2020年浙江高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：5.3 正弦、余弦定理及解三角形 Word版含解析
5.3正弦、余弦定理及解三角形挖命题【考情探究】分析解读 1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.2.高考命题仍会以三角形为载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识.3.预计2020年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一正弦、余弦定理1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,6)在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=()A.2B.3C.5D.10答案A2.(2018浙江嵊州高三期末质检,14)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,则sin A=,c=.答案;3考点二解三角形及其综合应用1.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,15)在锐角△ABC中,AD是BC边上的中线,若AB=3,AC=4,△ABC 的面积是3,则AD=.答案2.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.答案100炼技法【方法集训】方法有关三角形面积的计算1. (2018浙江杭州高三教学质检,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=3,sin C=2sin A,则sin A= ;设D为AB边上一点,且=2,则△BCD的面积为.答案;22.(2018浙江金华十校高考模拟(4月),18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA=sin(B-C)+2sin 2B,B≠.(1)证明:c=2b;(2)若△ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.解析(1)证明:由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为B≠,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)因为△ABC的面积S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,①所以a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入①得b2sin A=4b2cos A,∴tan A=4.过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一正弦、余弦定理(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=,c=.答案;3考点二解三角形及其综合应用1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.答案2.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B≠0,得sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.3.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.4.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以==.(2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.5.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以△ABC的面积S=acsin B=.评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正弦、余弦定理1.(2018课标全国Ⅱ理,6,5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2答案A2.(2017山东理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.答案4.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案5.(2018课标全国Ⅰ理,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.6.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得==.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标全国Ⅲ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A. B.C. D.答案C2.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1答案B3.(2018北京文,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是.答案;(2,+∞)4.(2015课标Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.答案(-,+)5.(2018天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos. (1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在△ABC中,由正弦定理可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos,即sin B=cos,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=.6.(2017课标全国Ⅲ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由题意知∠CAD=,∠BAD=,于是可求得的值,再由S△ABC=×4×2sin∠BAC=2得解.一题多解(2)1题多解1:由余弦定理得cos C=,在Rt△ACD中,cosC=,∴CD=,∴AD=,DB=CD=,∴S△ABD=S△ACD=×2××sin C=×=.1题多解2:∠BAD=,由余弦定理得cos C=,∴CD=,∴AD=,∴S△ABD=×4××sin∠DAB=.1题多解3:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在△ABE中,∠EAB=-=,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D为BC中点,∴S△ABD=S△ABC=××2×4×sin∠CAB=.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理1.(2017课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A. B. C. D.答案B2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案4.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.答案85.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案76.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案 17.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.答案8.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A 的值为.答案-9.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案 210.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.答案211.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.答案12.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.答案13.(2017山东文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为·=-6,所以bccos A=-6,又S△ABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.14.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系式与两角和(差)的三角函数,考查运算求解能力.15.(2016四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.解析(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A==.所以sin A==.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式. 16.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD===.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD===,sin∠BAD===.于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×-×=.在△ABC中,由正弦定理,得=,故BC===3.考点二解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3答案C2.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A3.(2017课标全国Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.答案75°4.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案 15.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,当A=时,△ABC的面积为.答案6.(2018北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.解析(1)在△ABC中,因为cos B=-,所以sin B==.由正弦定理得sin A==.由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=.(2)在△ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以AC边上的高为asin C=7×=.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.7.(2017课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsin B=,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c 的值,进而得出△ABC的周长.方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将csin B=变形为sin Csin B=.(2)三角形面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.(3)三角形的内角和为π.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=sin A.8.(2017课标全国Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.9.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.10.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.11.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求∠B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B===.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)(2)由(1)知∠A+∠C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因为0<∠A<,所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.12.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)证明:tan===.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+++=+.连接BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A. 则cos A===.于是sin A===.连接AC.同理可得cos B===,于是sin B===.所以tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.13.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B===,由题设知0<B<,所以cos B===.在△ABD中,由正弦定理得AD====.14.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2+≤.由此可知sin A+sin C的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.15.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.17.(2014大纲全国,17,10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135°.(10分)18.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD===3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.评析本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识;考查分析推理、运算求解能力.19.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A===-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.评析本题考查正、余弦定理,三角恒等变换等知识;考查基本运算求解能力;属容易题.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019届浙江名校协作体高三联考,3)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知A=45°,B=60°,b=,则a=()A. B. C. D.答案A2.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,8)在△ABC中,已知cos A=,cos B=,c=4,则a=()A.12B.15C.D.答案D3.(2018浙江镇海中学期中,10)若△ABC沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的△ABC 为“和谐三角形”,设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列条件不能够确定该△ABC为“和谐三角形”的是()A.A∶B∶C=7∶20∶25B.sin A∶sin B∶sin C=7∶20∶25C.cos A∶cos B∶cos C=7∶20∶25D.tan A∶tan B∶tan C=7∶20∶25答案B4.(2018浙江台州第一次调考(4月),7)在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sin C=2cos B,则()A.A=B.B=C.c= bD.c=2a答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)5.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,14)已知△ABC的面积为,∠A=60°,D是边AC上一点,AD=2DC,BD=2,则AB=,cos C=.答案2;6.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,A=60°,且△ABC外接圆的半径为,则a=,若b+c=3,则△ABC的面积为.答案3;7.(2018浙江名校协作体,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2b,sin C=,则sinB=;若2a2+b2+c2=4,则△ABC面积的最大值是.答案;8.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),14)设△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则=;tan B的最大值为.答案-3;三、解答题(共20分)9.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,18)如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cos∠ACB=,BC=13.(1)求cos B的值;(2)求CD的长.解析(1)在△ABC中,cos A=,A∈(0,π),所以sin A===.同理可得sin∠ACB=.所以cos B=cos[π-(∠A+∠ACB)]=-cos(∠A+∠ACB)=sin Asin∠ACB-cos Acos∠ACB=×-×=.(2)在△ABC中,由正弦定理得AB===20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在△BCD中,由余弦定理得CD===9.10.(2018浙江杭州二中期中,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.解析(1)∵tan C=,即=,∴sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,更多内容请到主页下载即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去),∴2C=A+B,∴C=.(2)由(1)知C=,故设A=α+,B=-α+,其中-<α<,外接圆半径为R,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B= (1-cos 2A)+ (1-cos 2B)==1+cos 2α.∵-<α<,∴-<2α<,∴-<cos 2α≤1, ∴<a2+b2≤.。
2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件正弦定理和余弦定理
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
[解析] 法一：因为 bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得 sin(B＋C)＝sin Asin A.
又 sin(B＋C)＝sin A，得 sin A＝1，
即 A＝π2，因此△ABC 是直角三角形．
法二：因为 bcos C＋ccos B＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝
22aa2＝a，所以 asin A＝a，即 sin A＝1，故 A＝π2，因此△ABC
是直角三角形．
[答案] B
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3.口诀第3、4句在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(2)若 cos B＝13，a＝3，求 c 的值． 解：由(1)可知 sin A＝ 23，
因为 cos B＝13，B 为△ABC 的内角，所以 sin B＝232，
5，则 AB＝
()
A．4 2
B. 30
C. 29
D．2 5
解析：在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－
2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×－35＝32， ∴AB＝ 32＝4 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝18，
①根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边 c；
已知两 边和它
2020年高考数学(理)一轮复习专题4.6 正弦定理和余弦定理(讲)(解析版)
专题4.6正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C常见变形(1)a ＝2RsinA，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .考点一利用正、余弦定理解三角形【典例1】【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝()A ．42 B.30C.29D ．25【答案】A【解析】∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－32，∴AB ＝4 2.【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a ①求角B 的大小；②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．【解析】①在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a a sin B ＝a即sin B ＝tan B ＝3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.②在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
浙江高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形5.6正弦定理和余弦定理课件
题组三 易错自纠 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<bcos A，则△ABC
为
√A.钝角三角形
C.锐角三角形
B.直角三角形 D.等边三角形
解析 由已知及正弦定理得sin C<sin Bcos A， ∴sin(A＋B)<sin Bcos A， ∴sin Acos B＋cos Asin B<sin Bcos A， 又sin A>0，∴cos B<0，∴B为钝角， 故△ABC为钝角三角形.
中，sina
A＝sin
a＋b－c A＋sin B－sin
.( C
√
)
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
123456
题组二 教材改编 2.[P10B组T2]在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为等腰三角 _形__或__直__角__三角形
. 解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，π所以2A＝2B或2A＝π－2B，
C＝
1 2acsin
B
＝
1 2bcsin
A
；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径).
【概念方法微思考】 1.在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B? 提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2.如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个 式子.
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 解 在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝3π， 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故 b＝ 7.
浙江省高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第8节 正弦定理和余弦定理及其应用(含解析)-人
第8节 正弦定理和余弦定理及其应用考试要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin __B ∶sin __C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sinC ＝c sin A ；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <ba ≥ba >ba ≤b[常用结论与易错提醒]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时出现一解、两解或无解的情况，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( )(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，A 为锐角，但B 、C 不一定为锐角，△ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.在△ABC 中，内角C 为钝角，sin C ＝35，AC ＝5，AB ＝35，则BC ＝( )A.2B.3C.5D.10解析 由题意知cos C ＝－45，设BC ＝x ，由余弦定理得(35)2＝52＋x 2－2×5x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，化简得x 2＋8x －20＝0，解得x 1＝2，x 2＝－10(舍去)，所以BC ＝2，故选A. 答案 A3.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形4.(2019·九江一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，且△ABC 的面积为3，则a 的值为________.解析 △ABC 中，由cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，得1－sin 2A －(1－sin 2B )＋sin 2C ＝sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3；由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴bc sin B sin C ＝a 2sin 2A ，即bc 14＝a 2sin2π3， 化简得a 2＝3bc ；又△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∴bc ＝4，∴a 2＝12，解得a ＝2 3. 答案 2 35.(2019·杭州质检)设a ，b ，c 分别为△ABC 的三边长，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则cos C ＝________；△ABC 的外接圆半径等于________.解析 由题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12，则sin C ＝1－cos 2C ＝32，则△ABC的外接圆的半径等于c 2sin C ＝733.答案 －12 7336.(2020·绍兴适应性考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .若cos A ＝13，b＝23c ，且△ABC 的面积是2，则b ＝________，sin C ＝________. 解析 由cos A ＝13得sin A ＝1－cos 2A ＝223，则△ABC 的面积为12bc sin A ＝12b ×3b 2×223＝2，解得b ＝2，则c ＝322，由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝322＝c ，所以sin A＝sin C ＝223.答案2 223考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A.4 2B.30C.29D.2 5(2)(2020·杭州四中仿真)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，△ABC 的面积为32.且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( )A.4＋2 3B.4－2 3C.3－1D.3＋1(3)(2019·浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上.若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos∠ABD ＝________.解析 (1)因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A.(2)由题意得△ABC 的面积为12ac sin B ＝12ac sin 30°＝32，解得ac ＝6，又由sin A ＋sin C ＝2sin B 结合正弦定理得a ＋c ＝2b ，则由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －3ac ＝4b 2－12－63，解得b ＝3＋1，故选D.(3)如图，易知sin C ＝45，cos C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得BDsin C＝BCsin ∠BDC，∴BD ＝BC ·sin Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(C ＋∠BDC )] ＝sin(C ＋∠BDC )＝sin C ·cos ∠BDC ＋cos C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210. 答案 (1)A (2)D (3)1225 7210规律方法 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时需判断其解的个数，用余弦定理时可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【训练1】 (1)在△ABC 中，已知A ＝30°，AB ＝2，BC ＝6，则cos∠ACB ＝________，AC ＝________.(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 (1)根据正弦定理BC sin A ＝AB sin∠ACB ，可得sin∠ACB ＝66，故cos∠ACB ＝306，又因为cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋AC 2－（6）22×2×AC ＝32，所以AC ＝3＋ 5.(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.答案 (1)3063＋ 5 (2)2113考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状变式迁移【例2】 (经典母题)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形. 答案 B【变式迁移1】 (一题多解)将本例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形解析 法一 由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .法二 由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .答案 B【变式迁移2】 (一题多解)将本例条件变为“若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ”，试确定△ABC 的形状.解 法一 利用边的关系来判断： 由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又∵a 2＋b 2－c 2＝ab .∴2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形. 法二 利用角的关系来判断：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )，又∵2cos A sin B ＝sin C ， ∴2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0， 又∵A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B . 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形.规律方法 (1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 (2020·北仑中学模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 是三个内角A ，B ，C 对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求A 的大小；(2)若sin B sin C ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由.解 (1)在△ABC 中，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由已知得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B .由sin B sin C ＝34，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝34，即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34，∴32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， ∴34sin 2B ＋14(1－cos 2B )＝34， 即32sin2B －12cos 2B ＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1.又∵0＜B ＜2π3，∴－π6＜2B －π6＜7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3，C ＝23π－B ＝π3，∴△ABC 是等边三角形. 考点三 三角形面积问题【例3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝2，A ≠B . (1)求a sin A －b sin Bsin （A －B ）的值；(2)若△ABC 的面积为1，且tan C ＝2，求a ＋b 的值. 解 (1)∵c ＝2， ∴a sin A －b sin B sin （A －B ）＝a sin A －b sin Bsin A cos B －cos A sin B＝a 2－b 2a cos B －b cos A＝a 2－b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac －b ×b 2＋c 2－a 22bc＝c （a 2－b 2）a 2－b 2＝2.(2)∵ tan C ＝sin C cos C ＝2，且sin 2C ＋cos 2C ＝1，C ∈(0，π)，∴sin C ＝255，cos C ＝55.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ×255＝1，∴ ab ＝ 5.由余弦定理有cos C ＝55＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－425，∴a 2＋b 2＝6.∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝6＋25，∴ a ＋b ＝5＋1. 规律方法 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】 (2020·嘉兴测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知2b －ca＝cos Ccos A. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝14，b ＋c ＝42，求△ABC 的面积. 解 (1)根据正弦定理，得2b －c a ＝cos C cos A ⇔2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A， 整理得2sin B cos A ＝cos C sin A ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，而A ＋C ＝π－B ，所以2sin B cos A ＝sin B ， 又sin B ≠0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(2)根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， 又a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，故(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，解得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×sin π3＝332.考点四 与三角形有关的最值(范围)问题 多维探究角度1 利用不等式求解【例4－1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B ＝2c sinC ，则角C 的最大值为________；若c ＝2a ＝2，则△ABC 的面积为________.解析 由正弦定理得a 2＋b 2＝2c 2，又由余弦定理得a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2－2ab cos C )，即4ab cos C ＝a 2＋b 2≥2ab ，cos C ≥12，所以0<C ≤π3，即C 的最大值为π3；又c ＝2a ＝2，则由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－（2c 2－a 2）2ac ＝－12，故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32.答案π3 32角度2 利用函数性质求解【例4－2】 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝2B ，则cb的取值范围是________.解析 由C ＝2B 得A ＝π－C －B ＝π－3B ，因为△ABC 为锐角三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧C ＝2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ＝π－3B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，则在△ABC 中，由正弦定理得c b ＝sin C sin B ＝2sin B cos Bsin B ＝2cos B ∈(2，3).答案 (2，3) 角度3 利用图形求解【例4－3】 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 为BC 边上一点且BD ＝1，E ，F 分别为边CA ，AB 上的点(不包括端点)，则△DEF 周长的最小值为________，此时△BDF 的面积为________.解析 设D 关于直线AB 的对称点为M ，关于AC 的对称点为N ，连接MN ，分别与AB ，AC 交于点F ，E ，则△DEF 周长的最小值为MN .∵D 为BC 的三等分点，等边△ABC 边长为3， ∴DM ＝2DP ＝3，DN ＝2DQ ＝23， 又∠MDN ＝120°， ∴MN ＝3＋12－2·3·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21. 由Rt△DPF 与Rt△MPF 全等，∴DF ＝MF . 在△MDN 中，DM ＝3，DN ＝23，MN ＝21， 由余弦定理可得cos M ＝27. DF ＝MF ＝32×72＝214. 在Rt△DPF 中，DP ＝32，DF ＝214， ∴PF ＝34.又BP ＝12，∴△BDF 的面积S ＝12BF ×DP ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋34×32＝5316.答案215316规律方法 解决与三角形有关的最值(范围)问题，主要根据题设条件，借助基本不等式、函数的性质求解，有时还需要数形结合寻找解题思路.【训练4】 (1)(角度1)(2020·浙江名校新高考研究联盟三联)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acos A ＝3b sin B，△ABC 的面积S ＝3，则A ＝________；a 的最小值为________.(2)(角度2)(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；ca的取值范围是________. (3)(角度3)在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，点D 在线段BC 上，且BD ＝2DC ，则AD 的最大值是________.解析 (1)因为a cos A ＝3bsin B，所以由正弦定理可得3cos A ＝sin A ，即tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.因为△ABC 的面积为S ＝3＝12bc sin A ＝34bc ，所以bc ＝4.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝4，所以a ≥2，当且仅当b ＝c ＝2时，a 取最小值2.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<B <90°，所以B ＝60°.因为C 为钝角，所以0°<A <30°，所以0<tan A <33，所以c a ＝sin Csin A＝sin （120°－A ）sin A ＝sin 120°cos A －cos 120°sin A sin A ＝32tan A ＋12>2，故ca的取值范围为(2，＋∞).(3)设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则由正弦定理得OA ＝OB ＝OC ＝BC2sin A ＝3，又因为∠BOC＝2∠BAC ＝2π3，所以∠OBC ＝12(π－∠BOC )＝π6，则在△BOD 中，由余弦定理得OD 2＝BO 2＋BD2－2BO ·BD cos∠OBC ＝(3)2＋22－2×3×2cos π6＝1，所以OD ＝1，则AD ≤AO ＋OD ＝3＋1，当且仅当A ，O ，D 三点共线时等号成立，所以AD 的最大值为3＋1. 答案 (1)π32 (2)60° (2，＋∞) (3)3＋1基础巩固题组一、选择题1.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B ＝( )A.π3 B.5π6 C.π6或5π6D.π6解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得 sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6.答案 D2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4B.π3C.π4D.π6解析 在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π4，故选C.答案 C3.(一题多解)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A.30° B.45° C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C.法二 由正弦定理得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，sin C ＝32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C4.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.答案 C5.在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形. 答案 B6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充要条件. 答案C 二、填空题7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°8.(2020·上海嘉定区质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________.解析 因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac ，即a 2＋c 2－b 22ac ＝－12＝cos B ，所以B ＝2π3，故填2π3.答案2π39.(2019·杭州二中模拟)在三角形ABC 中，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，0＜A ＜π4，AC ＝5，AB ＝3，则sin A 的值为________，BC 的长为________.解析 因为0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝210，所以sin A ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4·sin π4＝7210×22－210×22＝35.所以cos A ＝45.所以BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ＝25＋9－24＝10，所以BC ＝10. 答案 351010.(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________. 解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC ＝sin∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin∠ABC ＝154，cos∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos∠DBC ＝－cos∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理得cos∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.答案152104三、解答题11.(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求A ；(2)求AC 边上的高.解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2<B <π，所以0<A <π2.所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.12.在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC ＝60°，求B . 解 (1)由正弦定理得AD sin B ＝BD sin∠BAD ，AD sin C ＝DCsin∠CAD.因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以 sin B sin C ＝DC BD ＝12. (2)因为C ＝180°－(∠BAC ＋B )，∠BAC ＝60°，所以 sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32cos B ＋12sin B . 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33， 即B ＝30°.能力提升题组13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且sin B ＝3cosC ，则下列结论中正确的是( )A.A ＝π6B.c ＝2aC.C ＝π2D.△ABC 是等边三角形解析 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3.由sin B ＝3cos C ，得sin B ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝－32cos B ＋32sin B ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝0，又0<B <2π3，所以B ＝π3，所以△ABC 是等边三角形，故选D. 答案 D14.(一题多解)(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β解析法一如图①，设圆心为O，连接OA，OB，OP.①∵∠APB＝β，∠AOB＝2β，∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB＝12×2×2sin ∠AOP＋12×2×2sin ∠BOP＋12×2β×22＝2sin ∠AOP＋2sin ∠BOP＋4β＝2sin ∠AOP＋2sin(2π－2β－∠AOP)＋4β＝2sin ∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β＝2sin ∠AOP－2(sin 2β·cos ∠AOP＋cos 2β·sin ∠AOP)＋4β＝2sin ∠AOP－2sin 2β·cos ∠AOP－2cos 2β·sin ∠AOP＋4β＝2(1－cos 2β)sin ∠AOP－2sin 2β·cos ∠AOP＋4β＝2×2sin2β·sin ∠AOP－2×2sin β·cos β·cos ∠AOP＋4β＝4sin β(sin β·sin ∠AOP－cos β·cos ∠AOP)＋4β＝4β－4sin β·cos(β＋∠AOP).∵β为锐角，∴sin β>0.∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sin β. 故选B.法二如图②，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP.②∵∠APB ＝β，∴∠AOB ＝2β. ∵弓形AmB 的面积是定值，∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP 面积最大. ∵△ABP 底边AB 长固定，∴只要△ABP 的底边AB 上的高最大即可. 由图可知，当AP ＝BP 时，满足条件， 此时S 阴影＝S 扇形AOB ＋S △AOP ＋S △BOP ＝12×2β·22＋2×12×22·sin 2π－2β2 ＝4β＋4sin β.这就是阴影区域面积的最大值.故选B. 答案 B15.若不等式k sin 2B ＋sin A sinC >19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________.解析 由正弦定理得kb 2＋ac >19bc ，即k >19bc －ac b2， ∴k >⎝⎛⎭⎪⎫19bc －ac b 2max，因为c <a ＋b ，所以19bc －ac b 2＝（19b －a ）c b 2<（19b －a ）（a ＋b ）b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －92＋100≤100，因此k ≥100，即k 的最小值为100. 答案 10016.(2019·浙江新高考仿真卷二)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A＝________；tan B 的最大值为________.解析 在△ABC 中，由正弦定理和余弦定理得tan C tan A ＝cos A sin C cos C sin A ＝c 2＋b 2－a 22bc ·c a 2＋b 2－c 22ab·a ＝c 2＋b 2－a 2a 2＋b 2－c2，又因为a 2＋2b 2＝c 2，所以tan C tan A ＝a 2＋2b 2＋b 2－a2a 2＋b 2－（a 2＋2b 2）＝－3.tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A ·tan C ＝－tan A －3tan A 1－tan A ·（－3tan A ）＝2tan A 1＋3tan 2A ，由a 2＋2b 2＝c 2得角A 为锐角，则tan A >0，则tan B ＝21tan A＋3tan A ≤221tan A·3tan A ＝33，当且仅当tan A ＝33时等号成立，所以tan B 的最大值为33. 答案 －33317.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围. 解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 又由(1)知A ＋C ＝120°， 故由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32.18.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2，2cos 2B ＋C2＋sin A ＝45. (1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值. 解 由2cos2B ＋C2＋sin A ＝45，得1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45，即sin A －cos A ＝－15， 又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有cos A ＝45，sin A ＝35.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，当a ＝b sin A 时，有2＝35b ，∴b ＝103，当a ≥b 时，0＜b ＜2.则b 的取值范围为(0，2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103.(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A(sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ]＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到. 此时b ＝asin Asin B ＝10.。
2020年浙江高三数学总复习：正弦定理和余弦定理 复习讲义
第一节 正弦定理和余弦定理一、正弦定理正弦定理内容:sin a A =sin b B =sin cC=2R(R 为△ABC 外接圆半径). 变形形式:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. ②sin A=2a R ,sin B=2b R ,sin C=2c R . ③a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④sin a A =sin sin a b A B ++=sin sin sin a b c A B C++++.1.概念理解(1)正弦定理主要解决两类三角形问题:①知两角和一边;②知两边和其中一边所对应的角.在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况. (2)正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A 和sin A=2a R 是表达式变形中常用公式,在统一角度或统一长度上发挥作用. 2.与正弦定理有关的结论(1)三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2)在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:二、余弦定理余弦定理内容:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A, b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B,c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C.变形形式:cos A=2222b c a bc +-,cos B=2222a c b ac+-,cos C=2222a b c ab+-.1.概念理解(1)余弦定理解决两类三角形问题:一是知两边及其夹角的三角形,二是知三边的三角形.(2)利用余弦定理来解决三角形问题时,要注意角的取值范围.通常求解三角形的内角度数时,不是解该角的正弦,而是解该角的余弦. 2.与余弦定理有关的结论 由cos A=2222bc a bc+- (设A 为最大内角)若b 2+c 2>a 2,则该三角形为锐角三角形. b 2+c 2=a 2,则该三角形为直角三角形. b 2+c 2<a 2,则该三角形为钝角三角形.1.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B 等于( A ) (A)π6 (B)π3(C)2π3 (D)5π6 解析:由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B, 所以sin Bsin(A+C)=12sin B. 因为sin B ≠0,所以sin(A+C)= 12,即sin B=12,所以B=π6或5π6.又因为a>b,所以A>B, 所以B=π6.故选A.2.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( B ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定解析:由正弦定理得sin B ·cos C+sin C ·cos B=sin 2A, 所以sin(B+C)=sin A=sin 2A. 因为sin A ≠0,所以sin A=1. 即A=π2. 所以三角形为直角三角形.故选B.考点一 利用正弦定理解三角形 【例1】 (1)在△ABC 中°,求角A,C 和边c.(2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若求角A 的大小.解:(1)由正弦定理sin a A =sin b B ,得sin A=sin a B b,所以A=60°或120°. ①当A=60°时,C=75°,由sin a A =sin c C ,得c=sin sin a C A ⋅=2·sin 75°②当A=120°时,C=15°,c=2·sin 15°(2)由A+C=2B,A+C+B=180°得B=60°.=1sin A, 所以sin A=12.所以A=30°或150°. 又因为b>a, 所以B>A. 所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1)注重条件和图形的结合;(2)知两边及一边对应的角时,要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角,再利用“大边对大角”的条件排除; (3)正弦定理的变形公式.1.(2017·山东卷)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( A ) (A)a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D)B=2A解析:因为等式右边=sin Acos C+(sin Acos C+cos Acos C) =sin Acos C+sin(A+C)=sin Acos C+sin B,等式左边=sin B+2sin Bcos C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B. 由cos C>0,得sin A=2sin B, 根据正弦定理,得a=2b,故选A. 2.在△ABC 中,B=60°则AB+2BC 的最大值为 .解析:在△ABC 中,由正弦定理得sin AB C =sin BCA 所以AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120°-A)+4sin Aϕ),其中,tan ϕ,又因为A ∈(0°,120°), 所以最大值为答案考点二 利用余弦定理解三角形【例2】 若△ABC 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足(a+b)2-c 2=4,且C=60°,则ab 的值为( ) (A)43 (C)1 (D)23解析:由已知得a 2+b 2-c 2+2ab=4,由于C=60°,所以cos C=2222a b c ab +-=12,即a 2+b 2-c 2=ab,因此ab+2ab=4,ab=43,故选A.利用余弦定理解三角形:一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时,考虑使用余弦定理.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .解析:依题意作出图形,如图所示.则sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则cos ∠ABC=14,sin ∠所以S △BDC =12BC ·BD ·sin ∠DBC=12×2×2因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC =2222BD BC CD BD BC+-⋅=288CD -=-14, 所以.由余弦定理,得cos ∠答案考点三 正、余弦定理的综合应用【例3】 设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c, 已知()sin a bA B ++=sin sin a c AB --.(1)求角B;(2)若,求△ABC 的面积.解:(1)因为()sin a bA B ++=sin sin a c AB --,所以a b c+=a ca b --, 所以a 2-b 2=ac-c 2, 所以cos B=2222ac b ac +-=2ac ac =12, 又因为0<B<π,所以B=π3.(2)由可得由sin a A =sin b B可得a=2, 而sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B,所以△ABC 的面积S=12.(1)利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理.(2)对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A .(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12acsin B=23sin a A ,即12csin B=3sin aA . 由正弦定理得12sin Csin B=sin 3sin A A , 故sin Bsin C=23. (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12, 即cos(B+C)=-12. 所以B+C=2π3,故A=π3. 由题设得12bcsin A=23sin a A ,即bc=8,由余弦定理得b 2+c 2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9, 得故△ABC 的周长为类型一 利用正弦定理解三角形1.△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若,则c等于( B )(B)2解析:由已知及正弦定理得1sin A ,所以cos,A=30°.B=60°,C=90°,c 2=a 2+b 2=4,所以c=2.故选B. 2.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边,向量p=(1,-sin B),p ∥q,且bcos C+ccos B=2asin A,则C 等于( A ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 解析:因为p ∥q,所以cosB=sin B,即得tan ,所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin 2A, 即sin A=sin(B+C)=2sin 2A, 又由sin A ≠0,得sin A=12, 所以A=30°,C=180°-A-B=30°.故选A. 类型二 利用余弦定理解三角形3.在△ABC 中,已知b 2+c 2=bc+a 2,则角A= . 解析:由已知得b 2+c 2-a 2=bc,于是cos A=2222b c a bc +-=2bc bc =12.所以A=60°. 答案:60°4.若锐角△ABC 的面积为,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .解析:设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12得因为A 为锐角,所以A=60°,cos A=12. 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=64+25-2×40×12=49,故a=7,即BC=7.答案:7类型三 正弦定理和余弦定理的综合应用5.在△ABC 中,∠B=120°∠BAC 的角平分线,则AC 等于( D )(C)2解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得sin ∠ADB=sin AB BAD ∠.由题意知0°<∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°, 所以∠BAC=2∠BAD=30°,所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°,所以于是由余弦定理, 得故选D.。
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第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理2．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题体验]1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C. 3 D． 2解析：选D由正弦定理，得b＝a sin Bsin A＝2212＝ 2.2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π3B.π4C.π6D.π12答案：A3．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案：431．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． [小题纠偏]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A ．60°B ．150°C ．30°或150°D ．30° 解析：选D ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233， ∴由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3解析：选C 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4. 又b ＜c ，∴b ＝2.考点一 利用正、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·兰州实战考试) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A ．24B ．－24C ．34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24，故选B.2．(2018·“超级全能生”联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2b .若sin C ＝34，则sin B ＝________；若b 2＋bc ＝2a 2，则cos B ＝________.解析：因为c ＝2b ，所以sin C ＝2sin B ＝34，所以sin B ＝38.因为c ＝2b ，所以b 2＋bc ＝3b 2＝2a 2，所以a ＝62b . 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32b 2＋4b 2－b 226b 2＝368.答案：38 368[由题悟法](1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解：(1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝3，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3， ∴c ＝2a ＝2 3.考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·贵阳监测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a2c ，则△ABC 的形状一定是________．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，所以A ＝2π3. (2)由(1)得，sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝32cos B ＋12sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝1， 因为0＜B ＜π3，所以B ＋π3＝π2，即B ＝π6，C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[类题通法]判定三角形形状的2种常用途径[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．[即时应用]1．(2019·平湖模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形解析：选C 因为a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，由正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理可得cos C ＜0，所以C ＞π2.所以△ABC 是钝角三角形．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝ac ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．考点三 与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·“七彩阳光”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，且c cos A ＋b cos C ＝b .(1)判断△ABC 的形状； (2)若C ＝π6，求△ABC 的面积．解：(1)因为c cos A ＋b cos C ＝b ，由正弦定理可得sin C cos A ＋sin B cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin B cos C ＝sin A cos C ， 故有cos C ＝0或sin A ＝sin B .当cos C ＝0时，C ＝π2，所以△ABC 是直角三角形；当sin A ＝sin B 时，a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形． (2)由(1)知，c ＝2，a ＝b ，因为C ＝π6，所以由余弦定理可得4＝a 2＋a 2－2a 2cos π6，解得a 2＝8＋4 3.所以△ABC 的面积S ＝12a 2sin π6＝2＋ 3.[由题悟法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时应用](2018·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知B ≠π2，sin A ＝sin(B －C )＋2sin 2B .(1)求证：c ＝2b ；(2)若△ABC 的面积为S ＝5b 2－a 2，求tan A 的值． 解：(1)证明：由sin A ＝sin(B －C )＋2sin 2B ， 得sin(B ＋C )＝sin(B －C )＋4sin B cos B ， 化简可得cos B sin C ＝2sin B cos B . 因为B ≠π2，所以sin C ＝2sin B .所以c ＝2b .(2)因为△ABC 的面积为S ＝5b 2－a 2， 所以12bc sin A ＝5b 2－a 2.因为c ＝2b ， 所以b 2sin A ＝5b 2－a 2.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝5b 2－4b 2cos A ，所以b 2sin A ＝4b 2cos A ， 解得tan A ＝4.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·绍兴模拟)在△ABC 中，已知内角C 为钝角，sin C ＝35，AC ＝5，AB ＝35，则BC ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．10解析：选A 由题意知，cos C ＝－45.由余弦定理，得－45＝25＋BC 2－4510BC，解得BC ＝2(负值舍去)．2．(2019·台州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积S ＝25cos C ，a ＝1，b ＝25，则c ＝( )A.15B.17C.19D.21解析：选B 由题意得，S ＝12ab sin C ＝25cos C ，所以tan C ＝2，所以cos C ＝55，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝17，所以c ＝17.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)，故BC 边上的高为AB sin 60°＝332. 4．(2018·杭州二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当a ＝1时，△ABC 的面积S ＝________.解析：由正弦定理可知，a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，由余弦定理可得cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14，所以sin C ＝154.因为a ＝1，所以b ＝32，所以S ＝12ab sin C ＝31516.答案：－14 315165．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：在△ABM 中，由正弦定理得BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：63二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·温州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，∴由正弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－bc .由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B sin C＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.4．(2018·浙江三地市联考)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A＝2B ，则ab的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，3)C ．(2，3)D ．(0,2)解析：选C 因为A ＝2B ，所以π6＜B ＜π4.由正弦定理，得a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)．5．(2019·天台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，3sin B ＝2sin C ，且△ABC 的面积为22，则a ＝( )A ．2 3B ．3C ．2D ． 3解析：选B 因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.因为3sin B ＝2sin C ，所以3b ＝2c .所以S △ABC ＝22＝12bc sin A ＝34b 2×223，解得b ＝2，所以c ＝3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝4＋9－2×2×3×13＝9，解得a ＝3.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．(2019·余姚中学模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________.解析：由正弦定理可得，2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝2cos A sin A ＝sin A ，所以cos A ＝12，解得A ＝π3.因为S △ABC ＝33＝12bc sin A ＝34bc ，所以bc ＝12.由余弦定理可得，13＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，所以(b ＋c )2＝49，解得b ＋c ＝7.答案：π378．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，即BC sin A ＝AB sin C ＝2，则BC ＝2sin A ，AB ＝2sin C ，又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋3，故△ABC 的周长的最大值为3 3.答案：3 39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.10．(2019·湖州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C .(1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值．解：(1)因为(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ， 由正弦定理，得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由A ＝π3，得B ＋C ＝2π3，所以3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －⎝⎛⎭⎫－12cos B ＋32sin B＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6， 当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 的最大值为1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·嘉兴模拟)已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A＝________，tan B 的最大值为________． 解析：因为a 2＋2b 2＝c 2＞a 2＋b 2，所以C 为钝角．所以tan C tan A ＝sin C cos A cos C sin A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2＝3b 2－b 2＝－3. 所以tan C ＝－3tan A ，则tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝2tan A 1＋3tan 2A＝21tan A＋3tan A ≤223＝33， 当且仅当tan A ＝33时取等号， 故tan B 的最大值为33. 答案：－3 332．(2019·杭州名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c .已知2c cos B ＝2a －b .(1)求角C 的大小；(2)若⎪⎪⎪⎪CA ―→－12CB ―→ ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)因为2c cos B ＝2a －b ，所以2sin C cos B ＝2sin A －sin B ＝2sin(B ＋C )－sin B ，化简得sin B ＝2sin B cos C ，因为sin B ≠0，所以cos C ＝12. 因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.(2)取BC 的中点D ，则⎪⎪⎪⎪CA ―→－12CB ―→＝|DA ―→|＝2. 在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ，即有4＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－ab 2≥2 a 2b 24－ab 2＝ab 2， 所以ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤23， 所以△ABC 面积的最大值为2 3.。