人教版-高中数学选修2-3 1.3.1 二项式定理
x 9 r 3 r r 1 9 r r Tr +1 = C ( ) ( ) = C9 ( ) 3 x 3 3 x
r 9 1 9 r r 2
1 由9-r- r = 0得r = 6. 2 1 96 6 T7 = C ( ) 3 = 2268 3
6 9
单三步
x 3 9 ) 的展开式的中间项 2、求 ( + 、 3 x
解: 展开式共有 项,中间两项是第 、6项 展开式共有10项 中间两项是第 中间两项是第5、 项 3 4 4 x 9 4 3 T5 = T4+1 = C9 ( ) ( ) = 42 x 3 x
x 9 5 3 5 T6 = T5+1 = C ( ) ( ) = 42 x 3 x
5 9 3 2
单三步
课堂小结： 课堂小结：
2 n r
n2
b +
2 n
+ C a
r n
nr
b ++ C b
n n
这个公式表示的定理叫做二项式定理， 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， r 其中 C n（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， ） r nr r Cn a b 叫做二项展开式的通项， 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示， 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项 T = C r a n r b r ( r = 0,1, 2, n ) _____个项 个项.
…
rC ran-rbr +(-1) n
nC nbn +(-1) n
2 n 2 r n r n n n
（1 + x） = 1 + C x + C x + + C x + + C x
3、 n + C n + + C n = (1 + 1) 、 C
0 1 n
n
=2
n
单三步
1 4 例 1： 展 开 （1＋ ) x
( a + b) = a + 3a b + 3ab + b
3
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
3 2 2 3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 单三步
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？ ＝？ 问题： 问题： 1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ ． 展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2)．各项前的系数代表着什么？ ．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数代表着这些项在展开式 中出现的次数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？ ．你能分析说明各项前的系数吗？
3 3 3 9
1 r r r 92 r ( ) = (1) C9 x x
4 9 4 9
中间一项是第5, 6项, T4+1 = C x T5+1 = C x
5 9 5 9
1 4 ( ) = 70 x x
单三步
1 5 70 ( ) = x x
x 1 例4(1)：试判断在 3 ： x 2
8
的展开式中有
r +1 n
单三步
二项展开式定理: 二项展开式定理
(a + b) = C a + C a b ++ C a b ++ C b
n 0 n n
1 n1 n
1.项数规律： 项数规律： 项数规律 展开式共有n+1个项 展开式共有 个项 2.二项式系数规律： r n
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有 种 每个都不取 的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为 20 的情况有 则 前的系数为C 恰有1个取 的情况有 前的系数为C 恰有 个取b的情况有 21种，则ab前的系数为 21 个取 的情况有C 前的系数为 恰有2个取 的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 恰有 个取b的情况有 前的系数为 个取 的情况有
24 4r =0r =6 由题意可知， 由题意可知， 3
故存在常数项且为第7项 故存在常数项且为第 项，
1 常数项T7 = ( 1) C 2
6 6 8
8 6
x =7
0
常数项即 0项. x
单三步
(2)：由 ( 3 x + 2 ) 展开式所得的 的 ： 展开式所得的x的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 多项式中，系数为有理数的共有多少项？
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
归纳提高 展开的结果 的结果又 将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律： 发现规律： 对于（a+b） 对于（a+b）n=
( a + b )( a + b ) ( a + b )
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个 的系数是在n个括号中，恰有r 的展开式中a r 括号中取b(其余括号中取a) b(其余括号中取a)的组合数 那么， 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C n .那么， 我们能不能写出(a+b) 的展开式？ 我们能不能写出(a+b)n的展开式？ 引出定理， 引出定理，总结特征
(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n
n1
b+C a
2 n r
n2
b +
2
+ C a
r n
nr
b ++ C b
n n n 单三步
二项展开式定理: 二项展开式定理
一般地，对于n N*， 一般地，对于n∈N*，有：
(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n
n1
b+C a
n n n
C 、C 、C 、、C
0 n 1 n 2 n
n n
3.指数规律： 指数规律： 指数规律 和均为n； （1）各项的次数和均为 ； ）各项的次数和均为 第一项a的次数 逐次降到0， （2）二项和的第一项 的次数由n逐次降到 ， ）二项和的第一项 的次数由 逐次降到 第二项b的次数 的次数由 逐次升到n. 逐次升到 第二项 的次数由0逐次升到
1， 100 ( r = 0，2， ， )
r 2 C100 x100 r
r 3
点评：求常数项、 点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由 通项公式入手分析，综合性强， 通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思 单三步 维的严密性要求也高. 维的严密性要求也高
练习： 练习：
x 3 9 1、求 ( + 、 ) 的展开式常数项 3 x
7
1 9 3 (2)求 (2)求（x ) 的展开式中x 的系数和中间项 x 3 7 3 3 3 解: (1)T3+1 = C7 1 (2 x) = 280 x
第四项系数为280 第四项系数为
(2)Tr +1 = C x
r 9
9 r
由9 2r = 3, 得r=3.故x 的系数为(-1) C = 84
单三步
课后作业
完成“168试卷”专题十二
单三步
单三步
单三步
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ ．你能分析说明各项前的系数吗？ (a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) a4 a3b a2b2 ab3 项
b4 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b
2 C4
取 三 个 b
系数
取 四 个 b
C0 4
C1 4
C3 4
C4 4
单三步
+C6 (2 x) C6 (2 x) + C6 ]
3 2
第三项的二项式系数为 C 第六项的系数为
5 6
60 12 1 = 64 x 192 x + 240 x 160 + 2 + 3 x x x 2
6
= 15
5
C 2(1) = 12
单三步
:(1)求 例3:(1)求（1+2x ) 的展开式的第4项的系数
3 100
解： ( 3 x + 2 )
3
r Tr +1 = C100
100
的展开式的通项公式为： 的展开式的通项公式为：
( )
3x
100 r
( )
3
r
2
=3
100 r 2
100 r r , 均为整数时, T 为有理数. 有理项即 2 3 整数次幂项 整数次幂项 ∴ r为6的倍数, 且0 ≤ r ≤ 100. 即r为0, 6,12, , 96, 展开式中共有17项有理项.
1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 解: 1＋ ) = 1 + C 4 ( ) + C 4 ( ) + C 4 ( ) （ x x x x 4 6 4 1 4 1 4 +C4 ( ) = 1 + + 2 + 3 + 4 . x x x x x
注：1）注意对二项式定理的灵活应用 ） 2）注意区别二项式系数与项的系数的概念 ）注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数 二项式系数为 二项式系数为 C ； 项的系数为 项的系数为：二项式系数与数字系数的积
人教版 高中数学选修2-3 教案1.3.1二项式定理(含反思)
人教版高中数学精品资料§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ， ∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(402328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rnC （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
人教B版数学选修2-3课件：1.3.1 二项式定理
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( )
A.2n
B.n+1
C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n,
所以展开式有2n+1项.
答案:C
【做一做 1-2】 化简:C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ (x+1)n-
(2)展开式中所有含x的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通
项求特定项.
题型一 题型二
解:(1)由题意可知,������n0 + ������n2 ·212=2������n1 ·12,得 n=8.
Tr+1=������8r (
x)8-r·
题型一 题型二
题型一 二项式定理的应用
【例 1】
用二项式定理展开
3
������ +
1 ������
4
.
分析本题可以直接利用二项式定理展开再化简,也可以先化简再 展开.
题型一 题型二
解法一
3
������ +
1 ������
4 = C40
3
������)4 + C41(3
������
3
1 ������
题型一 题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大, 则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
C8������-1·2-������+1 ≥ C8������ ·2-������ , 解得 3≤k≤4. C8������-1·2-������+1 ≥ C8������-2·2-������+2,
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理ppt版本
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于 形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行 必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
⋯+(-1)������C������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)������C������������ = [(������ + 1) − 1]������ = ������������.
(3)可设 Sn= C���1��� + 3C���2��� + 9C���3��� + ⋯+3n-1C������������ ,
1 2
8-������ C8������ ������8-43������ (0 ≤k≤8,k∈N).
令
8−
4 3
������
=
0,
得k=6,T7=(-1)6
1 2
8-6 C86
= 7.
(2)展开式的通项为 Tk+1= C9������ ������9 − ������(−������)������
(3)( x − 3 ������)9 展开式中含������的有理项共有_______项.
解析:(1)展开式的通项为 Tk+1= C8������
������ 2
8-������
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教A版高中数学选修2-3课件：1.3.1《二项式定理》PPT(新-)
二项式定理(二)
复习引入
课前热身
赋值法再思考
项与系数 的思考
本课小结
思考三
二项式定理(二)
上节课，我们认识了二项式定理：
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
2.通项规律：Tr1 Cnranrbr , (r 0,1, 2, n)第(r+1)项
思考练习:
0 1. 1 3 32 32007 被 4 除所得余数是______.
2.求 (1.05)6 精确到 0.01的近似值. 1.34
3.将 ( x y z)10 展开后,则展开式 x5 y3z2 的项的
系数为(B )
(A) C150C130C120
(B)
C150C
53C
2 2
(C)
1 r
x
解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－
1 x
∴ (3 x2 1 )10 的通项公式是
x
Tr1 C1r0
3x2
10 r
1 x
r
1
r
C1r0
310 r
20 5r
x2
由题意可知， 20 5r 0 r 8
2
常数项即 x0项.
故存在常数项且为第9项，
常数项T9 1 8 C180 3108 x0 405
81 330 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
4. 9192除以100的余数是＿＿＿＿.
5.若( x + 1 )n = xn +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*)，
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
数学选修2-3 1.3.1二项式定理
填一填
(x+2)8 的展开式中的第 6 项为 ,其二项式系数为 . 5 3 5 5 解析:展开式的第 6 项是 T6=C8 x· 2 =1 792x3,其二项式系数为C8 . 答案:1 792x3 56
-5-
1.3.1 二项式定理
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一二项式定理
1.简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开;对于形式较复杂 的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再 展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二 项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点.a 的指数是从高到 低,b 的指数是从低到高,a,b 的指数和都相等;如果项的系数是正负相间,则 是(a-b)n 的形式.
3
2x)
20-k
·-
∵系数为有理数,∴40-5k 是 6 的倍数,0≤k≤20,k∈Z,∴k=2,8,14,20.
答案:(1)C (2)A
-13-
1 ������ 2
= -
2 2
������
· ( 2)
3
20-k ������
C20 · x
20-k
=(-1)
k
40-5������ · 2 6 C������
0 C4 · (2
4
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:
1 4 ������
+
(2)原式 0 5 1 2 3 4 =C5 (x-1)5+C5 (x-1)4+C5 (x-1)3+C5 (x-1)2+C5 (x-1)+C5 -1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.