一笔画问题及解决策略
四年级奥数第一讲-一笔画问题
第十二讲一笔画问题那么，什么叫一笔画1什么样的图可以一笔画出■?欧竝又是如何彻底证明尢桥冋题的不可能性呢？下面，我们就来介貂这一方面的简单知谋数学书我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做圈（如圈3 ）S圈中的点叫做曙的结点！连按两結点的线叫做圏的边. 如图（b）中，有三个结点：氐F. G,四条边：线段臥FG以及连接臥F的两段呱•从图Q、0>）中可以看岀，任意两点之间都有一条通路〔即可臥从其中一点出发，沿着图的边走到另一点左WJI的通路为或A-Df I…”这样的图，我扪称为连通图；而下图中〔亡）的一些^点之间却不存在通略（如M与N）,像这样的图就不是连逋图将所谓图的一笔ML指的就是；从图的一点出发，笔不离纟氐遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不推重复■从上图中容曷看出；能一笔画出的图首先必须是连逋图-但是否所有的连逋图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求醉抉这个问题的方法。
为了叙述的方使’我们把与奇数条边相连的结点叫做奇吊把与偶数条边相连的点称为播点■如I上鹵申的八个给点全是寄■点，上扇（b）申卫、F衣奇為G为偶点。
容易知道，上图00可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向. 经过匚G> E.最后到达奇点心同理，从奇点F出发也可以一笔画也最后到达奇点氐而从偶点G岀发，却不能一笔画出•这是为什么呢？G事实上，这并不杲偶然现象•假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中何点，那么X—定是一个偶点.这杲因为无论何时通过一条边到达X,由于不能重复，必须从另一董边离开X.这样与X连纟吉的边 -定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在」笔画中只能作为起或终点•由此可臥看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言’这个图无法一笔画岀，也即游人不可能不重复地1次走遍七座桥.更逬1步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理；①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
521 一笔画问题二(讲师版)
一、一笔画问题 （1）能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作 为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为 起点.以另一个奇点作为终点； （4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．
【试题来源】 【题目】观察下面的图，看各至少用几笔画成？
【答案】1）有 8 个奇点，所以要 4 笔画出， 图（2）有 12 个奇点，所以要一笔画出， 图（3）能一笔画出。 【解析】图（1）有 8 个奇点，所以要 4 笔画出， 图（2）有 12 个奇点，所以要一笔画出， 图（3）能一笔画出。
【知识点】一笔画问题二 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【答案】奇点：J D H F 【解析】奇点：J D H F 【知识点】一笔画问题二 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
偶点：A E B C G I 偶点：A E B C G I
【试题来源】 【题目】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸。问： 一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？
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一笔画四条线段，然后使这四条线段正好通过这 9 个数字才能打开 4 5 6
形能一笔画出。
图（2）不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 KL，或者 BK 都可以使图形能一笔画出。
图（3）不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 AB 可以使图形能一笔画出。
一个 K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道 K 笔画有 2K 个奇点，
如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的 B，
C 两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在 K 笔画的 2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以
一笔画完的规律
一笔画完的规律在我们的日常生活中，一笔画问题常常出现在各种场景中，如绘画、设计等领域。
所谓一笔画，就是指在不离开纸面、不重复线段的情况下，用一笔将图形勾勒出来。
本文将探讨一笔画完的规律，帮助大家更好地理解和应用这一概念。
一、一笔画的基本概念一笔画问题可以分为两类：一类是一笔画不完的图形，另一类是一笔画完的图形。
一笔画不完的图形通常具有以下特征：1.奇数个顶点的图形：例如三角形、五边形等。
2.存在奇数条边的图形：例如正方形、六边形等。
而一笔画完的图形则具有以下特征：1.偶数个顶点的图形：例如四边形、八边形等。
2.存在偶数条边的图形：例如正五边形、正六边形等。
二、一笔画完的规律应用在了解了一笔画的基本概念和图形特征后，我们可以总结出一笔画完的规律：1.当图形的顶点数为偶数且边数也为偶数时，图形可以一笔画完。
2.当图形的顶点数为奇数且边数为奇数时，图形可以一笔画完。
这一规律可以帮助我们在实际问题中快速判断一笔画是否可以完成。
三、实例分析与解答下面我们通过实例来进一步说明一笔画完的规律。
实例1：一个四边形是否可以一笔画完？解答：可以。
因为四边形的顶点数为4，边数为4，均为偶数，所以四边形可以一笔画完。
实例2：一个五边形是否可以一笔画完？解答：不可以。
因为五边形的顶点数为5，边数为5，均为奇数，所以五边形不能一笔画完。
通过以上分析，我们可以得出结论：一笔画完的规律在于图形的顶点数和边数是否为偶数。
在实际应用中，这一规律可以为我们提供快速判断的依据，帮助我们更好地解决一笔画问题。
总之，一笔画问题具有一定的规律可循。
了解这些规律，能够使我们更好地解决与此相关的问题，提高工作和生活中的效率。
专题7 一笔画问题
专题7 一笔画问题[读一读]不走“冤枉”路出门旅游，面对众多的，分散的景点时，总想尽量走最少的路看最多的景，为了不让重复的冤枉路弄得疲惫不堪，就必须找到一条联接各景点而又不重复的路径，一次走下去，不再回来。
数学中，一笔画的游戏能让他你得心应手地解决这个问题，一笔画，就是从图形上某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不重复。
任何图形都是由点和线组成的，图形中的点分为两大类：（1）从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点。
（2）从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点。
一个图形能否一笔画成，关键在于图中的单数点的多少。
图形中没有单数点的，一定可以一笔画成；图形中只有两个单数点的，也一定可以一笔画成；其他情况的图形，都不能一笔画成。
单数点在一笔画中只能作为起点或终点。
这可看成“一笔画”规则。
[想一想][例1]从图中给出的小黑点出发，不重复不遗漏，一笔描出这些图形，你能做到么？为什么？[剖析]先找到图中的黑点，再数清从这点出发的线有几条，再依据“一笔画规则”确定能不能一笔描出这些图形。
[解]观察图1中有3个双数点，图2中有5个双数点，图3中有2个单数点，其余是双数点，所以3幅图都可以一笔画成。
关键在于找准每个图形单数点的个数。
1、从图中小黑点出发，看能否一笔画成下列图形。
2、只用一笔描出下面的图，用箭头表示画的方向。
[解]1、可以一笔画成。
2、可以一笔画成。
[例2]看看下列图形能否一笔画成？并说说原因。
[剖析]观察图1中有2个双数点，图2中有6个双数点，都可以一笔画成。
图3中有5个双数点和4个单数点，所以不能一笔画成。
[解][练一练]1、下面的图形能一笔画出吗？为什么？①③2、下面的图形能一笔画出吗？说明理由。
[解] 1、①②因为图①和图②只有两个单数点，图③没有单数点，所以它们都可以一笔画。
2、因为图①有16个双数点，图②有8个双数点，所以这两个图形都能一笔画。
点拨：由多个图形重叠组成的新图形，数点时注意要别忘了数重叠产生的交点。
奥数问题：一笔画
奥数问题：一笔画
一笔画问题是研究平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，且使得在每条线段上都不重复。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二可以算出此图至少需几笔画成。
）
备注：
顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指
数。
奇顶点：指数为奇数的顶点。
可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为奇数。
偶顶点：指数为偶数的顶点。
可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为偶数。
在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范，开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。
能一笔画出并回到起点的图为欧拉图。
他发表了“一笔画定理”：
一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:图形是联通的；图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。
七桥问题一笔画解题技巧
七桥问题一笔画解题技巧
以下是 6 条关于“七桥问题一笔画解题技巧”的内容：
1. 嘿，你知道吗？七桥问题没那么难！比如说像走迷宫一样，你得找对路径。
咱先看看那些桥的连接情况，就像你找回家的路一样，得心里有数啊！观察好每个点连接的桥数，要是奇数个，那可就得特别注意了，这不就是解题的关键吗？就像你在路上看到特殊标志一样重要！
2. 哇哦，面对七桥问题可别慌！想象一下，这就像是在编织一张网，你得理清楚那些线。
好比有条线连着三个地方，它就是重要节点呀！你得从这儿突破。
比如从这个节点开始画起，一步步试探，不就能找到答案了吗？难道不是吗？
3. 嘿呀，解决七桥问题，就如同解开一个神秘的谜题！举个例子，你看到那几座桥的分布，得像观察星座一样仔细。
找到关键的桥，然后顺着去尝试，总有办法能成功一笔画完的呀！难道你不想试试这种探索的乐趣？
4. 哎呀，七桥问题其实真的有趣极了！就仿佛在玩一个策略游戏。
比如你一开始就瞎画，那肯定不行啦！要先分析那些桥的位置关系，找对入口。
这不跟打游戏找通关技巧一样嘛！赶紧来试试吧！
5. 哈哈，面对七桥问题不用怕！可以把它想成是走一条特别的路。
比如有个地方有四座桥连着，那就是关键呀！从这儿走可能就柳暗花明了呢。
是不是觉得很有意思呀？
6. 哟呵，搞懂七桥问题的一笔画可太有意思啦！这就好似在拼图。
找对每一块的位置，像解决一个小挑战。
比如某座桥是连接两个区域的关键，抓住这点，解题就容易多啦！快自己去试试呀！
我觉得七桥问题虽然有点复杂，但只要掌握了这些技巧，真的能轻松很多，特别有意思呢！。
第五讲一笔画问题
第五讲一笔画问题 一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图） 这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图） 经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题： 如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？ 能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？ 先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了. 首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等. 其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图） （1）两个点，一条线. 每个点都只与一条线相连. （2）三个点. 两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连. 第一组的两个图都能一笔画出来. （但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图） （1）五个点，五条线. A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连. （2）六个点，七条线.（“日”字图） A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连. 第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）. 第三组（见下图） （1）四个点，三条线. 三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连. （2）四个点，六条线. 每个点都与三条线相连. （3）五个点，八条线. 点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连. 第三组的三个图形都不能一笔画出来. 第四组（见下图） （1）这个图通常叫五角星. 五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连. （2）由一个圆及一个内接三角形构成. 三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）. （3）一个正方形和一个内切圆构成. 正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连. （四条线是两条线段和两条弧线）. 第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图） （1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连. （2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连. 第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来. 进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名： 把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点. 提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查： 从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论： ①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形. ②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）. ③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）； ④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则： 有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成. 能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”. 用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去. 看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见： ①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。
一笔画问题
一笔画问题画一个图案，如果用笔既不重复也不遗漏，纸不离笔，一笔画成，那么就称这个图案是一笔画图案.现在我们来研究的问题是：（1）怎样的图案才能一笔画成？（2）如果一个图案能一笔画成，那么该从哪里起笔到哪里收笔？需提醒大家的是，这些问题与图案中的“奇点”的个数有关.何谓奇点呢？我们知道，任何图案都是由线条（直线或曲线）连成的.在图案中，由三条或三条以上的方向各不相同的线连接在一起的点叫做图案点，通过图案点的线是奇数条就称奇点（当然，通过图案点的线是偶数条就称偶点，现在只需回答前面的问题而与偶点无关）.例如，在下面各图案中的奇点个数见统计表（请读者对照图案辨认奇点）.统计表：接着就请读者朋友拿起你的笔来逐个试画以上各图案，看能否一笔画成，将结论填在统计表内.并注意体会能一笔画的图案应该怎样画.最后，请根据上表归纳出前面两个问题的答案.【规律】（1）奇点数为0或2的图案可以一笔画成.奇点数多于2的图案不能一笔画成.（2）画奇数为0的图案时，可以选择任意点起笔都能一笔画成；画奇数为2的图案时，必须选择其中的一个奇点起笔，而到另一个奇点收笔才能一笔画成.【练习】1.下面各图案，能一笔画出来吗？试一试.2.容易看出，下面的两个图案都不能一笔画成，请在每个图案上各补画一条线就能使新图案一笔画成了.会吗？3.这是大数学家欧拉曾经研究过的一个著名数学问题----七桥问题.东普士的多尼斯堡城中有一条横贯城区的河流，河上有两个岛，两岸和两岛之间共架有七座桥、如下图所示：问人们能不重复地走遍这七座桥吗?4.回龙州公园的游览点与路线示意图如下.如果要使游人游完所有的游览点而不重复行走的路线，请问入口处和出口处应该设在什么位置?如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。
显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
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一笔画问题及解决策略
一、问题提出
一笔画是一个大问题，为了更好的解决这个问题，我们从生活提出一笔画问题。
我们先看一个公路检查员的问题：他为了检查几个城市之间的若干公路，希望在这些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线，使他能不重复地恰好通过每条公路一次，而经过每个城市的次数不限。
这就是拓扑学中的数学问题。
二、问题解决
（一）数学化
我们把这问题数学化，以点表示城市，以弧表示公路，这样构成的网络图就表示某个简单公路系统。
（二）点线图
用点线图表示四个不同的公路系统。
如图所示：
（三）一笔画的含义
一个图形由一笔构成叫一笔画。
对于平面图形的一笔画与多笔画问题，通常的几何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画，与图形的大小、形状等几何概念都没有关系，而是与图形中线段的数目及连接关系有关，我们可以随意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下，还可以将某些线段“搬家”，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。
（四）一笔画图形的判别
著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。
欧拉最终证明了这个图形是不能一笔画成的，并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的判别法则。
1.必要条件
一个网络图是由有限个点和有限条曲线组成的平面图形，这些点和线分别称为网络的顶点和弧。
如果从网络的一个顶点出发，一条弧连着一条弧地把所有的弧都画出，且每条弧都只画一次，而经过每个顶点的次数不限，就称该网络能一笔画。
当一个网络能一笔画时，只有两种情形：一是开放图形，只有起点和终点的指数为奇数，其余顶点的指数均为偶数；二是封闭图形，所有顶点的指数均为偶数。
我们称指数为奇数的顶点为奇顶点，指数为偶数的顶点为偶顶点，那么当一个网络能一笔画时，奇顶点个数必为0或2，所以，连通且奇顶点的个数是0或2，是一个网络图能一笔画的必要条件。
（1）.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（2）.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
（3）.其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)
2.充分条件
在讨论一笔画问题的判别的充分条件前，先要证明一个引理：在任一网络图中决不能只有一个奇顶点。
由于任一顶点的指数是指相交于这一顶点处的弧数，所以网络中所有顶点的
指数之和等于相交于每个顶点处的弧数的总和，从而等于网络图总数的2倍，故任一网络图中所有顶点的指数之和一定是偶数。
而若某个网络中只有一个奇顶点，那么除该顶点的指数是奇数外，其余任一顶点的指数均为偶数，所以该网络中所有顶点的指数之和就是奇数。
矛盾。
所以任一网络中都不可能只有一个奇顶点。
设一个连通网络中奇顶点个数是2或0，那么该网络图可以一笔画。
分两种情形来讨论：、（1）若连通网络的奇顶点个数是0个，则该网络中每个顶点都是偶顶点。
如图，取任一顶点A和以为起点的一条弧AB。
在网络中去掉弧AB,于是减少1，顶点数不变，A 和B变为奇顶点，其余顶点仍然是偶顶点。
此时，剩下的网络图仍然是连通的，这是因为，如果去掉弧AB后网络分离为没有联系的两个连通分支，那么顶点A和B 就分别在两个不同的分支中，其中任一连通分支都只有一个奇顶点，这由引理可知是绝不可能的。
所以，该网络去掉弧AB后剩下的网络一定是奇顶点个数为2的连通图，且比原网络减少一条弧。
（2）若连通网络的奇顶点个数为2，如图，设网络中只有A和D两个奇顶点，其余顶点都是偶顶点，考察A的两种情形：
①．网络中存在于顶点A相邻的偶顶点，如图（a）中的顶点B。
去掉弧AB后剩下的网络会有两种可能现象：若剩下的仍然是联通连通网络，则顶点A变为偶顶点，B变为奇顶点，故网络中只有B和D两个奇顶点，弧数比原网络减少了1；若剩下的分离为两个网络，中间无联系，则有引理可知，奇顶点B和D必然在同一连通分支中，而顶点A必在另一个连通分支中，此时我们将弧AB补上去，而去掉AC如图(b),就得到一个只有C和D两个奇顶点的连通网络，且弧数比原网络减少1。
②.网络中不存在与顶点A相邻的偶顶点，如图，那么网络中与A相邻的就只有奇顶点D，此时去掉弧AD，就会去掉顶点A或使A变为偶顶点，顶点也变为偶顶点，所以剩下的是一个个无奇顶点的连通网络，且弧数比原来的少1。
3.充分必要条件
一个网络能一笔画的充要条件是它是连通的，且奇顶点的个数为0或2.
（五）实际应用
1.一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点
2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿
3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。
如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
三、揭示的意义
一笔画问题的成功解决，其中蕴含的数学思想和策略，仍有着重要而现实的教育意义。
品味一笔画问题鼓励学生大胆猜想，提高抽象分析能力，重视符号处理技巧，培养数学建模能力，树立正确数学观念。
解决“七桥问题”的困难之处何在呢？显然最困难之处在于把它简化成网络图。
在欧拉之前解这道题的人之所以未能成功，主要在于他们或者没有想到要简化问题，或者作不出欧拉的网络图。
不难看出，如果网络图已经有了，再来研究它能否一笔画，难度就小多了，相信在那批首先研究这个问题的人中，肯定有人能解决它。
而现实的数学问题当然是类似“七桥问题”这种形式，而不是类似网络图这种形式。
这就是说，解决现实的数学问题的第一步，通常也是最困难的一步，也就是如何将问题用数学语言和符号表示出来。
这就是著名数学教育家弗赖登塔尔所强调的“数学化”。
这就是一笔画问题解决所揭示的意义。