2018北师大版高中数学立体几何与解析几何初步复习
2018届一轮复习北师大版 立体几何 教案
透视全国高考 揭秘命题规律(四)——立体几何(全国卷第19题)翻折问题(2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6得 DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，HD →的方向为y 轴正方向，HD ′→的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz .则H (0，0，0)，A (－3，－1，0)，B (0，－5，0)，C (3，－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→＝(3，1，3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4，3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3，1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525，sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是29525.解决与翻折有关的问题的两个关键(1)要明确翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．(2)在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．(3)在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线．探索问题如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝4，∠ABC ＝60°.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)E 是侧棱PB 上一点，记PEPB ＝λ(0<λ<1)，是否存在实数λ，使平面ADE与平面P AD 所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)证明：由已知，得AC ＝ AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝23， 因为BC ＝AD ＝2，AB ＝4， 又BC 2＋AC 2＝AB 2，所以BC ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则P A ⊥BC .因为P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，且P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .(2)以A 为坐标原点，过点A 作垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (0，0，0)，B (0，4，0)，P (0，0，3)．因为在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4， ∠ABC ＝60°，则∠DAx ＝30°， 所以D (3，－1，0)． 又PEPB＝λ(0<λ<1)， 知E (0，4λ，3(1－λ))．设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧3x 1－y 1＝0，4λy 1＋3（1－λ）z 1＝0，取x 1＝1，则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，43λ3（λ－1）.设平面P AD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AD →＝0，即⎩⎨⎧3z 2＝0，3x 2－y 2＝0，取y 2＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎫33，1，0.若平面ADE 与平面P AD 所成的二面角为60°，则cos 〈m ，n 〉＝cos 60°＝12，即1×33＋3×1＋01＋3＋16λ23（λ－1）2·1＋13＝12， 化简得1＋4λ23（λ－1）2＝2，即⎝⎛⎭⎫λλ－12＝94， 解得λ＝3(舍去)或λ＝35.于是，存在λ＝35，使平面ADE 与平面P AD 所成的二面角为60°.(1)求二面角的两种方法①定义法(在易于作出二面角的平面角和计算情况下适用)第一步：在平面α内取一个易于作出平面β的垂线的点P .且设垂足为H ，过H 作交线l 的垂线，垂足为Q ，连接PQ (或过P 作PQ ⊥l ，垂足为Q ，连接HQ )，则∠PQH 即为二面角α l β的平面角．(或证明某个平面角即为二面角的平面角)．第二步：根据条件求出Rt △PQH 的两边，用直角三角函数即可求出二面角的三角函数值．②向量法第一步：根据立体图形的几何特点，建立恰当的直角坐标系，并写出确定二面角的两个半平面内相关的坐标．第二步：分别求出两个平面的法向量n 1，n 2，根据公式cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|，求出n 1与n 2夹角的余弦．第三步：结合图形(或条件)，写出二面角的余弦值(一般情况下，锐二面角取|cos 〈n 1，n 2〉|，钝角取－|cos 〈n 1，n 2〉|，当cos 〈n 1，n 2〉＝0时，为直二面角)．(2)探索性问题在坐标系下探索性问题的求解策略．第一步：假设存在，并根据相关的条件，将假设存在的问题用坐标和相关元素表示出来． 第二步：根据满足的要求，列出相关的关系式．第三步：求解关系式，若求出的问题合情合理，说明问题存在，即是问题解决的过程．若得出矛盾，说明假设存在是错的，即是说明理由的过程．空间角 满分展示(满分12分)(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． [联想破译]联想因素：线面垂直、面面垂直、直线与直线所成角． 联想路线：(1)先证明线面垂直，再证明面面垂直．(2)建系，先求出cos 〈AE →，CF →〉的值，再确定所成角的余弦值．[标准答案]第(1)问得分点说明：正确推理过程得3分，没有EG 2＋FG 2＝EF 2扣1分；正确推理过程得3分，没有条件EG ⊂平面AEC 扣1分(1)证明：连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22， 可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG．(3分)又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .又因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ．(6分)(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)， F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22．(10分)故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.第(2)问得分点说明：正确推理过程得4分，没有指出空间直角坐标系扣2分；正确得出直线所成角的余弦值得2分，余弦值为－33，扣1分 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33．(12分)[解题程序]第一步：利用勾股定理的逆定理证明EG ⊥FG . 第二步：证明面面垂直．注意面面垂直满足的条件． 第三步：建立空间直角坐标系，写出点的坐标、向量的坐标． 第四步：求向量夹角的余弦值．第五步：求两直线夹角的余弦值，得出结论．[满分心得] (1)写全得分步骤对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中EG ⊥FG ，第(2)问中两向量的坐标．(2)写明得分关键对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解答时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断平面AEC ⊥平面AFC 过程中的三个条件，写不全则不能得全分，否则就不得分，再者EG ⊂平面AEC 这一条件也一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|而得出余弦值则要扣1分．。
高中数学第一章立体几何初步章末复习课学案北师大版必修2(2021学年)
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第一章立体几何初步学习目标 1.整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3。
掌握几何体的三视图与直观图,能计算几何体的表面积与体积.1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面＿______＿＿＿＿_，其余各面都是_＿_____＿__，并且每相邻两个四边形的公共边都＿____＿___＿S侧＝Ch,C为底面的周长，h为高Ｖ＝Sh棱锥有一个面是____＿____＿，其余各面都是_________＿＿___＿_的三角形S正棱锥侧=错误!Ch′，Ｃ为底面的周长,h′为斜高V＝13Ｓh，h为高棱台用一个＿_＿______＿___＿＿＿的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分Ｓ正棱台侧=＼f（1,2)(Ｃ+C′）h′，Ｃ,Ｃ′为底面的周长,h′为斜高Ｖ＝错误!（S上＋S下＋错误!)h,h为高旋转体圆柱以＿__＿___＿＿_＿_＿___所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，ｒ为底面半径,ｈ为高V=Sh=πｒ2ｈ圆锥以直角三角形的__________＿___所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧=πrl，r为底面半径,h为高V＝错误!Sh＝错误!πr2h圆台用_＿＿___＿___＿_______的平面去截圆锥,＿______＿＿___之间的部分S侧=π（r1＋r２）ｌ,r１,r2为底面半径,l为母线Ｖ＝错误!(S上＋Ｓ下+S上S下)h=错误!π(ｒ错误!＋r错误!＋r1r２)h 球以__＿_______所在直线为旋转轴，＿_＿_＿＿__旋转一周形成的旋转体S球面=4πR2,R为球的半径V＝错误!πＲ3２。
2018版高考数学理北师大版大一轮复习讲义教师版文档
1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)， ∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.2.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示，因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5. 由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′. 在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8. 由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.3．(2017·太原质量预测)已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k >0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积的最大值为2c 2，则椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22 答案 D解析 设C (x 1，y 1)(x 1>0)，D (x 2，y 2)， 将y ＝kx 代入椭圆方程可解得x 1＝abb 2＋a 2k 2，x 2＝－abb 2＋a 2k 2，则|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2ab 1＋k 2b 2＋a 2k 2.又点A (a,0)到直线y ＝kx 的距离d 1＝ak 1＋k 2，点B (0，b )到直线y ＝kx 的距离d 2＝b1＋k 2， 所以S 四边形ACBD ＝12d 1|CD |＋12d 2|CD |＝12(d 1＋d 2)·|CD |＝12·b ＋ak 1＋k 2·2ab 1＋k 2b 2＋a 2k 2＝ab ·b ＋akb 2＋a 2k 2.令t ＝b ＋akb 2＋a 2k 2，则t 2＝b 2＋a 2k 2＋2abk b 2＋a 2k 2＝1＋2ab ·k b 2＋a 2k2＝1＋2ab ·1b 2k ＋a 2k ≤1＋2ab ·12ab ＝2，当且仅当b 2k ＝a 2k ，即k ＝ba 时，t max ＝2，所以S 四边形ACBD 的最大值为2ab . 由条件，有2ab ＝2c 2，即2c 4＝a 2b 2＝a 2(a 2－c 2)＝a 4－a 2c 2， 2c 4＋a 2c 2－a 4＝0,2e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝12或e 2＝－1(舍去)，所以e ＝22，故选D.4．(2016·北京)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2解析 设B 为双曲线的右焦点，如图所示． ∵四边形OABC 为正方形且边长为2， ∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________． 答案 x 24－y 23＝1解析 由题意，得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点坐标为(7，0)，(－7，0)，c ＝7且双曲线的离心率为2×74＝72＝ca⇒a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3， 双曲线的方程为x 24－y 23＝1.题型一 求圆锥曲线的标准方程例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a 2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程， 得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2，又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (2,0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.题型二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53(2)(2016·天津)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝⎛⎭⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________． 答案 (1)D (2) 6解析 (1)由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(p >0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，∴F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， |AB |＝|AF |＝32p ，可得A (p ，2p )．易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32， ∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为____________．答案2－1解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E . 当x ＝p2时，代入抛物线方程得y ＝±p ，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝⎛⎭⎫p 2，p 且PF ⊥OF . 所以|PE |＝(p 2＋p2)2＋p 2＝2p ， |PF |＝p ，|EF |＝p .故2a ＝ 2p ＋p,2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.题型三 最值、范围问题例3 若直线l ：y ＝3x 3－233过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行． (1)求双曲线的方程；(2)若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 在y 轴上的截距的取值范围． 解 (1)由题意，可得c ＝2，b a ＝33，所以a 2＝3b 2，且a 2＋b 2＝c 2＝4， 解得a ＝3，b ＝1.故双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知B (0,1)，依题意可设过点B 的直线方程为 y ＝kx ＋1(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kx －6＝0， 所以x 1＋x 2＝6k1－3k 2， Δ＝36k 2＋24(1－3k 2)＝12(2－3k 2)>0⇒0<k 2<23，且1－3k 2≠0⇒k 2≠13.设MN 的中点为Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3k 1－3k 2，y 0＝kx 0＋1＝11－3k 2， 故直线m 的方程为y －11－3k2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －3k 1－3k 2， 即y ＝－1k x ＋41－3k 2.所以直线m 在y 轴上的截距为41－3k 2，由0<k 2<23，且k 2≠13，得1－3k 2∈(－1,0)∪(0,1)，所以41－3k 2∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)．故直线m 在y 轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围．如图，曲线Γ由两个椭圆T 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和椭圆T 2：y 2b 2＋x 2c2＝1(b >c >0)组成，当a ，b ，c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼”．(1)若“猫眼曲线”Γ过点M (0，－2)，且a ，b ，c 的公比为22，求“猫眼曲线”Γ的方程； (2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为k (k ≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T 1所得弦的中点为M ，交椭圆T 2所得弦的中点为N ，求证：k OMk ON为与k 无关的定值；(3)若斜率为2的直线l 为椭圆T 2的切线，且交椭圆T 1于点A ，B ，N 为椭圆T 1上的任意一点(点N 与点A ，B 不重合)，求△ABN 面积的最大值． (1)解 由题意知，b ＝2，b a ＝c b ＝22，∴a ＝2，c ＝1，∴T 1：x 24＋y 22＝1，T 2：y 22＋x 2＝1.(2)证明 设斜率为k 的直线交椭圆T 1于点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2) ， 线段CD 的中点为M (x 0，y 0)， ∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，由⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2＝0.∵k 存在且k ≠0，∴x 1≠x 2且x 0≠0， 故上式整理得y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－12，即k ·k OM ＝－12.同理，k ·k ON ＝－2，∴k OM k ON ＝14.(3)解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2b 2＋x 2c2＝1，整理得(b 2＋2c 2)x 2＋22mc 2x ＋m 2c 2－b 2c 2＝0， 由Δ＝0化简得m 2＝b 2＋2c 2，取l 1：y ＝2x ＋b 2＋2c 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，化简得(b 2＋2a 2)x 2＋22ma 2x ＋m 2a 2－b 2a 2＝0. 由Δ＝0得m 2＝b 2＋2a 2， 取l 2：y ＝2x －b 2＋2a 2， l 1，l 2两平行线间距离 d ＝b 2＋2c 2＋b 2＋2a 23，又|AB |＝23ab 2a 2－2c 2b 2＋2a 2，∴△ABN 的面积最大值为S ＝12|AB |·d＝ab 2a 2－2c 2(b 2＋2c 2＋b 2＋2a 2)b 2＋2a 2.题型四 定值、定点问题例4 (2016·全国乙卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)． 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．(1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2,0)，B (0,1)． 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4. 故|AN |·|BM |为定值． 题型五 探索性问题例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知MC 1⊥MO ， ∴MC 1→·MO →＝0.又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )， ∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， ∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程， 化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0， 其中53<x ≤3.(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C 的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝⎛⎦⎤53，3，∴k ＝±34满足条件． 当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意；②若x ＝53是方程的解，则f ⎝⎛⎭⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一根，满足题意；③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝⎛⎭⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝⎛⎭⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是－257≤k ≤257或k ＝±34. 思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (1)解 由题意知F (p2，0)．设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①证明 由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)． 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0，得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)， 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0－y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)． 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)， 所以直线AE 过定点F (1,0)．②解 由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0.则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.1．(2016·河北质量监测)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3， 又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1， 代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12.∵OP →2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， ∴4[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4](1＋k 2) ＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．解 (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92.①由题意知b a ＝22，②由①②解得a 2＝3，b 2＝32，∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1.(2)由(1)知P (－3，0)． 设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G (－33，0)．设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝(x 1＋33)2＋y 21＋(x 1－33)2＋y 21 ＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23 ＝x 21＋113.又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]，∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是[113，203]．3．(2016·江西质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，过点B 且互相垂直的动直线l 1，l 2与椭圆的另一个交点分别为P ，Q ，若当l 1的斜率为2时，点P 的坐标是(－53，－43)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线PQ 与y 轴相交于点M ，设PM →＝λMQ →，求实数λ的取值范围． 解 (1)当l 1的斜率为2时，直线l 1的方程为y ＝2x ＋b ， l 1过点P (－53，－43)，得－43＝－103＋b ⇒b ＝2，所以椭圆方程可化为x 2a 2＋y 24＝1，点P (－53，－43)在椭圆上，得259a 2＋49＝1，从而a 2＝5，所以椭圆C 的方程是x 25＋y 24＝1.(2)由题意，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝kx ＋2，y ＝－1k x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝kx ＋2， 得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 得x p ＝－20k 5k 2＋4，同理，可得x Q ＝20k5k 2＋4＝20k 5＋4k 2， 由PM →＝λMQ →，得20k 5k 2＋4＝λ20k 5＋4k 2，所以λ＝4k 2＋55k 2＋4＝45＋955k 2＋4，因为5k 2＋4>4，所以0<955k 2＋4<920，所以实数λ的取值范围是(45，54)．4．(2016·北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点． (1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB 和AC 分别与直线x ＝4交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP ⊥NP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)由椭圆方程可得a ＝2，b ＝3， 从而椭圆的半焦距c ＝a 2－b 2＝1. 所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝12.(2)依题意，直线BC 的斜率不为0， 设其方程为x ＝ty ＋1.将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4＋3t 2)y 2＋6ty －9＝0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2. 易知直线AB 的方程是y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，从而可得M (4，6y 1x 1＋2)，同理可得N (4，6y 2x 2＋2)．假设x 轴上存在定点P (p,0)使得MP ⊥NP ， 则有PM →·PN →＝0.所以(p －4)2＋36y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝0.将x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1代入上式，整理得 (p －4)2＋36y 1y 2t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝0，所以(p －4)2＋36×(－9)t 2(－9)＋3t (－6t )＋9(4＋3t 2)＝0，即(p －4)2－9＝0，解得p ＝1或p ＝7. 所以x 轴上存在定点P (1,0)或P (7,0)， 使得MP ⊥NP .5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)，过它的左，右焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A ，B 两点，l 2交椭圆于C ，D 两点，且l 1⊥l 2，如图所示．(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围． 解 (1)由c a ＝12⇒a ＝2c ，∴a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P 的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)若l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S ＝6. 若l 1与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ， 则l 2的斜率为－1k，则直线l 1的方程为y ＝k (x ＋1)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.① ∴x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3，②注意到方程①的结构特征和图形的对称性， 可以用－1k 代替②中的k ，得|CD |＝12(k 2＋1)3k 2＋4，∴S ＝12|AB |·|CD |＝72(1＋k 2)2(4k 2＋3)·(3k 2＋4)，令k 2＝t ∈(0，＋∞)，∴S ＝72(1＋t )2(4t ＋3)·(3t ＋4)＝6(12t 2＋25t ＋12)－6t 12t 2＋25t ＋12＝6－612t ＋12t＋25≥6－649＝28849，当且仅当t ＝1时等号成立，∴S ∈[28849，6)，综上可知，四边形ABCD 的面积S ∈[28849，6]．。
2018-2019数学北师大版必修2课件：第一章 立体几何初步 专题整合 (41张)
3 下底面面积，h 为台体的高， 球体的表面积与体 积计算公式： S 球＝4π R2，R 为球的半径．
V 球＝4π R3，R 为球的半径． 3
1．将立体问题平面化
在线、面、体几个元素中，体是最复杂的，而线是最简单的， 如果我们能将立体问题转化为平面问题，或者将平面问题转化 为直线问题去解决，便可达到化难为易的目的． 2．等积转化法
如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命
题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如图；②存在四棱柱，
其主视图、俯视图如图；③存在圆柱，其主视图、俯视图如图．其
中真命题的个数是( A )
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析] 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个直角 边所在的矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯视图 可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等， 则存在满足题意的两个相等的矩形的视图，因此②正确；当 圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的主视图和俯视图是全等 的矩形，因此③正确．
∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴点 O 是 BD 的中点． 又点 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. ∵PB 平面 AEC，EO 平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC.
折叠问题
把一个平面图形按 某种要求折起，转化为空间图形，进而研究 图形在位置关系和 数量关系上的变化，这就是折叠问题．在解 决这类问题时，要求既会由平面 图形想象出空间形体，又会准 确地用空间图形表 现空间形体；既会观察、分析平面图形中各 点、线、面在折叠前后的相互关系，又会对图形 进行交换和转 化．解决折叠问题，要注意折叠前后 的变量与不变量，折叠前 后同一半平面内的 数量关系与位置关系均不发生改变．
高中数学第一章立体几何初步章末复习提升课课件北师大版必修2
所以EF∥平面PAD. (2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PA.
又因为PA＝PD＝ 22AD， 所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°. 即PA⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD. 因为PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
[例2] 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形， E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ 22AD.求证：
(1)EF∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PCD.
【证明】 (1)连接AC，则F是AC的中点， 因为E为PC的中点，所以在△CPA中，EF∥PA.
S 正棱台侧＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′.
10．旋转体的表面积 (1)如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积 为πr2，侧面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋ l)． (2)如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的侧面积为 πrl，表面积S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． (3)如果圆台的两底面半径分别为r′，r，母线长为l，则侧面 积为x(r′＋r)l，表面积为S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． (4)球的表面积计算公式：S＝4πR2(其中R为球的半径)，即球 面面积等于它的大圆面积的四倍．
方法归纳
把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研 究空间图形中点、线、面的位置关系和数量关系，这就是折叠问 题．在解决这类问题时，要能想象出空间几何体，画出直观图， 既会观察、分析各点、线、面在折叠前后的相互关系，又会应用 这些关系进行证明或计算．
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 讲义：第2部分 复习课(一)立体几何初步
复习课(二) 解析几何初步直线方程的求法一直是考查重点，多以解答题形式考查，常涉及距离、平行、垂直等知识，有时与对称问题相结合，难度中档以上．[考点精要]1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C ＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B 1y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.2(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.[典例]过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解]当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1k ， ∴B ⎝⎛⎭⎫3＋1k ，0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2.∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪1k ， ∴3k ＋1k －2－1k－3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k ，解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. [类题通法]求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解： (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．[题组训练]1．倾斜角为150°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －3y ＋1＝0 B.3x －3y －3＝0 C.3x ＋3y －3＝0D.3x ＋3y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为150°，故斜率k ＝－33.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－33(x ＋1)，即3x ＋3y ＋3＝0. 2．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0.两直线的位置关系是常考点．主要以选择、填空题形式考查，多涉及求参数与直线方程求法，难度中档以下．[考点精要]1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2.(2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. [典例]已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4b＝－(－b )．④ 由③④联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2.[类题通法]已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可．[题组训练]1．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43C ．2D ．3解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.2．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0D ．－2解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ≠－1，解得a ＝32.故选A.3．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值．也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用．求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算．[考点精要](1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．[典例]在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)． 又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5， 则△ABC 是等腰三角形， 所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2， 所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)，所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0.[类题通法]利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．[题组训练]1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.3．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.多以选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查．在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法．[考点精要]1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，化成一般式kx －y ＋y 0－kx 0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k ；②当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0，求出k .当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图像，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．(2)利用圆的弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(其中x 1，x 2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d 、圆的半径r 与弦长的一半l2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l ＝2r 2－d 2.4．圆与圆的位置关系(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．(2)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．[典例] 已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB (图略)，则根据题意和圆的性质，得 ⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. [类题通法]直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[题组训练]1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1 与圆 C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则 m ＝( ) A ．21 B ．19C ．9D ．－11解析：选C圆C 1的圆心是C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ，由两圆相外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9.2．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选C 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形PACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|PA |×r ＝|PA |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形PACB 面积的最小值为4－1＝ 3.3．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C 圆的圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，故圆上到直线的距离为2的点共有3个．1．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A．2 B．3C．9 D．－9解析：选D由k AB＝k AC，得b＝－9.2．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )A．－4 B．20C．0 D．24解析：选A垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故2a－20＝0，∴a＝10，l1：10x＋4y－2＝0.将(1，c)代入，得c＝－2，将(1，－2)代入l2：2x－5y＋b＝0，得b＝－12.则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.3．过点M(2,1)的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，且|MP|＝|MQ|，则l的方程是( ) A．x－2y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－4＝0解析：选D由题意可知，M为线段PQ的中点，Q(0,2)，P(4,0)，可求得直线l的方程x＋2y －4＝0.4．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于( ) A．8 B．12C．16 D．19解析：选A∵A1(－4，－2,3)，A2(4,2,3)，∴|AA2|＝(4＋4)2＋(2－2)2＋(3－3)2＝8.5．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：选B由圆心在直线x＋y＝0上，不妨设为C(a，－a)，∴r＝|a－(－a)|2＝|a－(－a)－4|2，解得a＝1，r＝2，∴圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.6．使得方程16－x2－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围是( )A．[－42，4 2 ] B．[－4,4 2 ]C．[－4,4]D．[4,4 2 ]解析：选B设f(x)＝16－x2，g(x)＝x＋m，在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示．则m是直线y＝x＋m在y轴上的截距．由图可知－4≤m ≤4 2.7．若平行直线2x ＋3y －6＝0和4x ＋6y ＋a ＝0之间的距离等于51326，则a 的值是________．解析：由题意d ＝51326＝⎪⎪⎪⎪－6－a 222＋32.∴⎪⎪⎪⎪6＋a 2＝52，解之得a ＝－7或a ＝－17. 答案：－7或－178．直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a (a ＜3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为________．解析：圆心为(－1,2)，弦中点与圆心连线的斜率为2－1－1－0＝－1，由圆的性质知，弦AB 所在直线即l 的斜率为k ＝1.故l 的方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝09．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为________．解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.答案：－110．已知两直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)试判断l 1与l 2是否平行． 解：法一：(斜截式方程)(1)由直线l 1的方程知其斜率为－a2，当a ＝1时，直线l 2的斜率不存在，l 1与l 2不垂直； 当a ≠1时，直线l 2的斜率为－1a －1.由－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－1⇒a ＝23. 故所求实数a 的值为23.(2)由(1)知，当a ＝1时，l 1，l 2相交，当a ≠1时，直线l 1的斜率为－a 2，直线l 2的斜率为－1a －1.由l 1∥l 2可得－a 2＝－1a －1，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝2时，l 1的方程为x ＋y ＋3＝0， l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，显然l 1与l 2重合．当a ＝－1时，l 1的方程为x －2y －6＝0，l 2的方程为x －2y ＝0，显然l 1与l 2平行． 所以，当a ＝－1时，l 1∥l 2； 当a ≠－1时，l 1与l 2不平行． 法二：(一般式方程)(1)由已知条件得a ·1＋2·(a －1)＝0⇒a ＝23，故所求实数a 的值为23.(2)由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1的方程为x －2y －6＝0， l 2的方程为x －2y ＝0，显然两直线平行．当a ＝2时，l 1的方程为x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，显然两直线重合． 所以，当a ＝－1时，l 1∥l 2； 当a ≠－1时，l 1与l 2不平行．11．已知点P (x ，y )满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解：将x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0配方得(x －3)2＋(y －2)2＝1，它表示以C (3,2)为圆心，半径r ＝1的圆．(1)设yx＝k ，得y ＝kx ，所以k 表示过原点的直线的斜率，当直线y ＝kx 为圆C 的切线时，yx 取得最值， 所以|3k －2|1＋k2＝1，解得k ＝3±34.故yx 的最大值为3＋34，最小值为3－34.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为圆C 上的点到原点的距离，如图所示．连接OC 并延长交圆于A ，B两点，圆心C (3,2)与原点O 的距离是|OC |＝13.∴|OA |＝13－1，|OB |＝13＋1.∴u 2max ＝|OB |2＝(13＋1)2＝14＋213， u 2min ＝|OA |2＝(13－1)2＝14－213.故x 2＋y 2的最大值为14＋213，最小值为14－213. 12．已知点P (2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设过点P 的直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，当|MN |＝4时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程． (3)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3， 由|3k ＋2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝－34.所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件． 即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2. (2)由于|CP |＝5，而弦心距d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫|MN |22＝5，所以d ＝|CP |＝ 5. 所以P 恰为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)＞0， 解得a ＜0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)． 设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝－1k PC ，所以a ＝12.由于12∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0 C. 3D ．2 3解析：选B 易知k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.2．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12解析：选D 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12.3．在空间直角坐标系中，点B 是点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13 C ．2 3D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面DCC 1D 1，因此平面ABCD 、平面AA 1D 1D 均与平面DCC 1D 1垂直而且平面AA 1D 1D ∩平面ABCD ＝AD ，显然选项D 不正确，故选D.6．动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得：2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m解析：选A ∵l ⊥β，l ⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．9．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533解析：选C 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S -ABD 和C -ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DBC ＝∠DAC ＝45°，所以在△BDC 中，BD＝4－x ，所以x ＝4－x ，解得x ＝2，所以AD ＝BD ＝2，所以△ABD 为正三角形． 所以V ＝13S △ABD ×4＝433.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285 B.125 C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴直线l 的方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0，又直线l 与圆相切，∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 由题意知，当所求直线与OP 所在直线垂直时，分圆形区域这两部分的面积之差最大，又k OP ＝1，故所求直线为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4解析：选C 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A -BCD ，最长的棱为AD ＝(42)2＋22＝6，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知平面α，β和直线m ，若α∥β，则满足下列条件中的________(填序号)能使m ⊥β成立． ①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α. 解析：m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β. 答案：②14．若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1. 答案：±115．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝________.解析：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ，故V 1∶V 2＝7∶5.答案：7∶5 16．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ， (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10. 18．(12分)(全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确.19．(12分)如图所示，在棱锥A -BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．求证：(1)DM ∥平面APC ； (2)平面ABC ⊥平面APC .证明：(1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴DM ∥AP .又∵DM 平面APC ，AP 平面APC ， ∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴DM ⊥PB . 又∵DM ∥AP ， ∴AP ⊥PB .又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC . ∵BC 平面PBC ， ∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC . 又∵BC 平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面APC .20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a ＞0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△A OB 的外接圆圆心为E .(1)若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在， 说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，半径r ＝22a . 由题意得⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需圆E 的半径2a2＝52， 解得a ＝10，此时， 圆E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.21．(12分)(四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1) 点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH平面ACH，BE 平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.22．(12分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心H (0,3)，半径r ＝12＋32＝10，圆H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线被圆H 截得的弦长为2，所以d ＝(10)2－1＝3. 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，∴直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上， 所以⎩⎨⎧ (x －3)2＋(y －2)2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2， 因为关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对任意的m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎡⎦⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2. 又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对任意的m ∈[0,1]成立，即r 2＜325，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，4105.。
2018-2019高中数学第一章立体几何初步章末复习课学案北师大版必修2
第一章立体几何初步章末复习课网络构建如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2) 空间直线与直线的位置关系有且只有三种： 共面直线相交直线 i I 平行直线.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 7.直线与平面的位置关系(1) 直线a 与平面a 的位置关系有平行、 相交、在平面内，其中平行与相交统称直线在平面 外•核心归纳1. 多面体的结构特征 (1) 棱柱的侧棱都互相平行且相等，上下底面是全等的多边形 • (2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 • (3) 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形2. 旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕一边所在的直线旋转一周得到 (2)圆锥可以由绕直角三角形一条直角边所在的直线旋转一周得到 (3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕上、下底面中心连线旋转 周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到 (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转一周得到3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是: (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 x '轴、y '轴，两轴相交于点 O ，且使/ x ' O y ' O 画直观图时，把它们画成对应的 =45°，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x '轴、y '轴.已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长 度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半 . ⑵画几何体的高 在已知图形中过 O 点作z 轴垂直于xOy 平面，在直观图中对应的 z '轴，也垂直于x ' O' y ' 平面，已知图形中平行于 Z 轴的线段，在直观图中仍平行于 Z '轴且长度不变.4. 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到的， 这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的形状和大小是全等的，三视图包括主视图、左视图、俯视图5. 平面的基本性质 公理 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 公理6.(1) 公理4平行于同一条直线的两直线平行(2) 直线和平面平行的判定①定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行平面；②判定定理：a , b a , a// b? a// a；③其他判定方法：a//B, a a ?a//B .⑶直线和平面平行的性质定理：a//a, a 3, aA3= l?a// I.(4)直线和平面垂直①定义如果一条直线I和一个平面a内的任意一条直线都垂直，那么就说这条直线和平面a互相垂直.②判定与性质a. 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.b. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行8. 两平面的位置关系(1) 两个平面的位置关系有平行、相交.(2) 两个平面平行的判定①定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；②判定定理：a a , b a , a n b= M a // 3 , b/ 3 ? a / 3 ；(3) 两个平面平行的性质定理a / 3 , a a ? a / 3 ； a / 3 , r n a = a, r n 3 = b?a// b.(4) 与垂直相关的平行的判定①a丄a , b丄a ? a/ b；②a 丄a , a 丄3 ? a / 3 .(5) 两个平面垂直①二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.②定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直③判定和性质a. 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直b. 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直9. 多面体的侧面积(1) 设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则S直棱柱侧=ch.⑵设正n棱锥底面边长为a,底面周长为c,斜高为h',则1,1,S 正棱锥侧=—n ah'=二ch'.(3) 设正n棱台下底面边长为a,周长为c,上底面边长为a',周长为c '，斜高为h',S正棱台侧a+ a') h'= 2(c + c' )h'.10. 旋转体的表面积n r2,侧面积为2 n rl . (1)如果圆柱的底面半径为r，母线长为I，那么圆柱的底面面积为因此，圆柱的表面积2 \严忸、^S= 2 n r + 2 n rl = 2 n r (r + I ).2 (2) 如果圆锥的底面半径为r,母线长为I，那么它的侧面积为n rl，表面积S= n r + n rl=n r (r + l).A .(3) 如果圆台的两底面半径分别为r '、r,母线长为l，则侧面积为n (r' + r) l，表面积为2 2S= n (r' + r + r' l + rl ).⑷球的表面积公式：S= 4 n氏(其中R为球的半径)即球面面积等于它的大圆面积的四倍•11. 几何体的体积公式(1)柱体的体积V柱体=Sh(其中S为柱体的底面面积，h为高).特别地，底面半径是r,高是h的圆柱体的体积V圆柱=n r2h.1⑵锥体的体积V锥体=3Sh(其中S为锥体的底面面积，h为高).31 2特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥=3 n r h.1⑶台体的体积V台体=3h(S+ , SS + S')(其中S', S分别是台体上、下底面的面积，h 为高).1特别地，上、下底面的半径分别是r'、r,高是h的圆台的体积V圆台=3 n h(r2+ rr ' + r ' 2).4 3⑷球的体积V球=；n成其中R为球的半径).3I要点突0SI :突醵颊谏要点:剖.析血虜:角度要点一三视图与直观图由三视图确定几何体分三步：第一步：通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体 •若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形， 则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体 •第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体 •若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体•第三步：由“长对正、高平齐、宽相等”的原则确定几何体的尺寸【例1】 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （ ）A.12 A. 6 2B.6C.4 2D.4解析由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥，如图所示.其中面ABCL 面BCD △ ABC 为等腰直角三角形， AB= BO 4,取BC 的中点M 连接 AM DM 贝U DML 面 ABC 在等腰△ BCD 中 , BD= DC= 2蟲,BC= DM=4,所以在 Rt △ AMD 中 , AD= AM+ DlM= 42 + 22 + 42= 6,又在 Rt △ ABC中，AC= 4 2<6 ,故该多面体的各条棱中，最长棱为 AD 长度为6,故选B.答案 B 【训练1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为B.18C.24D.30解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的•在长方体中分析还原，如图(1)所示，、 一 1故该几何体的直观图如图(2)所示•在图⑴中，V 棱柱ABC-A1B1 C1 = & ABC - AA = q X 4X 3X 5= 30, V1 1 1棱锥 P — A1B1C1 = —S ^A1B1C1 • PB = — X -x 4X 3X 3= 6.故几何体 ABC- PAC 的体积为 30— 6 = 24.故选3 3 2C.【训练2】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成 4、2、2,圆柱的底面半径为 2，高为4.所以该几何体的体积 V = 4X 2X 2 ++ 8 n .故选A. 答案 A答案 CA.16 + 8n C.16 + 16n高分别为 2X2 X 4= 16D.8 + 16 n•其中长方体的长、 宽、B.8 + 8 n要点二空间中的平行关系1.判断线面平行的两种常用方法:面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法:(1)利用线面平行的判定定理;(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面2.判断面面平行的常用方法: (1)利用面面平行的判定定理;⑵面面平行的传递性（a//B, B //丫? %//丫）；⑶利用线面垂直的性质（I丄a, I丄B ? a / 3 ）.【例2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB丄平面ABCD M/V PB PB= 2MA在线段PB解当点F是PB的中点时，平面AFC/平面PMD证明如下：如图连接1AC和BD交于点0,连接FQ则PF= q PB•••四边形ABC虚平行四边形，•••0是BD的中点，••• OF// PD又平面PMD PD平面PMD1•OF// 平面PMD又MA綊2PB•PF綊MA •四边形AFPM是平行四边形，•AF// PM又平面PMD PM 平面PMD•AF//平面PMD又AF n 0F= F, AF 平面AFC OF 平面AFC•平面AFC/平面PMD【训练3】如图，E、F、G H分别是正方体ABCD-ABCD的棱BCCC、CD、AA的中点，求证：（1）G日/平面BBDD;⑵平面BDF/平面BDH证明⑴如图，取B i D中点Q上是否存在一点F,使平面AFC/平面PMD若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由•D C易证0G綊|BiC，.1(3) 面面垂直的判定方法:②面面垂直的判定定理(a 丄3, a a ? a 丄3 ).【例3】 如图，A , B , C, D 为空间四点.在厶ABC 中, AB= 2, AC = BC =,2，等边三角形ADB 以 AB 为轴运动.1 BE 綊-2BC , •••OG 綊BE 四边形BEGC 为平行四边形 •••OB// GE •/ OB 平面 BDDB ,平面BDDB , • GE// 平面 BDDB . (2)由正方体性质得 B i D // BD , •/ B D 1 平面 BDF 平面BDF • B D //平面 BDF 连接HB D F , 易证HBFD 是平行四边形, 得 HD // BF •/ HD 平面 BDF BF 平面BDF • HD //平面 BDF T B Di A HD = Di ,•平面BDF //平面B D H. 要点三空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法: (1 )判定线线垂直的方法: )；① 计算所成的角为 90° (包括平面角和异面直线所成的角② 线面垂直的性质(若a ± a , b a ,贝y a 丄b )./ y 、(2)判定线面垂直的方法： ①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；② 线面垂直的判定定理 (a 丄b , a 丄c , b a , c a ,③ 平行线垂直平面的传递性质 (a// b , b ± a ? a ± a )； b A c = M ? a 丄 a )； ④ 面面垂直的性质 ⑤ 面面平行的性质(a 丄 3, a A 3 = I , a 3 , a 丄 I ? a L a )； ⑥面面垂直的性质 (a A 3 = l , a 丄 Y , 3 丄丫 ? I 丄丫 ).①根据定义(作两平面构成二面角的平面角, 计算其为 90° );(1 )当平面ADBL平面ABC寸，求CD的长;3⑵当厶ADB专动时，是否总有AB丄CD证明你的结论解(1)如图，取AB的中点E,连接DE CE因为△ ADB是等边三角形，所以DELAB当平面ADBL平面ABC时，因为平面ADBH平面ABC= AB 所以DEL平面ABC因为CE平面ABC可知DELCE由已知可得DE=3 , EC- 1,在Rt△ DEC中, CD= D E+E C= 2.⑵当厶ADB以AB为轴转动时，总有ABL CD证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC- BC AD= BD所以C, D都在线段AB的垂直平分线上，即AB丄CD②当D不在平面ABC内时，取AB中点E由(1)知AB丄DE又因AC- BC所以AB!CE又DE CE为相交直线,所以AB!平面CDE由CD平面CDE得AB L CD综上所述，总有ABL CD【训练4】如图，在三棱锥V— ABC中,平面VABL平面ABC △ VAB 为等边三角形，AC L BC且AC- BC- 2 , Q M分别为AB VA的中点.(1) 求证：VB//平面MQC⑵求证：平面MQ L平面VAB⑶求三棱锥V— ABC的体积.(1)证明I Q M分别为AB VA的中点,•••QM/ VB平面MQC QM平面MQC• VB//平面MQC⑵证明•/ AC- BC Q为AB的中点，• QC L AB又•••平面VABL平面ABC且平面VABH平面AB- AB QC平面ABC •- OCL平面VAB •/ QC 平面MQC •平面MQ L平面VAB⑶解在等腰直角△ ACB中 , AC- BC- ,2 ,• AB= 2 , Q(- 1 ,•/ QC L平面VAB• V C-VA-3QC-S VAB=3x1x3七，V— ABC-V C-VAB=甘3要点四几何体的表面积与体积3几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体中的如何下料问 题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算 •特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、 梯形及直角三角形等重要的平面图形的使用,【训练5】 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存 最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也•又以高乘之,1卜六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V--36选B.答案6】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的主视图、左视 图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2的正方形，则该球的表面积是 _____________ 对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是 常用的技巧•【例4】 如图所示，已知三棱柱 ABC- A ' B ' C ，侧面B ' BCC 的面积是S,点A'至侧面 B BCC 的距离是a,求三棱柱 ABC- A B' C 的体积. 解连接A B, AC,如图所示, 这样就把三棱柱分割成了两个棱锥 设所求体积为V 显然三棱锥A—ABC 勺体积是3V . 而四棱锥A' — BCC B'的体积为 13Sa1 1 1故有 3V + 3Sa = V 即卩 V= 2Sa3 3 2L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率将圆锥体积公式中的 n 近似取为（ ）22A. 7n 近似取为3.那么，近似公式V -7；L 2h 相当于75解析25355D .113圆锥的体积V= 1 n r 2h = 3n 右~ 23 3 n /2Lh，由题意得12 n - 75, n近似取为罟，故8【训练157 C.1507答案 12 n要点五 线线角、线面角和二面角问题(1) 两条异面直线所成的角的范围是(0 ° , 90° ].找两条异面直线所成的角，关键是选取合 适的点，引两条异面直线的平行线， 这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所 成的角•特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到 (2) 直线和平面所成的角的范围是[0 °,90° ].找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角•当线面角为0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为 90°时，直线与平面垂直•(3) 如果求两个相交平面所成的二面角，除垂直外，均有两个答案，即 0或180°- 0 .具体几何体中，由题意和图形确定•作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角•一般常用：①定义法；②垂面法•(4) 求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题•求角度的解题步骤：①找出这个角；②证该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解这个三角形， 求出角•【例5】 如图所示，矩形 ABCDK AB= 6, BC = 2.3，沿对角线BD 将△ ABD 折起，使点 A 移至点P , P 在平面BCD 内的投影为 O,且O 在DC 上 •(1)求证：PDL PC⑵求二面角P- DB- C 的余弦值•(1)证明 P 在平面BCD 内的投影为 0,解析 由三视图知，组合体是棱长为 2 3,即为球的直径•所以球的表面积 S = 4n i = 12 n .故正方体的体对角线长为贝U PC L平面BCD•/ BC 平面BCD 二POL BC•/ BC L CD CM PO= Q ••• BCL平面PCD •/ DP 平面PCD •- BC L DP又••• DPI PB PBn BG= B,.・. DPI平面PBC 而PG 平面PBC . PDL PC⑵解△ PBD在平面BCD内的投影OBD1且PBD= 2x 6X2 3= 6”J3,在 Rt △DPC中,PC = DC — DP =24.• - S A BOD = 6 3 — 4 3 = 2 3.过点P 作PQL DB 连接OQ 则DBL 平面OPQ•••/ OQP 即为二面角P- DA C 的平面角,S A BOD1--cos / OQ == ' = ~ S A PBD 6寸3 3•二面角P- DB- C 的余弦值为3.【训练 7】 在长方体 ABC —ABCD 中，异面直线 AB.30 .45 C.60° .90解析答案 ①若 a 丄b, b 丄c ,贝U a 丄c ;②若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面; ③若a / b, b / c ,贝U a / c .其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3解析 借助正方体中的线线关系易知①②全错；由公理 4知③正确. 答案 B2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）x OCOBD = CBD — BOC= 6 3 — 2X2AD 所成的角等于（1.设 a ,由于AD//强化训竦，孰囚提升DI 課詐业1/ /基础过关b, c 是空间的三条直线，给出以下三个命题:V = -X ^^X 」X 2^3X 6X 3= 6(m 3)，故选 B.2 3 2 3答案 B 4.如图所示，点P 在正方形ABC ［所在平面外，PA ±平面ABCD PA = AB 则PB 与AC 所成的角是 ________1 A. 3+ n1 C. 3+2 n 2 B.3+n2D.3+ 2 n解析 由三视图知，该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体.V = V 三棱锥+圆柱=1x 2X 2X 1X 1+ n X12X 2= 3 +n .选 A.答案 A3.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为 4卅，互相平行的两个侧面的距离为2 m ,则这个六棱柱的体积为 （ ）A. 3 m 3 3B.6 mC. 12 m 3D. 以上都不对 解析设底面边长为 a ,高为 h ,贝U a = ¥，又 2X -3-X h = 4,解析将其还原成正方体ABC B PQRS连接SC AS则PB// SC•••/ACS或其补角）是PB与AC所成的角，•••△ ACS为正三角形，•••/ACS =60°, • PB与AC所成的角是60°.答案60°5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为D 冲18,则这个球的体积为__________ .解析设正方体棱长为a,则6a? = 18? a = 3, a=“?3.3 4 3 4 279外接球直径为2R= J3a= 3, R= -, V= n R=z n ^ —= ,n .耳 2 3 3 8 2答案6.如图所示，在长方体ABC B ABCD中，M N分别为AB AD的中点, 判断MN<平面ABC的位置关系，为什么？解直线MNZ平面ABC.证明如下：••• M P平面ABC, N?平面ABC.••• 平面A i BC.如图，取AC的中点0,连接NO B0.1 1T NO綊q DC, MB綊q DC,• NO綊MB•四边形NOBM为平行四边形，• MN/ BO.又••• BO平面ABC,• MIN/平面ABC. r\ >7.如图，在直三棱柱ABC- ABC中，E, F分别为AQ和BC的中点.(1)求证：EF// 平面AABB;⑵若AA= 3, AB= 2- 3,求EF与平面ABC所成的角.(1)证明如图，取AB的中点D,连接DE BD因为E是AC的中点，所以DE綊2BC.1又因为BC綊BC, BF= ^BC所以DE綊BF,所以四边形BDEF为平行四边形，所以BD// EF又因为BD 平面AABB, 平面AABB所以EF//平面AABB.⑵解如图，取AC的中点H,连接HF, EH因为EH// AA, AA丄平面ABC所以EHL平面ABC所以/ EFH就是EF与平面ABC所成的角在Rt△ EHF中,FH=Q3, EH=AA= 3,EHtan Z EFH= =FH所以Z EFH= 60°.故EF与平面ABC所成的角为60°.能力提升8.已知A，B是球0的球面上两点，Z AOB= 90°, C为该球面上的动点•若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球0的表面积为（）A.36 nB.64 nC.144 n解析T S ix OAB是定值，且V O-ABC= V:- OAE,.•.当OCL平面OAB寸，V C—OAB最大，即V—ABC最大.设球O的半径为RR= 6,•••球O的表面积S= 4 n R = 4 n X6= 144 n . 答案C9.已知三棱锥S- ABC勺所有顶点都在球O的球面上，△ ABC是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC= 2,则此棱锥的体积为（）B¥C.解析利用三棱锥的体积变换求解.由于三棱锥是SC的中点，因此三棱锥S- ABC勺高是三棱锥积也是三棱锥O- ABC体积的2倍.在三棱锥0- ABC中，其棱长都是1，如图所示,&ABC= 4 X AB= 4 ,高O* . 12-33 If，S—ABC与三棱锥0- ABC底面都是△ ABC 00- ABC高的2倍，所以三棱锥S- ABC勺体.3,D.256 n1则（V O—AB： max= 3X2氏X R= g R = 36, A.Ec,A6Sh i2S i X2 h =43 x• •• V AB- 2V O AB - 2X I 空 X 車=迟.3436答案 A易证△ AB NA ECD设 BE=x '则 CE =CD .即 a — x 3'2• x — ax + 9= 0, E 点有两个，即方程有两不同的实根，由 △ >0,解得a >6.答案 (6 ,+^)因为E 是BC 的中点, 10.三棱锥P — ABC 中, D, E 分别为PB PC 的中点，记三棱锥 D- ABE 的体积为 V , P — ABC的体积为V 2,则V =解析 如图，设 &ABD = S , &PAB = S 2, E 到平面ABD 勺距离为h i , C 到平 11.如图所示，在矩形 ABCDh AB= 3, BC = a ,若PA !平面ABCD 在 BC 边上取点E,使PE ! DE 则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是GA解析由题意知：PAL DE 又 PE! DE PA n PE= P,• DE!平面 PAE ••• AE 平面 PAE • DEI AE 12.如图，在直三棱柱 ABC- ABC 中，AB= AC = 5, BB = BC = 6, D, E 分别 恪 (1)证明如图，是AA 和BC 的中点. 由直棱柱知，AA 綊BB ,而D 是AA 的中点，所以EG 綊AD面 PAB 的距离为 h 2,则 S= 2S , h 2= 2h 1 ,?Sh 1, V 2=秒帥2 , • V =磐 3 3 " Sh 2答案11所以EG/ BB ,且Ed 彌.⑵求三棱锥E — BCD 勺体积.(1)求证: DE//平面 ABC所以四边形EGAD是平行四边形.所以ED// AG又平面ABC AG平面ABC所以DE//平面ABC⑵解因为AD// EG所以AD/平面BCE所以V E—BC尸VD—BEC= V A—BCE= V E- ABC, 由⑴知，DE//平面ABC1 1 1所以V E-ABC= V D- AB(=— AD・7BC• AG= X 3X 6X 4= 12.3 2 613.(选做题)如图，在三棱锥P- ABC中, PAL AB PAL BC ABL BC PA=AB= BC= 2, D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PAI BD；⑵求证：平面BDEL平面PAC ⑶当PA//平面BDE时，求三棱锥E—BCD 的体积.(1)证明••• PAL AB PAI BCAB 平面ABC BC 平面ABC 且ABA BC= B,••• PA L平面ABC 又T BD 平面ABC 二PA L BD⑵证明•/ AB= BC D是AC的中点，• BD丄AC由(1)知PA L平面ABC T PA 平面PAC•平面PACL平面ABC•• •平面PACH平面ABC= AC,BD 平面ABC BDLAC• BD丄平面PAC •/ BD 平面BDE•平面BDEL平面PAC(3)解•/ PA// 平面BDE又平面BD A平面PA(= DEPA 平面PAC • PA/ DE由(1)知PA L平面ABC • DEL平面ABC•/ D是AC的中点，• E为PC的中点，1•DE= 2PA= 1.•/ D是AC的中点，1 1 1•BCD= ^S^ABC= X X 2 X 2= 1 ,• •• V E- BC尸1 x & BCD X DE= 3 X 1X 1= 3.3 3 3。
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9．多面体的侧面积 (1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则 S 直棱柱侧＝ch. (2)设正 n 棱锥底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则 S 正棱锥侧＝12nah′＝12ch′. (3)设正 n 棱台下底面边长为 a，周长为 c，上底面边长为 a′， 周长为 c′，斜高为 h′，则 S 正棱台侧＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′.
(2)解 △PBD 在平面 BCD 内的投影为△OBD， 且 S△PBD＝12×6×2 3＝6 3， S△OBD＝S△CBD－S△BOC＝6 3－12×2 3×OC. 在 Rt△DPC 中， PC2＝DC2－DP2＝24. 设 OC＝x，则 OD＝6－x， ∴PC2－OC2＝DP2－DO2， 即 24－x2＝12－(6－x)2，解得 x＝4.
A．6 2 B．6 C．4 2 D．4
解析 由多面体的三视图可知该几何体的直观图 为一个三棱锥，如图所示．其中面 ABC⊥面 BCD， △ABC 为等腰直角三角形，AB＝BC＝4，取 BC 的 中点 M，连接 AM，DM，则 DM⊥面 ABC，在等腰 △BCD 中，BD＝DC＝2 5，BC＝DM＝4，所以在 Rt△AMD 中，AD＝ AM2＋DM2＝ 42＋22＋42＝6，又在 Rt△ABC 中，AC＝4 2<6，故该多面体的各条棱中，最长棱为 AD，长度为 6， 故选 B. 答案 B
易证 HBFD1 是平行四边形，得 HD1∥BF. ∵HD1 平面 BDF，BF 平面 BDF， ∴HD1∥平面 BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面 BDF∥平面 B1D1H.
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∴FH∥平面 EDB.
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如图 1－4 在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，底面是正方 形，E，F，G 分别是棱 B1B、D1D、DA 的中点．求证：平面 AD1E∥平面 BGF.
图 1－4
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【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形，
折叠与展开是互逆过程，在此过程中，要注意几何元素 之间数量关系与位置关系是变化了，还是不变，这是解题的 关键所在．
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如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 CC1的交点为N.求： 29 ，设这条最短路线与
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取 BC 中点为 E.连接 AE、OE.可得 AO⊥OE， AE＝ AO2＋OE2＝ 42＋32＝5， 1 ∴S△ABC＝S△ACD＝2×6×5＝15， ∴S 表＝18＋12 2＋15＋15＝48＋12 2.
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空间位置关系的判断与证明
空间位置关系的判断与证明是高考必考内容，主要分两 大类：一类是空间线面关系的判定和推理，一类是几何量的 计算，主要考查学生的空间想象能力、思维能力和解决问题 的能力．此类问题常以棱柱、棱锥为背景设计命题，但这几 年出现了以不规则几何体为背景的试题， 这是一个新的动向， 应引起注意．
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一个几何体的三视图如图 1－1 所示，求该几何 体的表面积和体积．
图 1－1
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【思路点拨】 根据三视图还原几何体的直观图．
【规范解答】
由三视图可知该几何体是一个半球和一
个正四棱柱的组合体． 1 ∴S 表＝ ×4π×22＋π×22＋4×2×3＝12π＋24. 2 1 4 16 3 V＝2×3π×2 ＋2×2×3＝ 3 π＋12.
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立体几何初步复习
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几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．
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如图 1－3， 在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H 为 BC 的中点，求证：FH ∥平面 EDB.
图 1－3
【思路点拨】 根据线面平行的判定定理即可．
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【规范解答】 连接 AC 交 BD 于点 G， 则 G 为 AC 的中点． 连接 EG，GH， 1 ∵H 为 BC 的中点，∴GH 綊2AB. 1 又 EF 綊 AB， 2 ∴EF 綊 GH， ∴四边形 EFHG 为平行四边形， ∴EG∥FH，∵EG 平面 EDB，FH 平面 EDB，
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设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3 ＋x)2＋22＝29，求得x＝2，∴PC＝P1C＝2. NC P1C 2 4 ∵ ＝ ＝ ，∴NC＝5. MA P1A 5
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如图1－6，有一圆柱形的开口容器(底面密封)，其轴截 面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁 位于外壁A处，外壁P处有一米粒，则这只蚂蚁需要经过的最 短路程为________．
∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF，
∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
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几何体表面的展开与折叠
几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得 的．利用了空间问题平面化的思想ห้องสมุดไป่ตู้把一个平面图形折叠成 一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方 法，所以几何体的折叠与展开是高考的一个热点．
图1－5
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
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【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题．
【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120° 使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
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一个棱锥的三视图如图 1－2，求该棱锥的表面积(单位： cm2)．
图 1－2
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【解】
如图所示三棱锥．
AO⊥底面 BCD，O 点为 BD 的中点， BC＝CD＝6， BC⊥CD，AO＝4，AB＝AD. 1 S△BCD＝6×6× ＝18， 2 1 S△ABD＝ ×6 2×4＝12 2. 2
图1－6
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【解析】 将圆柱侧面沿图线AD剪开展平为平面图， 如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.在Rt △ABP中，
1 AB＝2×2π＝π，BP＝1，∴AP＝ AB2＋BP2＝ π2＋1.
【答案】
π2＋1
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函数与方程思想的应用
函数与方程的思想是高中数学的一条主线，是中学数学 的基础思想，是历届高考考查的重点．所谓函数的思想，就 是用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系；所 谓方程的思想，就是把函数解析式看成一个方程，将变量间 的等量关系表达为方程或方程组，通过解方程或方程组，使 问题得以解决．
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一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
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【规范解答】 2 设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝ 2 a. DE SE ∵△SDE∽△SAO，∴ ＝ . AO SO 2 a 2 ＝ R