随机微分方程 PPT
微分方程PPT(罗兆富等编)第六章 线性方程的Adomian分解法
计算得到
1 2 u0 ( x, y ) x xy 2 1 2 u1 ( x, y ) - x 2 uk ( x, y) 0 (k 2)
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
xy
n 0 n 0
■
再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
解: 将方程写成算子形式
Lxu Lyu x y
其中 Lx
, Ly , x y
且Lx是可逆的, 将其逆算子 L 0 ()dx
-1 x
x
作用于方程的两端, 并注意到初始条件 u(0, y) 0, 得到 再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
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结束
三、修正的Adomian分解法 在Adomian分解法中, 有时若将(6.1.03)或(6.1.04)中 的项f分裂成两项, 即
f f1 f 2(来自.1.07)利用(6.1.07), 我们可将un的递推公式作稍许改变而使 得计算更容易, 就是令u0=f1, 而将f2配给u1,其它项不作改 变. 这样, un的递推公式就成为 u0 f1 ,
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
u ( x, y) 1 y sinh x
代入方程验证后知, 它是方程的解, 故方程的精确解为
u ( x, y) 1 y sinh x.
■
计算得到
u0 ( x, y) 1 - y y sinh x y cosh x
u1 ( x, y) xy - y sinh x - y cosh x y
演化博弈论PPT课件
纳什均衡可以通过划线法得出
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纳什均衡和演化稳定（1）
a
X b
a 0，0
Y b
1，1
1，1
0，0
策略b是否是演化稳定的？ 有一个规模为E的策略a入侵
策略b的平均适应度: (1 E)*0 E *1 E 策略a的平均适应度: (1 E)*1 E*0 1 E
Y/q(1p)2p0
p1/3
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N-群体的演化稳定策略
定义1：策略组合 x{x1,x2,..x.n,}是纳什均衡， 如果x是演化稳定策略，如果对于任意的策 略组合 yx 存在某个 (0,1) 使得对于所有的
(0,
)
和y(1)x,有
ui(xi, i) ui(yi, i)
i I
i I
定义2：策略组合x是演化稳定策略，当且 仅当x是一个严格的纳什均衡。
:是一个与突变策略y有关的常数，称之为侵入界限； εy + (1 − ε)x:表示选择进化稳定策略群体与选择突变策略群
体所组成的混合群体。
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演化稳定策略的定义（2）
Definition 2: 对任意的s'∈S×S，满足
(i) f(s,s)≥f(s',s)； (ii)如果f(s,s)=f(s',s)，那么对任意的s≠s'有 f(s,s)>f(s',s')； 则s是演化稳定策略
➢ 自演化博弈论诞生之日起，它就逐渐的被人们用 来分析生物、经济等领域的问题。
1. Selten Reinhard．A Note on Evolutionary Stable Strategies in Asymmetric Animal Conflicts [J]． Journal of Theoretical Biology， 1980，(84)．
混沌理论 综述 很全ppt课件
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
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分岔的概念
❖ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 ❖ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1—Xn)迭代
归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。 2. 取λ：1—3迭代 ❖ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
随机微分方程课件
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随机微分方程的重要性
近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随 机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动 化等领域。 在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题， 在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量 的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随 机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规 律。 在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的 传播流行过程，肿瘤演化机制等。 在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反 常扩散。
X (0) X 0
根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微 t bt 分方程的解为：X (t ) e X 0 eb(t s ) dW
0
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随机微分方程举例
E( X (t )) e 可以求出X的期望：
bt
E( X 0 )
t b ( t s )
E ( X (t )) E (e
随机微分方程——定义
1、随机微分方程的定义：
设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定 的函数，并不是随机变量，b : R n 0, T Rn ， B : Rn 0, T M nm 那么随机微分方程可以表示成如下形式：
dX b( X , t )dt B( X , t )dW X (0) X 0
从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态 分布 N (0, ) ，与初始分布无关。
2
2b
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随机微分方程举例
例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型：
bY Y Y (0) Y0 , Y (0) Y1
其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定 的高斯随机变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数， ξ通常为白噪声。 ，即X表示速率，则原方程等价于以下 若 X Y 朗之万方程：
随机分析1--均方极限
证明
E aX bY
2
E ( a X b Y )( a X b Y )
E ( a X b Y )( a X b Y ) E ( aX
2
bY
2
aX bY aX bY )
aX bY aX bY 2 Re( aX bY )
E a
二阶矩过程的均方微积分
研究对象 一类具有二阶矩的随机过程 研究内容 连续性、可导性与可积性等. 是均方极限意义下的随机微积分
重点
均方极限,均方连续,均方可导
以及均方可积的概念和准则．
要求 掌握均方极限,均方连续,均方可导 以及均方可积的的概念以及相应准则. 熟悉一阶线性随机微分方程及其解. 熟悉正态过程的随机分析的一些结果.
a
k
a l R X ( k , l )收 敛 .
二阶矩过程均方极限定义
设 { X ( t ), t T }是 二 阶 矩 过 程 ， X H , t 0 T ,
如 果 lim E X ( t ) X
t t0 2
0,
则 称 当 t t 0时 ，X ( t ), t T }收 敛 于 X . {
定理（均方大数定理）
设 { X n , n 1, 2, } H
是相互独立同分布的随机变量序列,且
E X n , n 1, 2, , 则
l.i.m
n
1
X n
k 1
n
k
,
证明：E
n
1
n i 1
n
1
n
2
Xi
E
2
i 1
(X n
分数阶偏微分方程的动力学(黄建华,辛杰,沈天龙著)PPT模板
6.3.4不变测 度
6.3.3遍历性
第6章Lévy噪声驱动的几 类流体方程的动力学
6.4Lévy噪声驱动的 Boussinesq方程的大偏
差原理
6.4.1指数估 计
01
6 . 4 . 3 一 类 03 流体发展 方程的大 偏差原理
02
6.4.2大偏 差原理
ONE
07
第7章α-平稳噪声驱动几类偏微分方程 的遍历性
06
第 6 章 L év y 噪 声 驱 动 的 几 类 流 体 方 程 的 动力学
第6章Lévy噪声驱动的几类流体方程的动力学
6.1Lévy噪声驱动的 随机非牛顿流的鞅解
及Markov可选性
6.2Lévy噪声驱动的 分数阶Boussinesq
方程的适定性
6.3Lévy噪声驱动的 Boussinesq方程的
4.3分数Brown运动驱动的 非牛顿流系统的随机吸引 子
01
4.3.1H*( *,1)情形
02
4.3.2H*( *,*)情形
第4章分数次噪 声驱动的非牛顿 流系统的动力学
4.4分数Brown运动驱动的修 正Boussinesq近似方程的随 机吸引子
4.4.1H*( *,1)情形
4.4.2H* (*,*)情形
第7章α-平稳噪声驱动几类偏微 分方程的遍历性
7.1α-平稳噪声及矩估计
7.2α-平稳噪声驱动的MHD方程的 遍历性
7.3α-平稳噪声驱动的抽象流体发展 方程的遍历性
7.4α-平稳噪声驱动的分数阶耦合 Ginzburg-Landau方程的遍历性
ONE
02
第2章非自治分数阶长短波方程的一致 吸引子
第2章非自治分数阶长 短波方程的一致吸引子
大学数学ppt课件
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2
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包括线性代数方程组求解、微积分计算、常微分方程求解等数值计算方法的基本原理和应用。
数值计算方法
介绍一些常见的优化算法，如梯度下降法、牛顿法、遗传算法等，以及这些算法在解决实际问题中的应用。
优化算法
介绍一些基本的统计分析方法，如回归分析、方差分析、主成分分析等，以及这些方法在数据分析和处理中的应用。
定积分的应用
定积分在几何、物理和经济等领域有广泛的应用，如求面积、体积、长度和物体的重心等。
微分方程的基本概念：微分方程描述了函数随时间的变化规律，是微积分中的重要概念。微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程两类。
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线性代数
线性方程组的表示形式
一般形式、增广矩阵形式等。
线性方程组的解法
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概率论与数理Leabharlann 计概率的公理化定义概率的定义与性质
条件概率与独立性
通过公理化定义，可以更深入地理解概率的本质和性质。
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，具有非负性、规范性、可加性等性质。
条件概率描述了事件之间的关联性，而独立性则说明两个事件的发生互不影响。
01
随机变量是定义在样本空间上的实数函数，表示随机实验的结果。
THANKS
统计分析方法
MATLAB软件概述
01
介绍MATLAB的发展历程、主要功能和特点，以及与其他数学软件的比较。
MATLAB基本操作
02
介绍MATLAB的基本操作命令和语法规则，包括变量定义、矩阵运算、函数编写等。
MATLAB在数学建模中的应用
03
通过实例演示如何使用MATLAB进行数学建模、数值计算和图形绘制等操作，包括求解线性代数方程组、计算微积分、绘制三维图形等。
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。