第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答
第十四届(2002年)本科丙组试题
）北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（有改动）班级： 学号： 姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1、210lim(cos )x x x →=_______2、设43,1,2()(1)(2)2,1,2x ax x f x x x x ⎧+-≠-⎪=-+⎨⎪=-⎩在x =1处连续则a =_______3若函数()f x 在x =1处可导，且(1)1f '=， 则0(1)(12sin )2(13tan )lim x f x f x f x x→+++--=__________________ 4、设不定积分222(1)(1)x ax dx x x ++++⎰的结果中不含反正切函数，则a =_______ 5、20022200220020sin sin cos x dx x x π=+⎰_______ 6、21limk n n k x k n e n ne →∞==+∑_______ 7、2111y x dx e dy -=⎰⎰_______8、设实数a >0,则当a =_______时，积分2a a⎰之值最大。
9、2220lim 2x x t x e t e dt -→∞=⎰_______ 10、圆222()(0)x R y r r R -+=<<绕y 轴旋转一周所成圆环体的体积V =_______二、（6分）2=上任一点的切线的横截距和纵截距之和等于2。
三、（8分）设某产品的成本函数为2()2C q q q αβ=++，需求函数为1(4)q p γ=-，其中C 为成本，q 为需求量（即产量），p 为该产品的单价，,,αβγ都是正常数，求利润最大时的产量。
四、（10分）证明222200sin cos 11x x dx dx x x ππ≤++⎰⎰。
五、（8分）设()f x 在闭区间[]0,a 上具有二阶导数，且在开区间(0,)a 内达到最小值，又()f x M ''≤[](0,)x a ∈，证明(0)()f f a Ma ''''+≤。
2019年普通高等学校招生全国统考北京理科数学卷附答案解析
2019年普通高等学校招生全国统考北京理科数学卷本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A ）3 （B ）5（C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a =2b（D ）3a =4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y+=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
大学数学竞赛试题参考答案
第七届 北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题 一、（10分）已知函数()f x 在0x =的某个临域内有连续导数，且20sin ()lim()2x x f x x x→+=，试求(0)f 及(0)f '二、（10分）已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y∂∂+=∂∂， 设1111u x v y x z x ϕ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩对函数(,)u v ϕϕ=，求证0u ϕ∂=∂三、（10分）计算D dxdy xy ⎰⎰，其中222224:24x x y D y x y ⎧≤≤⎪+⎪⎨⎪≤≤⎪+⎩四、（10分）计算曲面积分32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z +++=++⎰⎰，其中S +是22(2)(1)1(0)72516z x y z ---=+≥的上侧。
五、（10分）设函数对于任意x 的及a 满足1()()(0)2x a x af t dt f x a a +-=≠⎰，证明()f x 是线性函数。
六、（10分）求微分方程2(ln )0x x y xy y '''-+=的通解。
七、（10分）设函数()f x 在实轴R 上可微，且满足(0)0,|()||f f x p f x '=≤，其中01p <<，证明：()0()f x x R ≡∈八、（10分）判断级数1sin (3n n π∞=∑的收敛性。
九、（10分）设()f x 在区间[,]a b 上是非负的连续函数，且严格单调增加，由积分中值定理知，对于任意的正整数n ，存在唯一的(,)n x a b ∈，使1[()][()]b n n n a f x f x dx b a=⎰-，试求极限lim n n x →∞，并证明你的结论。
十、（10分）已知12111,1,(2,3,)n n n a a a a a n +-===+= ，试求级数1n n n a x ∞=∑的收敛半径与和函数。
第十九届华为杯全国研究生数学建模竞赛 题目解析
第十九届华为杯全国研究生数学建模竞赛题目解析尊敬的读者，您好！欢迎您参加第十九届华为杯全国研究生数学建模竞赛。
本文将为您详细解析本届竞赛的题目，帮助您更好地理解题目要求，掌握解题思路，提高竞赛成绩。
一、竞赛背景及意义全国研究生数学建模竞赛自创办以来，已成为我国研究生科技创新的一项重要赛事。
本届竞赛吸引了众多高校和研究机构的研究生参加，旨在培养研究生的创新意识、团队协作精神和实际问题解决能力。
华为杯作为赞助商，一直致力于支持我国研究生教育事业，推动科技创新。
二、题目分析本届竞赛题目涉及多个领域，如数学、物理、计算机科学等。
题目具有较高的难度和实用性，要求参赛者具备扎实的理论基础和实际应用能力。
以下是本届竞赛题目的简要概述：1.题目一：XXX问题（1）问题背景及描述：XXX（2）数学模型建立：XXX（3）求解方法及算法：XXX（4）结果分析与讨论：XXX2.题目二：XXX问题（1）问题背景及描述：XXX（2）数学模型建立：XXX（3）求解方法及算法：XXX（4）结果分析与讨论：XXX三、解题思路与方法1.深入阅读题目，理解题意。
在参赛过程中，首先要仔细阅读题目，确保自己对题目的理解准确无误。
2.建立数学模型。
针对题目要求，结合自身专业知识，建立合适的数学模型。
3.选择合适的求解方法。
根据数学模型，选用相应的求解方法，如数值方法、优化方法等。
4.编程实现与结果分析。
利用编程工具（如MATLAB、Python等）实现算法，得到结果，并对结果进行分析。
5.撰写论文。
按照竞赛论文格式要求，撰写论文，包括问题背景、数学模型、求解方法、结果分析等。
四、优秀论文案例解析在本届竞赛中，部分优秀论文展示了参赛者在选题、建模、求解和论文撰写等方面的出色表现。
以下是对优秀论文案例的简要分析：1.选题方面：优秀论文选题具有较强的创新性和实际意义，既体现了参赛者的专业素养，也为解决实际问题提供了新思路。
2.建模方面：优秀论文建立了较为完善的数学模型，能够较好地反映问题的本质。
第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答注意：本考卷共九题。
甲组九题全做，乙组只做前七题一、 填空题（每题2分，共20分）.___)1(,3)1(,2)1(,1)1(),(,)(.1=''=''='===ϕϕ则且其反函数为有二阶连续导数设严格单调函数f f f y x x f y .83)1(,)(1)()(.8332-='''''-='⋅'''-=''-ϕϕ知由应填解y y y y y y._______|]||||[|1lim,,),π0(.22=+-+<<→→→→→→→βαβαθθθβαθb a b a b a 则为正常数的夹角为与设单位向量.)(2cos 22sin limcos 2lim|]||||[|1limcos 2)()(||.)(22202220222b a abab b a ab ab b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a ab+=++=++-+=+-+++=+⋅+=++→→→→→→→→→→→→→θθθθθβαβαθθβαβαβαθθθ得由应填解._______)0(,4211)(.3)100(2=++=f xx x f 则设 )!.100(2)0(,)2()2()2(1214211)(,21||.)!100(2100)100(0130332100-=-=--=++=<-∑∑∞=+∞=f x x x x x x x f x n n n n所以时因为当应填解._______d |sin |.4π20060=⎰x x x.π2006π20062d |sin |π2006d |sin |)π2006(d |sin |)π2006(π2006.π200622π20060π200600π20062）（故）（）（应填解=⨯+-=+-=---=⎰⎰⎰I I t t t t t t t t x t I .__,])27[(lim )4(.54=-++>+∞→αα则存在且不为零使极限已知有整数x x x n n n x.51,14,1],)271([lim ])27[(lim .5144=-=-=-++=-++--+∞→+∞→ααααα因此由极限不为零得所以由极限存在可得因为应填解n n x x x x x x x n n n x n x ._____,.1)1(lim ,1,0.611的取值范围为则收敛若且设p a a e n p a n n n npn n ∑∞=∞→=->>).,2(,11,,.1lim )1(lim ),(1~1).,2(1111+∞>-==-∞→-+∞∑∞=-∞→∞→的取值范围应为即则收敛若法知由正项级数的比较判别所以因为应填解p p a a n a e n n ne n n n p n n np n n._____.7222===+A xOy y z a y x 面之间的侧面积与夹在平面圆柱面.4d sin 2d 2.42π02222a t t a s y A a x a y ===⎰⎰-=对称性知曲线积分的几何意义及由应填解.____)(,1)(,0)1(,)(0.8==∂∂+∂∂-==>u f yzx z e e f z f u f u y x 则满足又二元函数且有一阶连续导数时当 .ln )(,0)1(0.||ln )(,1)()()(,.ln u u f f u C u u f u f u u f e u f e yzx z e e u u y x y x ==>+=='='-'=∂∂+∂∂-=所以且由于解出则记应填解._____________1.9==''-'''y x y xy 的通解为 .12,.11),(.1232314232314C x C x C x y x C x p x p x p x y x y x p y C x C x C x +++=+==-'=''-'''=''+++因此通解为的求解公式得根据一阶线性微分方程可化为则令应填解.____),(lim lim ),(lim lim ),0(1tan 1),(.1000=-≠+=→∞→∞→→y x f y x f y x yx y x y x y x f x y y x 则设函数.1),(lim lim ),(lim lim ,1),(lim lim ,0),(lim lim .10000-=-==-→∞→∞→→→∞→∞→→y x f y x f y x f y x f x y y x x y y x 所以因为应填解.)(,1)0(,2π2πtan cos )(sin )10(.x f f x x x x x f 求且，已知分二=<<-++=' .1arcsin arcsin 121)(,1)0(.arcsin arcsin 121)(,arcsin d )arcsin 1(,arcsin 121d 1.d )arcsin 11()(arcsin 11)()2π2π(sin 22221222222+++-==+++-=+=+-++-=-+-+-=+-+-='<<-=⎰⎰⎰x x x x x x f f C x x x x x x f C x x x x x xC x x x x x x x x xx x f t t t t t f x x t ）（故又）（所以）（而即，，则令解.)(,1)0(,)()()(,,),()()10(.x f f a f e b f e b a f b a x f b a 求又成立都有等式且对于任意的实数上有定义在设分三='+=++∞-∞ .)(,0)0(),()().())(()]0()([lim )()()(lim)()(lim )(.0)0()0()0()00(0000x x x x x x x x x x xe x f f x C e x f x f e xe e xf f x f e xx f x f e x f e x x f x x f x f f f f f ==+=+=∆-+-∆=∆-+∆=∆-∆+='=+=+∆→∆∆→∆→∆所以又解此微分方程可得得由解.),(1)10(.2200022立体的体积所围成处的切平面与抛物面上任意一点求抛物面分四y x z y x P y x z +=++=.2π])()(1[d d )122(,1)()(,122,,122),(12020222020002020202000222020*******=----=--++-+=≤-+-⎩⎨⎧++-+=+=++-+=++=⎰⎰⎰⎰y y x x yx y x y x y y x x V y y x x D y x y y x x z y x z y x y y x x z y x P y x z DD所围成的立体的体积：求得投影区域处的切平面为在点抛物面解.)0(202,)728(15π2d )1()10(.2222之间的部分和夹在平面为抛物面其中证明分五>==+=∑-≤--⎰⎰∑t tz z y x z S y x .15)728(2)(,15)728(2d 1)1(2)1(),1()(,1,01)1()().,0(,d 1)1(2d d 1)1(d )1()(221022*********π-≤π-=+-π===+-π='+∞∈+-π=++--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑t I r r r r I I t I t t t t I t r r r r y x y x y x S y x t I ty x t所以而的最大值为则解得唯一驻点令证.,2.1112,,,)10(.时达到最大问两针尖相离的速度何与设时针和分针分别长后再次重合小时经过再由大变小由小变大两针针尖间的距离逐渐后分针和时针在零点重合分六a a 两针尖分离的速度为之间的距离为故尖的位置分别为此时，时针和分针两针和度为时针分针分别转动了角时刻，小时，所以在分针的角速度为小时，为由题意知时针的角速度解],116,0[,611cos 45)6cos 2cos 2()6sin 2sin 2(,),2cos 2,2sin 2(),6cos ,6sin (,26]116,0[/2/62221∈π-=π-π+π-π=πππππ=βπ=α∈π=ωπ=ωt t a t a t a t a t a S B A t a t a B t a t a A t tt.54.5410112,1120],116,0[,)611cos 45(2611cos 5)611(cos 218121],116,0[,611cos 456sin311322两针尖分离速度最大秒分经过度最大，即从重合开始小时后两针尖分离的速即在解得驻点令=='∈π-+π-ππ-='∈π-ππ='=t v t t t t v t t t a S v .1),0,1()1,0(,),()10(.22yfx x f y y x f f y x f ∂∂=∂∂=+=点满足方程上至少存在两个不同的证明在单位圆周且有一阶连续偏导数设二元函数分七证 令),sin ,(cos )(θθθf F =则在区间),π2()2π()0(,)(]2,0[F F F F ==且可导上θπ由罗尔定理知至少存在两个不同的点),π2,0(,∈ηξ使得,0)()(='='ηξF F而),sin ,(cos cos )sin ,(cos sin )(θθθθθθθy x f f F +-=' 将ηξ,代入上式即得结论.以下两题乙组考生不做.1111211)10(.nen e ne n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<>，求证：设整数分八证 先证不等式 .01)11ln()11(1)11(1>+--⇔<--nnnnenen设],1,0[,)1ln()1()(∈+--=x x x x x f ),1,0(,0)1ln()(∈>--='x x x f所以上在]1,0[)(x f 单增, 0)0(=f ,当)1,0(∈x 时, ,0)1ln()1()(>+--=x x x x f 故 .01)11ln()11()1(>+--=nnnnf再证不等式 .01)11ln()211ln(1)11(121>----⇔--<nn n n n e ne n设 ),1,0[,)1ln()21ln()(∈----=x x x x x x f),1,0(,1112)21ln()(∈--+---='x xx x x x f),1,0(,0)1()2()55()1(1)2(221)(22222∈>--++=-+----=''x x x x x x x x x x f所以上在)1,0[)(x f '单增, 0)0(='f ,当)1,0(∈x 时01112)21ln()(>--+---='xx x x x f ,所以上在]1,0[)(x f 单增, 0)0(=f ,当)1,0(∈x 时0)1ln()21ln()(>----=x x xx x f ,故 .01)11ln()211ln(1)1(>----=nn n n n f.21d )(]1,0[,,0d )(,1|)(|,]1,0[)()10(.10成立都有证明对于任意的且上连续在闭区间设函数分九≤∈=<⎰⎰ba x x fb a x x f x f x f证 不妨假设.b a < 若,21≤-a b 则;21)(d )(≤-=⎰a b f x x f baξ若,21>-a b 则)1()()(d )(d )(d )(10b f a f x x f x x f x x f b aba -+=+≤⎰⎰⎰ηξ.21)(1<--≤a b。
2019年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会《数学周报》杯” 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号-一一 _ 二 _ 三总分1〜56〜1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答2•解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号 里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x , y 满足 刍二=3, y 4 - y^3，则-44 y 4的值为().XXx(A ) 7 (B )(C ) 7 "3(D )52 2【答】(A ) 解：因为x 20，y 2 > 0,由已知条件得-1,13244 y 4 乡 3 3-y 2£ -y 2 6 =7.X XX程为t 2 +t-3=0，所以(一W )+ y 2 =-1, (―寸=-3X X2.把一枚六个面编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为 m , n ,则二次函数y = x 2 • mx • n 的图象与X 轴 有两个不同交点的概率是().(D)所以另解：由已知得: 2 2 2」(一P )2+(—P )—3=0 X X Q 2) + y 2-3 = 0显然 2 2 2 2 2 -y 2，以- 2 ,y 2为根的一元二次方 XX42故 4y 4 二[(- 2)y 2]2 -2XX2 2 22)y =(T) -2 (-3)=7 X12.4 4 4 3［答］（ C ）解：基本事件总数有60 = 36,即可以得到36个二次函数.由题意知；_ =_4n >0,即卩 m 2 >4n .通过枚举知，满足条件的 m, n 有 17 对.363.有两个同心圆，大圆周上有 4个不同的点，小圆周上有 可以确定的不同直线最少有（）.2个不同的点，则这6个点 (A ) 6条 (B ) 8 条(C ) 10 条(D ) 12 条【答］（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线 可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点 E ，F 中，至少有一 个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ， D 的连线中，至少有两条不同于 A ，B ，C ，D 的两两连线.从而这 6个点可以确定的直线不少于 8条.当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定 8条直线. 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4 .已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且 AB 二a ：：：1 .以AB 为一边在圆O 内作正△ ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB 二AB 二a ， AE 的长为（）.(B) 1（C ）乎【答］（B ）解:女口图，连接 OE ，OA ，OB .设.D =:，贝UECA=120- EAC .11又因为 ABO ABD 60180 -2：-120 -:22所以△ ACE 也△ ABO ，于是AE = OA = 1 .另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径 作。
19届高考真题——文科数学(北京卷)Word版含解析「KS5U高考」
19届高考真题——文科数学（北京卷）Word版含解析「KS5U高考」绝密★本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试〔北京卷〕文科数学本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.集合A={某|–1<某<2}，B={某|某>1}，那么A∪B=A.〔–1，1〕B.〔1，2〕C.〔–1，+∞〕D.〔1，+∞〕【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，应选C.【点睛】考查并集求法，属于根底题.2.复数z=2+i，那么A.B.C.3D.5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法那么即得.【详解】∵应选D.【点睛】本容易题，注重了根底、根本计算能力的考查.3.以下函数中，在区间〔0，+〕上单调递增的是A.B.y=C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图像性质可得出结果.【详解】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，应选A.【点睛】此题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、根底知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.执行如下图的程序框图，输出的值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，，，运行第二次，，，运行第三次，，，结束循环，输出，应选B.【点睛】此题考查程序框图，属于容易题，注重根底知识、根本运算能力的考查.5.双曲线〔a＞0〕的离心率是那么a=A.B.4C.2D.【答案】D【解析】【分析】此题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解.【详解】分析：详解：∵双曲线的离心率，，∴，解得，应选D.【点睛】对双曲线根底知识和根本计算能力的考查.6.设函数f〔某〕=co某+bin某〔b为常数〕，那么“b=0”是“f〔某〕为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.【详解】时，,为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，应选C.【点睛】此题较易，注重重要知识、根底知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m1的星的亮度为E2〔k=1,2〕.太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，那么太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.【答案】D【解析】【分析】先求出，然后将对数式换指数式求再求【详解】两颗星的星等与亮度满足,令，，，，应选D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A.4β+4coβB.4β+4inβC.2β+2coβD.2β+2inβ【答案】B【解析】【分析】阴影局部的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.其中S1、S△OAB的值为定值.当且仅当S△PAB取最大值时阴影局部的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影局部的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S最大值为βr2+S△POB+S△POA=4β+|OP||OB|in〔π-β〕+|OP||OA|Sin〔π-β〕=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4Sinβ，应选B.【点睛】此题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
第十六届(2021年)北京市数学竞赛丙组试题与解答
第十六届北京市大学生数学竞赛丙组试题解答（2005年10月16日 上午9：00 ~ 11：30）一． 填空题（每小题3分，共30分）._______,)(lim .1)0(,)1()(.1202==-='=+'-+''=→a a x xx y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 .1)0(2121)(lim )(lim .2)0(,1)0()0(.1020=''=-'=-==''='-''→→y x x y x x x y a y y y x x 所以于是由题设应填解.________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x be xf x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知.,)(lim )(lim ,1,;,)(lim ,1)(lim ,,1.1,,1.11与题意不符时当符合题意时当或由题意知必有应填解∞====∞=-=======→→→→x f x f b e a x f e ex f e b a b e a e b a e ex x ex x.______________),(,),0(,)0,(,),(.322===+=∂∂∂=y x f y y f x x f y x yx zy x f z 则且满足设.0)0(,)(),0(,)0()()0,(),()(2121)(2.)(2122220122012212222==⇒==+⇒=+++=⇒++=∂∂+++⎰⎰C y y C y y f x C dx x C x x f y C dx x C xy y x z x C y xy x z y x y x y x xx由题设有应填解 .___________)(,d )(13)(.41022=--=⎰x f x x f x x x f 则已知函数.233.3223),1(169)(,13)(,d )(.1233133222222210222==⇒+-=-+--=--==----⎰A A A A A x A x Ax x x f x A x x f x x f A x x x x 或方程两端积分得于是则令或应填解._______d d )cos(1lim ,:.5222222=+≤+⎰⎰-→+rD y x r r y x y x e r r y x D 则设.π应填解使存在由积分中值定理,),(,r D ∈ηξπ.π)cos(lim ,π)cos(d d )cos(22222202=⋅+=⋅+=+-→--+⎰⎰ηξηξηξηξe r e y x y x er D y x r原式_________.)(lim ,4cos 1)(1ln 121lim6.300==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-→→x x f x x f x x x 则已知 .2ln 2)(lim 4)(lim 2ln 222ln )(lim )cos 1)(12()(lim ]cos 1)(1[ln 121lim 2ln2.3030200=⇒==⋅=--=-+-→→→→→xx f x x f x x x f x x f x x f x x x x x x x 应填解._______)1(,)1()(.7)10(5=-=-fe x xf x 则设.678910!5!10)1(!5)1(!10)1()1(!)1()1(.67891011)10(15)10(05151---∞=+---⨯⨯⨯⨯-=-=-=⇒--=-⨯⨯⨯⨯-∑e e f ef x n e e x e n n n x所以应填解.__________________________d d 1d d 8.0sin 0422=+⎰⎰x tt u u x.sin 1cos d 1d d d d 1d d .sin 1cos 4sin 040sin 04224x x u u x t u u x x x xx t +=+=++⎰⎰⎰应填解.___________)2(,)1(,)()(.9==='f a f xx f x f 则且若 .2)2(,)1(,)(ln ln )(ln 1)()()()(.2a f a C a f x C x f C x x f xx f x f x x f x f a ====⇒+=⇒='⇒='所以得由应填解.__________])1(21)[1()21]()1(1[,10.101nl 的和为则级数或设x n nx nx x n x x n -+++-+-<>∑∞=.2ln 211211)1(21)1(1])1(21)[1()21]()1(1[.2ln ln lim }ln {ln n 11l =++++--+-+=-+++-+∞→∞=∞=-=∑∑nx nxnx nx x n x n x n nx nx x n n n n 应填解).(,cos 6sin 4cos d )(,)()10.(23x f C x x x x x x x f x x f 求且可导设分二+--='⎰ Cx x xx dxx xdx xx x x dx x x dx x x dx x x x f x xx x x x x f x x x x x x f x ++-=---=--=--='--='⎰⎰⎰⎰⎰cos sin sin cos sin sin cos 2sin 2)(,sin cos 2sin 2)(,sin cos 2sin 2)(222232323解：作函数图形并填写下表设函数分三,|2|11||11)()10.(-+++==x x x f y解.]π,0[)(,sin d )()(,),()()10.(40上的平均值在区间求且上的连续非负函数是设分四x f x t t x f x f x f x=-⋅+∞-∞⎰.π23π)(π1π],0[)(23π)π(π43)π(π,83sin |)(21,sin )()(,d )()(du,)(d )(π02π04π0240======⋅'==-=-⎰⎰⎰⎰⎰dx x f x f F F dx x x F x x F x F u u f x F u f t t x f u t x xxx 上的平均值为在区间从而，，即故两端积分得则记，则令解.12)10.(2有且仅有三个实根证明方程分五+=x x.12)(.)(2ln 2)()(.)()5,2()()(,06)5(,01)2(.0)1()0(,12)(232有且仅有三个实根即方程有且仅有三个零点，综上可知至多有三个零点故零点，这是不可能的，至少有一个点，则由罗尔定理知有四个或四个以上的零若至少有三个零点而至少存在一个零点，从内在点定理知连续，由连续函数的零且又显然令证明+=='''>=<-===--=x x f x f x f x f x f x f x f f f f f x x f x x x .d )(2d )( ,]1,0[)()10.(110⎰⎰≤x x f x x x f x f 证明不等式上连续且单调增加在区间设函数分六 .d )(2d )( .d )(d )(2)]()()()([ )]()()[(.0)]()()[(,1,0:.0)]()()[(]1,0[10101010⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-=--+=--≥--≤≤≥--x x f x x x f x x f x x f x dxdy x yf y xf y yf x xf dxdyy f x f y x dxdy y f x f y x y x D y f x f y x DDD所以而则记上有在证明.,:.,,,.1,,,,.,,,,)10.(321并求出此常量之比为常数与产量最小投入总费用证明最小费用总三要素的适当投入可使当产量一定时和若三要素的价格分别为且为正数其中已知生产函数为为产量分别为三要素的投入量入三种要素设生产某种产品必须投分七Q P P P P P z y x Q Q z y x =++=γβαγβαγβα.,,,,..,,0)(,000,,),(.321321321131211321321得证）（）（）（则中得代入将是常数，并求下面证明即解得且，即的偏导数为零，令其对记拉格朗日函数为下的最小值在条件求由题意知解γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαλγβλαλγλβλαλλλλγβαλλγλβλαλP P P Q P P P Q Q z y x Q z P Q y P Q x P QPQ P Q P Q z y x z y x P z y x P z y x P z y x Q z y x z P y P x P L Q z y x z P y P x P P -==-=-=-=-=-=-==+++=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-+++==++=---.,,1||.)]1(21[,2,21,1)10.(1110并求其和函数收敛幂级数时证明当有且当已知分八n n n n n x a x a n a n n a a ∑∞=-<-+=≥==.11.11)(1)0(,)1(21)()().()(21][2121)1(2121)]1([21)(,)(.1||,1)(lim lim 110111121121121211211211x x a x x S S x x S x S x S x x S x na a x a x a n x a x a n xa n a x S x a x S x na a n a an n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n --==-=''+=+-+=-++=-++=+='=<=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=-∞=--∞=--∞=--∞=--∞=∞=∞→+∞→的和函数为故幂级数得解微分方程则记时幂级数收敛所以当由于解。
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第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答一、填空题（每小题3分，共30分）1．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+∞→1)2(lim 6123x e x x x x x = 1/6 .2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3．设)(x y y =是由0sin )ln(2=-⎰+-yy x t dt e y 所确定的函数,则==0y dxdy－1 .4. 设243),(lim2200=+-+→→yx yx y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 5.1sin 1cos x x e dx x +=+⎰tan 2xx e C + . 6．设函数()u ϕ可导且(0)1ϕ=，二元函数()xyz x y e ϕ=+满足0z zx y∂∂+=∂∂，则()u ϕ=24u e -.7. =+=+≤+⎰⎰Ddxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π45. 8. 数项级数∑∞=--1)!2()!2()1(n nn n n n 的和=S －1+cos1+ln2.9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++++= ⎪++++⎪⎝⎭2ln21- .10.=='==+'+''⎰∞+0)(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则，，且满足方程函数设41 .二、(10分) 计算⎰⎰+1010]22[dxdy y x , 其中 [x ]为不超过x 的最大整数.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----++=+xx xx dy dx dy dx dy dx dxdy y x 101211212102102101010]22[+++⎰⎰⎰⎰---dy dx dy dx x xx2311211121022⎰⎰-1231213x dy dx =23三、(10分) 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n n n n 11111lim 12. .2)1()1(21)11(lim )11ln()111ln()1()11(lim ,0)1()1(21)11ln()111ln()1(,),1(211)11ln( ,),11()1(211)111ln()1(.1)11(lim 2222)11ln()111ln()1(2e n o n n n n n n n n n n n no n n n n n n n no n n n n n o n n n e n n n n n n n n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=∴∞→→++=+-+++∞→+-=+∞→+++-=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→+-+++∞→原式所以由于原式解四、(10分) 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使)1()(nx f x f n n +=．证明 令.,]11,0[)(),1()()(m M nx n x f x f x 及最小值所以有最大值上连续在-+-=φφ 于是有 ,1,,1,0,)(-=≤≤n k M n k m φ 所以 .)(11M nknm n k ≤≤∑-=φ故存在],11,0[nx n -∈ 使 .0)]1()0([1)]1()1()2()1()1()0([1)]1()1()0([1)(1)(10=-=--++-+-=-+++==∑-=f f nf n n f n f n f n f f n n n n n n k n x n k n φφφφφ)1()(nx f x f n n +=．五、(10分) 设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.解 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=,由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f fx f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xyy 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xyxy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy 2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 六、(10分) (容器侧壁的形状问题)一容器的侧面是由曲线)0()(≥=y y f x 绕铅直中心轴y 轴旋转而成, 其中)(y f 在),0[+∞ 连续, 容器底面(过x 轴的水平截面)为半径R =1的圆(即f (0)=1). 当匀速地向容器内注水时, 若液面高度h 的升高速度与(2V +π)成反比(这里V 表示当时容器内水的体积) ,求容器侧壁的轴截线)(y f x =. 解 设在时刻t , 容器内水的液面高度为h , 而水的体积为V , 则有dy y f V ⎰=h2)(π.于是有dtdh h f dt dh dh dV dt dV )(π2=⋅=. 根据题意, π+π=π+==⎰hdy y f k V k dt dhk dt dV 02221)(22, , 代如上式, 可得,)(2)(02221π+π⋅π=⎰hdy y f k h f k 化简得 ])(21[)(02212⎰+=hdy y f k k h f .由 f (0)=1 可得 21k k =, 上式两端同时对h 求导得)(2)()(22h f h f h f =', 即 )()(h f h f ='.求出满足f (0)=1 的解为he hf =)(, 即容器侧壁的轴截线为ye yf x ==)(.七、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f ，因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根．下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，()()'()()'()()f x f a f x a f a x a ξ-=-≤-，即()()'()()f x f a f a x a ≤+-，上式右端当x →+∞时，趋于-∞，因此当x 充分大时，()0f x <，于是存在b a >，使得()0f b <，由介值定理存在()a b ηη<<，使得()0f η=．综上所述，知()0f x =在(,)a +∞有而且只有一个实根．八、(10分) 是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00x u dtt f dtt f x f f f x f x x u x ⎰⎰+→>''='=.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线x x f x x f y =.81)]()0([))](()()0(21)[(lim )]([)())((lim )()())((lim )()(lim ).(2)()()0()()()0(21)(.)]([)()()(,)()()(),)(()(22202000)(00222=+''+''''='''='=+=+''='+''='''=''-=-'=-++++→→→→⎰⎰x o x f x u o x u f x f x f x f x u f x f x u x u f dt t f dtt f x o x x u x o x f x f x o x f x f x f x f x f x u x f x f x x u x x X x f x f Y x x x x x u x 由洛必达法则有，知，由于是轴上的截距为它在切线方程：解。