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中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31 .解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝131312222++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】321：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q 分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )．A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=．【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影．答案选D. 3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ， ∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ． ∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ．（1）求弧BE 所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（AB）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°，所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048= 3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，∴S△OCD=12DC•OD=12×23×2=23，则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=8-233π．【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

部编数学九年级上册专题13正多边形与圆、弧长和面积公式(热考题型)解析版含答案

专题13 正多边形与圆、弧长和面积公式【思维导图】◎考点题型1 正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）例．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n 边形的边数n 等于（）A ．12B ．10C ．8D ．6变式1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，点M 在»AB 上，则CME Ð的度数为（）A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC 、OD 、OE ，如图所示：变式2．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图，,AB BC 和AC 分别为O e 内接正方形，正六边形和正n 边形的一边，则n 是（）．A ．六B ．八C ．十D ．十二【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．变式3．（2022·河南信阳·九年级期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（）A．B．4C．D．2【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题关键．◎考点题型2 弧长设的半径为，圆心角所对弧长为，弧长公式：（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）例．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）A ．4π米B ．6π米C ．8π米D ．12π米变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在扇形OAB 中，100,9AOB OA Ð=°=，将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长为（结果保留p ）（）A ．pB ．2pC ．3pD ．4p【答案】B根据折叠的性质知，OB =DB ．又∵OD =OB ，∴OD =OB =DB ，即△ODB 是等边三角形，∴∠DOB =60°．∵∠AOB =100°，∴∠AOD =∠AOB -∠DOB =40°，变式2．（2021·浙江金华·九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB C ¢¢，则 ¼BB¢ 的长为（）A ．pB ．2pC ．7D ．6【答案】A 【分析】利用格点可知∠BAB ′＝45°，再利用弧长公式，可求出弧¼BB¢的长．变式3．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和»BC的长分别为（）A ．4，3pB ．πC ．43pD ．2πQ 六边形ABCDEF 为正六边形，360606BOC °\Ð==°，故选：D．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出OM是解决问题的关键．◎考点题型3 扇形面积扇形面积公式：例．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（）A．9p B．12p C．13.5p D．15p变式1．（2021·湖北恩施·一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（）A ．43p -B ．23p -C ．43p -D ．23p变式2．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）如图，点A ，B ，C 是O e 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB Ð=°，过点O 作OD AB ∥交O e 于点D ．连接,AD BD ，已知O e 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2pB ．3pC ．4pD ．23p变式3．（2022·广东河源·二模）如图，已知平行四边形ABCD ，以B 为圆心，AB 为半径作»AE 交BC 于E ，然后以C 为圆心，CE 为半径作»EF 交CD 于F ，若5AD =，3FD =，60B Ð=°，则阴影部分的面积为（）A ．4324pB ．3pC ．596pD ．12p【答案】B【分析】根据平行四边形的性质和题意可设AB =CD =BE =x ，CE =CF =x -3，则BE +CE =BC =AD =5，求出x 的值，再根据扇形面积公式求解即可．◎考点题型4求圆心角例．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°变式1．（2021·山东泰安·期中）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，则这三个扇形的圆心角的度数为（）A ．80120160°°°、、B ．60120180°°°、、C ．50100150°°°、、D ．306090°°°、、【答案】A 【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，可得这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，可设这三个扇形的圆心角的度数分别为2,3,4x x x ，从而得到234360x x x ++=°，即可求解．【详解】解：∵一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，∴这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，设这三个扇形的圆心角的度数分别为2,3,4x x x ，根据题意得：234360x x x ++=°，解得：40x =°，∴这三个扇形的圆心角的度数分别为80,120,160°°°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4是解题的关键．变式2．（2021·福建师范大学附属中学初中部九年级期中）已知扇形半径是9cm ，弧长为4πcm ，则扇形的圆心角为（）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点,,A B C 在半径为6的O e 上，劣弧»AB 的长为2p ，则ACB Ð的大小是（）A ．20oB ．30oC ．45oD ．60o【答案】B 【分析】连接,OA OB ，利用同弧圆心角与圆周角的关系，需求∠AOB 即可，利用AB 弧长与弧长公式即可例．（2021·广东·江东镇初级中学一模）一个钟表的时针长10厘米，在中午12时到下午3时，时针的针尖划过的弧长是（）厘米．A．2.5p B．5p C．25p D．50p变式1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）如图，菱形ABCD的边长为3，60Ð=°，将BAD菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使得点B 与点D 重合，点D 和点C 的对应点分别为点E ，F ，则点C 的运动路径弧CF 的长为（）A B ．2p C ．D ．4p Q 菱形ABCD 的边长为3,//AD AB CD\=120ADC \Ð=°60ADO \Ð=°变式2．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，在扇形纸片AOB 中，12OA =，30AOB Ð=°，OB 在桌面内的直线l 上，现将此扇形沿l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA 落在l 上时，停止旋转．则点O 所经过的路线长为（）A ．12pB ．13pC ．14pD ．105p +-变式3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，1AC =．将ABC D 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A B C ¢¢；则点B 转过的路径长为（）A ．3pB ．23pCD ．p◎考点题型6 求扇形扫过的面积例．（2022·内蒙古包头·模拟预测）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°至A BC ¢¢△的位置，则边BA 扫过的面积是（）A ．3pB ．23pC ．43pD ．83p变式1．（2022·四川·一模）如图，已知»AB 所在圆的半径为4，弦AB 长为C 是»AB 上靠近点B 的四等分点，将»AB 绕点A 逆时针旋转120°后得到¼AB ¢，则在该旋转过程中，线段CB 扫过的面积是（）A．83pB．163pC．πD．323p变式2．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A¢，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A ．B ．6C ．43pD ．83p变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为»BD，则图中阴影部分的面积为（）A ．143π－6B ．259πC ．338π－3D π【答案】B【分析】对图形进行分析，可得所求阴影面积等于扇形DAB 的面积，从而计算扇形面积即可．【详解】ADE ABCDAB S S S S =+-V V 阴影扇形ADE ABC S S =V V Q ，DAB S S \=阴影扇形，例．（2022·河北唐山·二模）如图，△ABC 内接于⊙O ，若45A Ð=°，⊙O 的半径r =4，则阴影部分的面积为（）A ．4pB ．2pC ．48p -D ．416p -变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A ．23pB ．23pC ．43p -D ．43p∵∠AOB=2×360 12°变式2．（2022·云南·双柏县教师进修学校二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝()A．π－8B．16π－8C．4π－8D．16π－4变式3．（2021·山东临沂·模拟预测）如图，点A 、B 、C 在O e 上，若45BAC Ð=°，2OC =，则图中阴影部分的面积是（）A ．2p -B ．4p -C ．213p -D ．223p -◎考点题型8 求不规则图形的面积例．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，以BC 为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A．9B．6C．3D．12【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）A 4pB ．pCD 2p变式2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB 的半径为3，沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在»AB 上的点C 处，图中阴影部分的面积为（）A ．3π-B ．3πC ．2π-D ．6π【答案】B 【分析】根据折叠，ACB AOB ≌△△，进一步得到四边形OACB 是菱形；进一步由3OC OB BC ===得到OBC V 是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB 面积-菱形的面积，即可【详解】依题意：ACB AOB ≌△△，3AO BO ==∵3OC OB ==∴3OC OB BC ===变式3．（2022·山东省实验初级中学模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于点E ．则图中阴影部分的面积为（）A ．8p-B ．4p +C ．6p -D ．3p+Q 四边形ABCD 为正方形，且边长为AB BC CD AD \===◎考点题型9 求圆锥的侧面积母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

鲁教版初三(上)数学：正多边形与圆,带答案

正多边形与圆1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。

第27章圆与正多边形知识点整理

第27章圆与正多边形【考点清单】一、基本概念及性质1.不在同一直线上的三点确定一个圆；2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；3.圆是中心对称图形，对称中心是圆心；4.在平面上，经过给定两点的圆有无数个，这些圆的圆心联结这两点的线段的垂直平分线上；5.三角形的外心是这个三角形的外接圆的圆心；6.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，都等于这个外接圆的半径；7.直角三角形的外心在斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部；8.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心；9.三角形的内心到三角形的三边的距离相等；10.基本概念：弧、弦、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等圆、同心圆、切线、割线、圆心距（线段）、连心线（直线）；正多边形的半径、边心距、中心角；11.等弧：能够重合的两条弧称为等弧。

（长度相等的弧不一定是等弧。

）12.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

13.正n边形（n≥3）：正n边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；当n为奇数时，正n边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，最小旋转角=360/n 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形；正n边形的内角和：180（n-2）一个内角180（n-2）/n 或者180-（360/n）外角和360°一个外角360°/n每一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆14.点与圆的位置关系（d——点和圆心的距离）15.直线与圆的位置关系（d——圆心到直线的距离）Ex R取何值，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？R=1，AO取何值时，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？16.圆与圆的位置关系（d——两圆心之间的距离）图形两圆的位置关系d、R1、R2之间的关系图形两圆的位置关系d、R1、R2之间的关系同心圆d=0二、尺规作图17.作一个圆的圆心：任取非平行的两条弦，作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即圆心；18.三角形的外心：作任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即三角形的外心；19.三角形的内心：作三角形的任意两个内角的平分线，这两条角平分线的交点即三角形的内心；20.作一个圆的内接正三边形、四边形、六边形、八边形；三、计算21.圆中的相关计算：第一步：常添的辅助线：半径，弦心距，公共弦；第二步：用好垂径定理、四等定理、等腰三角形三线合一性质进行说理；第三步：抓住半径，半弦和弦心距构成的直角三角形OAD，运用勾股定理或三角比进行计算；22.圆中计算的几种类型：（1）已知半径OA，∠AOB，求OD、AB；利用三角比求OD、AD、AB；（2）已知AB和CD，求半径；设半径为R，则OD=R-CD，利用OA²=OD²+AD²求出R；（3）已知半径R和AC，求AB;利用两个直角三角形AD²=AO²-OD²AD²=AC²-CD²得AO²-OD²=AC²-CD²，设OD为x，得R²-x²=AC²-(R-x)²吗，求出x，最后利用勾股定理求AD，从而利用垂径定理得出AB；（4）求三个两两外切的圆的半径设元，根据R1+R2=d 列出方程求解。

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A图5圆的总结一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内点在圆上 d=r 点B 在圆上点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 d<r 3 圆与圆的位置关系:外离（图1）无交点外切（图2）相交（图3）内切（图4）内含（图5）无交点DBB ABA四垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五圆心角定理六圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形»»BC BD =»»AC AD =P即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

正多边形和圆(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第06讲正多边形和圆1. 了解正多边形和圆的有关概念；2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．知识点1 圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =. 知识点2 与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

知识点3正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

【题型1 正多边形与圆求角度】【典例1】（2023•青羊区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，∠ADB的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【变式1-1】（2023•惠水县一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（）A．10°B．12°C．20°D．22°【变式1-2】（2022秋•曲周县期末）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数等于（）A．45°B．60°C．35°D．55°【变式1-3】（2023•新市区校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150°B．144°C．135°D．120°【题型2正多边形与圆求线段长度】【典例2】（2023•龙港市二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（）A．2a B．C．D．【变式2-1】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB＝15°，则该正多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12【变式2-2】（2022秋•烟台期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．B．3C．D．【变式2-3】（2023•苏州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，过O作OM垂直AB，交AB于点M，则OM的长为．【题型3正多边形与圆求半径】【典例3】（2022秋•巩义市期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（）A．B．C．1D．【变式3-1】（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．【变式3-2】（2023•宜春一模）若正方形的边长为8，则其外接圆的半径是．【题型4正多边形与圆求面积】【典例4】（2022秋•呈贡区期末）正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（）A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．27πcm2【变式4-1】（2023•大冶市一模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）A．4m2B．12m2C．24m2D．24m2【变式4-2】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）A．πB．2πC．D．【变式4-3】（2023•济源一模）如图，正六边形ABCDEF，A（﹣2，0），D（2，0），点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F→A以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第2023秒时，△AOP的面积为（）A．B．C．D．1【题型5正多边形与圆求周长】【典例5】（2023•钦州一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（）A．5B．6C．30D．36【变式5-1】（2023春•余姚市期中）一个边长为1的正多边形的每个外角的度数是36°，则这个正多边形的周长是（）A．1B．10C．5D．【变式5-2】（2022秋•北辰区校级期末）边心距为3的正六边形的周长为（）A．18B．C．D．【变式5-3】（2022秋•河西区期末）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为10，求中间正六边形的周长．【题型6正多边形与直角坐标系综合】【典例6】（2023•西和县一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B 的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．D．【变式6-1】（2023•洛龙区一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）A．）B．C．D．【变式6-2】（2022秋•绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（）A．B．C．D．（2，4）1．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60°B．90°C．180°D．360°2．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．60°3．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE ﹣∠COD＝（）A．60°B．54°C．48°D．36°4．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（）A．9B．10C．11D．12 5．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）A．（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3）D．（2﹣2，2+）6．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG为（）A．3B．C．D．31．（2022秋•灵宝市期末）边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．B．2C．2D．4 2．（2023•梁溪区二模）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（）A．14°B．40°C．30°D．15°3．（2023春•汉寿县期末）若一个正多边形的一个内角的度数为144°，则这个正多边形的边数为（）A．7B．8C．9D．10 4．（2023•崆峒区校级三模）平凉市崆峒山塔群是研究院东地区砖石建筑艺术的宝贵实物资料，图①是位于崆峒山灵龟台西的灵秘塔，塔为石基砖砌身，呈六角六面四级阶状尖顶塔，图②是灵秘塔某层的平面示意图，若将其抽象为正六边形，则a的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．72°5．（2023•玉林一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1B．2C．3D．4 6．（2023•夏津县一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个7．（2023•咸宁模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF ⊥BC交⊙O于点F，则的长为（）A．πB．C．D．8．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME 的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．60°9．（2022秋•荔湾区校级期末）如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O 是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°10．（2022•思明区校级二模）如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：8 11．（2022•桐梓县模拟）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4B．C．D．12．（2023春•高邑县期末）定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为；（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为．（用含a的代数式表示）13．（2023•兴庆区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为．14．（2023•新城区校级二模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是，则正六边形的边长为．15．（2023•镇江一模）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的等边三角形△ABC，边长为3，若分别以顶点A、B、C为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖△ABC，则所作等圆的最小半径是．16．（2023•抚州一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有．。

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

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(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内n接边正形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形圆是的这外个切正n边形。
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判①定依，次即连：结圆的n(n≥3)等分点，
所得的多边形是正多迫形②；经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多．边。
（A）两角互余（B）两角互补（C）两角互余或互补（D）不能确定
6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）.（A）2：1 （B）1：2 （C） 3 : 4 （D） 3 : 2
7.正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为(
3
)A.
6
3
B.
4
23
C.
3
1
8.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为(
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为 r，边心距为 d)
（1）圆内接正三角形： d 1 r （2）圆内接正四边形： d 2 r （3）圆内接正六边形： d 3 r
2
2
2
6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长 x 的关系：
（1）圆内接正三角形： x 3r （2）圆内接正四边形： x 2r （3）圆内接正六边形：x=r
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
A
练习 1 正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
多边形和圆的初步认识知识讲解
复习：（1）n边形有______个顶点,_____条边,_____个内角.
（2）过n边形的每一个顶点有_______条对角线,n边形总共_________条对角线.
（3）n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割_______个三角形.
知识梳理 1、正多边形：_______相等，_______也相等的多边形是正多边形。
正三角形每个内角的度数为
，每个外角的度数为
；
正四边形每个内角的度数为
，每个外角的度数为
；
正五边形每个内角的度数为
，每个外角的度数为
；
正 n 边形每个内角的度数为
，每个外角的度数为
。
正多边形内角和为______________.正 n 边形的一个中心角的度数为：_________.正多边形的中心角与外角的大小________。
2
)A.正三角形 B.正方形 C.
正六边形 D.正十二边形
3
D.
3
9.已知正六边形的半径为 3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
10..正多边形的一个中心角为 36 度,那么这个正多边形的一个内角等于____ _______度.
11.．已知：如图 48-1，ABCD 为正方形，边长为 a，以 B 为圆心，以 BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（）.
1、在一个圆中，如果 60 的弧长是 π，那么这个圆的半径 r=_________.
2、正 n 边形的中心角的度数是_______. 3、边长为 2 的正方形的外接圆的面积等于________. 4、正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________. 5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）.
4
4
（A）（1-π）a2 （B）1-π（C）
（D）
a2
4
4
12.如图 24-3-2，两相交圆的公共弦 AB 为 2 3 ，在⊙O1 中为内接正三角形的一边，在⊙O2 中为内接正六边形的
一边，求这两圆的面积之比.
13..某正多边形的每个内角比其外角大 100°，求这个正多边形的边数.
-2-
E
K
练习 2.下列说法正确的是 A.平行四边形是正四边形 C.菱形是正四边形
B.矩形是正四边形 D.正方形是正四边形
（）
F
L
B
C
GH
练习 3.在等边三角形 ABC 中，E、F、G、H、L、K 分别是各边三等分点，试说明六边形 EFGHLK 是正六边形．
E
D
O
F
C
例1、已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径a是，求正六边形的周长和面积。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外
接圆的圆心叫做这个正多边形的_____，外接圆的半径叫做这个正多边形的____，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形
的______，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________。
(4)正多边形半径 R 和边长 a、边心距 r 之间的数量关系式
R 2 r 2 a 2 2
7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做R半的径正为n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各
点即可。（1）用量角器等分圆周（。2）用尺规等分圆（适用于特殊的n正边形）。
8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份：
A MB -1-
重点例题：已知⊙O 和⊙O 上的一点 A(如图 24-3-1).
(1)作⊙O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH； (2)在(1)题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.
考点例题（中考）：
如图 24-3-3，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
3、圆内接四边形的接正 n 边形的性质（n≥3，且为自然数）：
(1) 当 n 为奇数时，圆内接正 n 边形是____对称图形，有 n 条对称轴；但不是_____对称图形。
(2) 当 n 为偶数时，圆内接正 n 边形即是____对称图形又是____对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。