空间几何体·体积计算

柱体、锥体、台体的表面积与体积[知识链接]1．棱柱的侧面形状是；棱锥的侧面是；棱台的侧面形状是．2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是．3．三角形的面积S ＝(其中a 为底，h 为高)，圆的面积S ＝(其中r 为半径)，扇形的面积公式S ＝(l 为扇形的弧长，r 为扇形的半径)．4．长方体的体积V ＝(其中a ，b ，c 为长、宽、高)．1．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S 底＝2πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πrl ＋2πr 2圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πrl ＋πr 2圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)表面积：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.Sh.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝1(S′＋S′S＋S)h.3要点一空间几何体的表面积例1如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．跟踪演练1(2014·泸州高一检测)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积．要点二空间几何体的体积例2三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．规律方法求几何体体积的常用方法跟踪演练2如图所示的三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝3，PC＝6，求其体积．(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直)要点三与三视图有关的表面积、体积问题例3一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．45，8B．45，83D．8,8 C．4(5＋1)，83规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．跟踪演练3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．球的体积和表面积[知识链接]1．长宽高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h.4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl，体积V＝13πr2h.[预习导引]球的体积公式与表面积公式(1)球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径) (2)球的表面积公式S＝4πR2要点一球的表面积和体积例1(1)已知球的表面积为64π，求它的体积．(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．规律方法 1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．跟踪演练1一个球的表面积是16π，则它的体积是()A．64π B.64π3C．32π D.323π要点二球的截面问题例2平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π规律方法有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．跟踪演练2已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．要点三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．规律方法 1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．跟踪演练3已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．【空间几何体的直观图】1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点2．关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图可能不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．一、基础达标1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y 轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC 是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形3.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图所示)，则原图形的形状是()4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC 的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC5．下列说法正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1B．2C．3D．46.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．7．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．二、能力提升8.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A．2B．4C．22D．429.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．10．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是________．11．用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．【柱体、锥体、台体的表面积与体积】1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是()A．6B．12C．24D．482．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()B．1A.32D.2C.2＋123.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A．12πB．18πC．24πD．36π4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于________．5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________．一、基础达标1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于() A．πB．2πC．4πD．8π2．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于() A．72B．42πC．67πD．72π3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是()A.1 6B.1 3C.12D．1 4．一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是()A．16cm2B．10＋42cm2C．12＋42cm2D．8＋22cm25．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A.16B.13 C.23D ．16．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．7.如图是某几何体的三视图．(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积．二、能力提升8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A ．54B ．54πC ．58D ．58π9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.5603B.5803C ．200D ．24010．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .【球的体积和表面积】1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A ．36π，144πB ．36π，36πC ．144π，36πD ．144π，144π2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的()A ．2倍B ．4倍C ．8倍D ．16倍3．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．一、基础达标1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.43πB.8π3C ．43πD ．323π2．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为()A ．8B ．82C ．83D ．423．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.92π＋12 B.92＋18C ．9π＋42D ．36π＋184．正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶95．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是()A.100π3cm 3B.208π3cm 3C.500π3cm 3D.41613π3cm 36．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm ，两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？二、能力提升8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1372π3cm 3D.2048π3cm 39．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()10.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.11．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．三、探究与创新12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？。