排队论基础及模型(8)
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
交通流理论-排队论
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第四章 交通流理论
第二节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列 即排队的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理 论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随 机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工 程师爱尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电 话机既能满足通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战 以后，排队论在很多领域内被采用。在交通工程中，对于研 究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等 交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误 问题，1951年唐纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应 用排队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的报告中， 将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
为叙述方便，引用下列符号，令 M代表泊松分布输入或负指数分布服务； D代表定长分布输入或定长分布服务； Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排 队系统可以写成M/M/N； 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写 成M/D/1。 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先 服务，单个服务通道的等待制系统。
1
(1 ) 2
7)系统中的平均消耗时间 d
1
8)排队中的平均等待时间 d w
例2今有一停车场，到达率 为60辆 / h，服从泊松分布。停车 场的服务能力为
排队论基础
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
排队论课件MM排队模型
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
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9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
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8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
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第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
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11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
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3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
交通流理论排队论模型跟弛模型与交通波模型
2.说明：排队等待的车辆从一开始起动,就产生了起 动波,该波以接近 的v f 速度向后传播。
交通运输与物流学院
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交通流中观测的加速度
把速度简单地看成密度的函数v(k)，使得求解连续方程变得简单。 现实中交通流的平均速度v不可能瞬时地随密度发生变化，驾驶
员总是根据前方密度来调整车速
dv
k
dv
2
17
跟驰模型稳定性
多数个车辆在做跟驰运动时，一辆车状态的改变会导致其后续车 辆运行状态接二连三的改变，称为运行状态的传播
局部稳定 关注跟驰车对引导车运行波动的反应。如车头间距摆 动大则不稳定，摆动愈小则愈稳定
引导车向后面各车传播速度变化，如果速度振幅扩大，就是不稳 定，如果振幅衰减，就是渐近稳定
C T
Reuschel, Pipes
跟驰车辆的加速度与 两车速度差成比例
Chandler, Herman, Kometani and Sasaki
Gazis, Herman （跟驰模型一般形式）
m, l 的不同取值对应着不同的密度－速度关系模型
m=0, l=2, Greenshield; m=0, l=1, Grenberg 交通运输与物流学院
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密度波模型
在交通流中存在密度不连续 的地方，密度在该处的移动
速度是C。单位时间内通过
断面A、B车辆数的差等于 断面内滞留的车辆数。
波阵面
(q q) q C(k k k)
C q k
C dq dk
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密度波传播分析1
密度波描述了两种交通状态的转化过程，C代表转化的方向与进程
解这是一个M/M/1排队系统
(完整)排队论
5。
2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。
如图5。
5所示。
图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。
与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。
1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。
其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。
3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。
2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。
由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。
1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。
( 数学建模)排队论模型
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称 5 3二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
排队论
1.基 1.基 本 概 念
③随机服务。即当服务台空闲时，不按照 随机服务。即当服务台空闲时， 排队序列而随意指定某个顾客去接受服务， 排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如 电话交换台接通呼叫电话就是一例。 电话交换台接通呼叫电话就是一例。 ④优先权服务。如老人、儿童先进车站； 优先权服务。如老人、儿童先进车站； 危重病员先就诊； 危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算 机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服 机立即中断其他数据的处理等， 务规则。 务规则。
例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息； 例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原 料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理； 半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理； 码头的船只等待装卸货物； 码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中 盘旋等等。显然，上述各种问题虽互不相同， 盘旋等等。显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得 到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。 到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要求 服务的对象统称为“ 顾客” , 而把提供服务的人或机构称为 服务的对象统称为 “ 顾客 ” “服务 台”或“服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样的服务 服务员” 系 统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务 顾客为了得到某种服务而到达系统、 而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统. 而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统.
前
言
面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队， 面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队，通 常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、 常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、 物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费， 物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设 施太少，顾客排队等待的时间就会很长， 施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带 来不良影响。于是， 来不良影响。于是，顾客排队时间的长短与服务设施规模 的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。 的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。如何 做到既保证一定的服务质量指标， 做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济 合理， 合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对 矛盾，这就是随机服务系统理论 矛盾，这就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 排队论所要研究解决 的问题。 的问题。