相机标定和精度评估方法的比较和回顾汇总
工业相机标定
工业相机标定是指对工业相机进行参数校准和调整，以确保图像获取的准确性和精度。
以下是一般工业相机标定的步骤：
相机内部参数标定：这包括对相机的焦距、主点坐标、畸变等内部参数进行标定。
常用的方法是使用标定板，将标定板置于相机前方，采集多个不同位置和角度的图像，然后通过图像处理算法计算得出内部参数。
相机外部参数标定：这包括对相机的位置、姿态和视角等外部参数进行标定。
常用的方法是使用标定板或者特征点，在已知世界坐标系下，采集多个不同位置和角度的图像，通过图像处理算法计算得出外部参数。
畸变校正：在相机内部参数标定的过程中，通常会得到相机的畸变参数，包括径向畸变和切向畸变。
通过应用畸变校正算法，可以将图像中的畸变进行校正，使得图像中的物体形状更准确。
图像尺度校正：在进行相机标定时，通常会获得一个尺度因子，用于将图像中的像素坐标映射到真实世界中的实际坐标。
通过应用图像尺度校正算法，可以将图像中的像素坐标转换为实际物理坐标，实现准确的测量和定位。
标定结果评估：对标定结果进行评估，包括重投影误差的计算和评估。
重投影误差是指将标定后的相机参数应用于标定图像，并计算重投影点与实际点之间的误差。
评估结果可以帮助确定标定的准确性和可靠性。
摄像机标定方法综述
摄像机标定方法综述摘要：首先根据不同的分类方法对对摄像机标定方法进行分类，并对传统摄像机标定方法、摄像机自标定方法等各种方法进行了优缺点对比，最后就如何提高摄像机标定精度提出几种可行性方法。
关键字：摄像机标定，传统标定法，自标定法，主动视觉引言计算机视觉的研究目标是使计算机能通过二维图像认知三维环境，并从中获取需要的信息用于重建和识别物体。
摄像机便是3D 空间和2D 图像之间的一种映射，其中两空间之间的相互关系是由摄像机的几何模型决定的，即通常所称的摄像机参数，是表征摄像机映射的具体性质的矩阵。
求解这些参数的过程被称为摄像机标定[1]。
近20 多年，摄像机标定已成为计算机视觉领域的研究热点之一，目前已广泛应用于三维测量、三维物体重建、机器导航、视觉监控、物体识别、工业检测、生物医学等诸多领域。
从定义上看，摄像机标定实质上是确定摄像机内外参数的一个过程，其中内部参数的标定是指确定摄像机固有的、与位置参数无关的内部几何与光学参数，包括图像中心坐标、焦距、比例因子和镜头畸变等；而外部参数的标定是指确定摄像机坐标系相对于某一世界坐标系的三维位置和方向关系，可用3 ×3 的旋转矩阵R 和一个平移向量t 来表示。
摄像机标定起源于早前摄影测量中的镜头校正，对镜头校正的研究在十九世纪就已出现，二战后镜头校正成为研究的热点问题，一是因为二战中使用大量飞机，在作战考察中要进行大量的地图测绘和航空摄影，二是为满足三维测量需要立体测绘仪器开始出现，为了保证测量结果的精度足够高，就必须首先对校正相机镜头。
在这期间，一些镜头像差的表达式陆续提出并被普遍认同和采用，建立起了较多的镜头像差模型，D.C.Brown等对此作出了较大贡献，包括推导了近焦距情况下给定位置处径向畸变的表达式及证明了近焦距情况下测得镜头两个位置处的径向畸变情况就可求得任意位置的径向畸变等[2]。
这些径向与切向像差表达式正是后来各种摄像机标定非线性模型的基础。
一种远心镜头的标定方法及精度研究 -回复
一种远心镜头的标定方法及精度研究-回复研究背景和目的近年来，远心镜头的应用越来越广泛，如摄像机、望远镜等领域。
然而，远心镜头的标定方法及其精度一直是一个重要的研究课题。
准确的远心镜头标定方法能够提高镜头成像的质量和精度，对于各种应用中的测量和定位任务具有重要意义。
因此，本文旨在提出一种针对远心镜头的标定方法，并对其精度进行研究。
一、远心镜头基本原理远心镜头是一种独特的光学设计，其镜头与图像传感器之间存在一定的距离，使得图像被成像而成为远心图像。
相比于其他类型的镜头，远心镜头具有更高的分辨率和更大的视场深度。
二、远心镜头的标定方法1. 准备标定板为了进行远心镜头的标定，首先需要准备一个标定板。
该标定板应具有清晰可见的图案，例如棋盘格、圆形阵列等，并且其尺寸需要与标定相机视野相匹配。
2. 设置实验环境将标定板放置在一个光线充足且稳定的环境中，确保无其他干扰因素对标定的结果产生影响。
同时，调整好相机和标定板之间的距离，使得标定板完全位于远心镜头的成像平面内。
3. 采集标定图像通过相机拍摄标定板的照片，可以得到一系列的图像。
为了提高标定的准确性，应该采集多组不同姿态的图像，包括不同角度、不同距离等。
确保标定板在图像中占据足够大的比例。
4. 提取角点对采集到的标定图像进行预处理，然后使用角点提取算法提取图像中的角点。
角点是图像中边缘交汇处的位置，它们可以用来确定图像的畸变信息并进行标定。
5. 标定远心镜头根据提取到的角点信息，使用远心镜头的数学模型进行标定。
在这个过程中，通过求解镜头的内部参数（如焦距、主点坐标）和外部参数（如旋转角度、平移向量）来确定镜头的标定参数。
三、远心镜头标定精度研究针对以上标定方法，需要进行标定精度的研究。
常用的评估标准包括重投影误差和畸变校正能力。
重投影误差是指标定后的标定板在图像中的投影位置与实际位置之间的偏差。
通过计算重投影误差的平均值和标准差，可以评估标定方法的精度。
畸变校正能力是指标定方法对镜头畸变的校正能力，可以通过计算标定板上点的坐标在畸变图像中的投影位置与实际位置之间的偏差来评估。
计算机视觉中摄像机标定精度评估方法
计算机视觉中摄像机标定精度评估方法《计算机视觉中摄像机标定精度评估方法》摄像机标定（camera calibration）是计算机视觉中的重要环节，关系到图片的质量，是确定图片的世界坐标与像素坐标的关系的过程，是一个非常复杂的过程。
由于每一个摄像机都有其摄像机内参数，因此，开展摄像机标定是必须的。
摄像机标定精度的评估是摄像机标定的一个重要环节，也是检验摄像机标定结果的重要手段。
摄像机标定精度评估一般可以采用以下几种方法。
一、重投影误差法重投影误差法，也叫误差拟合法，是将实际的观测坐标与重投影模型的观测坐标之间的误差用回归法拟合，以获得总体的标定精度。
重投影误差法适用于误差分布满足正态分布和均值为0的原理。
它的优点是能有效的提取出标定系统的整体参数，对误差概率分布有一定要求，但该方法受实际质量影响较大，当误差分布不满足设定的条件时，结果不可靠。
二、多旋转法多旋转法是根据摄像机标定参数的某种随机变换模型，来评估标定精度。
它的基本原理是，当标定结果输出后，首先应用一组随机旋转向量对标定参数进行改变，再将改变后的参数带入标定系统中将原图片重投影，如果重投影结果与实际观测值偏差不大的话，则说明标定精度是比较可靠的。
多旋转法的优点是，无论误差分布是正态分布还是非正态分布，它都能够很好的反映标定系统的整体参数，且根据实际情况，可以采用任意的旋转模型，但它的缺点是，标定结果依赖于随机旋转向量的产生，且旋转向量的取值范围较为复杂。
三、迭代收敛法迭代收敛法通过反复迭代，计算出迭代结果与真实结果之间的偏差，从而评估摄像机标定精度。
它的优点是不受误差分布形态的影响，能很好的反映标定系统的整体参数，而且容易理解和实现；缺点是，结果受运算器的影响较大。
标定精度评估是计算机视觉中一个重要环节，在评估标定结果之前，应了解标定的原理，以及采用哪种评估方法，以及怎样评估，才能得出准确的标定精度评估结果。
相机标定算法
相机标定算法摄像机标定是用来计算摄像机的运动参数的重要步骤，它可以把摄像机的物理坐标系与图像坐标系（像素坐标系）相关联。
与处理传统图像不同，机器视觉要处理数字信号，因此摄像机标定是机器视觉系统中一个非常重要的环节。
本文介绍了摄像机标定的原理、方法和结果分析，并介绍了常用的摄像机标定算法及其特点，以便于更多的应用。
一、摄像机标定的原理摄像机标定是一种从照片中识别物体坐标系的方法，它的原理是基于三角测量算法，需要在机器视觉系统中提前定义了实物内部的若干个特征点，根据这些临时点的位置，就可以计算出摄像机坐标系和图像坐标系之间的关系，从而实现机器视觉系统的精确测量。
二、摄像机标定的方法摄像机标定有多种方法，一般来说，采用的方法有极小二乘法（least squares）、基于模板的方法、单应矩阵，以及深度学习法等。
1.极小二乘法（least squares）极小二乘法是用来计算实物在摄像机空间中坐标系下的坐标，它可以通过计算实物上光学特征点在摄像机坐标系下的坐标与摄像机图像上由特征点检测得到的坐标之间的差值来实现标定，从而给出摄像机的参数。
2.基于模板的方法基于模板的方法也叫多视场校正，是最常见的摄像机标定方法之一，它的原理是将位置处于固定的模板特征点投射到摄像机图像坐标系中，并结合摄像机图像坐标系中的特征点来求解摄像机的参数。
由于模板的临时点可以很容易被识别，该方法简单快捷，是机器视觉系统中常用的标定方法。
3.单应矩阵单应矩阵法是比较常用的摄像机标定算法之一，它使用了两个平面上的点对来对摄像机运动进行标定，它可以将视场中的三维空间投射到图像平面形成新的图像，从而得到摄像机运动参数及内参。
4.深度学习法深度学习法是近几年新兴的技术，它也可用于摄像机标定。
该方法主要是使用深度学习网络来识别图像中的特征点，再针对特征点及其相对位置关系来对摄像机运动参数进行标定。
优点是数据量不大，标定效果较好，但由于目前深度学习技术尚不成熟，其计算速度和准确度仍是技术上的瓶颈。
计算机视觉中摄像机标定精度评估方法
计算机视觉中摄像机标定精度评估方法
一、论文介绍
本文主要探讨了摄像机标定精度评估方法在计算机视觉领域的应用。
摄像机标定是视觉系统的基础工作，其精度直接影响视觉系统的性能。
文章提出了一种新颖的方法，即通过采用虚拟摄像机模型和标定抽样技术，以及采用视觉测量计算机视觉系统相机标定精度的方法，实现了准确评估摄像机标定的精度。
文章还提出了一种新的校准方法，以确保标定精度可以满足视觉系统的要求。
本文提出的方法被证明可以可靠地评估出计算机视觉系统中摄像机标定精度，提升视觉系统的性能和可靠性。
二、论文分析
本文介绍了一种评估计算机视觉系统中摄像机标定精度的新方法，包括采用虚拟摄像机模型和标定抽样技术，以及采用视觉测量计算机视觉系统相机标定精度的方法来实现这一目的。
此外，还提出了一种新的校准方法，以确保标定精度可以满足视觉系统的要求。
通过研究文章可以发现，虚拟摄像机模型和标定抽样技术提供了一种新的思路，实现了准确评估计算机视觉系统的摄像机标定精度的方法。
这种新方法不仅可以提高视觉系统的性能，而且可以提高计算机视觉系统的可靠性，使计算机视觉领域的应用更加完善。
总的来说，本文提出的摄像机标定精度评估方法在计算机视觉领域的应用具有重要的意义，可以为计算机视觉系统的研究提供新的思路和方法。
相机标定方法及技巧分析
相机标定方法及技巧分析相机标定是计算机视觉领域中的一项重要技术，它通过矫正相机的非线性畸变和确定相机的内部参数和外部参数，从而提高图像处理和计算机视觉应用的精度和稳定性。
本文将对相机标定的方法和技巧进行详细的分析。
1. 相机标定的基本概念相机标定是指确定相机的内参和外参的过程。
其中，内参包括相机的焦距、主点坐标等；外参包括相机在世界坐标系中的位置和朝向。
这些参数在计算机视觉任务中被广泛应用，例如三维重建、目标跟踪等。
2. 相机标定的方法2.1 标定板法标定板法是目前最常用的相机标定方法之一。
这种方法需要使用一张按照特定规则划分的标定板，在不同的位置和姿态下拍摄多张图像。
通过分析这些图像中的标定板特征点，可以计算出相机的内参和外参。
2.2 归一化法归一化法是一种基于对极几何原理的相机标定方法。
它利用多张不同角度的图像中的相应点的对极约束关系，对相机进行标定。
与标定板法相比，归一化法不需要使用特定的标定板，只需要提供多张具有对应点的图像。
2.3 Kalibr方法Kalibr是一种利用轴承约束进行相机标定的方法。
它通过观察相机在不同角度下对于静态目标的旋转轴承约束，估计相机的内参和外参。
这种方法相对于其他方法，对于非刚性场景和动态场景有更好的鲁棒性。
3. 相机标定的技巧3.1 图像采集要求为了获得准确的相机标定结果，图像采集的质量至关重要。
首先，要确保标定板或特征点在图像中有足够的分辨率。
其次，应避免过曝光和欠曝光的情况，保证图像的亮度均匀。
此外，还需要采集不同角度和距离下的图像，以获得更全面的标定数据。
3.2 标定板的选择对于标定板法，标定板的选择也对标定结果有一定影响。
传统的标定板通常是黑白棋盘格或由黑白相间的圆点组成的棋盘格。
近年来，还出现了更加精确和稳定的标定板，例如纹理丰富的标定板和带有激光二维码的标定板。
选择合适的标定板可以提高标定的精度和鲁棒性。
3.3 多角度标定为了获得准确的相机标定结果，通常需要在多个角度下对相机进行标定。
高精度航测相机参数的标定方法
高精度航测相机参数的标定方法近年来，航测技术得到了广泛应用，并在地理信息领域发挥着重要作用。
而航测相机是航测技术中的核心设备之一，通过对相机参数的精确标定，可以提高航测数据的准确性和可靠性。
本文将介绍一种高精度航测相机参数的标定方法。
一、相机模型及参数在介绍标定方法之前，首先需要了解航测相机的模型及参数。
常用的相机模型有针孔相机模型和畸变相机模型两种。
针孔相机模型假设光线通过一个非常小的针孔射入相机内部，然后再通过透镜投影到成像平面上，从而形成图像。
而畸变相机模型则考虑了相机透镜的畸变问题，通常包括径向畸变和切向畸变两种。
相机模型的参数包括相机内部参数和外部参数。
相机内部参数主要包括焦距、主点位置、径向畸变系数和切向畸变系数等。
相机外部参数则表示了相机在世界坐标系下的位置和姿态。
二、标定方法介绍航测相机参数的标定方法通常分为两步进行，第一步是相机内部参数的标定，第二步是相机外部参数的标定。
1. 相机内部参数标定相机内部参数标定通常采用棋盘格标定法。
具体操作为：将相机对准一张安装了已知尺寸的棋盘格图像，通过对图像进行分析和处理，可以得到相机的内参矩阵。
首先，需要确定几个待标定图像所拍摄棋盘格的角点坐标。
其次，通过棋盘格在图像中的投影点坐标和真实世界坐标系中的对应点坐标，进行坐标转换和计算，最终得到内参矩阵。
2. 相机外部参数标定相机外部参数标定通常采用空三解算法。
具体操作为：在拍摄航测相机的同时，利用差分全球定位系统（DGPS）获取相机的位置和姿态信息。
通过将这些信息与航测图像进行配准，可以得到相机在真实世界坐标系下的位置和姿态。
首先，需要收集一系列具有已知位置和姿态的控制点，这些控制点需要覆盖整个航测区域。
然后，在航测图像中提取出这些控制点的对应特征点。
最后，通过对这些特征点进行匹配，可以获得航测相机的外参矩阵。
三、标定结果评估在完成相机参数的标定之后，需要对标定结果进行评估，以验证标定的准确性和可靠性。
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摄像机标定方法与精度评估的对比回顾摘要相机标定对于进一步的度量场景测量来说是一个关键性的问题。
很多有关标定的技术和研究在过去的几年中相继出现。
然而，深入探究一种确定的标定方法的细节，并与其它方法进行精度比较仍是不易的。
这种困难主要表现在缺少标准化和各种精度评估方法的选择上。
本文给出一个详细的回顾关于一些最常用的标定技术，文中，这些标定方法都采用相同的标准。
此外，文中涉及的方法已经过测试,精确度也经过测定。
比较结果和后续的讨论也在文中给出。
此外，代码和结果在网上也可以找到。
2002模式识别学会，发布由Elsevier science，保留所有权利。
关键词：相机标定镜头畸变参数估计优化相机建模精度评估3D 重建计算机视觉1、介绍相机标定是计算机视觉计算的第一步。
虽然可以通过使用非标定相机获取一些有关测量场景的信息，但是，当需要度量信息时标定是必须的。
精确校准相机的使用使从平面投影图像中测量物体在真实世界中的距离成为可能。
这种功能的一些应用包括：1、致密重建：每个像点确定一条光射线通过相机对场景的焦点。
这种使用多个视角观察静止场景（来自一个立体系统，或者单个移动相机，或者一个结构光发射器）允许两条交叉的光线得到度量的3D点位置。
显然，相应的问题被提前解决了。
2、外观检验：一旦被测目标的致密重建被获得，被重建的目标可以与已存储的目标比较来检测任何制造缺陷如凸起、凹陷或裂纹。
一个潜在应用是外观检验用来质量控制。
计算机处理的外观检查允许自动化和彻底化检查物体，与缓慢的暗含一种数据统计方法的人工检查截然相反。
3、目标定位：当考虑来自不同对象的各种图像点时，这些对象的相对位置可以被轻易确定。
这个有许多可能的应用，尤其是工业零件装配和机器人导航中的障碍回避。
4、相机定位：当相机固定在机械臂或者移动机器人上，相机的位置和相角可以通过计算场景中已知标志的位置获得。
如果这些测量值提前存储，一个短暂的分析可以帮助处理器计算出机器人的轨迹。
相机的信息可以用在机器人控制或者路线规划上。
相机标定可分为两个步骤。
首先，相机建模涉及到使用一系列参数对传感器的物理和视觉行为进行数学逼近。
其次，使用直接或迭代的方法估算得到的参数值。
在所建模型中有两种参数需要考虑。
一方面是本征参数，用来模拟图像传感器的内在结构和光学特征。
本质上，本征参数决定光线是如何通过镜头投射在传感器的图像面上的。
另一方面的参数是非本征参数。
非本征参数测量相机相对于世界坐标系统的位置和相角，也就是说，提供相对于用户固定的坐标系统而不是相机坐标系统的数据。
相机标定可以按以下几种不同的标准划分。
(1)线性和非线性相机标定（区别在于相机畸变的建模上）(2)本征和非本征相机标定。
本征标定仅在获得相机物理和光学参数时使用。
而非本征标定着眼于测量视场中相机的位置和相角。
(3)隐式和显式相机标定。
隐式标定是指相机标定过程中并不明确计算相机的物理参数。
尽管结果可以用于3D测量或生成图像坐标，但是，由于获得的参数与物理参数不一致，测量结果对于相机建模是无用的。
(4)使用已知的3D点或简化的3D点作为标定模式，就那些使用如消失线或其它线性特征等几何特征的方法而言。
这些方法还可以按估算相机模型参数的标定方法来划分：1、非线性最优化技术。
当镜头的所有缺陷包含在相机模型中时，标定方法变成非线性。
在这种情况下，相机参数通常通过与一个确定的最小化约束条件的函数迭代来获得。
最小化指使像点和通过迭代的模型预测值最小。
这种迭代技术的好处是几乎所有的模型都可以被校正，精度可以通过增加对收敛域的迭代次数。
然而，这种技术需要一个最初有一个好的猜测来保证收敛。
一些例子在一些经典的摄影测量法和Salvi中有描述。
2、计算转换矩阵的线性技术。
这个方法使用最小二乘法将3D点和它们的2D 推测来获得转换矩阵。
这种方法的优势在模型是由简化和快速的标定组成的。
一个缺点是线性技术对于相机畸变建模是无用的，将会导致粗略的系统精度。
此外，有时由于使用隐式标定，从矩阵中提取参数非常困难。
一些线性标定相关的参考文献在Hall、Toscani-Faugeras和Ito中找到。
3、两步技术：这种技术使用线性最优化完成一些参数的计算，其余的参数通过迭代计算得出。
由于很大一部分地减少了迭代运算的数量，这种方法能够实现快速标定。
此外，由于第一步中的线性猜测保证了收敛。
两步法利用了前面提及的两种方法的优点。
一些参照如Tsai、Weng和Wei。
本文是对最常用的一些标定方法进行详细的描述。
第一种方法由Hall在1982年提出，是一种基于隐式线性相机标定，通过计算3*4转换矩阵将3D目标点与它们的2D像预测联系在一起。
接着由Faugeras在1986年提出基于从转换法中提取相机的物理参数，作为第二种方法。
接下来是基于非线性显式相机标定，包括相机畸变建模。
此后，第一种方法是在Faugeras线性方法上包含镜头畸变的的微小改进。
由Tsai提出的被广泛应用的方法，是基于两步法对径向镜头畸变建模。
最后是完整的Weng模型，在1992年提出，包括三种不同类型的镜头畸变，作为最后介绍的方法。
需要注意的是，理解一种标定方法的主要问题是缺少符号的标准化和使用不同坐标系。
两个限制使比较各种方法变得复杂，因此，大量的工作都用来保证调查中使用同样的符号。
这里将对这五种方法进行一一解释,并讨论它们的2D和3D精度。
相机精度评估的简短概述在实施用相同工具比较不同标定方法中包含着。
本文的结构如下。
第二部分关于相机建模，解释相机模型如何通过一系列的几何转化逐步获得。
第三部分描述五种不同相机标定技术，并对相机模型参数进行评估。
接下来，第四部分解释相机标定技术中一些精度评估的方法。
最后，讨论计较每种标定方法的2D和3D精度。
2、相机模型模型是一种通过使用一系列方程式来近似物理行为的数学构想。
相机建模基于逼近相机的内部几何结构和场景中相机的位置和相角。
根据所需精度，有几种相机模型可供选择。
最简单的方法是基于线性变换，忽略对镜头畸变的建模。
然而，仍存在一些对镜头畸变精确建模的非线性模型。
当需要更高精度时这些方法对某些应用很实用。
最简单的模型是由Hall 提出的。
目的是寻找场景中3D 点与像平面上的2D 投影点的线性关系。
这种关系由如下的转换矩阵逼近。
1112131421222324313233341I Id d I I d d I d s X A A A A s X s Xs X A A A A s X s A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭(1)接下来，得到一个3D 点WwP ,相对于世界坐标系()W w P ，应用Hall 提出的变换矩阵，获得相对于像坐标系的2D 像素点(,)II I d d d P X Y =.相机建模通常分为4步，如下：1、将世界坐标系点W W P ，从世界坐标系转换到相机坐标系，得到C W P ,这种转换通过使用旋转矩阵和向量变换。
2、接下来,通过投影转换将C W P ,投影到像平面,获得C U P 。
3、第三步是基于与真实投影的差距进行镜头畸变建模。
这样，点C U P 转换为真实投影点C d P （应与镜头捕获点一致）。
4、最后，利用另一个坐标系统转换将相机的度量坐标系变成以计算机像素为单位的图像坐标系统，获得I d P 。
接下来，不同的相机模型，如Faugeras –Toscani ，有畸变的Faugeras – Toscani,Tsai 和Weng 将被详细解释，重点在于这些模型如何实现以上四步。
2.1 从世界坐标系到相机坐标系的转变从世界坐标系到相机坐标系转变的执行对于以上五种方法是相同的。
这种转换都是通过使用转换矢量和旋转矩阵，如下方程：C W WW C C W CW W W W C W W W X X Y R Y T Z Z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) 给出的相对于世界坐标系的点W W P ，应用方程（2）,获得相对于相机坐标系的点C W P 。
注意到C W P 用{W}表示世界坐标系的相角，在相机坐标系统中用{C}表示。
C W T 表示世界坐标系中原点在相机坐标系中的位置。
2.2 3D 点在像平面上的投影考虑到任何光学传感器可以看做针孔摄像机。
也就是说，像平面在距光学中心f 处，并平行于由坐标轴C X 和C Y 组成的平面。
此外，得出的相对于相机坐标系的C W P ，如果它投影通过焦点C O ,光射线将在2D 像点C U P 处截取像平面。
关系如下式：,CCCC w w u u C C w wX YX f Y f Z Z == (3)所有被评估的模型都通过方程（3）来解决投影转换。
2.3 镜头畸变第三步是基于镜头畸变的建模。
每种被评估的模型需要一种不同的逼近。
方程（4）将无畸变点C U P 转换成畸变点C d P ，这里x δ 和y δ 代表包含的畸变。
,CC C C u d x u d y X X Y Y δδ=+=+ （4）由Faugeras 和 Toscani 提出的相机模型并不包含镜头畸变。
因此，CU P 和Cd P 是同样的点，x δ 和y δ为0，如下：0,0x y δδ== （5）Faugeras –Toscani 模型可以通过对径向镜头畸变建模改进。
Tsai 对畸变采用相同的方法建模，如方程（6），x δ 和y δ代表径向畸变。
这种类型的畸变主要由镜头径向曲率的缺陷导致。
,x xr y yr δδδδ== （6）考虑到径向畸变r d 的位移由式（7）来建模，这里只考虑径向畸变序列中的第一项1k 。
已经证明序列的第一项足够对在绝大部分应用中对镜头畸变建模。
222211(),()C C C C C C xr d d d yr d d d k X X Y k Y X Y δδ=+=+ （7）Weng 式建模考虑了三种类型的畸变：径向畸变、偏心畸变和薄棱镜畸变。
总畸变为三种畸变的和。
,x xr xd xp y yr yd yp δδδδδδδδ=++=++ （8）然而，Weng 提出对未畸变点(,)C C u u X Y 而不是畸变点(,)C C d d X Y 进行镜头畸变建模。
尽管两种方法都可以考虑，但是必须要考虑到标定参数是不同的。
因此，式（4）必须由下式代替：,CC C C d u x d u y X X Y Y δδ=+=+ （9）径向畸变的建模和Tsai 式标定相同，除了Weng 使用未畸变点。
222211(),()C C C C C C xr u u u yr u u u k X X Y k Y X Y δδ=+=+ （10）偏心畸变由于镜头的光学中心和相机中心没有正确对其造成。