中考数学典型例题
初中数学最值问题专题
中考数学最值问题【例题1】(经典题)二次函数y二2 (x-3) 2-4的最小值为.【例题2】(2018江西)如图，AB是。
的弦，AB=5,点C是。
上的一个动点，且NACB=45°,若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是___ .C【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c (a不0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y 轴交于点C, OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM^BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当^PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点，问AQ+ 2 QC是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.1.(2018河南)要使代数式V-2^37有意义，则乂的( )A.最大值为2B.最小值为2C.最大值为-D.最大值为°3 3 2 22.(2018四川绵阳)不等边三角形AABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为。
3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么“2+“〃 +从一” 的最小值为04.（2018云南）如图，MN是。
的直径，MN=4, NAMN=40° ,点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为.C5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1WxV15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R、P与x的关系式分别为R = 500 + 30x , P = 170 —2x。
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB+的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B'+=的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
ABA'′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
中招数学经典例题
中招数学经典例题中考数学经典例题在中考数学考试中占据重要地位，考生们应该掌握这些例题，才能够顺利应对中考数学考试。
下面我们来介绍一些经典例题。
一、平面向量1. 有两个平面向量 $\vec{a}=3\vec{i}-\vec{j}$，$\vec{b}=2\vec{i}+\vec{j}$，求它们的数量积。
2. 已知两个平面向量 $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$，$\vec{b}=-\vec{i}+5\vec{j}+2\vec{k}$，求它们的叉积。
3. 已知两个平面向量 $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}$，$\vec{b}=2\vec{i}-\vec{j}$，试求它们的夹角 $cos\alpha$。
二、三角函数1. 求证：$cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 已知 $\frac{sinx}{cosx}+tanx=1$，求 $x$ 的值。
3. 已知正弦函数 $y=a\sin\omega x$，求 $y$ 的最大值和最小值。
三、平面几何1. 已知四边形 $ABCD$，$E$、$F$ 分别为 $AB$、$BC$ 上的点，$EF$ 与 $AD$、$CD$ 的延长线交于 $P$、$Q$，试证明：四边形$APBQ$ 与 $EPFQ$ 的面积相等。
2. 在 $\triangle ABC$ 中，点 $E$、$F$ 分别在 $AC$、$AB$ 上，$BE$ 与 $CF$ 交于点 $O$，若 $\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{FA}$，则证明 $AO$ 是 $\triangle ABC$ 中的角平分线。
3. 已知圆 $O$ 的半径为 $r$，圆上分别取两点 $A$、$B$，则弦$AB$ 的中垂线长为多少？四、解析几何1. 已知点 $A$、$B$ 的坐标分别为 $A(-2,-1)$，$B(4,3)$，求点 $M$ 到$AB$ 的距离。
初中数学典型例题集锦(无答案)
中考数学典型例题集锦例题1（考查分解因式）先化简再求值:,121232---++x x x x x 其中.23-=x练习①._________________96223=-+-y x xy y 练习②._______________3=-ab b a练习③()().________________24222=+-+b a b a练习④.______________________1164=-x练习③先化简再求值:,41221122-++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x 其中.12-=x例题2（考查二次根式） 使式子x211-有意义的x 的范围._______ 解析:考虑全面※二次根式的被开方数021≥-x※x 21-在分母上不能为.0 练习①计算._______2154=⋅练习②下列二次根式中,最简二次根式是（ ）x A 12. 9.-x B bba C +. y x D 25.练习③在二次根式03.0,3.04331，，，中,属于同类二次根式的是.___________________ 练习④若,2<a 则().________22=-a例题3（考查科学计数法） 数据._____________14000000=练习①数据._____________4100000= 练习②数据.___________9600000= 练习③数据.___________00063.0= 练习④02.455亿元____________=元 练习⑤3553万._______________= 练习⑥.____________000000017.0= 例题4（计算）计算:2212145sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-+--︒解:原式()221121221⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=542122=+-+=练习①13221081252-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--- 练习②()︒----+⎪⎭⎫ ⎝⎛--30cos 22320192102π练习③()27160sin 1312121+-︒-++⎪⎭⎫⎝⎛-例题5（考查解分式方程）解方程:131332=-+-xx x练习①解方程:26513123-=--x x练习②解方程:131332=---x x x练习③()()21311+-=--x x x x例题5（一次与反比例综合中的分类讨论思想）如图,反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y +=的图象交于()()1,,6,2n B A 两点.(1) 求反比例函数和一次函数的表达式;(2) E 为y 轴上的一个动点,若,5=∆AEB S 求E 点; (3) 在y 轴上是否存在点,T 使ABT ∆为等腰三角形?若存在,请直接写出所有点T的坐标.练习①在平面直角坐标系xOy 中,一次函数b ax y +=的图象过点(),0,2-A 且与反比例函数()0>=x xky 的图象交于点().3,1B (1) 求反比例和一次函数的解析式;(2) 设P 是反比例函数()0>=x x ky 图象上一点,过点P 作y PD ⊥轴交直线AB 于点,D 若D P O A ,,,为顶点的四边形为平行四边形,求点D 的坐标.练习②在平面直角坐标系xOy 中,直线()0≠+=k b kx y 与双曲线x y 8=的一个交点为(),,2m P 与x 轴,y 轴分别交于点.,B A(3) 求m 的值;(4) 若,2AB PA =求k 的值.例题7（一场与师傅或徒弟的较量）如图,海中有一灯塔,P 它的周围8海里有暗礁.海轮以18海里/小时的速度由西向东航行,在A 处测得灯塔P 在北偏东︒58方向上;航行40分钟到达B 处,测得灯塔P 在北偏东︒26方向上.(1) 求灯塔P 到点B 的距离;(2) 如果海轮不改变航线由B 继续向东航行,你认为海轮是否存在触礁的危险?例题8（飞机滑行问题）飞机着陆后滑行的距离y （单位:m ）关于滑行时间t （单位:s ）的函数解析式是.23602t t y -=(1) 飞机滑行时间是;_______s (2) 飞机最远滑行;________m(3) 飞机最后4s 滑行的距离是.________m练习①汽车刹车后行驶的距离s （单位:m ）关于行驶的时间t （单位:s ）的函数解析式是.6152t t s -= (1) 汽车刹车后到停下来前进了;________m (2) 汽车最后s 5.0滑行的距离是.________m例题9（考查反比例函数k 的几何意义）如图,点,A B 分别是反比例函数()110ky x x=>和()220ky x x =>图象上的两点,AB x ⊥轴于点C ,已知OAB ∆的面积是3,则21______.k k -=练习❶如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,面积为3的等边三角形ABO 的顶点A 位于反比例函数ky x=的图象上,则_____.k =练习❷如图,点A 为反比例函数()80y x x =>图象上一点,连接OA ,交反比例函数()20y x x=>的图象于一点,B 点C 是x 轴上一点,且,AO AC =则_______.ABC S ∆=练习❸如图,点()2,0,A -点()0,1,B 以线段AB 为边在第二象限作矩形,ABCD 双曲线ky x=过点,D 连接,BD 若四边形OADB 的面积为6,则______.k =练习❹如图,直线y mx =与双曲线ky x=交于,A B 两点,过点A 作AM x ⊥轴于点,M 连接,BM 若2,ABM S ∆=则______.k =例题10（条件概率）动物学家通过大量的调查估计:某种动物活到20岁的概率为，8.0活到25岁的概率为5.0,活到30岁的概率为.3.0(1) 现年20岁的这种动物活到25岁的概率为___; (2) 现年25岁的这种动物活到30岁的概率为.___例题11（考查扇形弧长与面积及圆锥侧面积） 如图,以点A 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 与小圆相切于点,P 若123, 6.AB OP == (1) 劣弧AB 的长为________; (2) 阴影部分的面积为________.练习❶如图,AC 是O 的直径,点B 在圆周上(不与,A C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交O 于点,E 若367.5,AOB ADB ∠=∠=︒2,AC =则阴影部分的面积为_______.练习❷如图,半圆O 的直径4,AB =弦//,CD AB 且OC ⊥,OD 则阴影部分的面积为_________. 练习❸如图,四边形OABC 为菱形,点,A B 在以点O 为圆心的弧DE 上,若3,12,AO =∠=∠则扇形ODE 的面积为________.练习④一个底面直径是,cm 80母线长为cm 90的圆锥的侧面展开图的角的度数为._______练习⑤一个圆锥的侧面积为，π8母线长为，4则这个圆锥的全面积为.________练习⑥如图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的表面积为.________例题12（考查利润及利润率计算公式）00==100⨯利润利润售价-进价，利润率进价某超市销售一种进价为21元的商品,按标价的九折出售,可获利0020,则该商品标价为______元. 练习❶某商品的标价为220元,按九折出售,获利0010,则这种商品的进价为______元.例题13（设计运算之整体思想）若关于,x y 的二元一次方程组22324x y mx y +=-⎧⎨+=⎩的解满足3,2x y +>-求满足条件的m 的所有正整数值.练习❶已知2230,x x --=则236x x -的值为____. 练习❷若实数,a b 满足()()444428a b a b ++--的值为0,则_______.a b +=练习③已知,41=+x x 则.______122=+x x 练习④已知,61=-x x 则.________122=+xx练习④已知()().9,2522=-=+y x y x(1)________;=xy (2).________22=+y x例题14（利用函数图象的性质比大小）已知点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 是函数3y x=-图象上的三点,且1230x x x <<<,则123,,y y y 的大小关系是__________（用“<”连接）练习❶已知一元二次方程230x bx +-=的一根是3,-在二次函数23y x bx =+-的图象上有三点14,,5y ⎛⎫- ⎪⎝⎭25,,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,,6y ⎛⎫⎪⎝⎭则123,,y y y 的大小关系是__________（用“<”连接）练习②若点()()()321,3,,3,5y y y --，都在反比例函数xy 3=的图象上,则123,,y y y 的大小关系是__________（用“<”连接）练习③在反比例函数xmy 21-=的图象上有两点()(),,,,2211y x B y x A 当210x x <<时,,21y y <则m 的取值范围是.________例题15（不等式中的分类讨论思想）关于x 的不等式1x a -≤<有三个整数解,则a 的取值范围是_____________.练习❶关于x 的不等式1x a -<≤有3个正整数解,则a 的取值范围是_____________.练习❷已知关于x 的不等式组()5231138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解,求a 的范围.练习③若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->>+412102a x a x 的解集中的任意,x 都能使不等式02019>-x 成立,则a 的取值范围是.__________练习④已知实数a 是一个不等于2的常数,解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+--≥+-03332312x a x x ,并根据a 的取值情况写出其解集.练习⑤已知关于x 的不等式.1333->-xm mx (1) 当5=m 时,求该不等式的解集;(2) m 取何值时,该不等式有解,并求出解集.例题16（折叠问题中渗透方程思想）如图,在一张矩形纸片ABCD 中,,3=AB 点N M ,分别是CD AB ,的中点,现将这张纸片折叠,使点D 落到MN 上的点G 处,折痕为,CH 若HG 的延长线恰好过点,B 则._______=AD练习①在矩形ABCD 中,点F E ,分别是边DC BC ,上的动点,以直线EF 为对称轴折叠CEF ∆,使点C 的对称点P 落在AD 上,若,5,3==BC AB 则CF 的取值范围是._____________例题17（考查一元二次方程根与系数的关系的同时注意挖掘隐含条件）若关于x 的一元二次方程()22210x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数,则a 的值为______. 练习❶使关于x 的方程()081822=+++x a ax 有两个不相等的实数根的a 的取值范围是._________练习②已知关于x 的方程()02142=+--m x m x 有实数根,求实数m 的取值范围,并在数轴上表示出来.练习③当b a ,为方程012=--x x 的两根时,代数式()2211b a b a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+的值为._______ 练习④试证方程()0122=++-x k kx 必有实数根.练习⑤已知b a ,是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根,且满足,111-=+ba 则m 的值是._________ 练习⑥已知21,x x 是方程0522=-+x x 的两个实数根,则._______32=++-n m mn m练习⑦一元二次方程0242=+-x x 的两根为,,21x x 则2112124x x x x +-的值为._______例题18（考查增长率问题）现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,某市某家小型快递公司,今年四月份与六月份完成投递的快递总件数分别为10万件与1.12万件,假定该公司765、、每月投递的快递总件数的增长率相同.请你预测7月份投递的快递件数?例题19（全等证明与平行四边形的性质与判定） 如图,在Rt ABC ∆中,90,ABC ∠=︒点M 是AC 的中点,以AB 为直径作O 分别交,AC BM 于点,.D E (1) 求证:AEM ∆≌;BDM ∆(2) 连接,,OD OE 请直接写出使四边形ODME 为菱形时DME ∠的度数.练习❶如图,O 是ABC ∆内一点,O 与BC 相交于G F ,两点,且与AC AB ,分别相切于点.//,,BC DE E D 连接.,EG DF(1) 求证:;CE BD =(2) 已知,12,10==BC AB 请直接写出使四边形DFGE 为矩形时O 的半径.练习②如图,已知D C F A ,,,四点在同一条直线上,,//,DE AB CD AF =且.DE AB = (1) 求证:ABC ∆≌;DEF ∆(2) 若,90,4,3︒=∠==DEF DE EF 请直接写出使四边形EFBC 为菱形时AF 的长度.例题20（频率估计概率）表中记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况.由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率是__________（精确到1.0）例题21（考查函数图象的平移法则）+左右平移:左右-(相对于自变量x 而言)上下平移:上+下-(给函数整体加减)将抛物线244y x x =--向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式____________练习❶把函数xky =的图象向右平移3个单位,再向下平移5个单位,所得函数的解析式为.__________ 例题22（外接圆与全覆盖）已知正ABC ∆的边长为2,那么能够完全覆盖这个正ABC ∆的最小圆面的半径是_______.练习❶已知直角三角形的两条边长分别为3和4,那么能够完全覆盖这个直角三角形的最小圆面的面积是_________.例题23（在三角函数中渗透方程思想）如图,一座山的一段斜坡BD 的长度为600米,且这段斜坡的坡度1:3.i =已知在地面B 处测得山顶A 的仰角为33,︒在斜坡D 处测得山顶A 的仰角为45,︒求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米.(结果用非特殊角的三角函数与根式表示)解:过点D 作BC DH ⊥于点.H 斜坡BD 的坡度,3:1=i ∴,3:1:=BH DH ∴(),6003222=+DH DH∴.10180,1060==BH DH 设.x AE =在ADE Rt ∆中,,45︒=∠ADE ∴.x AE DE == 又,,DH EC DE HC ==∴,1060,==EC x HC 在ABC Rt ∆中, ,10180106033tan xx ++=︒∴,33tan 1106033tan 10180︒--︒=x∴106033tan 1106033tan 10180+︒--︒=+=EC AE AC︒-︒=33tan 133tan 10120∴山顶A 到地面BC 的高度为︒-︒33tan 133tan 10120米.练习❶如图,某数学活动小组选定测量古树BC 的高度,他们在斜坡上D 处测得古树顶端B 的仰角是30,︒朝古树方向下坡走6米到达坡底A 处,在A 处测得古树顶端B 的仰角是48,︒若斜坡AD 的坡比为1:3,i =求古树的高度.(结果用非特殊角的三角函数与根式表示)练习❷如图,建筑物AB 高为6,m 在其正东方向有一个通信塔,CD 在它们之间的地面点M 处测得建筑物顶端A 、塔顶C 的仰角分别为33︒和60,︒在A 处测得塔顶C 的仰角为30,︒求通信塔CD 的高度.（结果用非特殊角的三角函数和根式表示）例题24（在坐标系中考查对称） 关于x 轴对称,x 不变,y 互为相反数 关于y 轴对称,y 不变,x 互为相反数 关于坐标原点中心对称,均互为相反数例题25（数据的波动程度、方差2s 的计算）()()()nx x x x x x s n222212-++-+-=越大越大,越小越小.例题26（考查正多边形与圆）半径为r 的圆内接正三角形的面积是._________ 练习①已知⊙O 的周长为，π2其内接正方形的面积为________.练习②同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为.__________练习③正三角形的外接圆与内切圆的面积比为___________.练习④正六边形的内切圆与外接圆的半径之比为___________.解题思维:构造基本图形 例题27（考查位似）外位似 内位似如图,正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形, 点()1,1,F 点()4,2,C 则这两个正方形的位似中心的 坐标为__________________.练习①如图,直线113y x =+与x 轴交于点,A 与y 轴交于点,B 四边形BOCD 与四边形''''B O C D 是以点A 为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,则点B 的对应点'B 的坐标为_____________.练习②在平面直角坐标系中,点()n m P ,是ABC ∆的边AB 上的一点,以原点O 为位似中心把ABC ∆放大到原来的两倍,则点P 的对应点的坐标为._____________例题28（无图题中考查分类讨论思想）在ABC ∆中,,5,34==AC AB 若BC 边上的高等于，3则.___________=BC 练习①等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，︒36则该等腰三角形的底角的度数为.__________ 练习②如果等腰三角形两边长是cm 6和,3cm 那么它的面积为.__________练习③在正方形ABCD 中,以AD 为边作正三角形,ADE 则AEB ∠的度数为._________练习④矩形ABCD 中,,8,6==BC AB 点P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足P B E ∆∽DBC ∆,若APD ∆是等腰三角形,则.________=PE 例题29（由三视图还原几何体）下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的左视图和俯视图:(1) 小正方体的个数至少为_______个;(2) 小正方体的个数至多为_______个.练习①下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的主视图和左视图:(1) 小正方体的个数至少为_______个;(2) 小正方体的个数至多为_______个.例题30（圆与相似）如图,AB 为⊙O 的直径,点E 在⊙O 上,EAB ∠的平分线交⊙O 于点,C 过点C 作AE 的垂线,垂足为,D 直线DC 与AB 的延长线交于点.P(1) 求证:PC 是⊙O 的切线;(2) 若,6,43tan ==∠AD P 求线段AE 的长.练习①如图,PA 与⊙O 相切于点,A 过点A 作,OP AB ⊥垂足为,C 交⊙O 于点.B 连接,,AO PB 并延长,AO 交⊙O 于点,D 与PB 的延长线交于点.E (1) 求证:PB 是⊙O 的切线;(2) 若⊙O 的半径为，5,3=OC 求E cos 的值.练习②如图,已知,AC BC ⊥圆心O 在AC 上,点M 与点C 分别是AC 与⊙O 的交点,点D 是MB 与⊙O 的交点,点P 是AD 的延长线与BC 的交点,且.AOAMAP AD = (1) 求证:PD 是⊙O 的切线;(2) 若,12,==AD MC AM 求⊙O 的半径; (3) 在(2)的条件下,求MDBP的值.例题31（数与式同概率的结合）在2,1,2,4--四个数中,随机抽取两个数作为函数12++=bx ax y 中b a ,的值,则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为._________练习①从3,1,21,1,3---这五个数中,随机抽取一个数,记为，a 则数a 使关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+037231a x x 无解,且使分式方程1323-=----x a x x 有整数解的概率为._________练习②从2,1,0,1,2--这五个数中,随机抽取一个数记为,a 则数a 使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-a x x 21221612有解,且使关于x 的一元一次方程32123ax a x +=+-的解为负数的概率为.__________例题32（动态问题中的多解※难） 如图,正方形A B CD 的边长是，16点E 在边AB 上,,3=AE 点F 是边BC 上不与点C B 、重合的一个动点,把EBF ∆沿EF 折叠,点B 落在'B 处.若'CDB ∆恰为等腰三角形,则'DB 的长为._________练习①如图,在矩形ABCD 中,,4,3==BC AB 点E 是BC 边上的一点,连接,AE 把B ∠沿AE 折叠,使点B 落在'B 处,当'CEB ∆为直角三角形时.BE 的长为.____________ 例题33（选择题中的代入法,体现“小题小做”） 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 满足31≤≤x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为，5则h 的值为（ ）51.-或A 51.或-B 31.-或C 31.或D 练习①已知二次函数(),2h x y --=当自变量x 的值满足52≤≤x 时,与其对应的函数值y 的最大值为,1-则h 的值为（ ）63.或A 61.或B 31.或C 64.或D 练习②当1+≤≤a x a 时,函数122+-=x x y 的最小值为，1则a 的值为（ ）1.-A2.B 20.或C 21.或-D练习③方程x xx 41102-=+-的正数根的取值范围是（ ）10.<<x A 21.<<x B 32.<<x C 43.<<x D 练习④估计方程0123=-+x x 的实根所在的范围.410.<<x A 3141.<<x B 2131.<<x C 121.<<x D例题34（单循环与双循环）要组织一次拔河比赛,参赛的每两个班都要比赛一场,共比赛了28场,设参赛的班级数为,x 根据题意可列方程为.________________练习①参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,则有_____个球队参赛. 练习②正十边形的对角线条数为._______例题35（函数、方程、不等式）直线1:+=kx y l 与抛物线x x y 42-=的交点个数为._________练习①直线4+-=x y 与双曲线()04>=x xy 的交点个数为.__________练习②已知二次函数1412-+-=m x x y 的图象与x轴有交点,则m 的取值范围是.___________练习③如图,反比例函数()0ky x x=<与一次函数4y x =+的图象交于A B 、两点,且A B 、两点的横坐标分别为31--、，则关于x 的不等式()400kx x x--<<的解集为________________.练习④如图,正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于,A B 两点,其中点B 的横坐标为5,当12y y <时,自变量x 的取值范围是_________________.练习⑤给出函数xy x y x y 1,,2===的图象:(1) 若,12a a a>>则a 的范围为._______________ (2) 若,12a a a >>则a 的范围为._______________(3) 若,12a aa >>则a 的范围为._______________例题36（不等式中渗透分类讨论思想）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤-≥a x a x 5153无解,化简:._________31=--+a a练习①已知关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+021232a y yy 的解集为,2-<y 则a 的取值范围为.___________ 练习②若数a 使关于x 的不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≤-x a x x x 132121131有且仅有三个整数解,且使关于y 方程121223=-++-ya y y 有整数解,则满足条件的a 的取值范围是.___________________练习③已知,2≠m 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+-0323312x m x ,并根据m 的取值情况写出其解集.例题37（︒45与正方形）如图,正方形ABCD 中,F E ,分别是边CD BC ,上的动点,,45︒=∠EAF 给出下列结论:(1) ;AE AD =(2) ();222DF BE CF CE +=+(3) .ADF ABE AEF S S S ∆∆∆+=练习①如图,点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点,把ADE ∆绕点A 顺时针旋转︒90到ABF ∆的位置,若四边形AECF 的面积为,2,25=DE 则.______=AE 练习②边长为4的正方形ABCD 中,P 是BC 边上的一动点（不与C B ,重合）.将ABP ∆沿直线AP 翻折,点B 落在点E 处;在CD 上有一点,M 使得将CMP ∆沿直线MP 翻折后,点C 落在直线PE 上的点F 处,直线PE 交CD 于点,N 连接.,NA MA 则下列结论中正确的有___________（填序号） ①;45︒=∠NAP ②ABP ∆≌ADN ∆时,;424-=BP ③四边形AMCB 的面积的最大值为;10④当P 为BC 的中点时,AE 垂直平分.NP例题38（动中有静取特值）如图,已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点,正方形EFGH 的顶点H G ,都在边AD 上,若,4,3==BC AB 则AFE ∠tan 的值为._______例题39（能用函数性质解决一些问题）若,9=ab 13-≤≤-b ,则a 的范围是.___________ 练习①若,2-=+b a 且,2b a ≥则ba的最大值为._________练习②已知,022,22=+-≥am m a ,0222=+-an n 则()()2211-+-n m 的最小值为._______例题40（考查配方法）将二次函数142+-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为.________________练习①将二次函数322-+-=x x y 化成顶点式为.________________练习②用配方法和公式法两种方法解下列方程.0462=++x x x x 3122=+例题41（三角函数助你破解压轴）如图,抛物线432322--=x x y 与x 轴交于B A ,两点,与y 轴交于点.C (1) 求点C B A ,,的坐标;(2) 点P 从点A 出发,在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动,同时,点Q 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运动时间为t 秒,求运动时间t 为多少秒时,PBQ ∆的面积S 最大,并求出其最大面积; (3) 在BC 下方的抛物线上是否存在点,M 使BMC ∆得面积是25?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.练习①如图,抛物线c bx ax y ++=2的图象经过点()()(),4,2,0,4,0,2D B A -与y 轴交于点,C 作直线,BC 连接.,CD AC(1) 求抛物线的函数表达式;(2) E 是抛物线上的点,求满足ACO ECD ∠=∠的点E 的坐标.(3) 若点P 为第一象限内抛物线上一点,求出使得PBC ∆的面积达到最大时的P 点坐标.。
中考数学试卷典型例题解析
例题1：一元二次方程的应用题题目：某工厂生产一批产品，若每天生产80件，则生产完这批产品需要10天；若每天生产100件，则生产完这批产品需要8天。
问：这批产品共有多少件？解析：设这批产品共有x件。
根据题意，我们可以列出以下方程：80 × 10 = x100 × 8 = x解这个方程组，我们可以得到：x = 800答案：这批产品共有800件。
例题2：几何证明题题目：已知：在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边上的一个点，AD⊥BC。
证明：∠B=∠C。
解析：证明：由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，我们有∠ABC=∠ACB。
又因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。
在直角三角形ADB和ADC中，∠BAD=∠CAD，所以三角形ADB和ADC是相似的。
根据相似三角形的性质，我们有：∠B/∠A = ∠C/∠A由于∠A是公共角，可以约去，得到：∠B = ∠C答案：证明完成，∠B=∠C。
例题3：函数问题题目：已知函数f(x) = 2x - 3，求函数f(x)在x=2时的函数值。
解析：要求函数f(x)在x=2时的函数值，我们只需将x=2代入函数f(x)中。
f(2) = 2 × 2 - 3f(2) = 4 - 3f(2) = 1答案：函数f(x)在x=2时的函数值为1。
例题4：代数式求值题目：已知a+b=5，ab=6，求(a+b)^2的值。
解析：首先，我们知道(a+b)^2可以展开为a^2 + 2ab + b^2。
由题意，a+b=5，ab=6，代入上式，得：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)^2 = (a+b)^2 + 2ab(a+b)^2 = 5^2 + 2×6(a+b)^2 = 25 + 12(a+b)^2 = 37答案：(a+b)^2的值为37。
通过以上例题解析，我们可以看到中考数学试卷中的典型题目涉及了代数、几何、函数等多个知识点，考生需要掌握扎实的数学基础和解题技巧。
中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)
几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。
中考数学复习《整式》典型例题讲解PPT课件
1.（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）
A． 2m m 1 B． m2·m3 a6 C． mn2 m2n2
D． m3 2 m5
【答案】C 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运 算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答12．分解因式的一般步骤： （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式； 为四项时，考虑利用分组的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”. 案．
A． 2x x 12
B． 2x x 12
C． x 2x 12
D． x 2x 12
【答案】A 【分析】
先提取公因式 2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可
【详解】
解： 2x3 4x2 2x 2x x2 2x 1 2x x 12
故答案选：A． 【点睛】 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．
【详解】解： 2m m m ， 故 A 不符合题意； m2 m3 m5 ， 故 B 不符合题意；
mn2 m2n2 ， 故 C 符合题意；
m3 2 m6 ， 故 D 不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握 以上基础运算是解本题的关键．
A． (a2 ab) a a b B． a2 a a2 C． (a b)2 a2 b2 D． (a3 )2 a5
【答案】A 【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘 方法则逐项判断即可． 【详解】解：
中考数学试卷典型题及答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an=（）A. 29B. 30C. 31D. 32答案：C解析：由等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得an = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29。
2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = f(b)，则a和b的关系是（）A. a = bB. a = b + 3C. a = b - 3D. ab = 3答案：C解析：由f(a) = f(b)，代入函数f(x) = 2x - 3，得2a - 3 = 2b - 3，化简得a = b。
3. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C=（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°答案：C解析：三角形内角和为180°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。
4. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7答案：B解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，x1 + x2 = -b/a，代入a=1，b=-5，得x1 + x2 = -(-5)/1 = 5。
5. 已知直线l的方程为2x - y + 1 = 0，点P(1,2)关于直线l的对称点Q的坐标为（）A. (2,0)B. (0,2)C. (-1,0)D. (0,-1)答案：A解析：点P关于直线l的对称点Q，其横坐标x' = 2x - 2a/(2b)，纵坐标y' =2y - 2b/(2a)，代入a=1，b=-1，x=1，y=2，得x' = 2×1 - 2×1/(2×(-1)) = 2，y' = 2×2 - 2×(-1)/(2×1) = 0。
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中考数学压轴题汇编1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当p ＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x －h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。
（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P=12时，y=x ＋()11002x -,即y=1502x +。
∴y 随着x 的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y=1100502⨯+=100。
而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；……6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。
若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y=()220a x k -+,……8分∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ①令x=100,y=100，得a ×802＋k=100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+。
………14分 2、（常州）已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由(1)2(33)m m -=+，得m=-k = ····· 2分（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =BC =30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意． ····························· 3分 当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF mm =>，则1AF =，12AD m=，由点(1A--，，得点11(1)D m --，．因此11(1)(23)m --+=解之得1m =10m =舍去），因此点63D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．5分如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m = 由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此22(1)3m m -+=．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形． ········ 7分 如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，同理可得，点(2D -，，四边形ABCD 是梯形． ·············· 9分图1图2综上所述，函数y =图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：63D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，或(1D或(2D -，． ······ 10分3、（福建龙岩）如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-=………2分（2）(30)A -，(54)B ， (04)C ，…………5分 把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-………6分 215466y x x ∴=-++…………………………………………7分图3（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ． 过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =，5.5AN =，52BM =① ········································································································· 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ················· 8分在1Rt ANP △中，1PN ====152P ⎛∴ ⎝⎭， ························· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．在2Rt BMP △中，2MP ====分252P ⎛∴ ⎝⎭························11分 ③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△．312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = ··············· 13分3(2.51)P ∴-， ··························· 14分注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分．5、（甘肃陇南）如图，抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由．(参考数： 1.41≈， 1.73≈， 2.24≈)解： (1)由已知条件可知： 抛物线212y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点． ∴ 903,210.2m n m n ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ……………………………………2分解得 31,2m n ==-． ………………………3分(2) ∵21322y x x =+-， ∴ P (-1，-2)，C 3(0,)2-． …………………4分 设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,3.2k b b -=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得13,22k b ==-．∴ 直线PC 的解析式是1322y x =-． …………………………6分说明：只要求对1322k b ==-，，不写最后一步，不扣分． (3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△O CD 中，∵ O C =32，3OD =， ∴ 2233()3522CD =+= …………8分∵ O A =3，3OD =，∴AD =6． …………9分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o，∠CD O 公用，∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分∴ OC CD AE AD =， 即335226AE =． ∴ 655AE =． …………………11分 65 2.688 2.55>，∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离． …………12分6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）．（3分）（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）（3）当O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）解：（1）连接BC ，由勾股定理求得：2AB AC ==················ 1分ABO①②③E213602n R S π==π ················ 2分（2）连接AO 并延长，与弧BC 和O 交于E F ，，2EF AF AE =-=························ 1分弧BC 的长：180n R l π== ······················ 2分 22r π=∴圆锥的底面直径为：2r =····················· 3分222-<，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． · 4分（3）由勾股定理求得：AB AC ==弧BC 的长：1802n R l R π==π ····················· 1分 22r R π=∴圆锥的底面直径为：2r R =···················· 2分2(2EF AF AE R R =-==222-<且0R >(2R R∴<·························· 3分即无论半径R为何值，2EF r<····················· 4分∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．7、（河南）如图，对称轴为直线x＝27的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设(08)t t<≤秒后，直线PQ交OB于点D.（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（3）当3,a OD==t的值及此时直线PQ的解析式；（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB∆相似？当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB∆不相似？请给出你的结论，并加以证明.9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．…………………………………………………………2分 ∴PO BA OE AP =．即34x y x =-．∴y =2114(4)333x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值13．…………………………………………………4分(2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．……6分 设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩y =213122x x -+．…………………………………………………………8分 (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．……………………9分 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)．将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)，∴该直线为y =x ＋1．……………………………………………………………10分 由21,131,22y x y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得5,6.x y =⎧⎨=⎩∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分。