山东省德州市2019年中考数学一轮复习第六章圆第21讲与圆有关的计算过预测练习
山东省德州市2019年中考数学同步复习 重点题型训练 要题加练4 与圆有关的角度计算
要题加练4 与圆有关的角度计算姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·眉山中考改编)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，求∠B的度数．2．(2018·台湾中考改编)如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，求∠AID的度数．3．(2018·陇南中考改编)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，求∠OBD的度数．4．(2018·陕西中考改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，求∠DBC的度数．5.如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．6．(2018·沈阳中考)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．参考答案1．解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°.∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，∴∠B＝27°.2．解：如图，连接CI.在△ABC 中，∵∠B＝44°，∠ACB＝56°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝80°. ∵I 点为△ABC 的内心，∴∠CAI＝12∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝12∠ACB＝28°，∴∠AIC＝180°－∠CAI－∠ACI＝112°. 又∵ID⊥BC，∴∠CID＝90°－∠DCI＝62°，∴∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.3.解：如图，连接DC. ∵C(3，0)，D(0，1)，∴∠DOC＝90°，OD ＝1，OC ＝3，∴∠DCO＝30°，∴∠OBD＝30°.4．解：∵AB＝AC ，∠BCA＝65°，∴∠CBA＝∠BCA＝65°，∠A＝50°.∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°.又∵∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠DBC＝∠CBA－∠ABD＝15°.5．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB， ∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB＝12∠AOD＝12×52°＝26°.(2)根据勾股定理得AC ＝OA 2－OC 2＝52－32＝4. ∵AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，∴AB＝2AC ＝2×4＝8.6．解：(1)如图，连接OA.∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径， ∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°.∵AE ︵＝AE ︵，∠ADE＝25°，∴∠AOE ＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.(2)∵AB＝AC ，∴∠B＝∠C.∵AE ︵＝AE ︵，∴∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C. ∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝90°， ∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝12OC.设⊙O 的半径为r.∵CE＝2，∴r＝12(r ＋2)，解得r ＝2，∴⊙O 的半径为2.。
2019年山东省中考数学一轮复习《第六章第21讲》课件
一是把不规则图形，通过割补转化为规则图形，二是通过规则图形的面积的和差 来求解．
6．[2018·山西]如图，正方形ABCD内接于 ⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长 为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长 线于点F，则图中阴影部分的面积是( A )
类型
圆锥的侧面积
7．[2018·聊城]用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高 为40cm的圆锥形工件(接缝忽略不计)，那么这个扇形铁皮的半 径是 50 cm. 8．[2018·宿迁]已知圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则圆锥 的侧面积是 15π cm2.
正多边形每一边所对的④ 圆心角 都相等，这个 ⑤圆心角 叫做正多边形的中心角
2.正n边形的有关计算 正n边形的边长为a，半径为R，边心距为r，中心角为α，外角为β. (1)正n边形的边数n与其外角β的关系：n＝⑥ . (2)R和边组成n个全等的⑦ 三角形，R，r和边的一半组成2n个 全等的⑧ 三角形． 等腰 (3)可以通过勾股定理或三角函数表示R，r，a，α之间的数量关系． 直角
类型
正多边形有关的计算
1．[2018·宜宾]刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算 术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来
近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的
面积来近似估计圆O的面积，则S＝ ．(结果保留根号)
解题要领：①正多边形外接圆半径、内切圆半径与半弦组成的直角三角形，是计算正
考点弧长与扇形6来自5考1．弧长公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就 等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长l＝① ＝ .
2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇 形的面积等于圆面积S＝πR2，所以n°圆心角所对的扇形面积S＝ ② ＝ .
德州市中考数学一轮复习课件专题三：圆的证明与计算
∴∠COB＝60°， ∴∠B＝30°， ∴OC＝ 1 OB＝2，
2
∴S扇形OCE＝ S△OCB＝ ∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝
类型三 圆与类似的综合 圆与类似的综合主要体现在圆与类似三角形的综合，
一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径． 一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造 类似三角形，利用类似三角形对应边成比例求出所求线段 或半径．
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°， ∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.
(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC， ∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM. 即∠DMN＝∠DNM. ∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1， ∴MN＝
1．(202X·白银)如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交 ⊙M于点C. (1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标； (2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
(1)解：∵A(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4. ∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°， ∴AB＝2AN＝8. 由勾股定理可知NB＝
【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝ 90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋ ∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三 角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝ ∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长． 【自主解答】 (1)如图，连接OD，
【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定
鲁教版中考数学一轮复习 圆 专题2 与圆有关的位置关系(含答案)
第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。
2019版中考数学第一部分基础知识过关第六章圆第21讲圆的有关性质课件
考点二
圆心角、弧、弦的关系
l︵ l︵
l︵
BC =
例2 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥
OB,CD=CE,则 AC 与 BC的大小关系是
AC
l︵
.
解析 ∵CD⊥OA,CE⊥OB,
1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角
泰安考点聚焦
考点一 垂径定理及其推论
考点二
考点三 考点四
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理及其推论 圆内接四边形的性质
考点一
垂径定理及其推论
中考解题指导 大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点
的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论.
考点三
例3 ( D )
圆周角定理及其推论
(2017泰安)如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α ,则∠OBC等于
A.180°-α B.2α C.90°+α D.90°-α
解析 连接OC,则∠BOC=2∠A=2α ,
∵OB=OC,
1 ∴∠OBC=∠OCB= (180°-2α )=90°-α . 2
2.垂径定理及其推论
(1)定理:垂直于弦的直径平分 弦所对的两条弧 . 弦 ,并且平分
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
. 温馨提示 优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的
山东省德州市2019中考数学复习第六章圆第二节与圆有关的位置关系检测
第二节与圆相关的地点关系姓名： ________班级：________用时：______分钟1．( 2018·湘西州中考 ) 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O到直线 l 的距离为 5 cm，则直线l 与⊙O 的地点关系为()A．订交B．相切C．相离D．没法确立2 ． ( 2019·改编题 ) 设⊙O 的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O起码有一个公共点，则d 应知足的条件是()A． d＝ 3B．d≤3C． d＜ 3D． d＞ 33．( 2019·改编题) 如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家歇息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的地点应选在()A．△ ABC的三条中线的交点B．△ ABC三边的中垂线的交点C．△ ABC三条角均分线的交点D．△ ABC三条高所在直线的交点4．( 2018·深圳中考 ) 如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A 为 60°角与直尺交点，AB ＝ 3，则光盘的直径是( )A． 3B．33C． 6D．635．( 2018·重庆中考 A 卷 ) 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延伸线上，PD与⊙O 相切于点D，过点 B 作PD的垂线交PD的延伸线于点C，若⊙O 的半径为4， BC＝ 6，则PA 的长为 ()A． 4B．23C． 3D． 2.56．( 2018·台州中考 ) 如图， AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延伸线于点 D. 若∠ A＝32°，则∠ D＝ ________度．7． ( 2018·连云港中考 ) 如图， AB 是⊙O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且OC⊥O A， OC交 AB 于点 P. 已知∠ OAB＝22°，则∠ OCB＝ __________．8．( 2018·湖州中考 ) 如图，已知△ ABC 的内切圆⊙O 与 BC边相切于点 D，连结OB， OD.若∠ ABC＝40°，则∠ BOD 的度数是 __________ ．9．( 2018·娄底中考 ) 如图，已知半圆O与四边形 ABCD的边 AD， AB，BC都相切，切点分别为 D， E， C，半径 OC＝ 1，则 AE·BE＝ ______．10．( 2019·改编题 ) 已知：如图， AB是⊙O的直径， AC是弦，直线EF 是过点 C的⊙O的切线，∠ BAC＝∠ CAD.(1)求证： AD⊥EF；(2)若∠ B＝30°， AB＝ 12，求 AD的长．11．( 2018·常德中考) 如图，已知⊙O 是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延伸线上有一点F，使 DF＝DA，AE∥BC 交 CF于点 E.(1)求证： EA是⊙O的切线；(2)求证： BD＝ CF.12．( 2018·重庆中考 B 卷 ) 如图，△ ABC 中，∠ A＝30°，点 O是边 AB 上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O 恰巧与 AC相切于点D，连结 BD.若 BD均分∠ ABC， AD＝ 2 3 ，则线段CD的长是 ( )33A． 2 B. 3 C. 2 D.2 313．( 2018·无锡中考 ) 如图，矩形 ABCD 中， G是 BC的中点，过 A， D， G三点的⊙O 与边AB， CD分别交于点 E，点 F，给出以下说法：(1)AC 与 BD的交点是⊙O 的圆心； (2)AF 与DE的交点是⊙O 的圆心； (3)BC 与⊙O 相切．此中正确说法的个数是( )A． 0B． 1C． 2D． 314．( 2018·泸州中考 ) 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心， 1 为半径作圆，点 P 在直线 y＝3x＋2 3上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A，则 PA的最小值为 ()A． 3B． 2 C. 3 D. 215．( 2018·南京中考 ) 如图，在矩形ABCD中， AB＝ 5， BC＝ 4，以 CD为直径作⊙ O.将矩形ABCD绕点 C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边 A′B′与⊙O相切，切点为 E，边 CD′与⊙O订交于点 F，则 CF 的长为________．16．( 2019·原创题 ) 如下图，在Rt△ABC中，以斜边 AB 为直径作⊙ O，延伸 BC 至点 D，恰巧使得 AD＝AB，过点 C作 CE⊥AD，延伸 DA交⊙O 于点 F.(1)求证： CE是⊙O的切线；(2)若 AB＝10， CE＋EA＝ 4，求 AF 的长度．17．( 2018·德城区一模 ) 已知 AB 是⊙O 的直径， AT 是⊙O 的切线，∠ ABT＝50°，BT 交⊙O 于点 C， E 是AB上一点，延伸CE交⊙O 于点 D.(1)如图 1，求∠T 和∠ CDB的大小；(2)如图 2，当 BE＝ BC时，求∠ CDO的大小．18．( 2019·创新题 ) 阅读资料：|Ax ＋ By ＋ C|在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x ， y ) 到直线 Ax＋By＋ C＝ 0 的距离公式为00d＝A2＋B2.00比如：求点 P (0 ， 0) 到直线 4x＋3y－ 3＝0 的距离．解：由直线 4x＋ 3y－ 3＝ 0 知， A＝ 4， B＝ 3， C＝－ 3，|4 ×0＋3×0－ 3|3∴点 P0(0 ， 0) 到直线 4x＋ 3y－ 3＝ 0 的距离为 d＝42＋ 32＝5.依据以上资料，解决以下问题：35问题 1：点 P1(3 ， 4) 到直线 y＝－4x＋4的距离为 __________；3问题 2：已知⊙C 是以点 C(2， 1) 为圆心， 1 为半径的圆，⊙C 与直线 y＝－4x＋ b 相切，务实数 b 的值；问题 3：如图，设点 P 为问题 2 中⊙C上的随意一点，点A， B为直线 3x＋ 4y＋ 5＝ 0 上的两点，且 AB＝ 2，恳求出 S△ABP的最大值和最小值．参照答案【基础训练】1． B 2.B 3.C 4.D 5.A6． 267.44 °8.70 °9.110． (1) 证明：如图，连结OC.∵E F 是过点 C 的⊙O的切线，∴ OC⊥EF，∴∠ OCA＋∠ ACD＝90°.∵O C＝ OA，∴∠ OCA＝∠ BAC＝∠CAD，∴∠ CAD＋∠ ACD＝90°，∴AD⊥EF.(2)解：∵ OB＝ OC，∴∠ B＝∠ OCB＝30°.又∵∠ AOC 是△ BOC的外角，∴∠ AOC＝∠ B＋∠ OCB＝60°.又∵ OA＝ OC，1∴△ AOC为等边三角形，∴ AC＝2AB＝ 6.1又∵∠ ACD＝30°，∴ AD＝2AC，∴AD＝ 3.11．证明： (1) 如图，连结OA.∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠ OAC＝30°，∠ BCA＝60°.∵AE∥BC，∴∠ EAC＝∠ BCA＝60°，∴∠ OAE＝∠ OAC＋∠ EAC＝30°＋ 60°＝ 90°，∴EA 是⊙O的切线．(2)∵△ ABC 是等边三角形，∴AB＝ AC，∠ BAC＝∠ ABC＝60°.∵A， B， C， D 四点共圆，∴∠ ADF＝∠ ABC＝60°.∵AD＝ DF，∴△ ADF 是等边三角形，∴AD＝ AF，∠ DAF＝60°，∴∠ BAC＋∠ CAD＝∠ DAF＋∠ CAD，即∠ BAD＝∠ CAF.在△ BAD和△ CAF中，AB＝ AC，∵ ∠BAD＝∠ CAF，AD＝ AF，∴△ BAD≌△ CAF，∴ BD＝ CF.【拔高训练】12． B 13.C 14.D15． 416． (1) 证明：∵ OB＝ OC，∴∠ ABC＝∠ OCB.∵AB＝ AD，∴∠ ABC＝∠ ADB，∴∠ OCB＝∠ ADB，∴ OC∥AD.∵CE⊥AD，∴∠ AEC＝∠ OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线．(2)解：如图，过点 O作 OH⊥AF 于点 H，则∠ OCE＝∠ CEH＝∠ OHE＝90°，∴四边形OCEH是矩形，∴OC＝ EH，OH＝ CE.设 AH＝ x.∵CE＋ AE＝4， OC＝ 5，∴AE＝ 5－ x， OH＝ 4－ (5 － x) ＝ x－ 1.在 Rt△AOH中，由勾股定理得222 AH＋ OH＝ OA，即 x2＋ (x － 1) 2＝52，解得 x1＝ 4，x2＝－ 3( 不切合题意，舍去) ，∴AH＝ 4.1∵OH⊥AF，∴ AH＝ FH＝2AF，∴AF＝ 2AH＝2×4＝ 8.17．解： (1) 如图，连结AC.∵AB 是⊙O的直径， AT 是⊙O 的切线，∴A T⊥AB，即∠ TAB＝90°.∵∠ ABT＝50°，∴∠ T＝90°－∠ ABT＝40°.由AB 是⊙O的直径得∠ACB＝90°，∴∠ CAB＝90°－∠ ABC＝40°，∴∠ CDB＝∠ CAB＝40°.(2)如图，连结 AD.在△ BCE中， BE＝ BC，∠ EBC＝50°，∴∠ BCE＝∠ BEC＝65°，∴∠ BAD＝∠ BCD＝65°.∵OA＝ OD，∴∠ ODA＝∠ OAD＝65°.∵∠ ADC＝∠ ABC＝50°，∴∠ CDO＝∠ ODA－∠ ADC＝15°.【培优训练】18．解：问题1： 4提示：直线方程整理得3x ＋4y－ 5＝ 0，故 A＝ 3， B＝ 4， C＝－ 5，35∴点 P1(3 ， 4) 到直线 y＝－4x＋4的距离为|3 ×3＋4×4－ 5|d＝32＋42＝4.3问题 2：直线 y＝－4x＋ b 整理得 3x＋ 4y－ 4b＝ 0，故 A＝ 3， B＝ 4， C＝－ 4b.∵⊙C与直线相切，∴点 C 到直线的距离等于半径，|3 ×2＋4×1－ 4b|＝ 1，即32＋ 42515整理得 |10 － 4b| ＝ 5，解得 b＝4或 b＝4 .问题 3：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.∵在 3x＋ 4y＋ 5＝ 0 中， A＝ 3，B＝ 4， C＝5，∴圆心 C(2， 1) 到直线 AB 的距离|3 ×2＋4×1＋ 5|CD＝＝ 3，32＋ 42∴⊙C 上的点到直线AB的最大距离为3＋1＝ 4，最小距离为3－ 1＝ 2，1∴S△ ABP的最大值为2×2×4＝4，1最小值为2×2×2＝ 2.。
2019年中考数学一轮备考：圆专题-教师版
A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 【分析】连接 OC，由垂径定理求出 CE 的长，再根据勾股定理得出线段 OE 的长． 【解答】解：连接 OC
北辰教育学科教师辅导教案
在读学校： 学员姓名：
授课类型 星级 教学目的 授课日期及时段
年
月
年 级： 辅导科目： C-2019 年中考数学一轮备考： 《圆专题》 ★★★★★
日 教学内容
一、选择题
1.（3 分）（2015•徐州）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A．
B．
C．
D．
课 时 数： 3 学科教师：
7．（3 分）(2014 年江苏徐州)半径为 4cm，圆心角为 60°的扇形的面积为 π cm2．
考点： 扇形面积的计算． 分析： 直接利用扇形面积公式求出即可．
解答： 解：半径为 4cm，圆心角为 60°的扇形的面积为：
= π（cm2）．
故答案为： π． 点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
代入扇形弧长公式 l nπr ， 180
即 2π=
，
解得 n=120， 即扇形圆心角为 120 度． 故选 C． 【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关 系的记忆是解题的关键． 二、填空题
A．30°
B．45°
C．60°
(泰安专版)2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第21讲 圆的有关性质精练
第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(xx浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(xx菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(xx甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(xx江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F 的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(xx潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(xx北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(xx江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(xx湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.(xx浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB. cmC.2.5 cmD. cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )A. B. C.1- D.二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是cm.三、解答题5.(xx江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得的长=的长, ∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案70°解析∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案27°解析∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案2解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所以AB===4.在Rt△ABC中,AC=AB×cos 60°=4×=2.9.答案解析如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,∴BC==6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.在Rt△BCE中,BE==2,∴sin α===.三、解答题10.解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.在△ABC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC==.由AB=4,BC=2,得DC==.11.证明(1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.∴DC·CN=CM·DN.∵CN=DC,∴DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8 cm,AE=2 cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC===4 cm, ∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,即=,解得OF= cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D. ∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.∴BE=+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.∴=.故选D.二、填空题4.答案8解析如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,∴的长=的长,∵的长=的长=的长,AB为直径,∴C'D为直径,∴CM+DM的最小值是8 cm.三、解答题5.解析如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CDE=∠B.∵cos B=,CD=10,∴cos ∠CDE===,∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°,∴四边形AFCE是矩形,∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9,∴cos B===,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.11 / 11文档可自由编辑打印。
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这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批评忍不断往前走的人1
第六章圆第21讲与圆有关的计算
考向正多边形相关的计算
1．[2018·昆明]如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇
形ABF，则图中阴影部分的面积为33
2
－
1
3
π
.
(结果保留根号和π)
第1题图第2题图
2．[2018·烟台]如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点．以点O为圆心、以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心、以DE的长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1，将扇形DEF以同方法围成的圆锥的底面半径记为r2.则r1∶r2
考向与圆相关的阴影部分的面积
3．[2018·扬州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.
(1) 求证：AC是⊙O的切线；
(2) 若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
(3) 在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．
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这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批评忍不断往前走的人
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