微分公式和运算法则

解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
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2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
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误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
按公式
计算 y 值时的误差
故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为
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例4. 设测得圆钢截面的直径
绝对误差限
欲利用公式
圆钢截面积 , 试估计面积的误差 . 解: 计算 A 的绝对误差限约为
测量D 的 计算
(mm) A 的相对误差限约为
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练习
1.
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4. 设
由方程
求
解: 方程两边求微分, 得
当时
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
当|Dx|很小时 |Dydy|比|Dx|小得多
因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代
替曲线段 记
自变量的微分, 记作
则有
从而
导数也叫作微商
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§ 2.2.2 微分公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
导数公式:
微分公式:
(xm)m xm1
d(xm)m xm1dx
(sin x)cos x
d(sin x)cos xdx
dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分
dy|x=2, Dx=0.02 =3x2| x=2, Dx=0.02 =3220.02=0.24 6
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+Dx时 Dy是曲线上点的纵坐 标的增量;
dy是过点(x0 f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量.
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注:
当Hale Waihona Puke Baidu
时,
所以
时 与 是等价无穷小, 故当
很小时, 有近似公式
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yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy= f (x0)Dx
例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 解 函数yx2在x1处的微分为
dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为
dy(x2)|x3Dx6Dx 例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分 解 先求函数在任意点x 的微分
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§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
分别依公式（1）、
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§2.2.4 微分在近似计算中的应用举例 误差估计
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
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定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
1.函数的近似计算 当 很小时, 得近似等式:
使用原则:
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特别当
很小时,
常用近似公式: 很小)
证明: 令 得
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例1. 求 解: 设 取
则
的近似值 . 例2. 计算 解:
的近似值 .
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例3. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 用铜多少克 .
由上式得
确定,
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dyd(sin u) cos udu cos(2x1)d(2x1) cos(2x1)2dx 2cos(2x1)dx
在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例2 解
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例3. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
例4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
(a x)ax ln a
d(a x)ax ln adx
(e x)ex
d(e x)exdx
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导数公式:
微分公式:
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2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
(C 为常数)
3. 复合函数的微分 则复合函数
分别可微 , 的微分为
微分形式不变
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若yf(u) uf(x) 则dyf (u)du 例1 ysin(2x1) 求dy 解 把2x1看成中间变量u 则
则称函数
在点 可微, 而
的微分, 记作
即
称为
定理1: 函数
在点 可微的充要条件是 即
2
定理2 : 函数
在点 可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
故
在点 的可导, 且
3
定理3 : 函数
在点 可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
“充分性”已知
在点 的可导, 则
即