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2一元二次方程PPT课件(冀教版)
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般情势.
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根).
3.列一元二次方程的解题步骤:
（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等 量关系； （2）设：设未知数；
（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全 部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各 个量，即列出方程.
x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3) x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.
问题3 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2.
x2-2x=0 （答案不唯一）.
典例精析 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32-2x 32
当堂练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x+2=5x-3
x2=4
不是，最高项系数为1
2x2-4=(x+2)2
是
是
1 x2
10x
900
0
不是，是分式方程
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2.
一般情势：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
讲授新课
一 一元二次方程的定义及一般情势
问题1 列表填空：
方程
一般情势 二次项系数 一次项系数 常数项
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根).
3.列一元二次方程的解题步骤:
（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等 量关系； （2）设：设未知数；
（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全 部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各 个量，即列出方程.
x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3) x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.
问题3 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2.
x2-2x=0 （答案不唯一）.
典例精析 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32-2x 32
当堂练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x+2=5x-3
x2=4
不是，最高项系数为1
2x2-4=(x+2)2
是
是
1 x2
10x
900
0
不是，是分式方程
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2.
一般情势：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
讲授新课
一 一元二次方程的定义及一般情势
问题1 列表填空：
方程
一般情势 二次项系数 一次项系数 常数项
一元二次方程课件ppt
（4）原方程变形为 (xm)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程的应用-ppt课件
难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
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ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (xm)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
56;x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
x2 2bxb2的形式
x 2 6 x 3 2 1 3 6 2
左边写成完全平方形式
(x3)2 25
降次
x35
x 3 5 ,x 3 5
得 :x2,x8
1
2
配方法
就是先把方程的常数项移到方程的右 边，再把左边配成一个完全平方式， 如果右边是非负数，就可以直接利用 开平方法求出它的解．
用配方法解一元二次方程
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________. [答案] 2
数学·新课标（RJ）
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。一元二次方程的解也叫一元 二次方程的根
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（ m 1 )xm 1mx m 210
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
❖ 解之得，m=1或m=－1， ❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， ❖ 所以m=1。
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
想一想：
关于一元二次方程 a2 xbxc0a0，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
第22章复习 ┃ 考点攻略
一元二次方程课件ppt
方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2x60吗？
解:二次项系数化为1得：x21 x30
移项得： x2 1 x 3
2
2
配方得：x21x(1)23(1)2
24 4
即(x1)2 49 4 16
开平方得： x1 7
解 : a 5 ,b 4 ,c 121.变形:化已知方
程为一般形式;
b 2 4 a c 4 2 4 5 ( 1 ) 2 5 0 .2.确6 定系数:用
b b 2 4 ac x
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
X（X+6） = 16
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这
个方程？
x 2 6 x 1 6 0
移项
x2 6x16
两边加上32,使左边配成
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
x
b
2
2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
x b b24ac.
2a
2a
xbb24a.cb24a c0.
2a
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b24ac0时,它的根: 是
xbb24a.cb24a c0. 2a
当 b24ac0 时，方程有
实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
一元二次方程的求根公式
一元二次方程的根的判别式
44
∴原方程的解为： x1 2,
x2
3 2
❖用“公式法” 解
一元二次方程
公式法是怎样产生的
你能用配方法解方程 ax2+:x2bxc0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. 3.配方:方程两边都加上一次项
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例1: 解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
用“配方法”解 一元二次方程
（1）化二次项系数为1 （2）移项 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (xm)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
56;x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
x2 2bxb2的形式
x 2 6 x 3 2 1 3 6 2
左边写成完全平方形式
(x3)2 25
降次
x35
x 3 5 ,x 3 5
得 :x2,x8
1
2
配方法
就是先把方程的常数项移到方程的右 边，再把左边配成一个完全平方式， 如果右边是非负数，就可以直接利用 开平方法求出它的解．
用配方法解一元二次方程
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________. [答案] 2
数学·新课标（RJ）
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。一元二次方程的解也叫一元 二次方程的根
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（ m 1 )xm 1mx m 210
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
❖ 解之得，m=1或m=－1， ❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， ❖ 所以m=1。
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
想一想：
关于一元二次方程 a2 xbxc0a0，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
第22章复习 ┃ 考点攻略
一元二次方程课件ppt
方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2x60吗？
解:二次项系数化为1得：x21 x30
移项得： x2 1 x 3
2
2
配方得：x21x(1)23(1)2
24 4
即(x1)2 49 4 16
开平方得： x1 7
解 : a 5 ,b 4 ,c 121.变形:化已知方
程为一般形式;
b 2 4 a c 4 2 4 5 ( 1 ) 2 5 0 .2.确6 定系数:用
b b 2 4 ac x
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
X（X+6） = 16
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这
个方程？
x 2 6 x 1 6 0
移项
x2 6x16
两边加上32,使左边配成
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
x
b
2
2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
x b b24ac.
2a
2a
xbb24a.cb24a c0.
2a
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b24ac0时,它的根: 是
xbb24a.cb24a c0. 2a
当 b24ac0 时，方程有
实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
一元二次方程的求根公式
一元二次方程的根的判别式
44
∴原方程的解为： x1 2,
x2
3 2
❖用“公式法” 解
一元二次方程
公式法是怎样产生的
你能用配方法解方程 ax2+:x2bxc0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. 3.配方:方程两边都加上一次项
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例1: 解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
用“配方法”解 一元二次方程