南开大学算法导论第一章课件
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算法课件第一章1-Introduction10（3）
算法课件第⼀章1-Introduction10（3）若不是常系数线性递归⽅程，则需要⽤⽣成函数法。
⽣成函数法应⽤举例：先看⼀下A(x)*A(x)即A 2(x)的展开式形状。
设A(x)=0nn n a x∞=∑，则A 2(x)=0nn n a x∞=∑*0nn n a x∞=∑=(a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n+…)* (a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n+…)= a 02+(a 0a 1+a 1a 0)x+(a 0a 2+a 1a 1+a 2a 0)x2+(a 0a 3+a 1a 2+a 2a 1+a 3a 0)x 3+…+ (a 0a n +a 1a n-1+…+a n-1a 1+a n a 0)x n+…。
求解下列⾮线性递归⽅程已知a n =a 1a n-1+a 2a n-2+ …+a n-1a 1 (n ≥2)且a 1=1，a 2=1，a 3=2，a 4=5，求a n 。
令a 0=0，则上述⽅程可写为：a n = a 0a n +a 1a n-1+ … +a n-1a 1+a n a 0 从2开始对等式两边分别求级数，则有∑∞=2n nn x a =∑∞=2n (a 0a n +a 1a n-1+ … +a n-1a 1+a n a 0)*x n设A(x)=∑∞=0n nnxa 是数列{a 0, a 1,a 2,…,a n ,…}的⽣成函数（幂函数形式），则有A(x)-a 1x-a 0=(A(x))2-(a 1a 0+a 0a 1)x-a 20 ，整理得(A(x))2-A(x)+x=0。
令z=A(x)，则有z 2-z+x=0 求解此关于z 的⼀元⼆次⽅程式，得A(x)= z=(1x 41-±)/2即A(x)应为1/2x 41-±/2 ∵x 41-=∑∞=---1122)2(n nn n xC n，即x 41-的幂级数展开式通项系数为b n=-n2Cn n 122--，a n =±b n/2，⽽a n为正数，∴x 41-±中符号取为负，于是有A(x)=1/2-x 41-/2，a n=C n n n1221--（C 00定义为1）。
算法导论第1次课
n
Βιβλιοθήκη n最好情况：输入数据状态为升序，此时A[i]≤key，所以tj=1 T(n) = C1n+C2(n-1)+C3(n-1)+C4(n-1)+C7(n-1) = (C1+C2+C3+C4+C7)n-(C2+C3+C4+C7) = An+B 最坏情况：输入数据状态为倒序，此时A[i]>key，所以tj=j T(n) = C1n+C2(n-1)+C3(n-1)+C4 = ½(C4+C5+C6)n2+(C1+C2+C3+½C4-½C5 -½C6+C7)n-(C2+C3+C4+C7) = An2+Bn+C
特别提示，大O既可表示紧上界也可表示松上界。
2.3 Ω符号(渐进下界) def: Ω(g(n)={f(n):存在正常数C和n0，使得对于所有 的n≥n0，都有0≤Cg(n)≤f(n)} 记为：f(n) = Ω(g(n))
例5：证明f(n)=3n2 = Ω(n) proof: 即要证 Cn≤3n2 Θ,O,Ω符号之间存在关系如下： 定理3.1（P29） 对于任意的函数f(n)和g(n)，当且仅当f(n)=O(g(n))且 f(n)=Ω(g(n))时，f(n)=Θ(g(n))。
1 例6：f (n ) n(n 1), g(n ) n 2 2 例7：f (n ) l g n, g(n ) n
第二章 渐进符号(Asympototic notation)
2.1 Θ符号(渐近符号)
def: Θ(g(n)) = { f(n):存在大于0的常数C1、C2和n0，使得
第一章算法初步-PPT精选
于求两个整数的最大公约数的过程，这就是著 名的欧几里得算法——辗转相除法，其具体过 程如下：
设给定的两个正整数为m和n，求它们的最大 公约数的步骤为：
（1）以m除以n，令所得的余数为r（r必小于n）；
（2）若r＝0，则输出结果n，算法结束；否则，继续步骤（3)
（3）令m=n，n=r,并返回步骤（1）继续进行。
3）有穷性(finiteness）
算法的有穷性是指算法必须能在有限的时 间内执行完，即算法必须能在执行有限个步骤 之后终止。数学中的无穷级数，在实际计算时 只能取有限项，即计算无穷级数的过程只能是 有穷的。因此，一个数的无穷级数的表示只是 一种计算公式，而根据精度要求确定的计算过 程才是有穷的算法。
算法的描述：自然语言
用自然语言表达问题容易理解，但往往 不严格，易出现“歧义性”，即对于同 一段文字，不同的人可能会有不同的理 解。例如请同学们理解“这个人连老张 也不认识。”这句话的含义。
新课引入
为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,且不 容易出现歧异，我们更经常地用图形方式来表 达它.
例如上一节“例1.任意给定一个大于1的整 数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做 出判定”的算法可以用以下形式来表达.
例如，某计算工具具有七位有效数字（如
FORTRAN中的单精度运算）,在计算下列三个
( ) 量 A＝101，2 B＝1，C＝ 1012的和时，如果采
用不同的运算顺序，就会得到不同的结果，即
( ) A＋B＋C =1012＋1＋ 1012 =0 ( ) A＋C十B =1012＋ 1012＋1=1
而在数学上，A +B +C与A+C+B是完全等价的。 这可知，算法和计算公式是有差别的。
设给定的两个正整数为m和n，求它们的最大 公约数的步骤为：
（1）以m除以n，令所得的余数为r（r必小于n）；
（2）若r＝0，则输出结果n，算法结束；否则，继续步骤（3)
（3）令m=n，n=r,并返回步骤（1）继续进行。
3）有穷性(finiteness）
算法的有穷性是指算法必须能在有限的时 间内执行完，即算法必须能在执行有限个步骤 之后终止。数学中的无穷级数，在实际计算时 只能取有限项，即计算无穷级数的过程只能是 有穷的。因此，一个数的无穷级数的表示只是 一种计算公式，而根据精度要求确定的计算过 程才是有穷的算法。
算法的描述：自然语言
用自然语言表达问题容易理解，但往往 不严格，易出现“歧义性”，即对于同 一段文字，不同的人可能会有不同的理 解。例如请同学们理解“这个人连老张 也不认识。”这句话的含义。
新课引入
为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,且不 容易出现歧异，我们更经常地用图形方式来表 达它.
例如上一节“例1.任意给定一个大于1的整 数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做 出判定”的算法可以用以下形式来表达.
例如，某计算工具具有七位有效数字（如
FORTRAN中的单精度运算）,在计算下列三个
( ) 量 A＝101，2 B＝1，C＝ 1012的和时，如果采
用不同的运算顺序，就会得到不同的结果，即
( ) A＋B＋C =1012＋1＋ 1012 =0 ( ) A＋C十B =1012＋ 1012＋1=1
而在数学上，A +B +C与A+C+B是完全等价的。 这可知，算法和计算公式是有差别的。
数学：第一章《算法初步》课件
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第十二页，编辑于星期日：十二点 四十一分。
14.秦九韶算法
求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值
第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.
第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第
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第八页，编辑于星期日：十二点 四十一分。
10.算法的条件语句
IF 条件 THEN 语句体
END IF
满足条件？ 否 是
步骤A
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
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满足条件？ 否 是
步骤1
步骤1
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11.算法的循环语句
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出 口处标明“是”或“Y”；不成立时 标明“否”或“N”
流程线
连接程序框，表示算法步骤的执 行顺序
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4.算法的顺序结构
（1）概念：
由若干个依次执行的步骤组成的逻辑
结构，称为顺序结构.
（2）程序框图：
由按照一定的条件反复执行的某些 步骤组成的逻辑结构，称为循环结构. （2）程序框图：
循环体
满足条件？ 否 是
循环体
满足条件？ 是
否
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7.算法的输入语句
INPUT “提示内容”；变量 8.算法的输出语句
算法导论详解PPT课件
computing
“计算机算法的圣经”
Bibliography
《Introduction to Algorithms》(Second Edition),
T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest (2002, Turing Award),
The MIT Press
}
利用此界面使 方法sum通用化
18
第18页/共25页
1.3 描述算法
6.通用方法
（2）parable 界面 Java的Comparable 界面中惟一的方法头compareTo用于比较
2个元素的大小。例如pareTo(y) 返回x-y的符号，当x<y时返回负数，当x=y时返回0，当x>y时返 回正数。 （3）Operable 界面
8
第8页/共25页
1.2 表达算法的抽象机制
2.抽象数据类型
抽象数据类型是算法的一个数据模型连同定义在该模型上 并作为算法构件的一组运算。
抽象数据类型带给算法设计的好处有：
（1）算法顶层设计与底层实现分离； （2）算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构自由选择； （3）数据模型和该模型上的运算统一在ADT中，便于空间和时间耗费的折衷； （4）用抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性； （5）算法自然呈现模块化； （6）为自顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和工具； （7）算法结构清晰，层次分明，便于算法正确性的证明和复杂性的分析。
期末闭卷考试：
about 70%
课程安排
课堂讲解：基本理论讲解，基本方法的介绍分析
上机实践：基本习题和经典习题的上机实践
第4页4 /共25页
主要内容介绍
算法导论讲解
算法导论讲解一、课题算法导论讲解二、教学目标1. 让学生对算法有一个基本的概念理解，知道算法在计算机科学以及日常生活中的广泛应用。
2. 能够理解算法的基本特性，如确定性、有穷性等。
3. 激发学生对算法学习的兴趣，为后续深入学习算法相关知识打下基础。
三、教学重点&难点1. 教学重点算法的概念和基本特性的理解。
一些简单算法的示例讲解，如排序算法中的冒泡排序原理。
2. 教学难点如何让学生理解算法的有穷性在复杂算法中的体现。
引导学生从生活中发现算法的影子，将抽象的算法概念与实际联系起来。
四、教学方法1. 讲授法：直接讲解算法的概念、特性等基础知识。
2. 实例演示法：通过一些简单的算法实例，如计算1到100的和的算法，在黑板上或者借助PPT演示算法的步骤，让学生更直观地看到算法是如何工作的。
3. 讨论法：提出一些与算法相关的生活场景，如安排课程表的算法，让学生分组讨论，激发他们的思考能力。
五、教学过程1. 算法概念导入同学们，咱今天开始学习一个超级有趣又超级重要的东西，那就是算法。
你们知道吗？算法就像是一个超级聪明的小秘书，它知道怎么一步一步地把一件事情做好。
比如说，你们早上起床穿衣服，先穿什么后穿什么，这其实就是一个小算法。
如果顺序错了，可能就会很别扭。
算法呢，简单说就是为了解决一个问题而采取的一系列步骤。
就像做数学题，有解题的步骤一样。
我来举个更具体的例子。
假如你要计算1+2+3+…+100，你会怎么算呢？有的同学可能会一个一个加，那这就是一种算法，不过这是比较笨的算法。
还有一种聪明的算法，就是用等差数列求和公式，这也是一种算法。
2. 算法特性讲解那算法有啥特性呢？首先是确定性。
这就好比你按照菜谱做菜，菜谱上写得明明白白，放多少盐，炒多久，不能含糊。
算法的每一步都得是确定的，不能一会儿这样一会儿那样。
再说说有穷性。
你们想啊，如果一个算法永远都算不完，那就没有意义了。
就像你数星星，要是一直数下去没个头，那就不叫算法了。
高中数学第一章算法初步课件新人教A版必修30
(3) 经 历 将 具 体 问 题 的 程 序 框 图 转 化 为 程 序 语 句 的 过 程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语 句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想．
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重 要基础．随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会 发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方 面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养．学习本 章，需要注意的问题：
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不 是简单呈现一些算法．
(2)变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当 的变量，学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的 重点．
(3)不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和 程序化思想才是我们的重点．
(4) 本 章 所 指 的 算 法 基 本 上 是 能 在 计 算 机 上 实 现 的 算 法．
复习课件
高中数学第一章算法初步课件新人教A版必修30
2021/4/17
高中数学第一章算法初步课件新人教A版必修30
本章主要包括三部分：(1)结合熟悉的算法，把握算法 的基本思想，学会用自然语言来描述算法．
(2)通过模仿、操作和探索，经历通过设计程序框图表 达解决问题的过程．在具体问题的解决过程中理解程序框图的 三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重 要基础．随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会 发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方 面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养．学习本 章，需要注意的问题：
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不 是简单呈现一些算法．
(2)变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当 的变量，学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的 重点．
(3)不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和 程序化思想才是我们的重点．
(4) 本 章 所 指 的 算 法 基 本 上 是 能 在 计 算 机 上 实 现 的 算 法．
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2021/4/17
高中数学第一章算法初步课件新人教A版必修30
本章主要包括三部分：(1)结合熟悉的算法，把握算法 的基本思想，学会用自然语言来描述算法．
(2)通过模仿、操作和探索，经历通过设计程序框图表 达解决问题的过程．在具体问题的解决过程中理解程序框图的 三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．
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18
例子
不是，Bertha-Xavier是更好的配对
favorite least favorite favorite least favorite
1st Xavier Yancey Zeus Amy Bertha Amy
2nd Bertha Amy Bertha
3rd Clare Clare Clare Amy Bertha Clare
第一章 引言：某些典型的问题
苏明
1
1.1 第一个问题： 稳定匹配
9
9 9
双向选择，缺少强制干预的实例： Raj 接收到来自电信公司CluNet的暑期工 作； 另一家公司WebExodus也给他一个Offer; Raj自己想去WebExodus而不是CluNet;
2
问题的提出
9 9 9
9 9 9
9
1.1 问题
一个完美匹配S’是具有如下性质的匹配： M的每个成员和W的每个成员恰好出现在 S’的一个队里。 优先的概念: 每个男人m ∈ M 对所有的女 人排名，如果m给w的排名高于w’,称 m 偏爱w超过w’. 于是每个男人对女人有一个排名->优先 表；类似的每个女人也有一个优先表。
10
稳定的分配方案 如果分配方案中没有前面所述的不稳定 的(x,y)出现。
这样的定义比较符合真实，而且也能够保 证尽可能的满足双方的选择
6
问题的背景
2. 1962， David Gale, Lloyd Shaply, 两 位数理经济学家，当时在《纽约人》读 到一个关于学校入学处理错综复杂的事 情，于是引起了对稳定匹配研究的兴趣。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(m,w),(m’,w’); (m,w’),(m’,w)
17
例子
n=3,如前所述的优先表 X-C, Y-B, Z-A 是稳定匹配吗?
favorite least favorite favorite least favorite
1st Xavier Yancey Zeus Amy Bertha Amy
2nd Bertha Amy Bertha
3rd Clare Clare Clare Amy Bertha Clare
1st Yancey Xavier Xavier
2nd Xavier Yancey Yancey
3rd Zeus Zeus Zeus
Men’s Preference Profile
Women’s Preference Profile
11
1.1 问题
稳定匹配 不稳定因素 给定一个完美匹配S, 在S中存在两个对 (m,w)和(m’,w’), 如果m更偏爱w’而不爱 w, 而且w’更偏爱m而不爱m’. ---称(m,w’)是一个相对于S的不稳定因素: (m,w’)不属于S, 但是m和w’双方都偏爱 另一方而不爱他们在S中的伴侣。
22
算法
循环往复；最后，当没有人处于自由状 态，那么所有的约会被定为最后的结果， 返回最终的完美匹配。
23
算法
邀请-拒绝算法. [Gale-Shapley 1962] 找到稳定匹配符合直觉的算法
Initialize each person to be free. while (some man is free and hasn't proposed to every woman) { Choose such a man m w = 1st woman on m's list to whom m has not yet proposed if (w is free) assign m and w to be engaged else if (w prefers m to m') assign m and w to be engaged, and m' to be free else w rejects m }
12
1.1 问题
Figure 1.1 具有不稳定元素(m,w’)的完美 匹配S
13
1.1 问题
9 9
目标就是一个不含有不稳定因素的匹配 (舞会，婚姻)集合 我们说一个匹配S是稳定的，如果 匹配S是完美的 不存在相对于S的不稳定因素
14
1.1 问题
对每组优先表是否存在一个稳定匹配？ 给定一组优先表，如果存在稳定匹配， 我们能够有效的构造出来吗？ 如果存在稳定匹配，会有很多吗？
1st 8 2nd 3 3rd 7 4th 1 5th 4 6th 5 7th 6 8th 2
Amy Pref
Amy Inverse
1 4th
2 8th
3 2nd
4 5th
5 6th
6 7th
7 3rd
8 1st Amy prefers man 3 to 6 since inverse[3] < inverse[6]
1.1 问题
一个具体的优先表例子： M={Xavier,Yancey,Zeus}; W={Army,Bertha,Clare}
favorite least favorite favorite least favorite
1st Xavier Yancey Zeus Amy Bertha Amy
2nd Bertha Amy Bertha
1st Yancey Xavier Xavier
2nd Xavier Yancey Yancey
3rd Zeus Zeus Zeus
Men’s Preference Profile
Women’s Preference Profile
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例子
X-A, Y-B, Z-C 是稳定匹配吗?
favorite least favorite favorite least favorite
15
例子
考虑n=2, M={m,m’};W={w,w’} 9 m更偏爱w而不爱w’ 9 m’更偏爱w而不爱w’ 9 w更偏爱m而不爱m’ 9 w’更偏爱m而不爱m’ 那么(m,w), (m’,w’)构成了唯一的稳定匹配。
---(m,w’), (m’,w) 不是
16
例子
考虑n=2, M={m,m’};W={w,w’} 9 m更偏爱w而不爱w’ 9 m’更偏爱w’而不爱w 9 w更偏爱m’而不爱m 9 w’更偏爱m而不爱m’ 稳定匹配是什么?
命题3 G-S算法在至多n2次While循环的迭代后 终止。 证明： 需要定义一个逐步进展的度量。 单个自由人的数目不合适； 参与约会的对数也不合适； 定义P(t): 迭代t结束时，m已经向w发出过邀请的 那些(m,w)的集合。 可知P(t)大小严格递增。且(m,w)只存在n2种可能。
31
分析算法
37
推广
现在定义S*={m,best(m): m∈ M} 命题7 G-S算法的每次执行都得到集合S*
38
推广
4
问题的背景
9 9
1. 存在一些医院，以及一些即将从医学 院毕业的学生。医院招学生的时候，会 有自己的倾向性；同样的学生也有自己 的喜好。 经过一系列的招聘选择以后，称申请者x 和医院y是不稳定的，如果 x更喜欢y, 而不喜欢目前分配的医院 y更喜欢x, 而不喜欢目前分配给它的学生。
5
问题的背景
27
分析算法
命题6 考虑G-S算法的一次执行，它返回 一个集合S, 那么S是一个稳定匹配。 证明：假设S中存在一个不稳定因素， (m,w),(m’,w’); 但是m偏爱w’, w’偏爱m. 那么m最后一次邀请向w发出；在此之前, m 向w’一定发出过邀请，但是被w’拒绝，那 么w’一定选择了比m更好的对象，无论如 何w’都不可能与m’配对。 矛盾。
24
算法
正确性？ 有穷性？ 输出？
25
分析算法
G-S算法叙述比较简单 具体看一个算法的执行过程
G-S算法是否会输出一个正确结果？ 9 是否G-S算法返回一个完美匹配？ 9 是否G-S算法返回一个稳定匹配？
26
分析算法
命题4 如果男人m在算法执行的某点是自 由的，那么存在一个他还没有发出过邀 请的女人。 命题5 终止时，G-S算法返回的集合S是 一个完美匹配。
for i = 1 to n inverse[pref[i]] = i
2
7
34
推广
具有多个稳定匹配的实例.
A-X, B-Y, C-Z. A-Y, B-X, C-Z.
1st 2nd B A B 3rd C C C Amy Bertha Clare 1st Y X X 2nd X Y Y 3rd Z Z Z A B A
1st Xavier Yancey Zeus Amy Bertha Amy
2nd Bertha Amy Bertha
3rd Clare Clare Clare Amy Bertha Clare
1st Yancey Xavier Xavier
2nd Xavier Yancey Yancey
3rd Zeus Zeus Zeus
如何能够有效的实现G-S算法？ 若存在多个，G-S算法找到的是哪一个稳 定匹配？
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实现算法
要点： M={1,…, n};W={1,…,n}; 用两个数组来记录约会的对象； 用一个数组来记录每一个男人在自己优 先表的位置（提出邀请的次数）；
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实现算法
女人如何判断接收/拒绝邀请？ 女人对自己的优先表做预处理，反向变换； 这样以后判别的时候就是常数阶的代价；