导数:平均变化率与瞬时变化率
【同步教育信息】
一. 本周教学内容:
导数——平均变化率与瞬时变化率w
二. 本周教学目标:
1、了解导数概念的广阔背景,体会导数的思想及其内涵.
2、通过函数图象直观理解导数的几何意义.
三. 本周知识要点: (一)平均变化率
1、情境:观察某市某天的气温变化图
t (d)
20
2、一般地,函数f (x )在区间[x 1,x 2]上的平均变化率2121
()()f x f x x x --
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.
(二)瞬时变化率——导数
1、曲线的切线
如图,设曲线c 是函数()y f x =的图象,点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ,当
点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ,割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ,叫做曲线c 在点P 处的切线
割线PQ 的斜率为
PQ
k =00()()f x x f x x +?-?,即当0→?x 时,00()()f x x f x x +?-?无
限趋近于点P 的斜率.
2、瞬时速度与瞬时加速度
1)瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 2)确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法: 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度,从A 点起取一小段位移AA 1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.
当位移足够小时,物体在这段时间内的运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度.
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s =s (t ),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t 0,t 0+Δt ,现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内,物体的位移、平均速度各是:
位移为Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0)(Δt 称时间增量)
平均速度
t t s t t s t s v ?-?+=??=
)()(00
根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t 来表示,也就是说时间
足够短时,平均速度就等于瞬时速度.
现在是从t 0到t 0+Δt ,这段时间是Δt . 时间Δt 足够短,就是Δt 无限趋近于0.当Δt
→0时,位移的平均变化率00()()
s t t s t t +?-?无限趋近于一个常数,那么称这个常数为物体
在t = t 0的瞬时速度
同样,计算运动物体速度的平均变化率00()()
v t t v t t +?-?,当Δt →0时,平均速度00()()
v t t v t t +?-?无限趋近于一个常数,那么这个常数为在t = t 0时的瞬时加速度.
3、导数
设函数)(x f y =在(a,b )上有定义,0(,)x a b ∈.若x ?无限趋近于0时,比值
x x f x x f x y ?-?+=??)()(00无限趋近于一个常数A ,则称f (x )在x =0x 处可导,并称该常
数A 为函数)(x f y =在0x x =处的导数,记作'
0()f x .
几何意义是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.
导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)('x f ,从而构成了一个新的函数)('x f ,称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,也可记作'y .
【典型例题】
例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s 后容器甲中水的体积t
t V 1.025)(-?=(单
位:3
cm ),计算第一个10s 内V 的平均变化率.
解:在区间[0,10]上,体积V 的平均变化率为
(10)(0)
2.55
0.25100
10
V V
--≈
=--3
cm 即第一个10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25-3
cm .
例2、已知函数()21f x x =+,()2g x x =-,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数
()f x 及()g x 的平均变化率.
解:函数()f x 在[-3,-1]上的平均变化率为
(1)(3)
2
(1)(3)f f ---=---
()g x 在[-3,-1]上的平均变化率为
(1)(3)
2
(1)(3)g g ---=----
函数()f x 在[0,5]上的平均变化率为
(5)(0)
2
50f f -=-
()g x 在[0,5]上的平均变化率为
(5)(0)
2
50g g -=--
例3、已知函数2
()f x x =,分别计算函数()f x 在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.
解:函数()f x 在区间[1,3]上的平均变化率为
(3)(1)
4
31f f -=-
函数()f x 在[1,2]上的平均变化率为
(2)(1)
3
21f f -=-
函数()f x 在[1,1.1]上的平均变化率为
(1.1)(1)
2.1
1.11f f -=-
函数()f x 在[1,1.001]上的平均变化率为
(1.001)(1)
2.001
1.0011f f -=-
例4、物体自由落体的运动方程s =s (t )=21
gt 2,其中位移单位m ,时间单位s ,g =9.8
m/s 2. 求t =3这一时段的速度.
解:取一小段时间[3,3+Δt ],位置改变量Δs =21g (3+Δt )2-21g ·32=2g
(6+
Δt )Δt ,平均速度
21=
??=
t s v g (6+Δt )
当Δt 无限趋于0时,v 无限趋于3g =29.4 m/s .
例5、已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位:cm ,时间单位:s ),
(1)当t =2,Δt =0.01时,求t s
??. (2)当t =2,Δt =0.001时,求t s
??.
(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度.
分析:Δs 即位移的改变量,Δt 即时间的改变量,t s
??即平均速度,当Δt 越小,求出的t s
??越接近某时刻的速度.
解:∵t t t t t t s t t s t s ?+-+?+=?-?+=??)32(3)(2)()(22=4t +2Δt ∴(1)当t =2,Δt =0.01时,t s
??=4×2+2×0.01=8.02 cm/s . (2)当t =2,Δt =0.001时,t s
??=4×2+2×0.001=8.002 cm/s .
(3) Δt →0, (4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s
例6、曲线的方程为y =x 2+1,那么求此曲线在点P (1,2)处的切线的斜率,以及切线的方程.
解:设Q (1+x ?,2+x ?),则割线PQ 的斜率为:
22(1)(1)(1)1(11)
f x f x x x +?-+?+-+=
?? 2()22
x x x x ?+?==?+? 0,x ?→∴斜率为2
∴切线的斜率为2.
切线的方程为y -2=2(x -1),即y =2x .
【模拟试题】
1、若函数f (x )=2x 2+1,图象上P (1,3)及邻近点Q (1+Δx,3+Δy ), 则x y
??=( )
A. 4
B. 4Δx
C. 4+2Δx
D. 2Δx
2、一直线运动的物体,从时间t 到t t +?时,物体的位移为s ?,那么0t ?→时,s
t ??为
( )
A. 从时间t 到t t +?时,物体的平均速度;
B. 在t 时刻时该物体的瞬时速度;
C. 当时间为t ?时物体的速度;
D. 从时间t 到t t +?时物体的平均速度 3、已知曲线y =2x 2上一点A (1,2),求(1)点A 处的切线的斜率.(2)点A 处的切线方程.
4、求曲线y =x 2+1在点P (-2,5)处的切线方程.
5、求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.
6、一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位:m ,时间单位:s ),求小球在t =5时的瞬时速度
7、质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位:cm ,时间单位:s ),求质点M 在t =2时的瞬时速度.
【试题答案】
1、B
2、B
3、解:(1)0x ?→时,k =22
(1)(1)2(1)21f x f x x x +?-+?-?=
?? 2
42()(42)4
x x x x ?+?==+?=?
∴点A 处的切线的斜率为4.
(2)点A 处的切线方程是y -2=4(x -1)即y =4x -2
4、解:0x ?→时,k =22(2)(2)(2)1(2)1
f x f x x x -+?---+?+---=
?? 2
4()(4)4
x x x x -?+?==-+?=-?
∴切线方程是y -5=-4(x +2),即y =-4x -3.
5、解:Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )-(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx ,x y
??=2Δ
x +16
∴0x ?→时,y ′|x =3=16
6、解:0t ?→时,瞬时速度v =22
(5)(5)(5)5s t s t t t +?-+?-==
??(10+Δt )=10 m/s.
∴瞬时速度v =2t =2×5=10 m/s.
7、解:0t ?→时,瞬时速度v =22(2)(2)2(2)3(223)
s t s t t t +?-+?+-?+=
??=(8+2Δt )=8cm/s
【励志故事】
遭窃的罗斯福
罗斯福还未当上美国总统之前,家中遭窃,朋友写信安慰他.罗斯福回信说:“谢谢你
的来信,我现在心中很平静,因为:第一、窃贼只偷去我的财物,并没有伤害我的生命.第二、窃贼只偷走部分的东西,而非全部.第三、最值得庆幸的是:做贼的是他,而不是我.”