数列的极限经典习题
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。
接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。
因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。
数列的极限经典习题
Chap1 数列的极限1. 设()01,2,n x n >=及lim n n x a →∞=,用N ε-语言, 证明: n =.证0n x >, 0a ∴≥.(1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=,下证0n =.0ε∀>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<.ε<,0ε<.0n ∴=.(2) 当0a >时, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, n x a -<.ε=<<.n ∴=综上两方面 ,即证.2. 已知lim n n x a →∞=, 用N ε-语言, 证明: n =证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, 2n x ε<;ε<,此即0n ==.(2) 当0a ≠时,因为2222233044+=+≥>.令234M =,lim n n x a →∞=, 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有n x a M ε-<.22n x a-=+1n x a M M Mεε-≤<⋅=n ∴=3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞=.令12nn x x x nξ+++=, 求证:lim n n a ξ→∞=.证法1 由施笃兹公式12lim limnn n n x x x nξ→∞→∞+++=()()()12121l i m1n n n x x x x x x n n -→∞+++-+++=--l i m n n x a →∞==.证法 2 由lim n n x a →∞= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有2n x a ε-<. ①()1112111nN N n x x x a x a x a x a x a nn++++-≤-++-+-++-令111N c x a x a =-++-, 那么1212nx x x n N c a nn n ε+++--≤+⋅ . ②存在20N >, 使当2n N >时, 有2c n ε<. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有1212222nx x x n N a nn εεεεε+++--<+⋅<+=.12lim limnn n n x x x a nξ→∞→∞++∴==.4. (几何平均收敛公式)设()01,2,n x n >=. 且lim n n x a →∞=. 证明: n a =.证l i m n n x a →∞=, limln ln n n x a →∞∴=.再由算术平均收敛公式可知()121ln ln ln ln lim n x x x a nn n ee a ++→∞∴===.5. 证明: 1n =, 其中1a >.证 令11n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有()()11111n na n n a αα=+≥+=+-,即111n a a n--≤.111n a ε=-≤,只要1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1a N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时, 就有1a nε-<,1ε<. 6. 证明: 若lim n n a a →∞=, 则lim n n a a →∞=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.证 由题设 lim n n a a →∞=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有n a a ε-<.从而当n N >时总有n n a a a a ε-≤-<,所以lim n n a a →∞=.当且仅当0a =时,逆命题也成立.7. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim0nn na →∞=. 证 当2n ≥时, 有()()()()()2221121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦(由二项展开式得) 要使()()2211n a ε<-- ,只需()2211n a ε>+-.即若取 ()2221N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 则当n N >时, 就有()()2211n n a n n a ε<<--, 所以lim0nn n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1a >,a R ∈是无穷小序列. 8. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,且1n x +=,()112n n n y x y +=+.1,2,n = . 则lim lim n n n n x y →∞→∞=.证 0n x ≥, 0n y ≥是显然的.由112n nn n x y y x +++=≥= , 得1n n nx x +== , 122n n n nn n x y y y y y +++=≤= . 知{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少 , 又1n n x y y ≤≤, 1n n y x x ≥≥,所以{}n x ,{}n y 有界. 即lim n n x A →∞=,lim n n y B →∞=存在.对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ()12B A B A B =+⇒=.9. 证明: 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加 , 数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调减少 ,两者收敛于同一极限.证 记11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,111n n y n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由平均值不等式()121n a a a n≤+++ ,知()111111111n nn n n n x x n n ++++⎡⎤⎛⎫=+⋅≤=⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦ ,()()21111111112n n n n n n n n y n n y ++++⋅++⎡⎤⎛⎫=⋅≤=⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦, 即{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少, 且1114n n x x y y =<<<= .所以{}n x ,{}n y 单调有界,必定收敛.由11n n y x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭,知它们有相同的极限.即 111lim 1lim 1nn n n e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10. 证明: 若111ln 2a n n=+++-. 则数列{}n a 收敛. 证 由上例知 11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 两边取对数得 ,()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即有不等式111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ . 则()11ln 1ln 1n n a a n n n +-=-+++11ln 101n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭, 111ln 2n a n n =+++-231l n +l n l n l n12n n n +>++-()ln 1ln 0n n =+->即{}n a 单调减少有下界 , 所以{}n a 收敛.11. 设数列{}n x 满足: 01x =, 1n x +=1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求lim n n x →∞.证 01x =,1212x ==,3422x ==.用数学归纳法可证()21112222,0,1,2n nnn x n --===①11212122n n n n ----<. 由①式知()10,1n n x x n -<=即{}n x 单调递增.再由①式知12n x ≤<, {}n x ∴收敛.设lim n n x a →∞=, 则1a ≥.12n x += , 两边取极限有: a =22a a ∴= , 又0a ≠.2a ∴=, 即lim 2n n x →∞=.12. 设0a >, 10x a <<, 12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求其极限.证 先用数学归纳法证明0n x a <<,n N ∈①当1n =时, 结论成立, 归纳假设结论对n 成立, 再证1n +时, 因为()2112n n n n x x x x a a a a +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,10n x a +∴<<. 即①式成立.1221n n n x x ax a a+=->-=. {}n x ∴单调递增, 且有上界. lim n n x →∞∴存在. 设为lim n n x b →∞=. 由12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,两边取极限得 2b b b a ⎛⎫=-⎪⎝⎭②由①式及{}n x 单调递增, 显然0b ≠, 由②式解得b a =.lim n n x a →∞∴=.。
高数数列极限经典例题
高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。
极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。
首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。
这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。
根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。
接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。
通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。
再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。
这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。
根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。
再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。
可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。
解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。
当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。
以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。
当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。
数学分析2数列极限总练习题
第二章 数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。
数列极限试题
数列极限试题一、设数列 {an} 的通项公式为 an = (n2 - 1)/(n2 + 1)，则该数列的极限为？A. 0B. 1C. -1D. 无穷大（答案：B）二、数列 {bn} 满足 bn = 1 - 2/(n + 3)，当 n 趋于无穷大时，数列 {bn} 的极限是？A. 0B. 1C. -1D. 2（答案：B）三、已知数列 {cn} 的递推关系为 cn+1 = cn/2 + 1/cn，且 c1 = 2，则该数列的极限为？A. 0B. 1C. √2D. 2（答案：C）四、设数列 {dn} 的通项公式为 dn = (n + 1)/(n2 + 1)，则当 n 趋于无穷大时，数列 {dn} 的极限为？A. 0B. 1C. 1/2D. 无穷小（答案：A）五、数列 {en} 满足 en = (2n - 1)/(3n + 2)，则该数列的极限为？A. 0B. 2/3C. 3/2D. 1（答案：B）六、已知数列 {fn} 的通项公式为 fn = (n3 + 1)/(n3 + n2)，则当 n 趋于无穷大时，数列 {fn} 的极限是？A. 0B. 1C. -1D. 无穷大（答案：B）七、设数列 {gn} 的递推关系为 gn+1 = (gn + 2)/(gn + 1)，且 g1 = 1，则该数列的极限为？A. 1B. 2C. √2D. 无穷大（答案：C）八、数列 {hn} 满足 hn = (n2 + n)/(n2 + n + 1)，则当 n 趋于无穷大时，数列 {hn} 的极限为？A. 0B. 1C. -1D. 无穷小（答案：B）。
高考数学数列的极限与收敛性选择题
高考数学数列的极限与收敛性选择题1. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则数列的前n 项和Sn的通项公式为（）A. S_n = n^2 + 1B. S_n = 3n + 1C. S_n = 2n^2 + 3n + 1D. S_n = 2n^2 - 3n + 12. 数列{an}的通项公式为an=3n^2-2n+1，求数列的前n项和Sn。
3. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。
4. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n 项和Sn。
5. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。
6. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，公比q=3，求数列的前n 项和Sn。
7. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n/n，求数列的前n项和Sn。
8. 已知数列{an}是等差数列，且a1=3，公差d=1，求数列的前n 项和Sn。
9. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。
10. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
11. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。
12. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，求数列的前n项和Sn。
13. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。
14. 已知数列{an}是等比数列，且a1=3，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
15. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。
16. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n项和Sn。
17. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。
18. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
19. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。
数列极限中的典型例题
������������������
������→∞
������ ������
������������
=1.
证明
由0
<
������������������������
<
������
得
������������
<
������������−1,
和
lim
������→∞
������������
=
lim
������→∞
数列极限中的典型例题
2014.4.30
一.
不定式求极限(������������
,
∞ ∞
)
方法：罗比塔法则(L’Hospital)(连续情形)
斯铎兹定理(Stolz)(离散情形)
斯铎兹定理1(������������型）
设数列{������������
}趋于零，数列{������������}单调减趋于零，则当���l���i→m∞
例1 设������������ ∈ (������, ������), ������������+������= ������������(������ − ������������),������ = ������, ������, ⋯ , 证明
������������������
������→∞
取������������
=
1 ������������
,
������
=
1,2,
⋯
,
则
lim
������→∞
������������
=
������
=0
lim
数列极限计算练习题
数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。
而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。
在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。
本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。
练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。
解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。
通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。
2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。
解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。
洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。
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n ∴=综上两方面 ,即证.1. 已知lim n n x a →∞=, 用N ε-语言, 证明: n =.证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时,2n x ε<;ε<,此即0n ==.(2) 当0a ≠时,因为2222233044+=+≥>.令234M =, lim nn xa →∞=Q , 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有n x a M ε-<.22n x a-=1n x a M M Mεε-≤<⋅=n ∴=2. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞=.令12nn x x x nξ+++=L , 求证:lim n n a ξ→∞=.证法1 由施笃兹公式12lim lim nn n n x x x nξ→∞→∞+++=L()()()12121lim1n n n x x x x x x n n -→∞+++-+++=--LLlim n n x a →∞==.证法 2 由lim n n x a →∞= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有2n x a ε-<. ①()1112111n N N n x x x a x a x a x a x a n n++++-≤-++-+-++-L L L令111N c x a x a =-++-L , 那么1212n x x x n N c a n n n ε+++--≤+⋅L .②存在20N >, 使当2n N >时, 有2c n ε<. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有1212222n x x x n N a n n εεεεε+++--<+⋅<+=L .12lim limnn n n x x x a nξ→∞→∞++∴==L .3. (几何平均收敛公式)设()01,2,n x n >=L . 且lim n n x a →∞=. 证明:n a =. 证 lim n n x a →∞=Q , limln ln n n x a →∞∴=.再由算术平均收敛公式可知()121ln ln ln ln lim n x x x a nn n ee a ++→∞∴===L .4. 证明: 1n =, 其中1a >.证 令11n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有()()11111n na n n a αα=+≥+=+-,即111n a a n--≤.111n a ε=-≤,只要1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1a N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时, 就有1a nε-<, 1ε<. 5. 证明: 若lim n n a a →∞=, 则lim n n a a →∞=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.证 由题设 lim n n a a →∞=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有n a a ε-<.从而当n N >时总有n n a a a a ε-≤-<,所以lim n n a a →∞=.当且仅当0a =时,逆命题也成立.6. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim0nn na →∞=. 证 当2n ≥时, 有()()()()()2221121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦(由二项展开式得) 要使()()2211n a ε<-- ,只需()2211n a ε>+-.即若取 ()2221N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 则当n N >时, 就有()()2211n n a n n a ε<<--, 所以lim0nn n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1a >,a R ∈是无穷小序列. 7. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,且1n x +=,()112n n n y x y +=+.1,2,n =L . 则lim lim n n n n x y →∞→∞=. 证 0n x ≥, 0n y ≥是显然的.由112n nn n x y y x +++=≥= , 得1n n x x +== ,122n n n nn n x y y y y y +++=≤= . 知{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少 , 又1n n x y y ≤≤, 1n n y x x ≥≥,所以{}n x ,{}n y 有界. 即lim n n x A →∞=,lim n n y B →∞=存在.对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ()12B A B A B =+⇒=.8. 证明: 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加 , 数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调减少 ,两者收敛于同一极限.证 记11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,111n n y n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由平均值不等式()121n a a a n+++L , 知 ()111111111n nn n n n x x n n ++++⎡⎤⎛⎫=+⋅≤=⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦,()()21111111112n n n n n n n n y n n y ++++⋅++⎡⎤⎛⎫=⋅≤=⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦, 即{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少, 且1114n n x x y y =<<<= .所以{}n x ,{}n y 单调有界,必定收敛.由11n n y x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭,知它们有相同的极限.即 111lim 1lim 1nn n n e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9. 证明: 若111ln 2a n n=+++-L . 则数列{}n a 收敛.证 由上例知 11111n n e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 两边取对数得 ,()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即有不等式111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ . 则()11ln 1ln 1n n a a n n n +-=-+++11ln 101n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭,111ln 2n a n n=+++-L231ln+ln ln ln 12n n n+>++-L()ln 1ln 0n n =+->即{}n a 单调减少有下界 , 所以{}n a 收敛.10. 设数列{}n x 满足: 01x =, 1n x +=1,2,3n =L .证明: 数列{}n x 收敛, 并求lim n n x →∞.证 01x =,1212x ==,3422x ==.用数学归纳法可证()21112222,0,1,2n nnn x n --===L L①11212122n n n n ----<Q .由①式知()10,1n n x x n -<=L L 即{}n x 单调递增.再由①式知12n x ≤<, {}n x ∴收敛.设lim n n x a →∞=, 则1a ≥.1n x +=Q 两边取极限有: a =22a a ∴= , 又0a ≠Q .2a ∴=, 即lim 2n n x →∞=.11. 设0a >, 10x a <<, 12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1,2,3n =L .证明: 数列{}n x 收敛, 并求其极限.证 先用数学归纳法证明0n x a <<,n N ∈①当1n =时, 结论成立, 归纳假设结论对n 成立, 再证1n +时, 因为()2112n n n n x x x x a a a a +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,10n x a +∴<<. 即①式成立.1221n n n x x ax a a+=->-=.{}n x ∴单调递增, 且有上界. lim n n x →∞∴存在. 设为lim n n x b →∞=. 由12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,两边取极限得 2b b b a ⎛⎫=-⎪⎝⎭②由①式及{}n x 单调递增, 显然0b ≠, 由②式解得b a =.lim n n x a →∞∴=.。