数学奥赛培训北大教授代数 数论 几何 组合的解题技巧
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
北师大版七年级下册数学竞赛讲座05几何解题途径的探求方法
竞赛讲座05－几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。
想象力对于人们的创造性劳动的重要作用，马克思曾作过高度评价：“想象是促进人类发展的伟大天赋。
”解题一项创造性的工作，自然需要丰富的想象力。
在解题过程中，充分展开想象，主要是指：1．全面地设想设想，是指对同一问题从各个不同的角度去观察思考和深入分析其特征，推测解题的大致方向，构思各种不同的处理方案。
例1．在AB C D 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，E 是线段AD 上一点 ，且BAC CED BED ∠=∠=∠2，求证：BD=2CD （92年全国初中联赛试题）例2． 在ABC ∆中，AB>AC ，A ∠的外角平分线交ABC ∆的外接圆于D ，AB DE ⊥于E 。
求证：2)(AC AB AE -=（89年全国高中联赛试题） 3．在ABC Rt ∆的斜边上取一点D ，使ACD ABD ∆∆和的内切圆相等。
证明：2AD S ABC =∆（31届IMO备选题）例4．设A 是三维立体a bc 的长方体砖块。
若B 是所有到A 的距离不超过1的点的集合（特别地，B 包含A ），试用abc 的多项式表示B 的体积（84年美国普特南数学竟赛试题）2．广泛地联想联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一事物想到与其相关的各种不同的事物，进行由此彼的思索。
在解题过程中，我们如能根椐问题特征广泛地联想熟知命题，并设法将其结论或解法加以利用，则无疑是获得解题途径的简捷方法。
例5．在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 的大小成等比数列，且ac a b =-22，求角B （85年全国高中联赛试题）例6．四边形ABCD 内接于o O ，对角线BD AC ⊥于P ，E 是CD 的中点，OF ：PE F 。
AB OF =⊥求证于（78年上海高中竟赛试题） 例7． 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC 的中点，F 在棱1AA 上，且2:1:1=FA F A ，求平面EF B 1与底面1111D C B A 所成的二面角。
数学竞赛技巧解几何问题的方法
数学竞赛技巧解几何问题的方法数学竞赛中的几何问题常常考察学生的空间想象能力和几何知识的应用能力。
解几何问题需要一些方法和技巧，下面将介绍几种常用的数学竞赛技巧，帮助学生更好地解决几何问题。
一、准确阅读题目首先，在解几何问题之前，我们要认真阅读题目。
题目中通常会给出一些重要信息，例如给定的条件，已知的等式或者角度关系等。
通过准确的理解和把握题目中的这些信息，有助于我们正确地解答问题。
如果对题目中的内容有任何疑问，应该及时向老师或同学请教，以免在后续解题过程中出现错误。
二、绘制准确的图形在解几何问题时，绘制准确的图形是非常重要的一步。
通过绘制图形，我们可以更好地理解问题，并且可以通过观察图形找出问题的一些性质和规律。
在绘制图形时，应该注意以下几点：1. 使用直尺和铅笔绘制清晰的直线和线段；2. 使用量角器或者直尺量取准确的角度；3. 标注清楚已知条件和未知量。
通过准确的图形，我们可以更好地分析和解决几何问题。
三、利用几何形状的特点几何形状具有一些独特的性质和特点，我们可以利用这些特点来解决几何问题。
下面介绍几个常用的方法：1. 利用对称性：对称图形的特点是图形的两边或多边在某个中心对称，或者关于某条直线对称。
对称性可用于找到等长、等角、相等面积等概念。
如果一个问题中涉及到对称性，我们应该充分利用这个特点来解决问题。
2. 利用相似三角形：相似三角形的特点是对应角相等，而对应边的比例相等。
如果一个问题中给定了一组相似三角形，我们可以利用这个特点来求解未知量。
3. 利用垂直、平行关系：在平面几何中，垂直和平行的关系是非常重要的。
如果一个问题涉及到直线的垂直或平行关系，我们可以利用这个关系来解决问题。
例如，在求解角度大小时可以利用垂直角、对顶角、同位角等的性质。
四、运用数学工具在解决几何问题时，有时候我们需要一些数学工具来辅助计算和判断。
例如，可以利用三角函数求解一些角度的大小，可以使用长度比例求解线段的长度，还可以使用面积比例来求解面积的大小。
数学竞赛最难模块“数论、组合”这样学！
数学竞赛最难模块“数论、组合”这样学！
授课内容：《数学竞赛：数论专题讲座》（可回放）
授课师资：王建伟教授，中国科学技术大学教授，中国数学奥林匹克竞赛委员会委员，国际数学奥林匹克中国国家队教练，2005年IMO中国国家代表队副领队，曾多次参与冬令营、女子、西部、国家队选拔考试等重要竞赛活动的命题工作。
1970年出生于江苏武进县，高中时期即致力于数学竞赛，上世纪80年代获得江苏省赛区一等奖并进入省队，获得国家一等奖，因此保送到中国科技大学。
1993年毕业于中国科技大学数学系，1997年获得理学硕士学位，导师冯克勤教授。
1997年留中科大任教至今。
主要从事代数数论、代数几何及密码学的科研和教学工作。
数学奥赛培训北大教授代数 数论 几何 组合的解题技巧
f
md
m
m Hale Waihona Puke 1
1
m
,
m
1,
2,
3,
f m,２ m m 1 m , m 1, 2,3,
记x＝1，y＝1 1 ，则x，y为无理数且 1 1 ＝1。则
xy
xm | m＝1，2，3， ，ym | m＝1，2，3， 合起来恰好组成正整数列，
由于 pn pn 1 1 ＝ pn
pq pq pq pq
pn 1
p
q
pn pq
pn pq
m 1
pn 1
p
q
1
pn pq
pn 1
p
q
an
b1＝1。
p
任取正整数s，则bs＝
j＝1
ａ sj
p
，bs+1＝
j＝1
ａ
s+1
j
。设a
s＝m
k，a
s+1＝n
。
l
由1的定义可知mk和nl之间不存在M中的数，即不存在正整数q和
j{1，2， ，p}使得
mk q j nl
即
，p}使得a
n＝m
。显然
k
n=#sl | sl mk , s 1, 2, , l {1，2， ，p},
其中＃ 表示集合 中元素的个数。由于
数学竞赛常见解题方法总结
数学竞赛常见解题方法总结数学竞赛常见解题方法可以分为几个大类，包括代数、几何、概率与统计以及数论。
每个类别下又有不同的方法和技巧，适用于解答不同类型的题目。
下面将对这些常见解题方法进行总结和分析。
一、代数类解题方法1. 数列求和：对于给定的数列，可以用等差数列或等比数列的求和公式来快速求解。
此外，还可以利用差分法、二次差分法等方法求和。
2. 方程求解：对于一元二次方程、一次方程及其他更复杂的方程，可以运用配方法、因式分解、绝对值法、韦达定理等方法求解。
3. 不等式求解：针对不等式问题，可以运用代换法、区间判断法、平方运算法等方法，求解不等式的解集。
4. 函数图像分析：可以通过求导、极值问题等方法，对函数的图像进行分析和求解。
5. 组合函数求解：针对给定的复合函数，可以通过逆函数定义、复合函数的性质等方法进行求解。
二、几何类解题方法1. 平面几何定理：常用平面几何定理包括平行线定理、相似三角形定理、勾股定理等。
在解题过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法，将问题转化为已知几何定理的形式进行求解。
2. 三角形性质利用：针对三角形问题，可以应用三角形中位线、垂心定理、欧拉定理等几何性质进行解题。
3. 向量方法：向量方法在几何问题中有广泛应用，常用于求解线段的中点、平行四边形的性质、共线问题等。
4. 坐标系与方程运用：对于平面几何问题，可以通过建立坐标系，利用坐标运算进行解题。
此外，还可以通过方程的运用，表示几何图形，进而求解问题。
三、概率与统计类解题方法1. 随机事件计算：针对概率问题，可以利用集合论的知识进行解题，包括用频率定义概率、利用互斥事件和对立事件计算概率等方法。
2. 组合计数：在概率和统计问题中，常常需要进行组合和计数的运算。
可以利用阶乘、排列组合等方法进行计算。
3. 数据处理与分析：对于给定的数据集合，可以通过构造频率分布表、绘制直方图、计算中位数、算术平均数等方法进行数据的处理和分析。
试析数学竞赛中组合几何问题的几种解法
试析数学竞赛中组合几何问题的几种解法组合几何问题在数学竞赛中占有重要的地位。
它不仅要求我们具备几何图形的基本概念和运用技能，还需要我们具备一定的组合数学知识。
针对组合几何问题，我们可以采用不同的解法，本文将从常用的几种解法出发，深入探讨组合几何问题的解题技巧。
一、计数原理计数原理是解决组合问题的基本方法之一。
它包含了加法原理和乘法原理两种基本思想。
加法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的概率等于各个子事件概率之和。
乘法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个独立的子事件，那么这个事件的概率等于各个子事件概率之积。
在组合几何问题中，计数原理可以用来计算几何图形中的点、线、面等数量。
例如，在一个正方形中，取三个点，求它们所构成的三角形的个数。
根据乘法原理，我们可以得到答案为$C_3^2=3$。
二、重心法重心法是解决组合几何问题的常用方法之一。
它利用了几何图形的对称性和平衡性。
在一个几何图形中，如果我们能够找到它的重心，那么我们就可以通过重心的性质来解决问题。
重心是一个几何图形的中心点，它具有以下性质：（1）三角形的三条中线交于一点，该点为重心。
（2）四边形的对角线交于一点，该点为重心。
（3）正多边形的重心位于中心点和各个顶点的连线的交点处。
对角线长度等。
例如，在一个正方形中，以其中一个顶点为顶点，连接一条边上的中点和对角线的中点，求所得四边形的面积。
根据重心法，我们可以得到答案为正方形面积的$1/4$。
三、旋转法旋转法是解决组合几何问题的另一种常用方法。
它利用了几何图形的对称性和不变性。
在一个几何图形中，如果我们能够找到它的对称轴，那么我们就可以通过旋转来使问题变得更加简单。
旋转法的基本思想是，将一个几何图形旋转一定的角度后，它仍然是原来的几何图形。
在旋转过程中，我们可以利用几何图形的对称性来求出它的某些性质。
在组合几何问题中，旋转法可以用来求几何图形的面积、周长、对角线长度等。
小学数学奥赛数论与代数问题几何推理与证明组合与概率题型解题思路与策略等
小学数学奥赛数论与代数问题几何推理与证明组合与概率题型解题思路与策略等小学数学奥赛数论与代数问题、几何推理与证明、组合与概率题型解题思路与策略等小学数学奥赛是培养小学生数学兴趣和能力的一项重要活动。
而在数学奥赛中，数论与代数、几何推理与证明、组合与概率是常见的题型。
掌握这些题型的解题思路与策略对于小学生的数学竞赛至关重要。
本文将就小学数学奥赛中的这几类题型，分享一些解题的思路和策略。
一、数论与代数问题的解题思路与策略在小学数学奥赛中，数论与代数问题是常见的题型。
在解决这类问题时，可以采用以下的解题思路与策略。
1. 分析问题：首先要仔细阅读题目，理解题意，明确要求和条件。
然后根据题目的特点进行分类，将复杂的问题分解为若干个简单的部分。
通过对每个部分的分析，找出问题的关键点，确定解题思路。
2. 建立方程：根据题目中的条件，可以将问题中的未知数用字母表示，建立方程或等式来描述问题。
方程的建立可以帮助我们清晰地理解问题，更好地解决问题。
3. 利用性质和定理：数论与代数问题通常涉及到数的性质和运算规则，通过灵活运用性质和定理，可以减少计算量，简化解题过程。
例如，利用倍数的性质判断一个数是否是某个数的倍数，利用奇偶性质来解决奇偶问题等。
4. 智斗选项：当遇到多个选项时，可以尝试替换选项的值，判断方程的成立与否，从而排除不符合条件的选项。
这样可以快速缩小答案范围，提高解题效率。
二、几何推理与证明的解题思路与策略几何推理与证明是数学竞赛中的一个需要一定几何知识基础以及逻辑思维能力的题型。
以下是解决几何推理与证明问题的一些思路与策略。
1. 图形分析：对于几何问题，首先要对给定图形进行仔细地观察和分析，明确图形之间的关系和性质，找出问题的关键点，从而找到解题的线索。
2. 利用已知条件：几何题通常给出一些已知条件，可以通过利用这些已知条件来推导出其他未知条件，进而解决问题。
熟悉常见的定理和性质对于应用已知条件进行推理和证明是非常有帮助的。
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nq 1
pq
pn 1
p
q
.
证明留作练习。
注：对0< 1,易证
pn
pq
pn 1
Hale Waihona Puke pq 事实上，pn ＝ pn 1 1
pq pq pq
由于0 1 1 , pn 1 pn pn 1 1
，p}使得a
n＝m
。显然
k
n=#sl | sl mk , s 1, 2, , l {1，2， ，p},
其中＃ 表示集合 中元素的个数。由于
sl
m k
s
m k l
从而对于任意固定的l满足s
m k l
的正整数s的个数为
m l
k
再由任意不同的l1和l2
即n，G nF 1, F 2, .
反之，若m F 1, F 2, ，由于F 0＝0，
存在非负整数使得F k m F k 1，即
m＝F k a，其中1 a F k 1 F k 1＝f k 1 f k
称它们关于正整数集互补。－－－1959美国普特南竞赛题
关于求正整数集的补集有以下一般的结果。
设f n为正整数集到自身的不减函数，且lim f n＝ nx
对任意正整数n，令
f * n #k | k为正整数且f k n
由于f (n)为不减函数（f(n) f(n+1,n)）,从而
k使得f k n，即
r 1 k n
1
显然1 k n ,即f* n是小于 n 的最大的k。
n 1
r 1
f
* (n)
r
n
1
,当
r
n 不是整数 1
r
n
1
1, 当
r
n
1
是整数
由于k
q 1 1 n 1 q 2
2
4
f * n q 1即
f
*
n
q,当n q2
q
1,当n
q
s,0 s 2 s,q
q s
2q
.
可以证明
f
*
n
1 2
n
n
n
n
,
其中 n 表示最接近 n的整数.
pn 1
p
q
当
pn 1 不是整数时，则 pq
pn 1 pq
pn 1
p
q
1
即令m＝
ppnq1，则 m 1
pn 1 0. pq
m 1 p q pn 1 1.
m 1 pn pq
代数 数论 几何 组合的解题技巧
1. 从 2007 年联赛加试第三题谈起――正整数子集的补集。 2. Pull 方程及应用 3. 复数与多项式 4. 多项式的构造与应用
设P＝{1，2，3，4，5}，对任意k P和正整数m，
记f
m，k
5
＝
m
k
1
,
i＝1 i 1
求证对任意正整数n，存在k P和正整数m，使得f m，k ＝n。
mk q n l
j
j
当j
k，l时，则m
k j
，n
l j
均为无理数，则
m
k j
＝
n
l j
。
当j＝k但j l 此时k l ，显然m k ＝m，n l 是无理数，
j
j
n
l j
＝m＝
解：1 r为无理数1959年普特南赛题
an
n
r
n 1
r
r
1
n
.
(2).r是有理数。不妨设r＝ p ，其p，q均为正整数且p>q 1.令 q
fn rn n r 1 n.对于任意正整数n，则f* n是最大的非负整数
{1，2，
，p}和任意正整数s1和s
都有
2
s1l１
s2
。于是
l２
n
p l＝1
m
ｋ l
f
m, k
证明二：令bn
p j＝1
n j
,
证明
b1, b2 , b3,
2
是正整数列。不妨设1 2 p。显然a1＝1，
l
n
l
n
k,k l
k
n
k
1l
k
1 .
于是
f
* n
l
n
l
n
.
所求
an
n
l
n
l
n
,
n
1, 2,3,
若正整数m，k和l，j使得mk＝l j，则必须且只须m＝l，k＝j。 于是M是由两两不同元素组成的无穷数集。易证M可以按由小到大
的顺序排成一个无穷数列：
a1, a2 , a3, , an ,
1
证明一：计算数列1的项数n。任意给定正整数n，an M，
即存在唯一的正整数m和k
{1，2，
上题是下题的特殊情况：
已知给定正数1，
，
2
，
，设
p
k j
k
j 都是无理数，
记f
m，k
p
＝
j＝1
m
k j
。求证对于任意正整数n，存在
k {1，2， ，p}，和正整数m，使得f m，k ＝n。
证明：证明的关键是想到集合M＝mk|m＝1，2， ，k＝1，2， ，p
取n＝f k a，则G n n f * n＝f k a k＝F k a＝m
练习: f* * ?证明你的结论。
例1。设r>1，从正整数列中删去rn | n 1, 2,3, 所得之数列记为
a n , 求 a n 的通项公式。
n
nq
, nq
nq p q k
k
0
r 1 p q p q
pq
nq ( p q)k 1
k nq 1. pq
于是f
* (n)
nq 1
p
q
.
可以证明an
n
f * (n)
n
nq 1
p
q
f* (n) max{k | k为正整数且f(k)<n}
即对于n若k满足
f k n f k 1
则k f * n.显然f * 1＝0，f * m＝0 f n m,n
可以证明f * n为正整数集到非负整数集的不减函数且 lim f * n＝ 。 n
f k n f k 1
1
即n f k a,其中1 a f k 1 f k
由1可知f * n＝k。于是
G n n f * n＝f k a k＝F k a
F k G n F k f k 1 f k F k+1
b1＝1。
p
任取正整数s，则bs＝
j＝1
ａ sj
p
，bs+1＝
j＝1
ａ
s+1
j
。设a
s＝m
k，a
s+1＝n
。
l
由1的定义可知mk和nl之间不存在M中的数，即不存在正整数q和
j{1，2， ，p}使得
mk q j nl
即
由于kl k k 1l
n l n kl k 1 k 1 kl
l n l n k.
又当n k 1l k 1时， n l n k 1l k 1 l k 1l k 1 k 1l
l n l n k 1
f
md
m
m
1
1
m
,
m
1,
2,
3,
f m,２ m m 1 m , m 1, 2,3,
记x＝1，y＝1 1 ，则x，y为无理数且 1 1 ＝1。则
xy
xm | m＝1，2，3， ，ym | m＝1，2，3， 合起来恰好组成正整数列，
可以证明n f n | n 1, 2,3, 和n f * n | n 1, 2,3,
关于正整数集互补。(Lamher Moser)
证：记F n n f n,G n n f * n.不妨设f 0＝0。对任意正整数
n，有非负整数k使得
pq pq pq pq pq pq
pn 1
p
q
pn
pq
当 pn 1 是整数时，由 pq