(完整版)余数的可加性,可减性
取余数的运算法则
取余数的运算法则取余数运算法则，也叫取模运算法则，是数学中一种常用的运算方法。
它确定了两个数相除后所得的余数的性质和规律。
在数学中，取余数运算通常符号为“%”。
下面将详细介绍取余数运算的法则。
1. 余数的定义：如果a、b是整数，且b不等于0，那么a除以b的余数是指使得a = nb + r成立的整数r，其中n是整数。
2.取余数运算的基本性质：- 加法性：如果a、b、c都是整数，且a = bc + d，那么(a + c) = b(c + 1) + d。
- 减法性：如果a、b、c都是整数，且a = bc + d，那么(a - c) = b(c - 1) + d。
- 乘法性：如果a、b、c都是整数，且a = bc + d，那么(a × c)= b(c × c) + d。
- 除法性：如果a、b、c都是整数，且a = bc + d，那么(a ÷ c)= b + (d ÷ c)。
- 幂运算性：如果a、b、c都是整数，且a = bc + d，那么a^n =b^n(c^n) + d^n。
3.取余数运算的进一步应用：-判断能否整除：当两个数a、b相除时，如果取余数运算的结果为0，即a%b=0，那么a能被b整除，否则a不能被b整除。
-快速判断奇偶性：对于任意整数a，如果取余数运算的结果为1，即a%2=1，那么a为奇数；如果结果为0，即a%2=0，那么a为偶数。
-环形计数：将整数除以一个固定的数b后所得的余数r可以用来进行环形计数，例如一个时钟时间为0至11，即12个小时，需要用余数运算来确定当前时刻。
4.取余数运算的性质：-取余数运算满足结合律和交换律：对于任意整数a、b、c，都有(a%b)%c=a%(b×c)。
-当a为正整数，b为正整数，如果a%b=c，那么a%(-b)=c+b。
-当a为负整数，b为正整数，如果a%b=c，那么a%(-b)=c-b。
-当a为负整数，b为负整数，如果a%b=c，那么a%(-b)=c。
第11讲 余数的性质和计算
第11讲余数的性质和计算本讲知识点汇总：一、替换求余利用余数的可加性、可减性以及可乘性，将算式中的每个数都用相应的余数替换。
二、特性求余：利用特殊数（例如2、3、4、5、8、9、11、13、99等）的整除特性来求余数。
三、利用周期规律求余数：对于乘方和一些复杂的具有规律性的算式，可以先找到周期规律，再计算。
为了更好地了解余数的性质规律，我们先来做几个计算：（1）21除以17的余数是（2）135除以17的余数是（3）211+135的和除以17的余数是（4）211-135的差除以17的余数是（5）211×135的积除以17的余数是（6）2112除以17的余数是比较上面的结果，我们发现余数有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积。
这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性。
在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算。
需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：（1）如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数。
例如：在计算423+317除以6的余数时。
利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3+5=8，8>6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2，オ是423+317除以6最后的余数。
再比如：在计算423×317除以6的余数时，也会遇到3×5=15>6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果。
（2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数即可。
例如：在计算428-317除以6的余数时，会发现结果变成了3-5不够减。
此时，只要再加上6，用6+3-5=4来计算即可。
范例解密例题1、一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
请问：最后一包有多少个零件？练习1（1）123+456+789除以111的余数是多少？（2）123⨯456⨯789的结果除以23的余数是多少？我们学过特殊数（2、3、5、4、7、11、13、25、27、37、99、999）的整除特性。
余数知识点总结
余数知识点总结一、余数的定义在进行整数除法时，如果被除数不能被除数整除，我们就会得到一个余数。
例如，当我们用10除以3时，商是3，余数是1，因为10除以3得到3余1。
一般来说，对于任意的整数a和b（b不为0），都存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q是商，r是余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数r的范围是0到b-1。
这是因为如果r=b-1，那么a=bq+r=bq+(b-1)=(q+1)b-1。
所以当r大于等于b时，我们可以用b来替换掉r，而商q则加1。
所以余数r必然小于b。
2. 余数的相等性如果两个整数a和b除以同一个整数m得到相同的余数，那么它们的差也一定能被m整除，即如果a%m=b%m，则(a-b)%m=0。
3. 余数的加法性两个整数a和b的余数之和等于它们的和的余数，即(a+b)%m=(a%m+b%m)%m。
4. 余数的乘法性两个整数a和b的余数之积等于它们的积的余数，即(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。
5. 余数的幂运算如果要计算a的n次幂的余数，我们可以先计算a%m的n次幂的余数，然后再对m取余。
即a^n%m=(a%m)^n%m。
6. 余数的倒数两个整数a和b互素，即它们的最大公约数是1，那么a在模b意义下一定有倒数。
即对于方程ax≡1 mod b，一定存在整数x满足条件。
三、余数的应用1. 余数的运算余数在算术运算中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算。
例如在大数运算中，我们往往会对结果取模，以减小结果的数值大小，提高运算效率。
2. 余数的模运算模运算是指对一个数除以另一个数后得到的余数。
在计算机科学中，模运算常常被用于实现循环、加密和散列等操作。
例如在密码学中，模运算可以用于加解密算法中的步骤之一。
3. 余数的逆元余数的逆元是指在模意义下存在的一个数，使得与它相乘后得到的余数是1。
余数的逆元在密码学和数论中有着重要的应用，例如在RSA算法中，逆元的存在性是保证算法有效性的关键。
余数的可加性可减性
余数定理（一）可加性 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
（二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c 的余数之差．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2．注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4.（三）可乘性 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数．（四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与b n除以m的余数也相同．余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑷整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数中国剩余定理：在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”，“秦王暗点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等．我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是2×70＋3×21＋2×15=233,233－105=128,128－105=23. 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．。
五年级数学余数的性质
余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第16讲-余数
知识点回顾一、替换求余：可加性、可减性以及可乘性二、特性求余：例如2、3、4、5、7、8、9、11、13、99等1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数．1111661045-=104551119=⨯⨯1045的约数大于余数66 这个两位数是9521421421421421个（1）除以4和125的余数分别为多少？（2）除以9和11的余数分别是多少？ 21808808808808个（1）一个数除以4的余数只需考虑它的末两位除以4的余数． 除以4余121除以4余1 （2）一个数除以9的余数等于它的各位数字之和除以9的余数．(88)21336+⨯=除以9余3一个数除以11的余数等于奇数位数字和减去偶数位数字和的差除以11的余数． (88)11176+⨯=(88)10160+⨯=除以11余5 176-160=16 16÷11=1余5一个数除以125的余数只考虑末三位除以125的余数． 421125346÷=除以125余46一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？ 1234196418÷=36519194÷=1234365⨯18472⨯=72除以19余15 最后一包有15个零件．67222221⨯⨯⨯⨯-个自然数的个位数字是多少？ 22⨯222⨯⨯2222⨯⨯⨯22222⨯⨯⨯⨯2 ……个位 2 4 8 6 267除以4余36722222⨯⨯⨯⨯个的个位数字是8 个位数字就是729一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个。
年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
请问：最后一包有多少个零件？20072007200720071232006+++⋅⋅⋅+算式计算结果的个位数字是多少？1、5、6、10的2007次方的个位数字就是1，5，6，0．1次方2次方3次方4次方5次方6次方…2007次方2 2 4 8 6 2 4 (8)3 3 9 7 1 3 9 74 4 6 4 6 4 6 47 7 9 3 1 7 9 38 8 4 2 6 8 4 29 9 1 9 1 9 1 9 156087432945+++++++++= 2007200720071210+++的个位数字是5 200720072007 200120022006+++的个位数等于的个位数是118745631+++++=的个位数，为152001⨯+108888888+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数是多少？8除以5余310333333+⨯++⨯⨯⨯个3 3，23，33，43，⋅⋅⋅除以5的余数依次为3，4，2，1，3，4，⋅⋅⋅342110+++=347+=余2如果某个自然数除以49余23，除以48也余23．那么这个自然数被14除余数是多少？这个数减去23后是49和48的一个公倍数23，2349481+⨯⨯，2349482+⨯⨯，⋅⋅⋅23÷14=1余9一个自然数除以19余9，除以23余7．那么这个自然数最小是多少？被23除余7的所有数：7，30，53，76，99，122，145，168，191，214，237，…第一个除以19余9的数是237刘叔叔养了400多只兔子，如果3只一个笼，那么最后一笼只有2只；如果5只一笼，那么最后一笼只有4只；如果7只一笼，那么最后一笼只有5只．刘叔叔一共养了多少只兔子？除以3余2 除以5余4 除以7余5 3×5-1=14 14，14+15 , 14+15×2 ，14+15×3，…14+15×5=89 89+105×3=404只100多名小朋友站成一列．从第一人开始一次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按照1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问:一共有多少名小朋友?除以11余9 除以13余11 少2 11132141⨯-=123123123123123个除以99的余数是多少？99的整除特性：两位截断求和 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 …… 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3123÷2=61余1 12+31+23=66 66×61+23+1=405040+50=90把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学．最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？++=6390130283-=283252582582343=⨯⨯258的约数有1，2，3，6，43，86，129和25810＜人数＜63 人数只能是43个分完后苹果剩20个，桔子剩4个，梨剩1个。
13第十三章数论余数的性质
第十三章数论余数的性质概念若整数A除以大于0的整数B,商为整数，且余数为零，则A能被B整除，或者说B能整除A;若余数是C （不为0）,则说A除以B余数是Co余数问题主要分为两类题型：1.基本余数问题2.同余问题：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期余数重要性质在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a, b, c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数X商十余数；除数二（被除数-余数）+商；商=（被除数-余数）+除数。
（3）如果a, b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如, 17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a, b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23, 16除以5的余数分别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23, 19除以5的余数分别是3 和4,所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a, b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23, 16除以5的余数分别是3和1,所以（23X 16）除以5的余数等于3X1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23, 19除以5的余数分别是3和4,所以（23X19）除以5的余数等于（3X4）除以5的余数。
例题1.某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.2.两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是.3.（真题）1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是4.在几进制中有125 M125 =16324 ?5.学生在操场上列队做操，只知人数在90~110之间。
余数函数知识点总结初中
余数函数知识点总结初中一、余数函数的概念1.1 余数的定义在初中数学中，我们通常用“除法”的概念来引入余数的概念。
当我们把一个整数a除以另一个整数b时，我们会得到商q和余数r，使得满足等式a=bq+r，其中r为余数，且0≤r ＜|b|。
1.2 余数函数的定义余数函数是一个将整数映射到它们的余数的函数。
即给定一个整数a和一个正整数b，余数函数f(a,b)表示当a除以b的余数。
余数函数通常用mod或者%符号表示。
1.3 余数函数的符号表示一般地，余数函数f(a,b)可以用以下两种符号表示：（1）f(a,b) = a mod b, 其中mod表示取模运算；（2）f(a,b) = a % b, 其中%表示取余运算。
二、余数函数的性质2.1 余数函数的性质（1）性质1：同余定理若a ≡ b (mod m)，则a mod m = b mod m。
（2）性质2：因数的性质若a > nb，则a mod b = (a - nb) mod b。
（3）性质3：求余函数的性质对于任意整数a和正整数b，余数函数f(a,b)的取值范围是[0, b-1]。
2.2 余数函数的运算性质（1）加法性质：若a ≡ c (mod m) 且b ≡ d (mod m)，则a+b ≡ c+d (mod m)。
（2）乘法性质：若a ≡ c (mod m) 且b ≡ d (mod m)，则a×b ≡ c×d (mod m)。
2.3 余数函数的应用余数函数在计算机科学领域中得到广泛应用，尤其是在处理大整数计算和数据压缩方面。
在数论中，余数函数也是重要的研究对象，它与同余式、模运算和数论函数等概念密切相关。
三、余数函数的相关应用3.1 余数函数在计算机科学中的应用在计算机科学中，我们经常会遇到大整数计算和数据压缩等问题。
余数函数广泛应用于大整数计算、哈希算法、检验码校验、数据存储和数据传输等领域。
3.2 余数函数在数论中的应用在数论中，余数函数是研究同余式和模运算的重要工具。
数的性质 同余性 同余
若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )，
则 ≡ ( 1 ，2 )。
三、同余的运算性质
3.可约性
（1）若 ≡ ( )， , = 1，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( )， , = ，则 ≡ (
)
四、欧拉函数
欧拉函数 ()是定义在正整数上的函数，()表示序列0，1，
2，...， − 1中与互质的整数的个数。
欧拉函数的计算公式：设 = 1 1 2 2 … … ，则
（3）传递性：
Hale Waihona Puke 若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 ≡ ( )
三、同余的运算性质
1.可加性
若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 + ≡ + ( )
推论
若 + ≡ ( )， ∈ ，
则 ≡ − ( )
() = (1
1
− )
1
(1 −
1
1
) … … (1 − )
2
欧拉定理：设是大于1的整数，（，） = 1，则
() ≡ 1( )
五、典型例题分析
【例1】已知今天是星期三，问1012 后的那一天是星期几？
解：10 ≡ 3( 7)；
1012 ≡ 312 ≡ 274 ≡ −1
三、同余的运算性质
2.可乘性
（1）若 ≡ ( )， ∈ ，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )， ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )， ∈ ∗ ，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )， 1 , 2 = 1，
第16讲 余数—完整版
第16讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法。
学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数”问题。
兴趣篇1．72除以一个数，余数是7．商可能是多少？答案：1或5解析： 72-7=65，除数是65的约数．65 =1×65=5×13，因为除数大于余数7，所以它是13或者65.如果除数是13，那么商是5；如果除数是65，那么商是1．2．97和79除以一个数的余数都是7，那么这个数可能是多少？答案： 9或1解析： 97-7=90，79-7=72，这个数能整除90和72，因此能整除它们的最大公约数18.再根据除数要比余数大，可知除数可能是9或18.3．100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？答案： 8或16解析：由于 100和84除以同一个数的余数相同，所以它们的差100 - 84—16是这个除数的倍数，16的约数有1，2，4，8，16．所以这个除数只能是这5个数之一，我们来一一验算看哪些数满足要求，由于100是1，2，4的倍数，所以它除以1，2，4的时候余数是0，即除数不能是1，2，4．当除数是8时，100和84除以8的余数都是4，满足要求．当除数是16时，100和84除以16的余数都是4，也满足要求，所求的除数可以是8或者16.4．20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？答案： 8；0；8；0解析：20 080 808的各位数字之和为2+8+8+8 = 26，26÷9—2-8，所以20 080 808除以9的余数是8．20 080 808的末三位数是808，808÷8=101，所以20 080 808除以8的余数是0．20 080 808昀末两位数是08，8÷25=0……8，所以20 080 808除以25的余数是8．20 080 808奇位和是8+8+8—24，偶位和是2，它们的差是22，可以被11整除，所以20 080 808除以11的余数是0．5．(1)135×137+139除以5的余数是多少？(2)3579×1357+13579除以9的余数是多少？答案： (1) 4 (2)4解析：(1)135除以5的余数是0，137除以5的余数是2，139除以5的余数是4。
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余数定理
（一）可加性a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
（二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c 的余数之差．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2．注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4.
（三）可乘性 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数．
（四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，
计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R 对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数中国剩余定理：在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”，“秦王暗点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等．我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得
知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是2×70＋3×21＋2×15=233,233－105=128,128－105=23. 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．。