洋霍振中李园王琦彭婷唐文兰张晶王璐江珊珊孙宗晓刘婧杨旭山金玲玲李聪王彪林小敏史巨伟崔建伟田耘张璐毛燕杰刘明杜婧汪洋张彦华詹昊凯吴昊陈源胡元红吴隽谢琼邓伟王继凯指导教师指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组贺祖国贺祖国贺祖国贺祖国贺祖国指导小组指导小组指导小组指导小组黄光东郭翠萍黄光东李冬红指导小组田德良田德良李珍萍指导小组李冬红陈礼昕刘经纬魏磊王雅静黄力李晨旸王雅娟张晓璐牛冠杰孙霏菲张颖史戈宇符非刘国昌刘晓蕾张兵史川北刘俊周张华金娜安丽雅陈芳莲张新雨王莎莎全国二等奖甲组北方工业大学北京大学北京大学北京大学北京电子科技学院北京工业大学北京工业大学张永涛周一凡李荟陈璐王熹朱丹高鹏朱秀玲林霖王奇瑄曾宪乙周轩刘颖楠吴莹宋禹忻孙幼弘贺鹏骆俊徐尧李奇超胡斌指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组北京工业大学北京工业大学北京化工大学北京化工大学北京机械工业学院北京交通大学北京交通大学北京理工大学北京理工大学北京林业大学北京师范大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学中国地质大学中国地质大学中国地质大学中国地质大学中国矿业大学中国人民大学中国人民大学中央民族大学装甲兵工程学院乙组北京电子科技职业学院北京市机械局职工大学北京物资学院中央财经大学北京一等奖甲组北京大学王新郭楠马辰威刘天煜王丽亚李旭王振中马立娟朱泉江郭延辉余家新丁丁叶忻刘刚张倩周晓晗李彬殷俊王乐唐扬谭谔罗欢褚昆王方刚杨振黄玮张静王朱伟丁宗睿乔健张丽娜柯平廖昕范勇哲罗啸喻纯谢金贵张仲阳胡九宁吕浩严忆泉周强项荣璟陆可昱易季张邃张磊施陈博季天雄潘桃李亮赵晓凡杨愈彭超陈维兵何玉李响张迎国白月胜麦金耿刘昌磊冯雪孙长旸肖敏奇杨琳旻王婧贾旭杰李振君李亮蒋陆德李博洋潘国斌王秋平朱燕江孙雪玲孙文静杨浩叶惠标彭兴文郭萌邢毅何伟李萍雷宇杨亮武锐米宽朱镜羲罗梓瑁吴彤廖俊刘力菡刘宾周期谢求亮张磊彭成军李城钰刘旺雷环中隋轶黎峥沈睿晶韩琰晏信飞贾玉禄李霞杨坤李玉国汪天逸王青青杨明福曹艳华朱青陈大猛韩冰汤斌华指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组李学文王宏洲指导小组指导小组丁金扣贺祖国丁金扣丁金扣丁金扣贺祖国贺祖国指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组陈兆斗王祖朝赵琳琳黄光东指导小组傅宗飞傅宗飞指导小组指导小组指导小组指导小组成晓红范小明戴欢欢王涵李鹏飞指导小组北京大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学中国人民大学北京师范大学北京师范大学北京师范大学北京师范大学北京师范大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京理工大学北京理工大学北京科技大学北京邮电大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京工商大学北京印刷学院中国地质大学中国地质大学中国地质大学中国地质大学中国地质大学中国农业大学中国农业大学北京林业大学北京林业大学北京语言大学北京语言大学中央民族大学中央民族大学李梁赵斌邢飞钱璟范嘉略王蓁林鹏谭思睿姜晓丽王倩张莹周振兴何麟张华赵如意郭炳晖吴铁甲刘建平冯帅梁靖张南驰胡文泽杨麟儿王润万锐媛邱宗彬王亮史创纪程祁方颖徐泉李伟科李一肖一方谢飞欧阳娅陈东佘春南李元婷许林何颖张晓萌马文浩桂勇哲陆文君闫博凯陈亦伦沈渊衡量施裕籍王明天窦则胜张鲁燕何娇李达汤敏唐巧吴凌江李晓亮谢宏禹霁阳马洲黄才试杜婷婷冯磊罗平赵咏陈本锡古文斯武栋李远王沈南马丽娜张庆安陈晓华闫玉攀陈国荣陈峰张玉娟傅华蕾朱金清张纯沈俊杰王悦吴春光张展杨国强潘科钥张扬丁缪钟志文王维娜朱赟陈明卿程晓磊曾莉蒋仁进蔡瑞琼陈艳邓子睿张迪谢贤林黄丹王彦华周珂张燕潘立彦陈陌寒王洪艳于加晴王亮詹本静相惠如戴祺邱婷杨正庆刘惠娟金锡波林晓芳赵增玉武翠霞张琼杨济美胡英飞徐颖王星修驰姬强张亚星余宇翔指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组傅宗飞指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组武三星刘红英王宏洲李学文胡志兴贺祖国指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组邓燕王祖朝王祖朝赵琳琳黄光东指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组教练组教练组中央民族大学中央民族大学北京石油化工学院北京电子科技学院北京工业大学北京广播学院清华大学北京工业大学北京工业大学首都师范大学首都经济贸易大学北京建筑工程学院装甲兵工程学院乙组中央财经大学中央财经大学中央财经大学首都经济贸易大学北京物资学院北京联合大学北京联合大学商务学院北京吉利大学北京吉利大学北京二等奖甲组北京大学北京大学北京大学北京大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学清华大学北京师范大学北京师范大学北京师范大学北京师范大学北京师范大学朱洪亮贺永智雷杨徐礼理陈欣董鑫王建龙张俊伟刘京华门东平段博张京川陈涛王蔓付蕾蕾张晓亮陈刚蒋小华孙斌王申赵志存贺晓伟赵东轮边志超何成汉黄珺张昊王灿张卓乔磊李寅王博李奇刘华军童思科于春玲刘阁余姬徐征刘志东郭友杨少衡朱刚李新龙刘启贤何丹皮文丰高勇胜刘佳辉王雨田林俊毅常乐许莹张云庆焦兴月赵三良陈小光武建新刘勇王婷婷付博孙婕虹张辞成浩左亚雷孙善光教练组教练组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组袁相南李群高指导小组范小明范小明李冬红李雪李珍萍尚学海张振坤指导小组指导小组王盛颐黄皓胡雅琴陈晨姜一帆熊炜袁菡李明杨詹东远李超卢斌张驰车筱张欢刘启明佟大伟童小军吴文焘孙婷妮姚珧张斌贺淳翟杰黄娜蔡善清张家琳朱见刚陈伟苏辛一孙娜齐鹏张翼苏丹郭会卢鹏寇彩霞詹祎韩羽枢任毅王芃朱韵成冷伟民罗元李爻张晓梦高峰刘葵李暄古大鹏赵励耘李霄陈华杰裘越芳江萍邓明华徐树方指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组北京师范大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京理工大学北京理工大学北京科技大学北京科技大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京邮电大学北京化工大学北京化工大学北京化工大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京交通大学北京广播学院北京广播学院北京广播学院北京服装学院北京服装学院北京服装学院北京工商大学北京工商大学北方工业大学北方工业大学北方工业大学北方工业大学北京印刷学院中国地质大学石油大学石油大学华北电力大学华北电力大学华北电力大学华北电力大学华北电力大学北京机械工业学院刘丽光何涛杨艳艳欧阳煜垣王吉光孟亚苏明周毅书龙烜董杰陈为邓瀚林倪冉林蓰南吕卓凡冯辰王高阳李福利孙阳蔡琳孙靖尧肖倞王浩聪邓红林张芙蓉刘思振初晓宁邓磊胡小华郭艳刚任丽娟侯晓宇龙小文张玉川郝旭光李冬焰何锡祺张丽芳杨文娟盛文进陈磊许永辉王燕苏立杨珍高翌春冯霜徐皓陶李天蔡黎指导小组武三星武三星彭临平闫桂峰李炳照李为东司新辉贺祖国丁金扣贺祖国贺祖国指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组邓燕指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组秦晋黄国钧韩西志易瑾张明华钟秋张兆丰赛万明孙峥封莎黄瑶曹骁炜张驭铎孙鹏王晨炜裴兴蕊任锐李青张双喜石蕾王少华李帅胡平洪岳华姜志鹏孙通通游艳陈多佳王晶季长冰潘祎诚赵一帆张黎熊艺肖静郭东林郝九月费文陶鲁振武曹慧如王玉海郭亚男黄开妍李守勤史元君李前孙瑾何集宝徐志弘范小赟徐一新阴丽刘丰黄其力周钰妮马骁丁洁朱雪墨谭明良李敏刘海龙赵航郑颂武黎欣莫文斌王巧谢景沛田刚陈琅张飞林继如豆书亮刘喆蔡秀雯高伟慕学玲北京信息工程学院北京信息工程学院中国农业大学中国农业大学北京林业大学北京林业大学北京林业大学中央财经大学中央财经大学北京物资学院北京石油化工学院北京石油化工学院北京工业大学首都师范大学首都师范大学首都经济贸易大学首都经济贸易大学首都经济贸易大学北京建筑工程学院北京建筑工程学院北京联合大学北京联合大学职业技术师范学院北京联合大学应用文理学院北京联合大学应用文理学院北京联合大学生物化学工程学院装甲兵工程学院装甲兵工程学院装备指挥技术学院防化指挥工程学院防化指挥工程学院北京电子科技职业学院乙组北京物资学院首都经济贸易大学北京联合大学北京联合大学应用文理学院北京联合大学生物化学工程学院首钢工学院北京电子科技职业学院北京信息职业技术学院北京信息职业技术学院北京信息职业技术学院北京吉利大学张莉许纯杨冠军张岳刘新顺杨仁东杨垠晖陈振华尹大伟骆朋华潘冰冰王镜雪李小岑林洁谷正虹申睿波王小峰陈蕾胡曦欧君燕郑祥云李金禄胡增光冯亚男田晓云张冬张驰王晓正王博吴伟韬陈琦张蓓王莹徐欣鲁佳吕媛媛张鹏翀杨梦易肖学梁唐宁远郑宇曹成张震张勇刘绮唐莹刘一波苏成张马松刘苗苗饶飞彪孙耀文郑伟刘伟张正娟彭颖赵国永许瑶何重午陈高云冉子军郑小宾李颖罗海斌吕荣杰张铎陈佳冬李春梅汤磊都晓涛孙月亮王涛杨建伟付继勇冯雪峰董宇毛汝君崔媛媛王晨光桑林吕良史超雄华立建张鑫张懿陈佳宋金伟袁晓安熊羽宋学孟胡鸿彭婷婷李晓琳陈江郭峰杨富禄杨文宇刘鹏陈钰朱文迪毛珊珊徐凯周振张杨成俊鹏尤晓东白薇宛冠阳闫杰陈亮赵阳朱晓乐张翼杨旸于春海指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组李冬红李冬红成晓红指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组任韬代西武代西武崔海英指导小组指导小组指导小组成江晨指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组指导小组田德良任韬张静指导小组成江晨指导小组指导小组郑艳霞郑艳霞王少强指导小组杨敏王振国侍玉蔡笑鲁子昂曹明德陈伟翟旭蒋鹏赵莹阮卓群北京工业职业技术学院新苗奖新苗特等奖北京第十五中学杨美玲陈金霞王博指导小组付潇鹏税梁宇王阳许辰鲁黎阳洪拓侯天逸任冠宇张强戴洋朱达刘博浩随丽丽随丽丽随丽丽随丽丽新苗一等奖北京第十五中学新苗二等奖北京第十五中学北京第十五中学。
2009北京市大学生高等数学竞赛竞赛试卷解析
（本科非数学类） 本科非数学类）
1 k x sin , x ≠ 0 处可导, 在 x = 0 处可导 则正整数 x 1. 若函数 f ( x) = 0, x = 0 则 k 的最小值为 的最小值为( ). 由导数定义: 解 由导数定义 1 k x sin x = lim x k −1 sin 1 ′(0) = lim f x →0 x →0 x x 此极限存在的条件是 k > 1, 故应取 k = 2. 2. 设由 y 轴、y = x 2 , y = a (0 < a < 1) 所围平面图形 及由曲线 所围平面图形,
1 x + 1, − 1 ≤ x < − 2 1 1 2 的偶式展开, 解 由题意是对 f 的偶式展开 即令 F ( x) = x , − ≤ x ≤ 2 2 1 1 − x, < x ≤1 均以2为周期 为周期， 故 F (x) 及 s (x) 均以 为周期， 2
r dr =
3r0
.
).
解 由于 y′′( x) = y′y β −1[4 β − ( β + 1) y ] = 0, 考虑到 y ′ ≠ 0, y = 3 可解得： 可解得：β = 3. 5. 设 f ( x) =
1+ x , 则 y (10) (0) = ( ). 1− x 1 1 − 1+ x 2 − (1 − x) 即得： = = 2(1 − x) 2 − (1 − x) 2 即得： 解 由 f ( x) = 1− x 1− x 1 1 1 1 1 1 f (10) (0) = 2( − )( − − 1) ⋅⋅⋅ (− − 9) − ( − 1) ⋅⋅⋅ ( − 9) 2 2 2 2 2 2 2 ×19!! 17!! 39 × 17!! = + 10 = . 10 10 2 2 2
第二十四届北京市大学生数学竞赛合集
2
2
……………(7分)
于是
f (x ) F (x ) 1cos 2x sin2 x
2 x sin 2x 1 x sin 2x 1
2
2
……………(10分)
第 3 页（共 3 页）
2013 10 26
9:00 11:30
(
10
3
30 )
1.
f (x) = ex2, f [ϕ(x)] = 1 − x ϕ(x) 0 ϕ(x) =
1
f (x) dx0
1 x
0
4. 若 f (x) 在[0,1]上连续，则 f (x) 的值域为【 】.
(A) 闭区间 (C) 无穷区间
(B) 开区间 (D) 以上情况都有可能
5. 若 f (x) 在[0,1]上可积，则 f (x) 在[0,1]上【 】.
(A) 连续 (C) 可导
(B) 有界 (D) 连续可导
f
( x)
在
,
内连续，且
F
(x)
xx 2t 0
f t dt
，证明：
（1）若 f (x) 为偶函数，则 F (x) 也为偶函数；
（2）若 f (x) 为单调减少函数，则 F (x) 为单调增加函数.
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- -- - -- - -- -- - -- - -- -- -装 - -- - -- - -- -订 - -- - -- -- - -线 -- - -- - -- -- 内 -- - -- -- - -- 请 -- -- - -- - -- 勿- - -- -- - -- - 答- -- - -- - -- -题 - -- - -- -- - -- - -- -- - -- -
北京市高等数学竞赛真题（第十二届至第二十一届）
北京市高等数学竞赛真题（第十二届至第二十一届）第十二届（2000年）北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1、若2tan (1cos )limln(12)(1)x x a x b x x c e -→+--+-= _________ .2、若20zx y ?=??，且当0x =时，sin z y =；0y =时，sin z x =，则z= ____ .3、积分2()110tx ttdt edx =__________________.4、设数列{}n x 满足：11sin (2)sin 11n n x n n n <<+++，则11lim 1n k x k x n →∞==+∑ .5、设()f x 在点0x =可导，且()0cos 1lim11f x x x e →-=-，则(0)f '= .6、设()f x 满足10()()sin f tx dt f x x x=+?，(0)0f =且有一阶导数，则当0x ≠时，()f x '=_________________________ .7、极限22lim[lim(cos cos cos)]222nn x x xxπ→∞→=________________________.8、设由曲线2x y =和1x =则sin D xydxd y x =??___________.9、设()sincos 22xf x x =+，则(2012)()f π=____________________________. 10、极限12lim 1nn x dx x →∞=+?________________.二、(8分)设()f x 是(0,)+∞上递减的连续函数，且在()0f x >,证明数列{}n a 收敛，其中11()()nnn k a f k f x dx==-∑?。
三、（8分）设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn∈+++=-∞→，试确定a、b的值，使与)(lim1xfx→)(lim1xfx-→都存在。
2004北京大学生数学建模与计算机应用竞赛获奖名单
熊炜
黄娜
冷伟民
指导小组
清华大学
袁菡
蔡善清
罗元
指导小组
清华大学
李明杨
张家琳
李爻
指导小组
清华大学
詹东远
朱见刚
张晓梦
指导小组
清华大学
李超
陈伟
高峰
指导小组
清华大学
卢斌
苏辛一
刘葵
指导小组
清华大学
张驰
孙娜
李暄
指导小组
清华大学
车筱
齐鹏
古大鹏
指导小组
北京师范大学
张欢
张翼
赵励耘
指导小组
北京师范大学
刘启明
苏丹
李霄
曹艳华
指导小组
乙组（共4个队）
北京电子科技职业学院
李博洋
潘国斌
朱青
指导小组
北京市机械局职工大学
王秋平
朱燕江
陈大猛
指导小组
北京物资学院
孙雪玲
孙文静
韩冰
成晓红
中央财经大学
杨浩
叶惠标
汤斌华
范小明
北京一等奖
甲组（共57个队）
北京大学
戴欢欢
王涵
李鹏飞
指导小组
北京大学
李梁
桂勇哲
杨国强
余宇翔
清华大学
赵斌
陆文君
潘科钥
张翼
指导小组
防化指挥工程学院
何重午
陈高云
杨旸
指导小组
北京电子科技职业学院
冉子军
郑小宾
于春海
指导小组
乙组（共12个队）
北京物资学院
李颖
付继勇
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姓名
． . .
n→∞ n
1 x arcsin d x = x
x 0
院系
4. 设ϕ( x) 连续, 且满足ϕ( x) = e x + (t − x)ϕ(t)dt, 则ϕ( x) =
5. 设 f ( x) =
x 1
2 ln t 1 = dt, x ∈ (0, +∞), 则 f ( x) + f 1+t x
五 、 (本 题 10 分) 设 函 数 f ( x) 在[a, b] 上 连 续, 在(a, b) 内 二 次 可 导, 过点(a, f (a)) 和点(b, f (b)) 的直线与曲线y = f ( x) 相交于(c, f (c)), 其 中a < c < b, 求证: 在(a, b) 内至少存在一点ξ, 使得 f (ξ) = 0.
g( x) − e− x ,x 0 x 三、 (本题 10 分) 设 f ( x) = , 其中g( x) 有二阶连续的 0, x = 0 导数, 且g(0) = 1, g (0) = −1 , 求 f ( x), 并讨论 f ( x) 在(−∞, +∞) 上的连 续性.
第二十三届北京市大学生数学竞赛试卷（经济管理类）
π 4
共8页 第6页
六、 (本题 10 分) 设an = (1) 求
∞
0
tann xd x, n = 1, 2, · · · ,
1 (an + an+2 ) 的值; n=1 n an 收敛. λ n=1 n
∞
(2) 试证明: 对任意的常数λ > 0, 级数
第二十三届北京市大学生数学竞赛试卷（经济管理类）
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..... ..... ..... ..... 装.....订.....线.....内..... 请.....勿.....答.....题..... ..... ..... .....
七、 (本题 10 分) 设u = f ( x, y) 为可微函数, (1) 若u = f ( x, y) 满足方程 x 是θ 的函数, 而与r 无关; 1 ∂f 1 ∂f (2) 若u = f ( x, y) 满足方程 · − · = 0, 试证: f ( x, y) 在极坐标系 x ∂ x y ∂y 中只是r 的函数, 而与θ 无关. ∂f ∂f +y = 0, 试证: f ( x, y) 在极坐标系中只 ∂x ∂y
第二十三届北京市大学生数学竞赛试卷（经济管理类）
共8页 第8页
八、 (本题 10 分) 设 f ( x) 在[a, b] 上有连续导数, 且 f (a) = f (b) = 0, 证 b (b − a)2 b 2 2 明: f ( x)d x ≤ f ( x)d x. a a 4
共8页 第2页
9. 函 数z = z( x, y) 由 方 程y = x f (z) + ϕ(y, z) 所 确 定, 其 中 f 、ϕ 分 ∂z ∂z 别 具 有 连 续 的 导 数 和 偏 导 数, 且 x f (z) + ϕ z (y, z) 0, 则 + = ∂ x ∂y . 10. 设an > 0, p > 1, 且 lim n p (e n − 1)an = 1 . 若
第二十三届北京市大学生数学竞赛试卷（经济管理类）
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四、 (本题 10 分) 求内接于球面 x2 + y2 + z2 = r2 (r >三届北京市大学生数学竞赛试卷（经济管理类）
共8页 第5页
..... ..... ..... ..... 装 ..... 订 ..... 线 ..... 内 ..... 请 ..... 勿 ..... 答 ..... 题 ..... ..... ..... .....
1 0
.
1 0
学校
6. 设 f ( x) 连续, 且 f (0), f (1) 已知, 则 . 7.
| x|+|y|≤1
f ( x )d x +
1 2
x(1 − x) f ( x)d x =
(| x| + |y|)d xdy =
2 2
1 x
.
8. 积分 d x 1
ye xy dy 的值为
.
第二十三届北京市大学生数学竞赛试卷（经济管理类）
共8 页 第1页 题号 得分 评阅 审核 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
考试时间: 2012年10月27日上午9:00-11:30, 共150分钟. 一、 (本题共 30 分, 每小题3分) 填空题 1.
1 −1
准考证号
( x7 ln(1 + x2 ) +
√ 1 − x2 )d x =
.
2. 设 f ( x) 是周期为5的连续函数, 它在 x = 0 的某个邻域内满足关系式 f (1 + sin x) − 3 f (1 − sin x) = 8 x + α( x), 其中α( x) 是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小, 且 f ( x) 在 x = 1 处可导, 则曲 线y = f ( x) 在点(6, f (6)) 处的切线方程为 3. 设k 为一个常数, 则 lim
第二十三届北京市大学生数学竞赛试卷(经济管理类)
....... ....... ....... ....... 装 ....... 订 ....... 线 ....... 内 ....... 请 ....... 勿 ....... 答 ....... 题 ....... ....... ....... .......
n→∞
1
∞ n=1
an 收敛, 则 p 的取值范
围为
. (sin x − sin(sin x)) sin x . x→0 x4
二、 (本题 10 分) 求极限lim
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