2020年河北省石家庄二中高考数学0.5模数学试卷(理科)
河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理科)试题
石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。
2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(附答案详解)
2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|y =log 2(x −2)}，则集合A ∩B =( )A. {x|−1≤x <2}B. {x|2<x ≤3}C. {x|1<x ≤3}D. {x|x >2}2. 命题P ：“∀x ∈(−∞,0)，2x ≥3x ”的否定形式￢p 为( )A. ∃x 0∈(−∞,0),2x 0<3x 0B. ∃x 0∈(−∞,0),2x 0≤3x 0C. ∀x ∈(−∞,0)，2x <3xD. ∀x ∈(−∞,0)，2x ≤3x3. 已知i 是虚数单位，且z =1−i i，则z 的共轭复数z −在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知a =0.30.2，b =50.3，c =log 0.25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a5. 要得到y =sin(2x −π3)的图象，只要将y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位6. 已知实数x ，y 满足不等式{x −y +2≥02x +y −5≤0y ≥1，则z =yx+3的最大值为( )A. 35B. 45C. 34D. 327. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a +b)(sinA −sinB)=c(sinC +sinB)，b +c =4，则△ABC 的面积的最大值为( )A. 12B. √32C. 1D. √38. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2−4x +2=0所截得的弦长为2.则双曲线C 的离心率为( )A. √3B. 2√33C. √5D. 2√559. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( )A. −1B. 5C. −3+√5D. 3+√510. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 309111. 已知函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2−x)，当x ≤1时，f(x)={lnx,0<x ≤1e x ,x ≤0，(其中e 为自然对数的底数)，若函数g(x)=m|x|−2−f(x)，下列有关函数g(x)的零点个数问题中正确的为( )A. 若g(x)恰有两个零点，则m <0B. 若g(x)恰有三个零点，则32<m <e C. 若g(x)恰有四个零点，则0<m <1 D. 不存在m ，使得g(x)恰有四个零点12. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，P 3(x 3,y 3)为抛物线C 上的三个动点，其中x 1<x 2<x 3且y 2<0，若F 为△P 1P 2P 3的重心，记△P 1P 2P 3三边P 1P 2，P 1P 3，P 2P 3的中点到抛物线C 的准线的距离分别为d 1，d 2，d 3，且满足d 1+d 3=2d 2，则P 1P 3所在直线的斜率为( )A. 1B. 32C. 2D. 313. 在平面直角坐标系中，角α的终边经过点P(−1,2)，则sinα=______． 14. 二项式展开式(√x +1x )6中的常数项是______．15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB =2AP =4，∠PAB =∠PAD =60°，则∠PAC = (1) ；四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为 (2) ．16. 2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”.武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为p(0<p<1)且相互独立，若当p=p0时，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则p0=______．17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6=9，S6=21．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设a nb n =(12)n，求数列{b n}的前n项和．18.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=4，D，E分别是AC，AB边上的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C=A1D，如图2．(Ⅰ)求证：平面A1CD⊥平面A1BC；(Ⅱ)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值．19. 已知点A(2,0)，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，F 和B 分别是椭圆C 的左焦点和上顶点，且△ABF 的面积为32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，当OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13时，求直线1的方程．20. 某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为a(mm)，b(mm)，标准长分别为a −(mm),b −(mm)，则“口径误差”为|a −a −|+|b −b −|，只要“口径误差”不超过0.2min 就认为合格，已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本，经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品，夜批次的40个样本中有10个不合格品．(I)以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，求其中恰有1件不合格产品的概率；(II)若每批次各生产1000件，已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为2.5元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失25元．以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？21. 已知函数f(x)=e x +e −x +(2−b)x ，g(x)=ax 2+b(a,b ∈R)，若y =g(x)在x =1处的切线为y =2x +1+f′(0)． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)若不等式f(x)≥kg(x)−2k +2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围； (Ⅲ)设θ1,θ2,…,θn ∈(0,π2)，其中n ≥2，n ∈N ∗，证明：f(sinθ1)⋅f(cosθn )+f(sinθ2)⋅f(cosθn−1)+⋯+f(sinθn−1)⋅f(cosθ2)+f(sinθn )⋅f(cosθ1)>6n ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t (t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =1cosϕ,y =√2tanφ(φ为参数)，曲线C 1，C 2交于A 、B 两点．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的普通方程； (Ⅱ)已知P 点的直角坐标为(√33,−23)，求|PA|⋅|PB|的值．23. 函数f(x)=|2x −1|+|x +2|．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)若f(x)的最小值为M ，a +2b =2M(a >0,b >0)，求证：1a+1+12b+1≥47．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|y=log2(x−2)}={x|x>2}，∴集合A∩B={x|2<x≤3}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：：“∀x∈(−∞,0)，2x≥3x”的否定形式￢p为：∃x0∈(−∞,0)，2x0<3x0．故选：A．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是对基本知识的考查．3.【答案】B=−(1−i)⋅i=−1−i，∴z−=−1+i，【解析】解：z=1−ii∴z的共轭复数z−在复平面内对应的点为(−1,1)，位于第二象限．故选：B．先化简z，然后求出其共轭复数，再确定其共轭复数对应的点所在象限．本题考查了复数的运算和几何意义，属基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<0.30.2<0.30=1，∴0<a<1，∵50.3>50=1，∴b>1，∵log0.25<log0.21=0，∴c<0，∴c<a<b，故选：C．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】【分析】由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．【解答】解：将y=sin2x向右平移π6个单位得：y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，故选：D．6.【答案】C【解析】解：如图，阴影部分为可行域，目标函数z=yx+3，表示可行域中点(x,y)与(−3,0)连线的斜率，由图可知点P(1,3)与(−3,0)连线的斜率最大，故z的最大值为34，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论．本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域以及转化为斜率是解决本题的关键．【解析】解：∵(a+b)(sinA−sinB)=c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)=c(c+b)，整理可得：b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3，∵b+c=4，∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√34⋅(b+c2)2=√3，当且仅当b=c时等号成立，即△ABC的面积的最大值为√3．故选：D．由正弦定理化简已知等式b2+c2−a2=−bc，利用余弦定理可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A=2π3，利用基本不等式，三角形的面积公式即可求解△ABC的面积的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2−4x+2=0即为(x−2)2+y2=2的圆心(2,0)，半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2−4x+2=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√a2+b2，4b2c2=4c2−a2c2=1，解得：e=ca =2√33，故选：B．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．【解析】解：因为在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，故|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，设C 到BD 的距离为d ，则有d =√5=2√55， 故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 其中AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 当且仅当CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时，等号成立， 故选：A ．先根据条件求得C 到BD 的距离为d ，再把所求转化为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.【答案】D【解析】解：已知数列{a n }满足：a 1=1， 由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a2n−1−1a2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091，故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．11.【答案】B【解析】解：根据f(x)=f(2−x)知f(x)关于x=1对称，作出函数ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)的图象如图：设ℎ(x)与y=lnx(x≤1)相切时的切点为P(x0,lnx0)，则1x0=lnx0+2x0，解得x0=1e，此时m=1x=e，当ℎ(x)过点(2,1)时，m=32，故B选项正确；若g(x)恰有2个零点，则m<0或m=e，故A错误；若g(x)恰有4个零点，则0<m≤32，故C、D选项错误；故选：B．由知f(x)关于x=1对称，再将函数g(x)的零点个数问题转化为ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)的图象的焦点个数问题，利用函数ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)相切时的m的值可解决．本题考查了由函数零点个数求参数，考查了函数的零点的个数转化为函数图象的交点个数，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的综合，还有三角形的重心坐标公式，属于基础题．先利用题设条件找到P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)的坐标之间的关系式，再利用重心坐标公式，求出x2与y2，从而得到P1P3所在直线的斜率．【解析】解：由题设知F(2,0)，∵P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)为抛物线C上的三个动点，∴{ x 1=y 128x 2=y 228x 3=y 328，又F 为△P 1P 2P 3的重心，∴x 1+x 2+x 3=6，y 1+y 2+y 3=0．∵△P 1P 2P 3三边P 1P 2，P 1P 3，P 2P 3的中点到抛物线C 的准线的距离分别为d 1=x 1+x 22+1，d 2=x 1+x 32+1，d 3=x 2+x 32+1，且满足d 1+d 3=2d 2，∴x 1+x 3=2x 2.∴x 2=2， 又y 2<0，∴y 2=−4，∴P 1P 3所在直线的斜率k =y 3−y 1x 3−x 1=8y3+y 1=8−y 2=2．故选：C ．13.【答案】2√55【解析】解：角α的终边经过点P(−1,2)，即x =−2，y =2，则r =√(−1)2+22=√5， ∴sinα=y r=√5=2√55， 故答案为：2√55． 由题意可得x =−1，y =2，求出r ，利用任意角的三角函数的定义，直接求出sinα． 本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键．14.【答案】15【解析】解：展开式的通项为：T r+1=C 6r(√x)6−r⋅(1x )r=C 6r x6−3r2令6−3r =0得r =2所以展开式的常数项为C 62=15．故答案为：15．求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项，求出展开式的常数项．求展开式的特定项问题常利用二项展开式的通项公式来解决．15.【答案】45°40π【解析】解：①过点P 作PE ⊥AC ，作EF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，连接PF ，则PF ⊥AB ． 在Rt △AFP 中，AP =2，∠PAB =60°，∴AF =1=EF ，∴AE =√2，∴cos∠PAC =AEAP =√22，可得∠APC =45°．②分别以OA ，OB 为x ，y 轴，过点O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系． 设四棱锥P −ABCD 的外接球的球心为G ，半径为R ． 可设G(0,0,t).A(2√2,0,0)，P(√2,0,√2).∵|GA|=|GP|，∴√(2√2)2+t 2=√(√2)2+(√2−t)2， 解得：t =−√2．∴R 2=(2√2)2+(−√2)2=10．∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积=4πR 2=40π． 故答案为：45°，40π．①过点P 作PE ⊥AC ，作EF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，连接PF ，可得PF ⊥AB.在Rt △AFP 中，AP =2，∠PAB =60°，可得AF =1=EF ，AE =√2，在Rt △PAE 中求出即可得出．②分别以OA ，OB 为x ，y 轴，过点O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系．设四棱锥P −ABCD 的外接球的球心为G ，半径为R.可设G(0,0,t).根据|GA|=|GP ，即可解出t ，即可得出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积．本题考查了四棱锥、正方体与直角三角形的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】5−√155【解析】解：根据相互独立事件同时发生的概率公式得： f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p ，∴f′(p)=−3(1−p)2p +(1−p)3−4(1−p)3p +(1−p)4=(1−p)2(5p 2−10p +2) =(1−p)(p −5−√155)(p −5+√155)，∵0≤p ≤1，当p =p 0时，f(p)最大， ∴p 0=5−√155．故答案为：5−√155．根据相互独立事件同时发生的概率公式得f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p ，f′(p)=(1−p)(p −5−√155)(p −5+√155)，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(I)设公差为d ，由a 3+a 6=9，S 6=21，得{2a 1+7d =96a 1+15d =21，得a 1=1，d =1， 故数列{a n }的通项公式为a n =n ；(II)根据(I)，由a nb n=(12)n ，得b n =n ⋅2n ，数列{b n }的前n 项和S n =1⋅21+2⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ， 两边乘以2得，2S n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2(n +1)， 作差化简得，S n =(n −1)⋅2(n +1)+2，故数列{b n }的前n 项和为S n =(n −1)⋅2(n +1)+2．【解析】(I)设公差为d ，由a 3+a 6=9，S 6=21，联立解方程组，求出首项和公差，再求出数列{a n }的通项公式；(II)结合(I)，由a nb n=(12)n ，得b n =n ⋅2n ，再利用错位相消法求出数列{b n }的前n 项和．本题考查了等差数列性质，求通项公式，利用错位相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =AC =4，D ，E 分别是AC ，AB 边上的中点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，DE//BC ，∵A 1D ∩DC =D ，∴BC ⊥平面A 1DC ， ∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1CD ⊥平面A 1BC ．(Ⅱ)解：∵A 1C =A 1D ，∴△A 1CD 是边长为2的等边三角形， 取CD 中点O ，连结A 1O ，以O 为原点，OC 为x 轴，在平面BCDE 内过O 人生CD 的垂线为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1(0,0,√3)，C(1,0,0)，B(1,4,0)，E(−1,2,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,−√3)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3)， 设平面A 1BE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +4y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y −√3z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)， 设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ， 则直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为：sinθ=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√55．【解析】(Ⅰ)推导出DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，DE//BC ，从而BC ⊥平面A 1DC ，由此能证明平面A 1CD ⊥平面A 1BC ．(Ⅱ)取CD 中点O ，连结A 1O ，以O 为原点，OC 为x 轴，在平面BCDE 内过O 人生CD 的垂线为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得e =c a =√22，F(−c,0)，B(0,b)，A(2,0)，可得 12(2+c)b =32，即b(2+c)=3，又a 2−b 2=c 2，解得a =√2，b =c =1， 则椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)设过点A 的直线l 的方程设为x =my +2，联立椭圆方程x 2+2y 2=2，可得(2+m 2)y 2+4my +2=0，△=16m 2−4×2(2+m 2)=8m 2−16>0，即m 2>2，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=−4m2+m 2，y 1y 2=22+m 2，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，即x 1x 2+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=13，即有(m 2+1)⋅22+m 2+2m(−4m2+m 2)+4=13，化为m 2=4>2， 则m =±2，可得直线l 的方程为x −2y −2=0或x +2y −2=0．【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 的方程设为x =my +2，联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得m ，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，同时考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(I)以样本的频率作为概率，则昼批次产品的不合格率为440=110，夜批次产品的不合格率为1040=14，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，恰有1件不合格产品，分2种情况：不合格产品在昼批次中，概率为P 1=C 21⋅110⋅910×C 22⋅(34)2=81800， 不合格产品在夜批次中，概率为P 2=C 22⋅(910)2×C 21⋅14⋅34=243800， 故所求的概率为P =P 1+P 2=81200．(II)这批产品中合格品的利润为(1000×910+1000×34)×5=16500，若不检验，则总利润为W 1=16500−(1000×110+1000×14)×25−10000=−2250， 若检验，则总利润为W 2=16500−2000×(5+2.5)=1500， ∴W 2>W 1，故需要对每个批次的所有产品作检测．【解析】(I)先求出昼夜两批次产品各自的不合格率，再分2种情况，并结合相互独立事件的概率求解即可；(II)先求出昼夜两批次各1000件产品中合格品的利润，再分不检验和检验2种情形，分别求出相应的总利润，比较大小后，即可得解．本题考查相互独立事件的概率、数学期望的实际应用，考查学生将理论知识与实际生活相联系的能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由f′(x)=e x −e −x +2−b ，得f′(0)=2−b ，由g′(x)=2ax ，得g′(1)=2a ，根据题意可得{2a =2g(1)=a +b =2+1+2−b ，解得{a =1b =2；(Ⅱ)由不等式f(x)≥kg(x)−2k +2对任意x ∈R 恒成立知，e x +e −x −kx 2−2≥0恒成立，令F(x)=e x +e −x −kx 2−2，显然F(x)为偶函数，故当x ≥0时，F(x)≥0恒成立， F′(x)=e x −e −x −2kx ，令ℎ(x)=e x −e −x −2kx(x ≥0)，则ℎ′(x)=e x +e −x −2k ， 令H(x)=e x +e −x −2k(x ≥0)，则H′(x)=e x −e −x ，显然H′(x)为(0,+∞)上的增函数， 故H ′(x)≥H′(0)=0，即H(x)在(0,+∞)上为增函数，H(0)=2−2k ，①当H(0)=2−2k ≥0，即k ≤1时，H(x)≥0，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增， 故ℎ(x)≥ℎ(0)=0，则F(x)在(0,+∞)上为增函数，故F (x)≥F(0)=0，符合题意； ②当H(0)=2−2k <0，即k >1时，由于H(ln(2k))=12k >0，故存在x 1∈(0,ln(2k))，使得H(x 1)=0，故ℎ(x)在(0,x 1)单调递减，在(x 1,+∞)单调递增，当x ∈(0,x 1)时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，故F (x)在在(0,x 1)单调递减，故F (x)<F(0)=0，不合题意． 综上，k ≤1；(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，f(x 1)f(x 2)≥(x 12+2)(x 22+2)=x 12x 22+2x 12+2x 22+4≥2x 12+2x 22+4，当且仅当x 1=x 2=0时等号同时成立，故f(sinθ1)f(cosθn )>2sin 2θ1+2cos 2θn +4， f(sinθ2)f(cosθn−1)>2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……， f(sinθn )f(cosθ1)>2sin 2θn +2cos 2θ1+4，以上n 个式子相加得，f(sinθ1)⋅f(cosθn )+f(sinθ2)⋅f(cosθn−1)+⋯+f(sinθn−1)⋅f(cosθ2)+f(sinθn )⋅f(cosθ1)>6n ．【解析】(Ⅰ)f′(0)=2−b ，g′(1)=2a ，再结合题意，建立关于a ，b 的方程组，解方程即可得解；(Ⅱ)依题意，e x +e −x −kx 2−2≥0恒成立，令F(x)=e x +e −x −kx 2−2，由于F(x)为偶函数，故只需当x ≥0时，F(x)≥0恒成立，对函数F(x)求导后，利用导数分类讨论即可得出结论；(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x 1)f(x 2)≥2x 12+2x 22+4，由此可得f(sinθ1)f(cosθn )>2sin 2θ1+2cos 2θn +4，f(sinθ2)f(cosθn−1)>2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……，f(sinθn )f(cosθ1)>2sin 2θn +2cos 2θ1+4，再累加即可得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力，考查分类与整合思想，化归与转化思想等，属于较难题目．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t(t 为参数)，转换为直角坐标方程为√3x −y −53=0，转换为极坐标方程为ρ=56cos(θ+π6)．曲线C 2的参数方程为{x =1cosϕ,y =√2tanφ(φ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2−y 22=1．(Ⅱ)把曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t(t 为参数)，代入x 2−y 22=1，得到：t 22+83t −169=0，所以|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=|−16912|=89．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)={−3x −1,x <−2−x +3,−2≤x ≤123x +1,x >12，易知，当x =12时，函数f(x)取得最小值，且最小值为f(12)=52； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，M =52，则a +2b =5， ∴(a +1)+(2b +1)=7，∴1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)](1a+1+12b+1)=17(2+a+12b+1+2b+1a+1)≥17(2+2√a+12b+1⋅2b+1a+1)=47，当且仅当{a+12b+1=2b+1a+1a+2b=5，即a=52,b=54时取等号．【解析】(Ⅰ)将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质即可求得最小值；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知(a+1)+(2b+1)=7，再利用基本不等式即可得证．本题考查含绝对值的函数最值求法，考查基本不等式的运用，考查推理能力及运算能力，属于基础题．。
2020年石家庄市二模数学有答案(理科).docx
2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 .2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 写在本试卷上无效 .3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 .4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .第 I 卷( 选择题 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A. B.M={5， 6， 7 }C.， N={5， 7， 8 }D.，则2.若 F(5 ，0) 是双曲线(m 是常数）的一个焦点，则 m的值为3.已知函数 f(x) ，g(x) 分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44.的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605.的值为A. 1B.C.D.6.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要的条件7.—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8.从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059.程序框图如右图，若输出的 s 值为位，则 n 的值为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知a是实数，则函数_的图象不可能是11.已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线 l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域的概率为 P. 则下列结论正确的是A. 不论边长 AB， CD如何变化， P 为定值；B.若- 的值越大， P 越大；C. 当且仅当 AB=CD时， P 最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.M12.设不等式组表示的平面区域为D n a n表示区域 D n中整点的个数 ( 其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第 II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题? 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题?第 24 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.复数（i为虚数单位 ) 是纯虚数，则实数 a 的值为 _________.14.在ABC 中，，，则 BC 的长度为 ________.15.己知 F1 F 2是椭圆（ a>b>0) 的两个焦点，若椭圆上存在一点P 使得，则椭圆的离心率 e 的取值范围为 ________.16.在平行四边形 ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中 ABCD-A 1 B1 C1 D1中有=________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.( 本小题满分 12 分）已知 S n是等比数列 {a n} 的前 n 项和， S4、S10、S7成等差数列 .(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18.( 本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出 . 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费，超过 a的部分按照议价收费）. 为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 ( 单位 :t) ，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准 &则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III) 若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量 ( 看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II) 中最低标准的人数为x，求x 的分布列和均值 .19.( 本小题满分 12 分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1交于AB=1，， D 为AA1中点， BD与点0，C0丄侧面 ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20.( 本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1 ，定点 F(0 ，1) ，过平面内动点 P 作 PQ丄 l 于 Q点，且?(I )求动点P的轨迹E的方程；P 的纵坐标(II)过点P作圆的两条切线，分别交x 轴于点 B、 C，当点y0>4 时，试用 y0表示线段 BC的长，并求PBC面积的最小值 .21.( 本小题满分 12 分）已知函数( A, B R， e 为自然对数的底数），.(I )当 b=2 时，若存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(II)当a>0时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过C1于点，求证.线段PQ的中点作 x 轴的垂线交请考生在第 22? 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.( 本小题满分 10 分) 选修 4-1 几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交 CE 于 D 点，，BE2=DE-EC.( I ) 求证 :；( I I ) 求证： A、E、B、 C 四点共圆 .23.( 本小题满分 10 分) 选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为：（为参数）；射线C2的极坐标方程为：, 且射线 C2与曲线 C1的交点的横坐标为(I )求曲线C1的普通方程；(II)设 A、 B为曲线 C1与 y 轴的两个交点， M为曲线 C1上不同于 A、 B 的任意一点，若直线 AM与 MB分别与 x 轴交于 P,Q 两点，求证 |OP|.|OQ| 为定值 .24.( 本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲设函数(I) 画出函数(II)若不等式，的图象；恒成立，求实数 a 的取值范围.2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科答案 )一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.114. 1 或 215.1,116. 24( AB 2AD 2AA12 ) .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ） 当 q 1 ， 2S 10 S 4 S 7所以 q1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..2 分2a 1 1 q 10a (1 q 4 ) a 1 1 q 7由2S 10S 4 S 7 , 得11 q1 q 1 qQ a 10, q 1 2q 10q 4 q 7， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .4 分2a 1 q 8 a 1q 2 a 1q 5 ，2a 9a 3 a 6 ，所以 a 3, a 9, a 6 成等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( Ⅱ ) 依 意 数列a n 3的前 n 的 T n ,T n = a 13 a 23 a 33 K a n 313 q 3 ( q 2 )3 K ( q n 1 )3 = q 3 (q 3 )2 K (q 3 )n 1 (q 3 )1 2 3K (n 1) =( q 3)n(n 1)2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又由（Ⅰ）得 2q 10q 4 q 7 ，2q6q31 0 ，解得 q31(舍）,q31. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分21n n 12所以 T n2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分18. 解: （Ⅰ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（Ⅱ）月均用水量的最低 准 定 2.5 吨 . 本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位，占 本 体的 20%，由 本估 体，要保 80%的居民每月的用水量不 超 出 准 ， 月 均 用 水 量 的 最 低 准 定 2.5 吨 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅲ）依 意可知, 居民月均用水量不超 （Ⅱ）中最低 准的概率是4，X ~ B(3, 4) ，55P( X 0) (1)31 P( X 1) C 314 (1) 2 12 5 1255 5125P( X 2) C 32 (4 )2( 1 ) 48 P( X 3) ( 4 )364⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5 51255125分布列X0 12 3 P1 12 48 64125 125125 125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分E( X ) 3412⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5519. 解：（Ⅰ）因 ABB 1A 1 是矩形，D AA 1 中点， AB1 ， AA 12 ，AD 2 ,2所 以 在 直 角 三 角 形 ABB 1中 , tan AB 1 BAB 2BB 1 ,2 在 直 角三 角 形 ABD 中 , tan ABDAD 2AB 1 2 ,所以 AB 1 B = ABD ,又 BAB 1AB 1 B 90o ，BAB 1ABD90o ，所以在直角三角形 ABO 中，故 BOA 90o ，即 BDAB 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分又因 CO 侧面 ABB 1 A 1 ， AB 1 侧面 ABB 1 A 1 , 所以 CO AB 1 所以， AB 1面 BCD , BC 面 BCD ,故 BC AB 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） 解法一：如 ，由（Ⅰ）可知，OA, OB, OC 两两垂直，分 以 OA, OB, OC x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系 O xyz .在RtVABD中 ， 可求得OB6, OD6 , OC OA3 ，363在 RtVABB 1 中，可求得 OB 12 3 ，3故D 0,6,0 , B 0,6,0, C 0,0,3 ,633B 12 3,0,03uuur6,0 uuur6 , 3uuur 2 3 , 6,0所以 BD0,, BC0, , BB 123 333uuuur uuur uuur 2 3 , 2 6 , 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 可得， BC 1 BC BB 13 3 3uuur uuuur平面 BDC 1 的法向量 mx, y, z ， m BD0,m BC 1 0 ，23 x 2 6 y3z 0即333，取 x 1, y0, z 2 ，6y 02m 1,0,2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又 面 BCD n 1,0,0 ， 故 cos m, n15 ，55所以，二面角C 1BD C 的余弦5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 5解法二： 接 CB 1 交 C 1B 于 E , 接 OE ，因CO侧面 ABB1 A1，所以BD OC ，又BD AB1，所以BD面 COB1，故BD OE所以EOC 二面角C1BD C 的平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分BD6， AB13， AD AO1， OB12AB12 3 , 2BB1OB1233OC OA 1AB13，33在 RtVCOB1中， B1C OC 2OB121415，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分333又EOC OCE cos EOC OC 5 ，CB15故二面角 C1 BD C 的余弦 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分520.解：（Ⅰ） P x, y ， Q x, 1 ，uuur uuur uuur uuur∵QPgQF FP gFQ ，∴ 0, y 1 g x,2x, y 1 g x, 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分即 2 y 1x2 2 y 1 ，即x2 4 y ，所以点 P 的迹 E 的方程x2 4 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）解法一： P (x0 , y0 ), B(b,0), C(c,0)，不妨 b c ．直 PB 的方程:y y0( x b) ，化得y0 x( x0b) y y0 b0 ．x0 b又心 (0, 2) 到 PB 的距离2，2( xb)y0b2，y02(x0b)2故 4[ y02( x0 b)2 ]4( x0b)24( x0b) y0 b y02b 2，易知 y0 4 ，上式化得( y0 4) b2 4 x0 b 4 y00 ，同理有 ( y04)c24x0c 4 y0 0 ．⋯⋯⋯⋯ 6 分所以b c4x0 ，bc 4 y0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分y04y0 4(b c)216(x2y2 4 y)．000( y04)2因 P (x0 , y0 ) 是抛物上的点，有 x02 4 y0，(b c)216y02，b c4y04．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分( y04)2y0所以 S PBC 1(b c)y0 2 y0y02[( y04)168] 2y04y044 16832 ．当 ( y04) 216 ，上式取等号，此x042, y0 8 ．因此 S PBC的最小32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分解法二： P(x0 , y0 ) ,y0x02， PB 、 PC 的斜率分k1、k2，4PB ：y x02k1 ( x x0 ) ，令 y0得x B x0x02，同理得 x C x0x02；44k14k2所以 | BC | | x B x C| |x02x02|x02|k1k2 | ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6分4k24k14k1 k2下面求 | k1k2 | ,k1 k22| k1 x0 2x02|由 (0, 2) 到PB ：y x0k1( x x0 ) 的距离2，得4 2 ，4k121因 y0 4 ，所以 x0216 ，化得 ( x024)k12x0(4x02)k1( x02)2x020 ，24同理得 ( x024)k22x0(4x02)k2( x02)2x020 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分24所以 k1、 k2是 ( x024) k 2x0(4x02) k( x02) 2x020 的两个根.24x 0 x 024)x 2)22 2 x 021)(2 ( 0 x 0x 0 (所以 k 1k 2,k 1k 2 416 ,x 024x 02 4x 024| k 1 k 2 |(k 1 k2 ) 24k 1k 2x 02， |k 1 k 2 |1，x 024k 1k 2x 02116| xx|x 02|k1k2 |x 02 1 y1 4 y 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分BC4k 1k 24 x 021y 0 1 y 0 4164所以 S PBC1| BC | y 02 y 0 y 0 2[( y 0 4)16 48]2y 0 4y 04 16832 ．当 ( y 0 4) 2 16 ，上式取等号，此 x 0 4 2, y 0 8 ．因此 S PBC 的最小 32． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21. 解 : （Ⅰ）当 b2 ，若 F (x)f ( x) g( x)ae 2 x 2e x x ，F (x) 2ae 2 x2e x 1 ，原命 等价于 F (x)2ae 2x2e x 1⋯0 在 R 上有解．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分法一：当 a ⋯0 ， 然成立；当 a0 ， F ( x)2ae 2x 2e x1 2a(e x1 )2 (1 1 )1 12a 2a∴ (10 ，即 a 0 ．)22a 合所述a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2法二：等价于 a1 ( 1)2 1 在 R 上有解，即2 e xe x∴ a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2，x 2x1（Ⅱ） P( x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，不妨 x 1x 2x 0 ，2ae2x2bex2x 2 ， ae2 x 1bex1x 1 ，两式相减得： a(e 2 x 2 e 2 x 1) b(e x 2e x 1 ) x 2 x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分整理得x 2 x 1x 2 x 1 a(e x 2e x 1)(e x 2e x 1)b(e x 2 e x 1 )⋯ a(e x 2e x 1 )g2e 2b(e x 2e x 1)x2x 2 x 1x 1⋯2ae 2b ，于是ex2ex1x 2x 1x 2 x 1xx 1x 2 x 1f ( x 0 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分e 2⋯2ae2 be 2xxe 2e 1x 2x 1x 2 x 1x 2x 1x 2 x 1而e2e2xe xx x1e21e 2 1tt令 txx 0 ， G (t)e 2 e 22 1ttttG (t ) 1 e 2 1 e 2 1 12e 2 e 22 2 2t ，1 0 ，∴y G (t) 在 (0,) 上 增，ttttG(t)e 2 e 2t G(0) 0 ，于是有 e 2e 2t ，t即 e t 1 te 2 ，且 e t1 0 ，t t∴e21，e t 1即 f ( x 0 ) 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分考生在第 22～ 24 三 中任 一 做答，如果多做， 按所做的第一 分22． 修 4-1几何 明明： ( Ⅰ) 依 意，DEBE ， 11 ，BEEC所以 DEB : BEC , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 得 3 4,因 4 5 ,所以 35 , 又 26 ，可得 EBD :( Ⅱ) 因ACD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因 EBD : ACD ，所以EDBD , 即 ED AD , 又 ADECDB , ADE : CDB ,AD CD BD CD所以 48 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因 1231800 ，因 2 78 ，即 274 ，由 ( Ⅰ ) 知 35 ，所以1745 180 0 ,即 ACBAEB 1800 ,所以 A 、 E 、 B 、 C 四点共 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 23． 修 4-4 ：坐 系与参数方程2x2解： ( Ⅰ) 曲 C 1 的普通方程 2y 1 ，射 C 2 的直角坐 方程 yx( x 0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分可知它 的交点6 , 6 ，代入曲 C 1 的普通方程可求得 a 2 2 .3 32所以曲 C 1 的普通方程xy 2 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2( Ⅱ) | OP | | OQ | 定 .由 ( Ⅰ ) 可知曲 C 1 ，不妨AC 1 的上 点，M (2 cos ,sin ) , P(x P ,0) ， Q ( x Q ,0) ,因 直 MA 与 MB 分 与 x 交于 P 、 Q 两点，所以 K AMK AP , K BM K BQ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由斜率公式并 算得x P12 cos， x Q 2 cos, sin1sin所以 | OP | |OQ | x P x Q2. 可得| OP | | OQ |定 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分24.修 4-5 ：不等式解 : ( Ⅰ) 由于 f ( x)3x7,x 2,⋯⋯⋯⋯ 2 分3x5x 2.函数的象如所示 : （略）⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分( Ⅱ) 由函数y f ( x) 与函数y ax 的象可知 ,当且当1a 3, 函数 y ax 的象与函数y f ( x)象没有交2点, ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分所以不等式 f (x) ax 恒成立,a 的取范1 ,3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2。
河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理)试题(含答案)
数学（理科）
（时间：120 分钟 分值：150 分） 第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（ ）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为
．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）
【精准解析】河北省石家庄市第二中学2020届高三6月高考全仿真数学(理)试题
6
对称，不关于点
6
, 0
对称，
故 B 错误；
在
6
,
3
上，
2x
6
2
,
2
，
f
x
单调递增，故
C
正确；
在
2 3
, 6
上，
2x
6
3 2
, 2
，
f
x
单调递减，故
D
错误.
故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属
-7-
于中档题.
A. 直线 【答案】A 【解析】
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
-1-
【分析】
先令 z a bi ，代入化简可得 2b 5 0 ，从而可得其轨迹方程 【详解】解：设 z a bi ，则由 z 4i z i 得，
a (b 4)i a (b 1)i ，
所以 a2 (b 4)2 a2 (b 1)2 ，
´
MF2
，
MH
=
ab c
，即
M
点纵坐标为
ab c
，
-8-
( ) 将 M
点纵坐标带入圆的方程中可得 x2
+ a2b2 c2
= b2 ，解得 x
=
b2 c
，M
, b2 ab
cc
，
将M
点坐标带入双曲线中可得
b4 a2c2
-
a2 c2
=1，
( ) 化简得 b4 - a4 = a2c2 ，
c2 - a2
2
- a4
的相关性质判断出三角形 OMF2 的形状并求出高 MH 的长度， MH 的长度即 M 点纵坐标， 然后将 M 点纵坐标带入圆的方程即可得出 M 点坐标，最后将 M 点坐标带入双曲线方程即可
河北省石家庄市第二中学2020届高三模拟考试数学(理)试题
（2）若
a1
a3
3 ，设 bn
n 12
|
an
| ，{bn}
的前
n
项和为 Tn
，证明： Tn
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）
问的答案是 S1, S3, S2 成等差数列．
如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
则 x、y 的值分别为（ ）
A．0，0
B．0，5
C．5，0
D．5，5
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，
问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），
二．填空题 13. 6 三．解答题
14. 10
15. 2 2
16. （2分）3（3分）
6
2
17.解：（1）取 PA 的中点 E // 1 AD ， 2
又 BC // 1 AD ，∴ BC //FE ， 2
∴四边形 EFBC 是平行四边形，∴ CE // BF ，
石家庄二中2020届高三教学质量检测
数学（理科）试卷
（时间：120 分钟 分值：150 分）
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
使得 OAOB PA PB 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
【附20套高考模拟试题】2020届河北省石家庄二中高考数学模拟试卷含答案
为（ ）
，则 的中点到准线的距离
A． B．2 C．3 D．4
7．关于 的方程
有四个不同的解，则实数 的值可能是（ ）.
A． B． C． D．
8．设 ，若函数
在 上的最大值是 3，则其在 上的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
9．已知 f x 定义域为 0, ， f x 为 f x 的导函数，且满足 f x xf x ，则不等式
算出圆周率的近似值.假设有 n 个人说“能”，而有 m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率
的近似值为（）
m
n
4m
4n
A． m n B． m n C． m n D． m n
11．已知等差数列 an 的前 n 项和是 Sn ，公差 d 不等于零，若 a2 , a3, a6 成等比数列，则
A． a1d 0, dS3 0
B． a1d 0, dS3 0
C． a1d 0, dS3 0 D． a1d 0, dS3 0
12．执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值为( )
A．4 B．5 C．7 D．9 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a,b 满足
2 13． 3
30800 14． 729 .
15．
1 e2
,
0
16． [0, 3]
MA 2 MO ，则实数 a 的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）如图，在四棱锥
中， 平面
，底面
是菱形，
为 与 的交点， 为棱 上一点.
证明：平面
平面 ；若 平面 ，求三棱锥
2020年石家庄市二模数学有答案(理科)
2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={5，6，7 }，N={5，7，8 }，则A. B. C. D.2. 若F(5，0)是双曲线(m是常数）的一个焦点，则m的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44. 的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605. 的值为A. 1B.C.D.6. 已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059. 程序框图如右图，若输出的s值为位，则n的值为A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知a是实数，则函数_的图象不可能是11. 已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P.则下列结论正确的是A.不论边长AB，CD如何变化，P为定值；B.若-的值越大，P越大；C.当且仅当AB=CD时，P最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.12. 设不等式组表示的平面区域为Dn an表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数（i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_________.14. 在ΔABC 中，，，则 BC 的长度为________.15. 己知F1 F2是椭圆（a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆的离心率e的取值范围为________.16. 在平行四边形ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中ABCD-A1B1C1D1中有=________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，，D为AA1中点，BD与AB1交于点0，C0丄侧面ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l 于Q点，且•(I )求动点P的轨迹E的方程；(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y 0>4时，试用y表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.21. (本小题满分12分）已知函数(A ,B R，e为自然对数的底数），.(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；(II)当a>0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交CE于D点，，BE2=DE-EC.(I)求证:；(I I)求证：A、E、B、C四点共圆.23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C 1的参数方程为：（为参数）；射线C 2的极坐标方程为：,且射线C 2与曲线C 1的交点的横坐标为(I )求曲线C 1的普通方程；(II)设A 、B 为曲线C 1与y 轴的两个交点，M 为曲线C 1上不同于A 、B 的任意一点，若直线AM 与MB 分别与x 轴交于P,Q 两点，求证|OP|.|OQ|为定值.24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设函数 (I)画出函数的图象；(II)若不等式，恒成立，求实数a 的取值范围.2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14. 1或 2 15. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.22214()AB AD AA ++.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ）当1q =时，10472S S S ≠+所以1q ≠ ………………………………………………..2分10472S S S =+由,得()()1074111211(1)111a q a q a q q q q---=+--- 104710,12a q q q q ≠≠∴=+ ， ………………………….4分则8251112a q a q a q =+，9362a a a ∴=+，所以3,9,6a a a 成等差数列. ………………………6分(Ⅱ)依题意设数列{}3n a 的前n 项的积为n T ,n T =3333123n a a a a ⋅⋅3323131()()n q q q -=⋅⋅=33231()()n q q q -⋅3123(1)()n q ++-==(1)32()n n q -，…………………8分又由（Ⅰ）得10472q q q =+，63210q q ∴--=，解得3311(,2q q ==-舍）.…………………10分所以()1212n n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. …………………………………………….12分18. 解: （Ⅰ）………………………………3分（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5吨.……………………………………………6分（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是45，则4~(3,)5X B ，311(0)()5125P X === 1234112(1)()55125P X C ===2234148(2)()()55125P X C ===3464(3)()5125P X ===………………8分 X0 1 2 3 P1125 12125 48125 64125分412()355E X =⨯=………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA =，2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,112tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD中,12tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠, 又1190BAB AB B ∠+∠=，190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， (3)分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………5分 （Ⅱ） 解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ABD中，可求得63OB =,66OD =,33OC OA ==，在1Rt ABB 中，可求得1233OB = ，故60,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,60,,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,30,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,123,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以 60,,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,630,,33BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1236,,033BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭可得，1123263,,333BC BC BB ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………8分设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即23263060x y z y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪，取1,0,2x y z ===， 则()1,0,2=m ， …………………………………10分又BCD 面()1,0,0=n ，故5cos ,5==m n ， 所以，二面角1C BD C --的余弦值为5…………………………………12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥，所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角…………………………………8分BD =，1AB =1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==113OC OA AB === ， 在1Rt COB中，13B C === ，……………………10分 又EOC OCE ∠=∠1cos 5OC EOC CB ∠==故二面角1C BD C --的余弦值为…………………………12分 20.解：（Ⅰ）设(),P x y ，则(),1Q x -， ∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． …………………2分 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹E 的方程24x y =． …………………………4分 （Ⅱ）解法一：设00(,),(,0),(,0)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00()y y x b x b=--，化简得 000()0y x x b y y b ---=．又圆心(0,2)到PB 的距离为22= ，故222220000004[()]4()4()y x b x b x b y b y b +-=-+-+，易知04y >，上式化简得2000(4)440y b x b y -+-=， 同理有2000(4)440y c x c y -+-=． …………6分所以0044x b c y -+=-，0044y bc y -=-，…………………8分则2220002016(4)()(4)x y y b c y +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2004x y =，则 2202016()(4)y b c y -=-，0044y b c y -=-． ………………10分 所以0000002116()2[(4)8]244PBC y S b c y y y y y ∆=-⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分解法二：设),(00y x P , 则4200x y =，PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k ， 则PB ：2010()4x y k x x -=-，令0y =得20014B x x x k =-，同理得20024C x x x k =-； 所以||4|44|||||212120120220k k k k x k x k x x x BC C B -⋅=-=-=，……………6分 下面求||2121k k k k -, 由(0,2)到PB ：2010()4x y k x x -=-的距离为22010|2|2x k x +-=， 因为04y >，所以2016x >， 化简得2222220001010(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=， 同理得2222220002020(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=…………………8分 所以1k 、2k 是22222200000(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=的两个根.所以2001220(4)2,4x x k k x -+=-222220*********(1)()164,44x x x x k k x x --==--201220||4x k k x -==-，1220121||116k k x k k -=-， 22000120200120411||||44411416B C x x y k k x x y y x k k y --=⋅=⋅=⋅=---，……………10分 所以0000002116||2[(4)8]244PBC y S BC y y y y y ∆=⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分21.解:（Ⅰ）当2b =时，若2()()()2x x F x f x g x ae e x =-=+-，则2()221x x F x ae e '=+-，原命题等价于2()2210x x F x ae e '=+-在R 上有解．……………2分 法一：当0a 时，显然成立；当0a <时，2211()2212()(1)22x x x F x ae e a e a a '=+-=+-+ ∴ 1(1)02a -+>，即102a -<<． 综合所述 12a >-．…………………5分 法二：等价于2111()2x x a e e>⋅-在R 上有解，即∴ 12a >-．………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，不妨设12x x <，则2102x x x +=，2222x x ae be x +=，1121x x ae be x +=，两式相减得：21212221()()x x x x a e e b e e x x -+-=-，……………7分整理得 212121212121221()()()()2()x x x x x x x x x x x x x x a e e e e b e e a e e e b e e +-=-++--+- 则21212122x x x x x x ae b e e +-+-，于是21212121212202()x x x x x x x x x x e ae be f x e e +++-'⋅+=-，…………………9分而212121212121221x x x x x x x x x x x x e e e e e +----⋅=⋅-- 令210t x x =->，则设22()ttG t e e t -=--，则2222111()1210222t t t t G t e e e e --'=+->⋅⋅⋅-=， ∴ ()y G t =在(0,)+∞上单调递增，则22()(0)0t t G t e et G -=-->=，于是有22t t e e t -->， 即21t t e te ->，且10t e ->，∴ 211t t t e e <-， 即0()1f x '<．…………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)依题意，DE BE BE EC=，11∠=∠ ， 所以DEB BEC ∆∆,………………2分得34∠=∠,因为45∠=∠,所以35∠=∠,又26∠=∠，可得EBD ACD ∆∆.……………………5分 (Ⅱ)因为因为EBD ACD ∆∆， 所以ED BD AD CD =,即ED AD BD CD=,又ADE CDB ∠=∠,ADE CDB ∆∆,所以48∠=∠，………………7分因为0123180∠+∠+∠=， 因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由(Ⅰ)知35∠=∠， 所以01745180,∠+∠+∠+∠=即0180,ACB AEB ∠+∠=所以A 、E 、B 、C 四点共圆.………………10分23．选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)曲线1C 的普通方程为2221x y a+=， 射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，…………………3分可知它们的交点为⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =. 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=.………………5分 (Ⅱ) ||||OP OQ ⋅为定值.由(Ⅰ)可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设,sin )M ϕϕ,(,0)P P x ，(,0)Q Q x , 因为直线MA 与MB 分别与x 轴交于P 、Q 两点， 所以AM AP K K =,BM BQ K K =,………………7分 由斜率公式并计算得1sin P x ϕϕ=-，1sin Q x ϕϕ=+, 所以||||2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=.可得||||OP OQ ⋅为定值.……………10分24.选修4-5：不等式选讲解: (Ⅰ)由于37,2,()35 2.x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩…………2分 则函数的图象如图所示:（图略）……………5分 (Ⅱ) 由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知,当且仅当132a -≤≤时,函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点,……………7分 所以不等式()f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………10分。
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2020年河北省石家庄二中高考数学0.5模数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则集合(A B =I ) A ．{|14}x x -<<
B ．{|03}x x <<
C ．{|02}x x <<
D ．{|01}x x <<
2．（5分）设复数z 满足||1z i +=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．22(1)1x y ++=
B ．22(1)1x y -+=
C ．22(1)1x y ++=
D ．22(1)1x y +-=
3．（5分）已知1
2
3a =，1
3
12b log =，21
log 3
c =，则( ) A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>
4．（5分）已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则( )
A ．70x =，275s <
B ．70x =，275s >
C ．70x >，275s <
D ．70x <，275s > 5．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0)ω>的最小正周期为π，其图象关于直线3
x π
=对称，则||ϕ的最小值为( ) A ．
12
π
B ．
6
π C ．
56
π D ．
512
π 6．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，⋯⋯，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则
2222132243354201320152014()()()()(a a a a a a a a a a a a -+-+-+⋯⋯-= )
A ．1
B ．0
C ．1007
D ．1006-
7．（5分）已知变量x ，y 满足2
20
x y x y x --⎧⎪
+-⎨⎪⎩………，则2z x y =-+的取值范围为( )
A ．[2-，2]
B ．(,2)-∞-
C ．(-∞，2]
D ．[2，)+∞
8．（5分）已知平面向量,,a b c r r r 均为单位向量，且0a b =r
r g ，则||a b c +-r r r 的取值范围是(
)
A
．1]
B
．
C
．1,1]
D
．
9．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原
点，P 是双曲线在第一象限上的点，
直线PO ，2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ，12||2||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )
A
B
C
D
10．（5分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x …时，()x f x e =．若对任意的[x a ∈，1]a +，不等式2()()f x a f x +…
恒成立，则实数a 的最大值是( ) A ．3
2
-
B ．23
-
C ．34
-
D ．2
11．（5分）已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，
90ABC ∠=︒，则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )
A
B ．1
C ．
1
2
D
12．（5分）已知函数1
()1
x f x lnx x +=-
-，对于函数()f x 有下述四个结论： （1）函数()f x 在其定义域上为增函数；
（2）对于任意的0a >，1a ≠，都有1
()()f a f a =-成立；
（3）()f x 有且仅有两个零点；
（4）若0()0f x =，则y lnx =在点0(x ，0)lnx 处的切线与x y e =在点00
1
(,)lnx x -处的切线为同一直线．
其中所有正确的结论有( ) A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）（4）
D ．（3）（4）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）在8(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是 ．
14．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若10a ≠，213a a =，则
10
5
S S = ． 15．（5分）已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD „恒成立，则最小正整数t 的值为 ．
16．（5分）F 为抛物线2
4
x y =的焦点，过点F 且倾斜角为150︒的直线l 与抛物线交于A ，
B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ，B 两点处的切线，
1l ，2l 相交于点C ，则CA CB =u u u r u u u r
g ，||CF = ．
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
． （1）求
c
a
的值； （2）若1
cos 4
B =
，2b =，求ABC ∆的面积S ． 18．（12分）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的菱形，PA ⊥面ABCD ，
120BAD ∠=︒，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．
（1）求证：平面AEF ⊥平面PAB ；
（2）M 是PB 上的动点，EM 与平面PAB 所成的最大角为45︒，求二面角F AE D --的余弦值．
19．（12分）已知椭圆2214
x y +=，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交
椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ． （1）求PAB ∆面积的最大值；
（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围．
20．（12分）设函数()(2x a
f x e ax x R =--∈，实数[0a ∈，)+∞， 2.71828e =⋯是自然对数
1.64872)e ⋯．
（Ⅰ）若()0f x …在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若x e lnx m +…
对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3． 21．（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有*()n n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中*(k k N ∈且2)k …份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，
因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为(01)p p <<．
（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（Ⅱ）现取其中*(k k N ∈且2)k …份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ
（ⅰ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ⅱ）若
1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检
验的总次数期望值更少，求k 的最大值．
参考数据：20.6931ln ≈，3 1.0986ln ≈，4 1.3863ln ≈，5 1.6094ln ≈，6 1.7918ln ≈ （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选考4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ
ϕϕ=+⎧⎨=⎩
为参数），以O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=，射线:3OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，
与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． [选考4-5：不等式选讲]
23．已知定义域在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ． （1）求a 的值；。