平新乔十八讲答案第六讲

说明：我认为这道题有相当大的缺漏，主要原因是关于这道题里面的生产函数，我们知道得过少．
12假定 ， ， ，
12.1证明 ， ．
证明： ；
同理，得 ．
12.2证明 ， ； ，
证明： ，其中 ， ， 均大于零，因此 ．而 ，因为 ．
12.3证明MRTS只取决于 而不依赖于生产规模，而且MRTS（ 对 ）随着 的增加而递减．
10.3证明落日湾的劳动边际产出为 ．
用图表示这一关系，并证明对于所有的 值， ．请解释它．
解： 对 求导，得 ．
边际产出用暗红色虚线（或者是灰色虚线，如果黑白打印的话）标出．在图中，任一点上代表该点上平均产出的斜线斜率均大于该点上边际产出的直线的斜率．因为在每一个劳动投入水平上，额外增加的一个劳动力，所多生产的产品比前面任何一个多增加的劳动力多生产的都少，所以，它自然也少于所有劳动力产出量的平均值．
但是，该村的劳动力于土地如果用产棉织布，也是有机会成本的．当织布的产量从零增加到32米这一阶段，粮食产量会从38担下降到30担；如果布的产量要从32米上升到38米，则粮食产量会从30担进一步下降到24担；如果布的产量从38米上升到50米，则粮食产量更会从24担下降到零．
作图：
3.1请以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，作出该村粮食的供给曲线．
证明： ，即 只取决于 ，而随着 的增加而递减．
13我们已知，对于欧拉定理（见本讲第五节），它意味着规模报酬不变的生产函数 ，有
．
运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果 ，则 必为负数．这意味着生产应该在何处进行呢？一个企业能够在 递增的点进行生产吗？
证明：在等式两边同除以 ，得
．
其中 ， ， ．因此有：
15生产函数形式如下
．
15.1劳动和资本的平均生产力是多少？
解： ， ．
15.2图示当 等于100时的 曲线．
解：
这里没有办法标出点（word技术问题），边际产出为红线（或灰线，如果黑白打印的话）．
15.3证明 ， ．运用这一信息，加一个 函数到2图中，这一曲线有何特别的地方？
解： ，同理 ．
15.4画出 时的等产量线．
另外，最大化问题也需要满足二阶条件，但在我们遇到的绝大多数情况下一阶条件所确定的解即为最优解．因此，除非另有说明，本题以及后面的解答都会略去二阶条件的检验．
1.2最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？
解：这个问题可以表述为：
．
一阶条件为
，
即
．
即，人均产量最大的劳动投入为3，此时的最大平均产量为4．
10在落日湾用手挖海蚶只需要劳动投入．每小时可获得的海蚶总量 由下式给出
，
其中， 是每小时的劳动投入．
10.1用图表示出 与 的关系．
（刻度不知道怎么标）
10.2落日湾中劳动的平均生产力为多少？用图表示这一关系并表明随着劳动投入的增加 下降．
平均生产力为 ．
见图上的黑色虚线，它们的斜率表示平均生产力．随着 的增加，这些虚线的斜率减小．说明随着劳动投入的增加， 减小．
2.3
解：因酬递减．
3设某一省有一个村，该村生产粮食又会织布．其产品既可用来自己消费，也可以出卖．但粮食与布也可以从外边买入来满足消费，如果村外的市场价格比率是一担粮食能换回的布少于0.5米，则该村民们会不再种粮食；如果一担粮可以换回0.5米的布，则该村将提供24担粮食，如果一担粮可以换回一米布，则该村将提供30担粮食；最后，如果一担粮可以换回4米布，则该村会提供38担粮食．
5.2如果生产是有效率的，生产的可能性边界一定是外凸的．
答：假设一个经济生产的产品包括 ， ，利用唯一的生产要素 ；生产可能性边界可以表述为
如下图，尽管A点是有效率的，但是，它所在的生产可能性边界不是外凸的．
即，生产有效率并不是一定意味着生产可能性边界外凸．
6假定一家企业的生产函数为 ，产出品价格 ，工资率 ，固定资本成本为2．
2确定下列函数是不是齐次函数，如果是，规模报酬情况如何？
2.1 ．
解：因为 ，使得对 ， 在 上都不成立．所以，它不是齐次函数．
比如 时，
恒成立的条件是， ，使得
，
即
．
而 是不可能的．因此对 ， 在 上都不成立，这就证明了前面的结论．
2.2 ．
解：因为对 ，都有 ，所以它是一次齐次函数，规模报酬不变．
4.2证明在规模报酬不变的情况下，该函数呈现出边际生产力递减而且边际生产力函数是零次齐次的．
解：对
有 的边际生产力 ，
则 ．
即函数对 的边际生产力函数是零次齐次的．
又 ，即 的边际生产力递减．
同样可以得到 的边际生产力函数一次齐次和递减．
5判断下列结论是否正确，并说明理由：
5.1边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升，平均产量则不一定上升．
8.1求 的最优比率．
解：企业利润 最大化的一阶条件为
，
．
即有 ，即 ．
8.2求 与 的最优量．
解：由上一问的解，可以得到 ，代入 ，有 ，解得 ，由此得到最优量 ．
9某公司有甲、乙、丙三分公司，每个分公司都生产 和 两种产品，下面是三个分公司用其全部资源可生产的 和 的最大产量．
解：（具体数据在书上．）要说明的是，这道题对生产集没有任何限制，甚至没有说明生产集的连续性，因此，这个生产可能性边际曲线甚至可能不存在．
11.2对应第二种生产函数，回答1中的问题
11.3如果4000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则 与 应如何无浪费地配合？如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，则 与 应如何配合？
11.4在你考虑3中问题的基础上，画出 平方英尺的联合生产函数的等产量线．
6.1求最优要素投入量
解：企业利润 ，最大化的一阶条件是
．
代入 ， ，解得 ．
6.2最优供给量
解：当 时，产出 ．
6.3计算这家企业的利润量．
解： ．
6.4这家企业应不应关闭？
答：不应，固定资本的存在意味着这是一个短期成本函数，我们可以看到平均可变成本低于产品价格，所以企业不应关闭．
7证明：若某家企业的生产函数为 ， ，如果该企业的资本支出为一常数 ，则
解：见上图．
16运用3的结果，在点 ， ， 及 ， 处， 上的等产量线上的MRTS是多少？这一函数呈现边际技术替代率递减吗？
解：事实上可以利用12题第3问的结论．在三个点，边际技术替代率（ 对 ）分别为1，25/4和4/25，这个函数呈现边际技术替代率递减．
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles
第六讲生产函数与规模报酬
1生产函数为 ，工人工资为 ，产品价格为 ．计算：
1.1短期内 ，最优劳动投入是多少？
解：短期内生产函数为
， 表示短期．
厂家的问题是
，其中 ．
一阶条件为
．
因此
．
即，最优劳动投入为2．
[注]严格地说，该最大化问题有约束，即 ，但在我们遇到的绝大多数情况下最优解 均大于零．因此，除非另有说明，本题以及后面的解答都会略去这个约束．
7.1其供给量 随产品价格 上升而上升．
证明：设该企业的工资率为一常数 ，企业的最大化问题为
，
解得 ，其中， ．
于是企业供给函数为 ，其中 ， ．
因为 ，所以供给量随价格上升而上升．
7.2 随工资率 上升而下降
证明：因为 ，所以供给量随价格下降而下降．
8已知一家企业的生产函数为 ，产品价格为1，工资率为 ，利率为 ．固定资本成本为 ．
．
因此当 时， 必为负．这说明生产应当在边际产出低于平均产出的地方进行．也就是说，一个企业不能在 递增的点进行生产（因为这时候正有 ）．
14再次运用欧拉定理证明，对于只有两种投入 和 的一个规模报酬不变的生产函数， 必定为正．解释这一结论．
证明：在 两边对 求一阶偏导数．有：
，
即
，
其中 大于零， 小于零．因此 为正．
答：边际产出大于零，即多增加一个单位的投入，总产出的增量为正，即总产量将随着投入的增加而上升．如果多增加一个单位的投入，总产量的增量高于平均产量，那么平均产量在增加该单位的投入后将上升，但是，也可能出现总产量增量在为正的同时低于平均产量的情况（因为平均产量严格大于零），那么平均产量在增加该单位的投入时将下降．
11某公司使用两种类型的除草机割草．小型除草机具有24英寸刀片并适用于具有较多树木与障碍物的草坪．大型的除草机恰为小型除草机的两倍大并适用于操作时不太困难的空旷场地．
两种生产函数的情况如下：
每小时产出（平方英尺）资本投入劳动投入
大型除草机8,00021
小型除草机4,00011
11.1对应第一种生产函数，图示出 平方英尺的等产量线．如果这些要素没有浪费地结合起来，则需要使用多少 与 ？
3.2请以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食数量所代表的布的价格，作出该村布的供给曲线．
两张图的连线都是假设的，它们可以有其他的（比如说平滑的）形状．
4对下面的生产函数
其中 ，（ ）
4.1当 、 、 、 满足什么条件时，该生产函数呈现规模报酬不变．
解：设 ，令 ，有
，
即，对 ，有 ，因此 时，该生产函数呈现规模报酬不变．