2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案
2002级工科高数（上）参考答案
4
1
,(5),
2
39(6),(7),222
x a b π=-=
a 一.(1) [-2,1),(2)0,(3)3,(4)ax+b
二．（1）B （2）B （3）A （4）D （5）C
三. 计算题(每小题6分, 共48 分)
2
21
21
2
22
21221.lim lim 11212121-+----→∞
→∞⎡⎤-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎢⎥=--= ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥+++⎝⎭
⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦
x x x x x e x x x 00001111
2.lim ()lim ()lim ()1(1)11lim ()22
x x x x x x x x x x x x x e x e x e x e e xe e e xe →→→→----==---+==+
3. 01|y
x x y xe
y ='+=+已知求
01
)1(1)/),|1
y y y y y x y y e e e y e e y e =='''+==-''=-=-y 解.1+xe y , y (1-x (1-x
4. 已知
222
a r c t a n ,l n (1)x t t d y
dx y t =-⎧⎨=+⎩
求
解 22224
2222(1)
1,
11t
dy d y t t dx t
dx t
t
++===--+ 5. 2
cos 2arcsin 2y x x x
=-+ 求 dy
解：
22(2sin 2dy x dx x =-+
6.
1|l n |e
e
x d x
⎰
111
11
1
1
|ln |ln ln 1[(ln 1)][(ln 1)]2(1)
e
e
e
e
e
e x dx xdx xdx
x x x x e
=-+=--+-=-⎰
⎰⎰
7.
⎰
212
(arccos )=
-=++⎰
⎰
⎰
x c
00
8.
|
|1
x
x x x xe dx xe
e dx e +∞+∞
--+∞
--+∞
=-+=-=⎰
⎰
四. 设f(x) 在(0,)+∞内可微, 并满足1
()()x
x xf x f t dt +=
⎰
, 求f(x) (6分)
1
(())(()),1()()()
11
(),()ln ||(1)
x
x xf x f t dt f x xf x f x f x f x dx x c
x x
'''+=++='=-=-=-+⎰⎰
在原式中，令x=1 得 1+f(1)=0, 从而得 f(x)=-1,代入（1）中得 c=-1
所以 f(x)=-(1+lnx)
五. 在曲线2
(0)y x x =>上某一点A 处作切线，使之与该曲线以及X 轴所围
成的图形的面积是1
12
, 试求：（1）切点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程。
(8分)
（1） 设切点为（a, a 2）, 因为 y’=2x, 所以，切线斜率为K=2a. 切线
方程为2
2()y a a x a -=-, 从而 2
2y a x a
+=
2
232
23200
121([]|242312
a a y a a s dy y y y a a a +==+-=⎰
因为 112s =
, 则311
1212
a =， 所以， a=1, 切点坐标A （1，1） （2） 切线斜率K=2a|a=1=2, 切线方程： 12(1)y x -=-，即 2x-y-1=0
六. 证明题: 若f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f (1)=0，则在（0，1）
内至少有一点ξ 使得
()2()0f f ξξξ'+=. (7分)
解 作函数F （X ）=x 2f(x), 则F （x ）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F(1)=F(0)=0, 由罗尔定理，在（0，1）内至少存在一点ξ使得F （ξ）=0，而
2()2()()F x xf x x f x ''=+，所以，2()2()()0,F xf f ξξξξξ''=+=
所以
()2()
0f f ξξξ'+=（0<ξ<1）。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (8)
华南理工大学高等数学统考试卷2000上一、选择题（每小题3分，共18分） 1、下列极限的等式中，正确的是（ ）（A ）e x xx =-→10)1(lim （B ）31arcsin 11lim 320=--→x x x x （C ）()211lim22=+-+-∞→x x x x （D ）11212lim 2230=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--→x x x x x 2、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+-+=0,0,1111)(3x A x x x x f 在0=x 点连续，则=A （ ） （A ）23 （B ）１ （C ）32 （D ） ０ 3、已知=+=dy x y ,1cos ln 2（ ） （A ）1cos 2+x dx （B ）dx x 1tan 2+-（C ）dx x x 121tan 22++-（D ）dx x x x 11tan 22++-4、函数336x xx y -+=在1=x 处有（A ）极小值（B ）极大值（C ）拐点（D ）既无极值又无拐点 5、⎰+∞=111dx exx x（ ）（A ）)1(2-e （B ）)1(2e -（C ）e -1（D ）1-e 6、曲线)0(cos 2>=a a r ϑ所围图形的面积等于（ ）（A ）⎰202)cos 2(21πϑϑd a （B ）⎰-ππϑϑd a 2)cos 2(21 （C ）⎰πϑϑ202)cos 2(21d a （D ）⎰202)cos 2(212πϑϑd a二、（每小题５分，共２０分）１、求极限;2cot )cos 3(cos lim2x x x x -→π２、设3311,12t t y t t x ++=+=，求;1=t dx dy３、求积分⎰+dx x x )cos (sin 23４、求积分⎰-+22cos 11ππdx x 三、（每小题６分，共１８分） １、 设函数)(x y y =由方程y x e xy+=2所确定，求;022=x dxyd２、 求积分⎰+dx xx 1ln ３、求积分⎰-πsin 1dx x四、（８分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(x e x xx x f x βα，试根据α和β取值的不同情况，讨论)(x f 在0=x 的连续性。
2018最新高等数学期末考试试题及答案详解
2018最新⾼等数学期末考试试题及答案详解⾼等数学期末考试试题及答案详解⼀、填空题：（本题共5⼩题，每⼩题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满⾜0a b += ，2a =，2b = ，则a b ?= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y= ． 3、曲⾯229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平⾯⽅程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅⾥叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=? ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．⼆、解下列各题：（本题共5⼩题，每⼩题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y++==+在点0M (1,1,2)-处的切线及法平⾯⽅程． 2、求由曲⾯2222z x y =+及226z x y =--所围成的⽴体体积． 3、判定级数11(1)ln nn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y． 5、计算曲⾯积分,dS z ∑其中∑是球⾯2222x y z a ++=被平⾯(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物⾯22z x y =+被平⾯1x y z ++=截成⼀椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最⼤值与最⼩值．计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-?，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a ⾄原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ∞=?∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲⾯积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-??，其中∑为曲⾯221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++，其中t Ω是由曲⾯z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．备注：①考试时间为2⼩时；②考试结束时，请每位考⽣按卷⾯→答题纸→草稿纸由表及⾥依序对折上交；不得带⾛试卷。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (7)
华南理工大学高等数学统考试卷1999上一、（共8分，每小题4分）1、求x x x x x -+∞→11sin lim ，2、求;23lim sin 10x x x x e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→二、（共10分，每小题5分）1、 设⎰=+-→x x dt t a x bx t 02201)sin (lim ，求b a ,的值。
2、 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠≠-=-0,22,02,0,1)(2x x x x e x x f x x ，讨论)(x f 在2,0==x x 处的连续性；若不连续，指出间断点的类型。
三、（共8分，每小题4分）1、设12arcsin 232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x ，求y '。
2、确定A 的值，使两曲线2Ax y =与x y ln =相切，并求出此公切线的方程。
四、（共12分，每小题6分）1、设⎰+==tt y udu u x 0)1ln(,sin ,求22,dx y d dx dy 2、设方程04ln 22=++x y x y 确定了函数)(x y y =，求dy五、（8分）当0>x 时，证明：x x e x cos 11->--六、（共12分，每小题6分）1、设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x g f ln )]([=，求⎰dx x g )(2、求⎰-dx e xe x x2七、（共12分，每小题6分）1、 计算⎰-+222)cos (ππdx x x 2、 证明⎰⎰--=4020)4()4(2dx e dx e x x x x 八、（9分）已知曲线1=xy 在第一象限中分枝上有一定点)1,(aa P ，在给定曲线的第三象限中的分支上有一动点Q ，试求使线段PQ 长度最短的Q 点的坐标。
九、（8分）过点)0,2(a 向椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 作两切线，求椭圆与两切线所围成的区域（y 轴右边部分）绕y 轴旋转所得旋转体的体积。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案
一.填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1．设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =_________3______； 2．设xy 211+=，则=)()6(x y 76)21(!6)2(x +-； 3．若曲线23bx ax y +=的拐点为（1, 3），则常数=a 23-，=b 29；4．曲线1(21)e xy x =-的渐近线方程为12+=x y ； 5.x x f ln )(=在10=x 处带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式为))1(()1(1)1()1(31)1(21)1(132n n n x o x n x x x -+--++-+---- ．二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1．已知)1(||)(22--=x x xx x f ，指出函数的间断点及其类型．1230,1,1x x x ===-为间断点……….2分222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x xf f x x x x →-→+---==-+==---2222101011(10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1)x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--………3分从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点………………………………………………………………………………..1分2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e1,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值．()()()11010f f f =+=-_____________ ________从而()(1)1010(1)0lim lim e 1,ln 0,0b x x x f a -→+→-===-==…………3分()()()10101ln 11(1)limlim 111x x f x f x f x x +→+→+-+-'===-- ()()()1101011(1)lim lim 11b x x x f x f e f b x x --→-→+--'===--由可导知(1)(1)(1),1f f f b -+'''===……………………………………………………..2分3．已知011lnarctan 2lim≠=-+-→C x x xx nx ，试确定常数n 和C 的值．用罗比达法则…….2分2,3-==C n ……….3分4．)41441141(lim 2222nn n n n -+⋅⋅⋅+-+-∞→．dx x⎰-=1241…………3分6π=……………………..2分三. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)1．由方程02=+-y x x y 确定了隐函数)(x y y =，求微分d y ．()()ln ln 2ln ln 20y x y x d e x y e xdy yd x dx dy -+=+-+=……………5分即()2ln 20,1ln yyy y x y xxdy x dx dx dy dy dx x x x x -+-+==+……………1分 2．求由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定函数的二阶导数22d d yx ． )1)(23(++=t t dxdy……………3分t t t dxy d )1)(56(22++=…………….3分3．已知函数)(x f 连续，t x t f t x g x d )()(02⎰-=，求)('x g ．u u f x u x g d )()()(0x-2⎰+=………….3分⎰⎰----=xx du u f x u u uf x g 0)(2d )(2)('………3分四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分) 1．()221sin d sec tan sec d tan sec cos x x x x x x x x c x-=-=-+⎰⎰ (6)2．161x ⎰．u =，则()221x u =+，当1x =时0u=，当16x =时u =2分原式=()())22222d 11arctan 1d u uu u u +=+-+⎰⎰……………3分31616333u u ππ⎛=-+=- ⎝.1分 3．211d e e x x x +∞-+⎰． =112211e d 11limlim arctan e lim arctan e e e 44bx b x b x b b b x e e e ππ--→+∞→+∞→+∞⎛⎫==-= ⎪+⎝⎭⎰4．已知三点)1,2,1(-M ,)1,3,2(-A 和)0,3,1(B ,计算：(1)以MA ,MB 为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA ,MB 的单位向量→n ．3}1,1,1{=-==S …………3分→0n }1,1,1{33-±=……………………….3分五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)1．求θsin 2=r 和θ2cos 2=r 围成图形的公共部分的面积．⎰=602)sin 2(21πθθd S ⎰+462cos 21ππθθd ………..4分=2332-………………………………………2分2．求由曲线2,1,e ===x x y x 及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转所成立体的体积．⎰=21)(2dx x xf V π=⎰212dx xe x π…………4分22e π=……………………………………2分六. 证明下列各题(共2小题)1．(本题6分)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，利用定义证明函数t t f x F x d )()(0⎰=在),(+∞-∞上可导，且)()('x f x F =．xx F x x F x ∆-∆+→∆)()(lim0=xdtt f xx x xn ∆⎰∆+→∆)(lim 0，……………..2分因为)(x f 在),(+∞-∞上连续，由积分中值定理得)()()()(lim0ξξf x x f x x F x x F x =∆∆=∆-∆+→∆，其中x x ∆+=θξ，10≤≤θ………..2分再利用)(x f 的连续性得)()(lim 0x f f x =→∆ξ.故)()('x f x F =………………………………….2分2．(本题5分)设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0d )(10=⎰x x f ，1d )(1=⎰x x xf ，试证：（1）存在 ]1,0[∈ξ，使得4)(≥ξf ；（2）若)(x f 在]1,0[上可导，则存在)1,0(∈η，使得4)('≥ηf ． （1）≤-=⎰x x f x d )()21(110x x f x d )(2110⎰-，由积分第一中值定理的，存在]1,0[∈ξ，使得)(4121)(d )(211010ξξf dx x f x x f x =-≤-⎰⎰，故存在 ]1,0[∈ξ，使得4)(≥ξf ……….3分（2）由积分中值定理，存在]1,0[∈c ，使得0)(d )(10==⎰c f x x f .由拉格朗日中值定理，则存在)1,0(∈η，使得)('))((')()(ηξηξf c f c f f ≤-=-，由（1）知4)('≥ηf .…………………..2分。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (9)
2008学年第1学期 考试科目：高等数学(经济类)一 .填空题（每小题3分，共15分） 1.设函数2()x f x e=，[()]1f g x x =-，且()0g x ≥，则()g x = 的定义域为 。
2. 设0x →时，tan xx ee -是与n x 同阶的无穷小，则n = 。
3. 某商品的需求量Q 与价格P 的函数关系为b Q aP =，其中a 和b 为常数，且0a ≠，则需求量Q 对价格P 的弹性是 。
4. 若函数()f x 的一个原函数是ln xx，则()xf x dx '=⎰ 。
5. 函数()f x 在[],a b 区间上可积的必要条件是 ；函数()f x 在[],a b 区间上可积的两个充分条件分别是 ； 。
二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处 （ ）。
A ．极限不存在；B ．极限存在但不连续；C ．连续但不可导；D.连续并且可导。
2. 设在[]0,1上，()0f x ''>，则(0),(1),(1)(0),(0)(1)f f f f f f''--这四个数字的大小顺序为（ ）。
A ．(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-；B ．(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->C ．(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>；D ．(1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> 。
3. 设函数()f x 连续，且10()2()d f x x f t t =+⎰，则1()d f x x =⎰（ ）。
A ．1； B ．12； C ．12-； D ．2. 4.设()f x 是连续函数，且()()d x e xF x f t t -=⎰，则()F x '等于（ ）。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (3)
2004学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类）一．填空题（每空2分）1．已知0→x 时， 1)1(312-+ax 与1cos -x 为等价无穷小量，则=a2．函数216ln x x y -+=的定义域为3. 已知10)0('=f ，则xx f x f x )()2(lim 0-→= 。
4．已知x x a y 3cos 31sin +=在3π=x 处有极值，则=a 5．设)3cos(x y =，则)12(y = 。
6．若等式)34(x ad dx -=成立，则=a7．设收益函数201.0150)(x x x R -=（元）,当产量100=x 时，其边际收益是 。
8．由曲线)(θr r =及射线βθαθ==,所围的曲边扇形面积公式为 。
9．设曲线的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ，βα≤≤t ，则弧长公式为 。
10．53)1(lim e xk x x =+∞→，则=k 二．选择题（每题3分） 1．当0→x 时，x e x sin 1--是2x 的 无穷小。
A. 低阶； B. 高阶； C. 等价； D. 同阶非等价；2．设x x x f -+=22)(在区间),(+∞-∞内是 。
A 偶函数 B.单调增函数 C.有界函数 D.单调减函数3．设)1(1)(2--=x x x x f ，则x=1是)(x f 的 间断点。
A ．第二类间断点； B.可去； C.跳跃；4．函数)(x f 在0x 处左、右连续是)(x f 在0x 处连续的 。
A ．必要条件； B.充分条件； C.充分必要条件； D.都不是；5．⎰+=c e x dx x f x 22)(，则)(x f =A. x xe 22B. x e x 222C. c xe x +22D. )1(22x xe x +三．解答下列各题（第9题10分,其余每题5分）1．2002lim 22x dt e t x t x ⎰+→ 2. 设sin x y x =，求dy 3.⎰--+dx e e xx1 4. ⎰xdx ln 5. ⎰-2022adx x a 6. ⎰+∞-1dx xe x 7. 确定a 、b 的值，使函数⎩⎨⎧≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 在定义域内可导。
高等数学期末试卷及答案
高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（ ）A.123123x y z ---==B.23140x y z ++-=C.123213x y z ---==D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（ ）A.111f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.1211yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等式（ ）成立.A.12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）A.11(1)nn n ∞=-∑ B.2311(1)n n n ∞=-∑C.1(1)nn ∞=-∑11(1)ln(1)n n n∞=-+∑5．已知幂级数0(1)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂级数0(1)n n n a x ∞=+∑的收敛域为（ ）A.[4,2)-B.[3,3)-C.[2,4)-D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线22222241x y z x y z ⎧++=⎨--=⎩且母线平行于z 轴的柱面方程为 ．7．设函数2(,,)e x f x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-= ．8．微分方程230y y y '''+-=的通解为 ． 9．交换积分次序1100d (,)d xx f x y y -=⎰⎰ ．10．级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数22(,)22425f x y x xy y x y =++++-的极值．12．求曲面22z x y =+介于两平面1z =与4z =之间的部分的面积．13．求微分方程22d d yxy x y x=+满足条件e |2e x y ==的特解．14．求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面0x y z +-=的平面方程．15．求幂级数211nn n x n ∞=+∑的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程2y y y x '''-+=满足条件(0)2,(0)0y y '==的特解．17．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ．求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．18．将函数1()f x x =展开成(3)x -的幂级数，并求10(1)3n n n ∞+=-∑的和．五、证明题（本题满分6分）19．设z 是,x y 的函数，且()(), ()()0xy xf z yg z xf z yg z ''=++≠，求证：[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．A ．二、6．22531x y -=；7．1；8．312e e x x y C C -=+；9．1100d (,)d yy f x y x -⎰⎰；10．1/2．三、11．解224, 242f f x y x y x y ∂∂=++=++∂∂，由0, 0f f x y∂∂==∂∂解得驻点(3,1)P -，又因为2, 2, 4xxxy yy f f f ''''''===，则在点(3,1)P -处，2, 2, 4A B C ===，240B AC -=-<，且20A =>，故点(3,1)P -是函数(,)f x y 的极小值点，极小值为(3,1)10f -=-．12．解2214d d D x y A x y x y ≤+≤==⎰⎰232π22111πd d 2π(14)126r r r θ==⨯+=⎰⎰． 13．解 因22(,)(),()P x y x y Q x xy =-+=均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令y xu =，则d d d d y u u x x x=+，代入方程2221d d y y x y x y x xy x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，得2d 1d u u u x x u ++=，即d 11d d d u x u u x x u x =⇒=．两边积分，得21ln 2u x C =+，将y u x=代回，得通解222(ln )y x x C =+．由初始条件e |2e x y ==，得1C =．故所求特解为222(ln 1)y x x =+．14．解 由题设知，所求平面的法向量n ，既垂直于已知平面的法向量0n i j k =+-，又垂直于向量122M M i k =--，故可取01211123102ijkn n M M i j k =⨯=-=-++--，由此得所求平面的点法式方程为2(1)3(1)(1)0x y z --+-+-=，即2320x y z --+=．15．解 因为211111n n nn n n n x nx x n n∞∞∞===+=+∑∑∑， 1211()1(1)nn n n x x S x nx x x x x x ∞∞==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， 记211()n n S x x n∞==∑，则121111()1n n n n S x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑， 对上式从0到x 的积分，得201()d ln(1)1xS x x x x==---⎰，故 2211ln(1) (11)(1)n n n xx x x n x ∞=+=---<<-∑. 四、16．解 原方程对应的齐次方程为20y y y '''-+=，齐次方程的特征方程是2221(1)0r r r -+=-=，解得其特征根为121r r ==，于是齐次方程的通解为12()e x y C C x =+．由于0λ=不是特征根，故非齐次方程2y y y x '''-+=的特解形式应设为*()Y x Ax B =+，将它代入非齐次微分方程中，得1, 2A B ==.于是，非齐次微分方程的通解为12()e 2x y C C x x =+++.将初始条件(0)2,(0)0y y '==代入，得120, 1C C ==-，故所求的特解为e 2x y x x =-++．17．解 直线AB 的方程为1111x y z-==-，即⎩⎨⎧=-=.,1z y z x 过z 轴上的[0,1]中任一点z 且垂直于z 轴截旋转体所得截面是一个圆，与AB 交于点1(1,,)M z z z -．于是圆的半径为r ==，面积为2π(122)z z -+．因此，1120()2d d d d d d π(122)d π3s z V x y z z x y z z z Ω===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 18．解 因为当|3|3x -<时，有011111333(3)33313nn x x x x ∞=-⎛⎫==⋅=- ⎪-+-⎝⎭+∑ 1001(3)1(1)(1)(3)333n n n n n n n n x x ∞∞+==-=-=--∑∑ 所以，取4x =，得10(1)134n n n ∞+=-=∑．五、19．证明 在方程()()xy xf z yg z =+两边同时对x 求导数得()()()()()()z z z y f z y f z xf z yg z x x x xf z yg z ∂∂∂-''=++⇒=''∂∂∂+， ()()0xf z yg z ''+≠.同理，得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+，将所求偏导数代入等式[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在情况是（ ） (A)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '存在； (B)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (C)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (D)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在． 2．变换积分210d (,)d xx x f x y y ⎰⎰的次序为（ ）(A)10d (,)d y y f x y x ⎰； (B)110d (,)d y y f x y x ⎰⎰；(C)210d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； (D)10d (,)d y y f x y x ⎰． 3．直线12:213x y zL -+==与平面:21x y z ∏--=的关系是（ ） (A)互相平行，L 不在∏上； (B) L 在∏上； (C)垂直相交； (D) 相交但不垂直． 4．若级数21n n u ∞=∑与21n n v ∞=∑均收敛，则下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1n n u ∞=∑；B ．1()n n n u v ∞=+∑；C ．21(1)nnn u ∞=-∑；D ．21()n n n u v ∞=+∑．5．设平面区域D 是由直线1,12x y x y +=+=及两条坐标轴所围成，记233123()d , ()d , [ln()]d DDDI x y I x y I x y σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；则有（ ）(A)123I I I <<； (B) 321I I I <<； (C)132I I I <<； (D) 312I I I <<． 二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点(1,2,1)-且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 ．7．微分方程20y y y '''++=的通解为 ．8．已知平面24x y z m +-=是曲面222z x y =+在点(1,1,3)处的切平面，则m 的值等于 ．9．级数2114nnn x ∞=∑的收敛域为 ． 10．D 是由0,0x y ==与221x y +=所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分2d d Dx y x y =⎰⎰ ．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶偏导数，求,z z x y∂∂∂∂．12．已知||||1a b ==，且a 与b 的夹角π6θ=，求以2a b +和3a b +为边的平行四边形的面积．13．设Ω是由曲线22x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域，求22()d x y z v Ω++⎰⎰⎰．14．求微分方程323e x y y y x -'''++=的通解．15．将函数1()(1)f x x x =-展开成2x -的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分） 16．求11, (0,0)z xy x y x y=++>>的极值．17．求曲面22z x y =+与226()z x y =-+所围立体的体积．18．求幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明y x z x y x y ϕψ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足方程2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B ；2．D ；3．A ；4．C ；5．B ．二、6．340x y z --+=；7．12()e x y C C x -=+；8．3；9．(2,2)-；10．115． 三、11．解231223,zy y x f xy x f y f xx x ∂-⎛⎫⎡⎤''=+⋅+⋅ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦， 3121z x f x f y x ∂⎡⎤''=⋅+⋅⎢⎥∂⎣⎦． 12．解 由向量积的几何意义知，以2a b +和3a b +为边的平行四边形面积为(2)(3)(3)(2)(3)(2)π555sin 62S a b a b a a a b b a b ba b a b =+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=⋅⋅=13．解 Ω由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =围成．曲面与平面的交线为228,4.x y z ⎧+=⎨=⎩ 选用柱坐标变换cos,sin ,. x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩由题意得积分区域:02π,04,0z r θΩ≤≤≤≤≤≤，于是42π2220()d d d )d x y z v z r z r r θΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22442002562πd 2π2d π.423r r z z z z ⎛=+== ⎝⎰⎰ 14．解 由特征方程2()320r r r ϕ=++=得特征根为121,2r r =-=-，所以，齐次方程的通解为212e e x x y c c --=+，又由1λ=-是特征方程的单根，于是*()e xy x ax b -=+，即2()Q x ax bx =+，代入公式2()()0()()3j j j Q x x ϕλ==∑中，得3,32a b ==-，所以*332y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而，原方程的通解为2121e e 31e 2x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．15．解 因为111()(1)1f x x x x x==---， 011(1)(2), |2|1112n n n x x x x ∞===---<-+-∑；100111112(2)(1)()(1), |2|2222222212n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==--===-=--<-+-+∑∑； 故101()(1)(1)(2), |2|12n n n n f x x x ∞+==----<∑． 四、16．解 2211,z z y x x x y y ∂∂=-=-∂∂，令221010y xx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得驻点(1,1)．因为 222232322,1,z z z x x x y y y∂∂∂===∂∂∂∂， 2222(1,1)(1,1)2, 1, 2, 1430zzA B C xy∂∂=====∆=-=-<∂∂，0A >，故有极小值，极小值为3z =．17．解 222222:36z x y D x y z x y⎧=+⇒+≤⎨=--⎩.方法一：222π62π2000d d d d d (62)d r rV v r z r r θθ-Ω===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰240192π32π99π22r r ⎡⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.方法二：22222[6()()]d d [62]d d DDV x y x y x y r r r θ=-+-+=-⎰⎰⎰⎰2π2240019d (62)d 2π32π99π22r r r r θ⎡⎛⎫=-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰.18．解 1131limlim ,3(1)33n n n n n na n R a n ++→∞→∞===+. 当3x =时，级数11n n ∞=∑发散；当3x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，所以，级数的收敛域为[3,3)-．令111131(),()33133n n n n n n x x f x f x n x x -∞∞=='====--∑∑，001()(0)d ln(3)|ln 3ln(3)3xxf x f x x x x-==--=---⎰3 ()lnln(1)33x xf x -∴==-. 五、19．证明 利用一阶微分形式不变性，有d d d y y y x y x x x z x y x x x y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ϕϕψϕψψ从而2223222311z y y y x x x x x y z y y x x x x y y z y x x x y x y y y z y x x y x x y y ϕϕψϕψϕψψϕψ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭于是2222220z z x y x y∂∂-=∂∂．。
2017-2018高数B-2期末B试题及答案
学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――温馨提示（请务必仔细阅读）（1）本试卷共8页，第1-2页为答题纸，第3-6页为试题页，第7-8页为草稿页。
试题页空白处及背面也可做草稿纸用。
（2）请将答案写在答题纸相应位置上，答案写在试题页或草稿页上一律无效。
（3）交卷时请将答题纸（1-2页）和试题页、草稿页（3-8页）分开上交。
一、填空题Ⅰ（共12分，每小题3分）1. 若三重积分(,,)d 1f x y z v Ω=⎰⎰⎰，且Ω的体积2V =，则[](,,)2d f x y z v Ω-=⎰⎰⎰___________． 2. 对于正项级数1n n u ∞=∑，若1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑的收敛性为___________．3. 将函数3()e x f x =在(,)-∞+∞内展开为x 的幂级数，则展开式为()f x =________________________．4. 幂级数2n nn x ∞=∑在11(,)22-内的和函数为()s x =_________________． 答：1．3- 2．收敛 3．301!n n x n ∞=∑ 4．112x - 二、填空题Ⅱ（共18分，每小题3分）5. 方程32ln y y x ''+=是_______阶微分方程． 6. 微分方程d d 0yx x-=的通解为________________________________． 7. 微分方程sin y x ''=的通解为_______________________________． 8. 微分方程0y y '''-=的通解为_________________________． 9. 微分方程10250y y y '''-+=的通解为________________________． 10.若函数e cos 2xy x =与e sin 2xy x =是常系数线性方程0y py qy '''++=的两个解，则该方程的通解为__________________________．答：5．二 6．212y x C =+ 7．12sin y x C x C =-++8．12e x y C C =+ 9．512()e x y C C x =+ 10．12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+三、单项选择题（每小题只有一个正确选项）（共18分，每小题3分）11.设Ω是由上半球面2224x y z ++=与xOy 面所围成的空间闭区域，则三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰可转化为（ ） （A）2204d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰ （B ）2224d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰⎰（C）2204(,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰ （D ）2224d (,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰⎰12．设级数①11n n ∞=∑，②()01nn ∞=-∑，则收敛的为（ ）（A ）①② （B ）① （C ）② （D ）①②均发散 13．设幂级数1nn n a x∞=∑在点1x =处收敛，在点1x =-处发散，则（ ）（A ）幂级数1nn n a x∞=∑在点2x =处必发散（B ）幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在点2x =处可能发散（C ）数项级数13nnn a ∞=∑必条件收敛 （D ）幂级数1n nn a x∞=∑在点23x =-处必发散 14．幂级数112nn x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）[1,1]- （B ）[1,1)- （C ）(1,1)- （D ）{0} 15．关于微分方程21y y''=-，下列说法正确的是（ ）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――（A ）是可分离变量的微分方程，可利用分离变量的方法求解 （B ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为21p y'=-求解 （C ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为2d 1d p p y y=-求解 （D ）是二阶线性微分方程，可通过特征方程求解16．若11()y y x =、22()y y x =分别是线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=（()0f x ≡/）及其对应的齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则函数122y y y =+是方程（ ）的解．（A ）()()0y p x y q x y '''++= （B ）()()()y p x y q x y f x '''++= （C ）()()2()y p x y q x y f x '''++= （D ）()()3()y p x y q x y f x '''++=111213141516A D ABC B四、计算题（共28分，每小题7分）17．设闭区域:02, 02, 01x y z Ω≤≤≤≤≤≤，计算三重积分2d xz v Ω⎰⎰⎰． 解：22122000d d d d xz v x y xz z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4分）2212000d d d x x y z z =⋅⋅⎰⎰⎰（5分）142233=⋅⋅=（7分）18．计算三重积分()22d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由圆柱面221x y +=与平面0z =、4z =围成的闭区域．解：()223d d d d x y v z ΩΩρρθ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2分）2143000d d d z πθρρ=⎰⎰⎰（5分）12424ππ=⋅⋅=（7分）19．求微分方程311107e xy y y '''-+=的通解．解：特征方程为211100r r -+=，121,10r r ==，对应齐次方程11100y y y '''-+=的通解为1012e e x xy C C =+；（3分）设原方程一个特解为3e xy C *=，代入方程得33339e 33e 10e 7e x x x xC C C -+=，12C =-，从而31e 2x y *=-，（6分） 原方程通解为103121e ee 2xxx y y y C C *=+=+-（7分） 20．求解微分方程的初值问题4304e1x x y x y y -=⎧'+=⎪⎨=⎪⎩．解：方程通解为()3344d 4d e ee d x xx xx y x C --⎰⎰=⋅+⎰（3分）()()4444e e e d e xx x xx C x C ---=⋅+=+⎰（6分） 由01x y ==，得1C =，从而初值问题的解为()4e 1xy x -=+（7分）解法二（常数变易法）：解出对应齐次方程通解4ex y C -=（2分）设非齐次方程通解为4()e x y u x -=（3分），代入整理得出通解()4e x y x C -=+（6分），代初始条件得出特解（7分）五、解答题（共24分，每小题8分）21．判断级数1cos(1)!n n n ∞=+∑是否收敛？是否绝对收敛？ 解：cos(1)11cos(1)!!!n n n n n +=+≤（2分）由正项级数11!n n ∞=∑收敛（4分），知1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛（6分），从而1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛且绝对收敛（8分） 22．将函数21()4f x x =-展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的范围． 解：211()414f x x =-⋅-（2分）20144nn x ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（6分）21014nn n x ∞+=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（7分），214x <即22x -<<（8分） 23．已知函数()y x 在区间(1, 1)-内满足方程()yy s x '=，且(0)0y =，其中()s x 在区间(1, 1)-内可展开为幂级数211()n n s x nx∞-==∑，求()y x ．学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――解：方程分离变量，有d ()d y y s x x =，两边积分，得21()d 2y s x x =⎰（2分）0()d x s x x C =+⎰（3分）由(0)0y =，得0C =（4分）又 22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（7分） 故22222(1)y x x =-，即2()1x y x x=±-（8分） 解法二：对211()n n s x nx∞-==∑两端积分，得22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（3分） 于是22()2(1)x s x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，方程即为222(1)x yy x '⎛⎫'= ⎪-⎝⎭（4分） 分离变量得22d d 2(1)x y y x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，两边积分，得22222(1)y x C x =+-（6分） 由(0)0y =，得0C =，于是2221x y x =-，2()1x y x x=±-（8分）。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数 ，则 是 的第类间断点.
2．函数 ，则 .
3． .
4．曲线 在点 处的切线方程为.
5．函数 在 上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列 有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件； 充分但非必要条件；
充分必要条件； 无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数 ，则函数 在 内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程 的特解形式为（C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
； ；
； .
3．设 在 上， 且 ，则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的； 沿 轴正向下降且为凹的；
沿 轴正向上升且为凸的； 沿 轴正向下降且为凸的.
4．设 ，则 在 处的导数（）.
等于 ； 等于 ；
等于 ； 不存在.
5．已知 ，以下结论正确的是（）.
函数在 处有定义且 ； 函数在 处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知 则 的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分 的值为（ ）.