群论讲义1

n
2
+ ⋯ + a bn ≡ a bi
n i
即在同一项中，凡是碰到一对用同一符号表示 的上标和下标，总代表从1到n的求和
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第一章 张量代数
内容： §1 张量的概念 §2 张量的代数运算 §3 内积空间上的张量 §4 若干物理应用 习题
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D = εE ②介质各向异性， E 与 D 一般不同向，但仍有线性对应的函数
关系（E 不太强时），即 此时要保留介电系数的概念，则 ε 应理解为从 E 到 D 的线性 变换
λ E ← λ D , E1 + E2 ← D1 + D2 → →
D =ε E
( )
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→ a ( x1 ,⋯ , xr ) = a x1i1 ei1 ,⋯ , xr ir eir = a ei1 ,⋯ , eir x1i1 ⋯ xr ir = ai1⋯ir x1i1 ⋯ xr ir
xk = xk ik eik
(
)
(
( ik = 1,⋯ , n )
)
( i1 ,⋯ , ir = 1,⋯ , n ) 构成一个nr数阵， 系数 ai1⋯ir = a ei1 ,⋯ , eir 称为r重线性函数a(x1, …, xr)在基{ei}下的坐标或分量
a (λ x ) = λa ( x) 则称a = a(x) 是V上的一个线性函数
a ( x + y) = a ( x) + a ( y)
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§1 张量的概念
按定义，给定V中一组基{ei，i=1, 2,…, n}，a(x)可以用矢量 x的坐标（分量）来表示 x = xiei = x1e1+…+xnen → a(x) = a(xiei) = xi a(ei) 记 a(ei) = ai ，则 a(x) = xi ai 注：①线性函数是以V中的矢量x作自变量的函数 ②在基{ei}下，a(x)与一个n数组ai一一对应，此对应保持 a(x)与ai的加法和数乘运算，即 ɶ ɶ a ( x ) + a ( x ) ← ai + ai →
• 广义相对论，量子场论，电磁场理论 • 连续介质力学，晶体物理，……
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引言
本讲义从坐标及坐标变换的角度讲述张量分析， 这对学物理的同学比较方便 在记号方面，通篇采用Einstein求和约定：
∑a b = a b + a b
i 1 2 i =1 i 1
n
各向 异性
② 函数的自变量 n 是矢量，函数值 σ ( n ) 是力。故是从矢量到 n 矢量的变换。此变换是线性的，即若 n 是 n1 ， 2 的线性组合
n = λ1n1 + λ2n2
σ 则σ ( n ) 也是 σ ( n1 ) ， ( n2 ) 的同系数的线性组合
故应力是从方向 n 到力 σ ( n ) 的线性变换。
σ ( n ) = λ1σ ( n1 ) + λ2σ ( n2 )
可叠 加性
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§1 张量的概念
j ③基{e1,e2,e3}取定后，此线性变换的坐标是32数阵 σ i σ ( ei ) = σ i j e j (i, j = 1, 2, 3)
例3.介电系数。 均匀电介质置于均匀电场 E 中，介质中电位移为 D ①介质各向同性， E 与 D 同向，且有线性关系
λ a ( x ) ← λ ai → n数组ai称为线性函数a(x)在基{ei}下的坐标（或分量）
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§1 张量的概念
二、多重线性函数的坐标表示 ⒈ 双线性函数 定义：设V是n维线性空间， a(x, y)是在x, y∈V上的实函数。 若当任意固定x∈V时，它是y的线性函数，当任意固定y∈V 时，它是x的线性函数，则称a(x, y)是一个双线性函数。 给定基{ei} ，则 x = x ie i ， y = y ie i → a(x,y) = a(xiei , yjej) = xi yja(ei, ej) 记 a(ei , ej) = aij ，则 a(x, y) = aij xi yj 系数aij (i, j = 1, 2,…, n)构成一个含有n2个数的数阵。同样有 称aij是a(x, y)在基{ei} 下的坐标或分量
全体线性变换 y = A ( x ) ← → 全体n 2数阵 ai j
称aij是线性变换A在基{ei}下的坐标或分量。
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§1 张量的概念
为何要讨论多重线性函数和线性变换的坐标表示？ 原因在于物理与几何中有很多对象都能表为多重线 性函数和线性变换。利用坐标来运算便于研究它们 的性质和规律 例1.平面。三维空间中给定一组基{e1,e2,e3}，一个不 通过原点的平面表示为 aixi = a1x1+a2x2+a3x3 =1 (i =1, 2, 3) 方程左端是线性函数，此函数在{e1,e2,e3}下的坐标 是31数组ai, (i =1, 2, 3)。 ai称为此平面在{e1,e2,e3}下 的坐标。
§1 张量的概念
εi j
③给定基{e1,e2,e3}，线性变换ε的坐标或分量是
ε ( ei ) = ε i j e j
讨论： 以上二例看到，可叠加的各项异性物理量，能够用以方向 （矢量）为自变量的（单或多重）线性函数或线性变换来表 示。方法是取一组基，用坐标表示。 是矢量的函数或变换 各向异性 （物理） （数学） 线性 可叠加性 基矢组的选择有人为性，导致同一客观物理量在不同的基下 具有不同的坐标。因此引进坐标描述后，必须回答当基变换 时，物理量的坐标按什么规律变换。一旦知道这个变换规律， 只要在一个坐标系中给出该物理量的坐标，也就等于在任意 坐标系中都给出了它的坐标。这样就能得到一个与坐标系无 关的客观物理量。
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§1 张量的概念
§1.2 坐标变换
一、矢量的坐标变换 {e1 ,⋯, en }
1 ɶ ,⋯ , x 2 } ɶ ɶ e1 ,⋯ , en } { 设基变换S = (sij)，其逆为T= (tij)，即
x
{x ɶ {x
1
,⋯ , x 2 }
ɶ ei = si j e j ,
(
)
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§1 张量的概念
三、线性变换的坐标表示 设A是V上的线性变换，对任意的x∈V，有矢量 y = A(x) ∈V 若取定基{ei}，则 x = xiei ， y = yiei → yiei = A(xiei) = xi A(ei) 此处A(ei)代表V中与ei对应的矢量，可按{ei}展开，其展开系数为aij， 即 A(ei) = aijej → yiei = xi aijej → yj = xi aij 其中aij (i, j =1, … , n)是一个n2数阵，且
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§1 张量的概念
σ (n )
P S B A
例2. 应力。
过P点作一截面S，物体分为A、B两部分。 令 n 是S在P点的单位法矢，在P点的局部， σ (n ) A通过单位截面对B的作用力 称为物体在P点沿方向 n 的应力。 ① σ ( n ) 随 n 的不同而变，是方向 n 的函数；
ɶ ɶ ɶ ai1⋯ir = a ei1 ,⋯, eir = a si1 ek1 ,⋯, sir ekr
k1 kr
(
= si1 k1 ⋯ sir kr
) ( a ( e ,⋯ , e ) = s
k1 kr
)
r阶协变 张量
k1
i1
⋯ sir kr ak1⋯kr
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§1 张量的概念
§1.1 坐标 坐标是为便于计算引进的工具。空间中点和矢量都可以 用坐标来表示 问题：除了点和矢量，别的对象是否也能用坐标表示？ 考察两类对象：多重线性函数和线性变换 一、线性函数的坐标表示 定义：V是一个n维线性空间，a = a(x)是V上一个函数， 若对V中任意矢量x，y及任意实数λ，有
二阶混 合张量
ɶ ai j s j l = si k ak l
ɶ ai j = si k tl j ak l
故在基变换下，线性变换的坐标aij按混合的方式作一阶 协变、一阶逆变的变换。 综上，当基变换时，无论矢量、多重线性函数还是线性 变换，其坐标（或分量）的变换方式不外乎协变与逆变 两种。
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§1 张量的概念
§1.3 张量的定义 定义：设有一个量a，在n维线性空间V的每一组基{ei}下，都 j ⋯j p+q数阵 ai 1 i q ( i1 ,⋯ , i p , j1 ,⋯ , jq = 1,⋯ , n ) 确定。若对 能由一个n 1⋯ p ɶ V中任意两组基{ei } 及 {ei } 有 ɶ ei = sij e j
ɶ ɶ ai = a ( ei ) = a ( si j e j ) = si j a ( e j ) = si j a j
ai的变换与基变换完全一致，称此为协变变换。分量指标用 下标表示，称为协变指标。 ⒉ 二重及多重线性函数坐标的变换 ① 二重 ② r重
二阶协变 张量
ɶ ɶ ɶ aij = a ( ei , e j ) = a ( si k ek , s j l el ) = si k s j l a ( ek , el ) = si k s j l akl