基于排队论的销售模型分析
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
带优先权排队论模型简介应用案例
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案例求解 3
即
W1
=W
= Wq
+
1 m
=
Lq l
+
1 m
=
P0(l m)s r s!(1- r)2 l
+
1 m
其中
r= l sm
åé s-1 (l / m)n (l / m)s 1 ù
➢ 非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)——虽然一种高优先级
旳顾客到达，也不能强制让一种正在接受服务旳低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级旳顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客旳服务，并立即开始为高优先级顾客服务。
N
l = å li
i=1
r= l m
k
å 【注:】这里假设了 li < sm，
i=1
从而使其能到达稳定状态。
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计算公式 2
抢占性优先权(基于M/M/1)
1/ m
Wk = Bk-1Bk
for k=0,1,2,…,N
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案例求解 3
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案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解 3
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
Preemptive Priorities
s=1
s=2
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六、排队论模型
六、排队论模型六、排队论模型问题引⼊：顾客希望服务机构越⼤越好，但是开⽀⼤；服务机构希望⾃⼰越⼩越好，但出现拥挤现象。
⼀、研究内容：（i）性态问题：研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布，包括瞬态和稳态两种形式；（ii）最优化问题：静态最优（最优设计）；动态最优（最优运营）。
其实两者最好都要有：先要有最优设计，在运营期间做最优运营。
（iii）排队系统的统计推断：排队系统符合哪种模型，⼆、基本概念：2.1排队系统组成输⼊过程：顾客来时间的规律性；包含了顾客组成是否有限，顾客是否⼀个⼈来的；顾客到达是否对后⾯到达有影响；输⼊过程是否平稳；排队规则：顾客按照什么样的规则等待；包含了损失制：遇到拥挤就⾛；等待制：很好理解；混合制：超过⼀定限度就⾛；服务过程：服务机构：单服务台，多服务台并联；多服务台串联；混合型；服务规则：先到先服务（常见）；后到先服务（最新情报先处理）；随机服务；优先服务（医疗）；2.2符号表⽰队模型符号表⽰：分布的约定符号表⽰：X：顾客倒带流的分布；M：指数分布；Y：服务时间的分布；D：确定型Z：服务台数量；Ek：k阶埃尔朗分布A：系统容量限制；G：⼀般服务时间分布B：顾客源数⽬GI：相互独⽴的时间间隔分布C：服务规则2.3运⾏指标（1）平均队长：E（系统内顾客），L s;（2）平均排队长：E（等待服务的顾客），L q；（3）平均逗留时间：E（顾客在系统的存在时间），W s；（4）平均等待时间：E（顾客等待时间），W q;（5）平均忙期：E（服务机构连续繁忙时间），T b;华友企业损失率，服务强度等；三：输⼊过程和服务时间的分布：排队系统的事件流包括：顾客到达流和服务时间流。
3.1泊松流和指数分布：设N(t)：在t时间内到达的顾客数；P n(t1,t2) ：表⽰时间区间内有n个顾客到达的概率。
P n(t1,t2)=PN(t2)−N(t1)=n ,如果是泊松分布就要满⾜以下条件：（1）⽆后效性：t1和t2不重叠时，N(t1)与N(t2)相互独⽴；（2）概率强度：对于充分⼩的Δt,有⼀个顾客到达的概率与t⽆关，⽽与区间长度成正⽐，Δtλ就是改时间内到达⼀个顾客的概率；（3）在充分⼩的时间内，有两个及两个以上顾客到达的概率很⼩，趋近与0；研究顾客到达数n的概率分布。
排队论
P 0 (t t ) P 1 (t ) t P 0 (t )(1 t )
P 0 (t t ) P 0 (t ) P 1 (t ) P 0 (t ) t
P X (t t ) X (t ) 0 1 t o t
顾客到达的时间间隔 T1 , T2 , T3 ,..., Tn ,... 独立同指 数分布Exp( )，即
1 e , t 0; FT (t ) P(T t ) t 0. 0,
●顾客排队逗留时间 顾客到达时间间隔 Z ~ E( ) ，服务时间 T ~ E( ) ， 顾客排队逗留时间 Y ~ E( ) 顾客平均逗留时间
W EY 1 L
●顾客平均等待时间
Wq W ( )
1 L 1
例1. 某医院某科室有一位医生值班，每小时平均有 4个病人，医生每小时平均可诊治5个病人。如果要 满足99％以上的病人有座位，至少应设多少个座位？ 如果每小时可诊治6个病人，可减少多少个座位？ 病人平均等待时间是多少？
排队论模型及应用
一、背景 例子 顾客在超市排队付款，汽车过收费站 a. 增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲 浪费； b. 减少收银台，顾客排队时间太长。 选择最优收银台数 二、随机服务系统 顾客等待服务接受服务顾客离开
三、M/M/s模型假设
顾客到达规律(到达人数) M 组成部分 服务时间(时间长短) M 排队规则(怎么排队)
1 Pn 1 P0 1 P0 1 P0 1 1 n 0 n 0
排队模型及应用
例：某超级市场，顾客按Poisson过程到达，平均 每半小时到达6人，收款台计价收费时间服从负指 数分布，平均为4分钟，试求： (1)超市内顾客的平均数(4)
(2)超市内等待付款顾客的平均数(3.2)
(3)超市内顾客所花费时间的平均值(1/3)或(20)
(4)超市内顾客等待付款所花费时间的平均值(4/15) 或(16)
一. 排队系统的基本概念 在日常生活中，一个服务系统在工作过程中由于拥 挤而产生的排队等待现象是经常发生的。例如： 1.顾客在理发店等待理发；
2.汽车在加油站前等候加油；
3.乘客在车站前等候乘车；发生故障的机器等候修 理；进入机场上空的飞机等候降落； 4.进入雷达接收机的信号等候处理；通信系统的报 文在缓冲器上等候传送；多微机系统的处理机等 候访问公共内存；计算机网的用户等候使用某资 源；等等 我们就将这种具有排队等待现象的服务系统称 为排队系统
是生灭过程
可得
P0 1 1
2
n
, Pk P0 , /
k
即：
P0 1 , q EQ Pk (1 ),
k
1 ,
,
Tq T
q
1
(1 )
2
1
(1 )
二.排队系统的基本构成 排队系统的概率规律与以下因素有关： 1. 顾客的到达规律
2. 顾客排队和接受服务的规则
3.服务机构的结构形式、服务员个数和服务速 率
1.输入过程
输入过程是用来刻画顾客到达规律的一种数 学描述。通常有以下三种随机过程：
{ M ( t ), t 0},{ s n , n 1, 2, },{ n , n 1, 2, }
基于排队论的铁路售票窗口设置分析与优化
本 文 是 以 排 队 论 为 基 础 ，应 用 排 队 论 的相 关 知 识 ，建 立 Ｍ／ Ｍ／ｃ／ｏｏ排 队模 型 ，并 对 该 模 型 进 行 优 化 ，使 售 票 窗 口 的 数 量 能 够 更 加 符 合 实 际 。利 用 Ｗ ｉｔｎｅｓｓ对 该 铁 路 售 票 排 队 系统 模 型 进 行 仿 真 模 拟 ，根 据 旅 客 可 以接 受 的等 待 时 间及 排 队 长 度 ，合 理 安 排 售 票 窗 口数 量 ，在 满 足旅 客购 票需 要 的 同 时 ，合 理 有 效 地 利 用 客 运 站 现 有 资 源 ｌ４］。
１ 铁 路 售 票 排 队 系统 模 型 １．１ 售 票 排 队 系 统 的 分 析
为 了计 算 的方 便 ，本 文 在 进 行 计 算 时 对 系 统做 了 如 下 两 点 简 化 ：④ 旅 客 到 达 是 不 分先 后 次 序 的 ，并 且 旅 客 在 接 受 服 务 时 按 照先 到先 服 务 的规 则 ；② 各 售 票 窗 ＩＺｌ的 服 务 时 间 是 一 致 的 ，也 就 是 说 每 售 一 张 票 时 所 需 的时 间是 相 同 的 。在 车 站排 队 购 票 的 过 程 中 ，购 票 的及 售 票 窗 口 的售 票 人 员 构 成 了 一 个 等 待 制 的 多 队 列 多 售 票 窗 １３的 Ｍ／Ｍ／ｃ随机 服 务 系 统 ］，也 称 为 排 队 系 统 ，该 排 队 系统 由旅 客 到达 过 程 、排 队规 则 和售 票 服 务 机 构 三 个 基 本 组 成 部分 ，如 图 １所 示 。
限 的 ，旅 客进 入 系统 的 时 间 间隔 相 互 独 立 并且 服从 参 数 为 的 泊 松 分 布 。
２）排 队规 则 。对 于 到 达 售 票 窗 口的 旅 客 ，一般 有 等 待 制 、损
基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型
基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型一、本文概述随着银行业务的日益发展和客户需求的多样化，银行柜员排班问题成为了银行业务运营中的关键环节。
传统的固定排班模式已难以满足现代银行业务的需求，因此，开发一种基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型显得尤为重要。
本文旨在探讨如何运用排队论和整数规划的理论和方法，构建一个既能满足客户需求，又能保证柜员工作效率和满意度的弹性排班模型。
排队论作为一种研究服务系统中排队现象的数学工具，可以分析客户到达和服务的统计规律，为银行柜员排班提供理论基础。
整数规划则是一种求解最优化问题的数学方法，通过约束条件和目标函数的设置，可以求得满足实际需求的柜员排班方案。
本文将首先介绍排队论和整数规划的基本原理及其在银行柜员排班中的应用背景，然后详细阐述基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型的构建过程，包括模型的假设、参数设定、约束条件构建以及目标函数的确定。
通过实例分析验证模型的有效性和实用性，并提出模型的改进方向和应用前景。
本文的研究不仅有助于提升银行柜员排班的科学性和合理性，还可以为银行业务的持续优化和客户服务质量的提升提供有力支持。
也为其他服务行业在弹性排班模型的构建和应用方面提供有益的参考和借鉴。
二、理论基础本研究所构建的银行柜员弹性排班模型主要基于两个理论基础：排队论和整数规划。
这两个理论在运筹学、管理科学和工程领域具有广泛的应用，尤其在处理资源优化配置和服务系统效率提升的问题上表现出色。
排队论，又称为随机服务系统理论，主要研究服务系统中等待队列的形成、发展和变化规律，以及系统的性能特征。
在银行柜员排班问题中，客户到达银行办理业务的过程就是一个典型的排队过程。
排队论中的关键概念包括顾客到达率、服务率等待时间、队列长度等，这些指标直接影响到银行的服务质量和顾客满意度。
通过排队论，我们可以对银行柜员的工作强度、服务效率以及顾客等待时间进行数学建模，为合理的排班安排提供理论支持。
运筹学中的排队论分析与应用
运筹学中的排队论分析与应用运筹学是一门研究如何最优化决策的学科。
在现代社会中，许多场景下都存在排队现象，例如银行、超市、机场等场所。
排队论作为运筹学的一个重要分支，专门研究如何通过合理的排队策略来优化服务效率与用户体验。
本文将介绍排队论的基本原理、应用场景以及如何利用排队论进行实际问题的分析与解决。
一、排队论的基本原理排队论是研究排队系统的理论与方法，其基本原理包括排队模型、排队规则以及排队指标。
1. 排队模型排队模型是对排队系统进行抽象和建模的过程，常用的排队模型有M/M/1、M/M/c、M/G/1等。
其中，M表示顾客到达过程符合泊松分布，而服务过程符合指数分布；1表示一个服务台，c表示多个服务台；G表示总体服从一般分布。
2. 排队规则排队规则是指在排队系统中，顾客到达和离开的规则。
常用的排队规则有先到先服务（First-Come-First-Serve，简称FCFS）、最短作业优先（Shortest Job First，简称SJF）、优先级法则等。
3. 排队指标排队指标是对排队系统性能的度量，常用的排队指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙度等。
这些指标可以帮助我们评估排队系统的效率，并进行比较和优化。
二、排队论的应用场景排队论的应用场景非常广泛，几乎可以涵盖各个行业。
下面以几个典型的应用场景为例，介绍排队论在其中的分析与应用。
1. 银行排队银行是排队论的典型应用场景之一。
通过排队论的分析，银行可以确定合理的柜台数量和工作人员配置，以减少客户的等待时间和提高服务效率。
此外，银行还可以考虑引入预约系统、自助服务等方式，进一步优化排队系统。
2. 售票窗口排队售票窗口也是一个常见的排队场景，如电影院、火车站等。
利用排队论，可以根据顾客到达的速率和服务时间的分布，预测等待时间，并提前安排足够的窗口进行服务，以提高售票效率和用户体验。
3. 交通信号灯优化交通信号灯的优化也可以借助排队论的方法。
通过对道路上车辆到达和通过的流量进行统计和分析，可以调整信号灯的信号周期和配时方案，以减少交通拥堵和减少等待时间。
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企业总是希望系统总是处于非空闲状态的 ， 因为空闲概率越大意味着系统的利用率越低 ； 顾客则希望在系统
中的逗 留 时间越 短越好 。下 面从 系统 的空 闲概率 与逗 留时间 两个 角度 分 析 个 并联 的 Ｍ ／ Ｍ／ １系统 及 Ｍ ／ Ｍ／
ｎ一１ ／ 、 ／ 、 一１
文 章 编 号 ：１ ６ ７ １ ． １ ７ ４ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ７ ８ ． ０ ７
基 于排 队论 的销售 模 型 分 析
潘 全 如
（ 江 苏科技 大 学数 理 学院 ， 江苏 镇 江 ２ １ ２ ０ ０ ３ ）
摘要： 为降低企业销售时的综合 成本 ， 利用随机服务系统理论分析 了顾客到达企业 时的排 队方式 ， 得 出单 队多
—
［二卜
—
二
— 二
—
［二卜
图２多队多 服务 台 图３ 单 队多 服务 台
图１ 单 队单 服务 台
图 １为单 队单服 务 台系统 ， 排 队等待 服务 的通 道 只有 一 条 。 图 ２为 多 队多 服 务 台系统 ， 每个 通 道 各 排一 个 队， 且每个 通道 只 为 自己通道 上 的顾客服务 ， 顾 客不 能任 意插 队 。图 ３为单 队多服务 台系统 ， 即顾 客排 成一个 队 ， 队列 中第 一个 顾 客视哪个 通道 有空 就去 哪一个 通道 接受 服 务 。在这 里假 设 顾客 到 达为 泊松 到 达 ， 企业 按 先 到先 服务 的规 则服务 ， 服 务时 间服从 负指 数分 布 ， 则 上 述 ３个 图形 就分 别 对 应着 Ｍ ／ Ｍ／ １系统 、 ， ｚ 个 并联 的 Ｍ ／ Ｍ／ １ 系统 、 Ｍ／ Ｍ／ ｎ系统 ， 其中Ｍ／ Ｍ／ １系统 是 个 并联 的 Ｍ ／ Ｍ／ １系统 及 Ｍ ／ Ｍ／ 规系统 的特殊 情况 。
＋
＞
＋
＝
， 所 以 。＝
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ ０ ８ — ２ ７ 基金项 目： 国家 自然科学基金 资助项 目（ ２ ０ １ ０ Ｓ Ｌ １ ３ ５ Ｊ ） ； 江苏省高校 自然科学基金资助项 目（ Ｉ Ｏ Ｋ Ｊ Ｂ１ １ ０ ０ ０ ３ ）
第１ 期
潘全如 ： 基 于排 队论 的销 售模 型分 析
第２ ８卷第 １ 期 ２ ０ １ ３年 ２月
பைடு நூலகம்
成
都
信
息
工 程
学
院
学
报
Ｖｏ １ ． ２ ８ Ｎｏ． １ Ｆｅ ｂ．２ ０１ ３
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｃ ＨＥ Ｎ ＧＤ Ｕ ＵＮＩ Ｖ ＥＲ Ｓ Ｉ ＴＹ ＯＦ Ｉ Ｎ Ｆ ＯＲＭＡ ＴＩ Ｏ Ｎ ＴＥ Ｃ Ｈ ＮＯＬ Ｏ ＧＹ
２ 销售 企业服 务方式 的探讨
目标函数 Ｆ ＝ ＋６ 常常被用来衡量企业服务方式［ ］ 的优劣 ， 其中 为系统的平均服务率 ， ｎ为系统服
南
下 证 ＜
易知 ： 对 于 Ｍ 系统 ： 。
（ １ ）
ｌ
＝ ＋
∑ ＝１ ， 所以 ∑ ｆ ＜１ 。 而
ｉ ＝０
＝ 一１
掬 ） ＝ 删 ＜ ， 从 而 ＜ ＜ ， 所 以 ＜ ， Ｍ ／ Ｍ 系 统 的 平 均 逗 留 时 间 ＝ ＋ 丢 ， Ｍ ／
比较高 ， 这需要企业在销售时提供相对较高的服务速度 ， 但是如果服务速度增高又会导致服务成本升高。如何在 服务 台的服务成本与顾客在系统中的逗留成本之 间平衡 ， 使两者之和（ 称为系统的综合成本［ ３ ） 最小 ， 是一项重
要 的课 题 。
顾 客 到达 时排 队方 式 的探 讨
顾 客 到达 系统 的排 队方 式 主要有 ３种 ， 分 别如 图 １ 所示。
， ￣ Ｍ／ Ｍ／ ｎ系统的平
Ｍ／ １ 系统的平均逗留时间 — ＝一 Ｗ１ ＋ ， 其中 为单个服务台的服务率 ， 所以 ＜
均逗留时间小于 ， ｚ 个并联 的Ｍ／ Ｍ／ １ 系统的平均逗 留时间。因而从系统空闲概率及顾客在 系统 中的逗 留时间
两个 角度 均说 明 ： 顾 客到 达时 以 Ｍ ／ Ｍ／ ｎ方式 排 队优 于 个并 联 的 Ｍ ／ Ｍ／ １排 队方式 。
服务通道 比多 队多服务通道排 队方式更优 ； 分析了窗 口之间相互 帮助 、 同时为 忌个 顾客服 务 、 服务 率可变 、 有多个
顾客类 以及是否需要雇佣帮手等多个服务模型 ， 为企业选择 适合 自己的服务 方式提供 理论依据 ， 并结 合例题说 明 了选 择恰 当的服务方式 能有效 降低综合成本 ； 还分析了库存 容量对综 合成本 的影响 ， 并得出最优库存 容量。
系 统。由 文献［ ５ ］ 知： Ｍ／ Ｍ／ ｎ 系 统的 空闲 概 率为［ ∑
ｉ ＝０
一
＋
‘
／ 、
］ ， 记为Ｐ ０ ； 个并 联的Ｍ／ Ｍ／ １
、 ／
一１
１
／
、
系 统的空闲 概率 为１ 一ｌ Ｄ ， 记为 Ｐ ｏ ｏ 。 事实 上∑
ｉ ＝０
关 键 词： 运筹 学； 排 队模 型 ； 综合成本 ； 销售； 服务方式 ； 优化
文 献标 志 码 ： Ａ 中图 分 类 号 ： ０ ２ ２ ６
Ｏ 引 言
顾客 到达 企业 寻求服 务可 以构成 一个 排 队系统 ［ １ ｌ 。顾 客 到 达 过程 即为 输 入 过程 ， 企 业 为 服 务机 构 ， 企 业 根 据需 要设 置排 队规则 ［ 。顾 客到 达系统 时 总是希望 等 待服务 的队列 长 度越 短越 好 ， 否则 他 们在 系 统 中逗 留成本
７ ９
［ 蓦 ＋
时 间为
］ ～ ＜ １ 一 ｌ Ｄ ＝ ０ ０ ， 且 Ｐ Ｍ ／ Ｍ 系 统 的 空 闲 概 率 小 于 个 并 联 的 Ｍ ／ Ｍ ／ １ 系 统 的 空 闲 概
＝
，
率 。由文献［ ５ ］ 知： Ｍ／ Ｍ 系统的平均等待时间为
个并联 的Ｍ／ Ｍ／ １ 系统的平均等待