群论 第1章 群论基础(1)
在不引起歧义的情况下, 我们会省略乘法符号. 群G的元素个数称为群的阶(order), 记为|G|. 根据群的元素个数, 可以将群分为有限 群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限). 在无限群中, 连续群可以用一个或多个 实参数来标记群的元素. 另一种对群的分类方式, 是按照群的乘法是否可以交换位置. 定义 2 (Abel群) G是群, 并且满足 ∀a, b ∈ G, ab = ba, 则称群G是Abel群. Abel群的乘法一般又称为加法. 例1 例2 例3 实数的集合按数值加法运算(R, +)构成Abel群. 非零实数的数值乘法(R\{0}, *)构成Abel群. n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n, C). (1.1.1)
e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e f f b c a e d 表 1.4: D3 群的乘法表
∀g ∈ G, ∃n, m ∈ N, n > m, g n = g m . 记k = n − m ∈ N, 那么 g k = e, 称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶. 有限群的生成元的数目是有限的, 其中最小的数目称为有限群的秩(rank).
于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m pn , 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3. p2 p2 qp2 qp2 qp q p2 p e
e
p
q
qp
e
a
b
c
d f
e e p q qp 2 2 p p p e qp q 2 2 p p e p qp qp2 q q qp qp2 e p qp qp qp2 q p2 e 2 2 qp qp q qp p p2 表 1.3: ⟨p, q ⟩群的乘法表 对有限群, 必有
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第1章
§1.1
§1.1.1 群的定义
群论基础
基本概念
定义 1 (群) 设G是一些元素的集合, G = {g, h, · · · }. 在G中已经定义了二元运算·, 如果G对这种运算满足以下四个条件, • 封闭: ∀f, g ∈ G, f · g ∈ G; • 结合律: ∀f, g, h ∈ G, (f · g ) · h = f · (g · h); • 存在唯一的单位元素: ∃e ∈ G, ∀f ∈ G, ef = f e = f ; • 有逆: ∀f ∈ G, ∃唯一的f −1 ∈ G, f · f −1 = f −1 · f = e, 则称代数结构(G, ·)是一个群, 二元运算“·”称为群的乘法. 二元运算是一种映射, φ : G × G → G, φ(f, g ) = h ⇐⇒ f · g = h.
连续群的乘法无法列表, 例如 U (1) = 其乘法规则为
def
(1.1.7)
g (θ3 ) = g (θ1 )g (θ2 ), θ3 = θ1 + θ2 其中 φ(θ1 , θ2 ) = θ1 + θ2 称为连续群的结合函数, 相当于有限群的乘法表. mod 2π mod 2π
(1.1.8) (1.1.9)
目
第 1 章 群论基础 1.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 群的定义 . . . . . . . . . . 1.1.2 群的乘法 . . . . . . . . . . 1.1.3 群的生成元 . . . . . . . . 1.1.4 更多例子 . . . . . . . . . . 1.1.5 半群, 环和域* . . . . . . . 1.2 群的分拆 . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 集合的分拆 . . . . . . . . 1.2.2 共轭类 . . . . . . . . . . . 1.2.3 子群和陪集 . . . . . . . . 1.2.4 Lagrange定理 . . . . . . . 1.2.5 不变子群和商群 . . . . . . 1.2.6 双陪集* . . . . . . . . . . 1.3 群的分类 . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 同态和同构 . . . . . . . . 1.3.2 同态基本定理 . . . . . . . 1.3.3 其它的同态定理* . . . . . 1.4 群在集合上的作用 . . . . . . . . . 1.4.1 置换群 . . . . . . . . . . . 1.4.2 置换可表示为轮换的乘积 1.4.3 置换群的共轭类 . . . . . . 1.4.4 置换表示 . . . . . . . . . . 1.4.5 轨道 . . . . . . . . . . . . 1.5 群的直积 . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 直积 . . . . . . . . . . . . 1.5.2 半直积 . . . . . . . . . . . 1.6 有限群的分类定理* . . . . . . . . 1.6.1 Abel群的分类 . . . . . . . 1.6.2 非Abel群的分类 . . . . . . 1.6.3 小阶群表 . . . . . . . . . . 参考文献
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证明 G封闭 ⇐⇒ ∀g ∈ G, ag ∈ G ⇐⇒ aG ⊆ G. 同样可得a−1 ∈ G, a−1 G ⊆ G, G ⊆ aG. 故aG = G. 重排定理 (1.1.6)对所有的群都成立, 包括无限群.
§1.1 基本概念
·3· { } def g (θ)|g (θ) = eiθ , θ ∈ [0, 2π ]
a = e, .
• a2 = b, ab = e, ba = e, b2 = a. 所以三元群只有一种, 其乘法表列于表 1.2 中. 很明显, 以这种方式来确定乘法表非常不方便. 后面讲述的一系列定理将帮助我们有 效地研究群的性质. 从刚才的乘法表中可以看出, 群的各个元素在每一行都出现了一次, 在每一列中也出 现了一次. 这是一个普遍性质. 先引进一些记号. 设G是群, a ∈ G, A ⊆ G, B ⊆ G, aA Aa A−1 AB 定理 1 (重排定理) 变了:
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§1.1.2
群的乘法
有限群的乘法规则可以用乘法表来表示. 一元群{e}的乘法规则为ee = e. def 对于二元群G = {e, a}, 有ee = e, ea = a, ae = a. a2 = aa有两种可能, • a 2 = e;
·2· e a b e a e e a a a e 表 1.1: 二元群的乘法表 • a2 = a, 两边同时乘以a−1 , 得a = e. 于是可得乘法表 1.1. e e a b a a b e b b e a
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def
= = = =
def def def
{ } ax|x ∈ A , { } xa|x ∈ A , { } x−1 |x ∈ A , { } xy |x ∈ A, y ∈ B .
(1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) (1.1.5)
群G的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素, 只是排列顺序改 a ∈ G, aG = G, Ga = G. (1.1.6)
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群论群论基础课件
f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) ,
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
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参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
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物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
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bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
群论(1)第一章
左
右
具体的例子
变换群G：{E,D,F,A,B,C}
E：保持不变 D：绕O轴逆时针转动120度 F：绕O轴顺时针转动120度 A：绕a轴翻转180度 B：绕b轴翻转180度 C：绕c轴翻转180度
a轴
O c轴 b轴
O轴垂直纸面向上 abc三轴间夹角60度
变换群G对普通三角形的变换
量子力学中若干问题的分析
角动量，跃迁定则等
基本相互作用的规范对称性
弱电 ~ SU(2) ×U(1)，强作用 ~ SUc (3)
晶体的对称性 ……
对称性破缺
由于某种原因系统丢失了原有的对称性，例
破 缺
1.4 群的分类
有限群 vs 无限群 分类标准：群元个数是否有限
有限群中群元的个数称为群的阶。 例：置换群Sn，阶为n！ 平面转动群SO(2) 所有实数构成的群，群乘法为数的加法。
例：
所有正实数可以构成群G2，群的乘法规则为数的乘法 (1) a×1=1×a=a，1为恒元 (2) a×(1/a)=1，a和1/a互为逆元 (3) a×(b×c)=(a×b) ×c，结合律 (4) a×b为正实数，即属于群G2，封闭性
思考：如果乘法规则为数的加法能否构成群。
首先确定群 的乘法规则 判断集合 能否成为群
构成G的子群，所以n为群G阶g的因子。即群元 的阶一定是群阶的因子。 群阶为质数的群只有平庸子群，与同阶循环群同 构。 群G中的两元素R和T，但不属于子群H， 属于同一左陪集的充要条件：R-1T∈H 属于同一右陪集的充要条件：TR-1∈H
不变子群
不变子群：若子群H的所有左陪集都与对应的右 陪集相等，则称H为G的不变子群。
群论-群论基础
群论-群论基础物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：⾃编参考书群论及其在固体物理中的应⽤参考书：群论及其在固体物理中的应⽤（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第⼀章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 ⼦群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规⼦群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表⽰“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的⼀对有序元”，也称为A和B的直乘，⽤符号表⽰即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有⼀种规则f ，使得A 的每⼀个元素在B 上都有唯⼀的元素与之对应，这种对应规则f 的⼀个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) ,或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，⽽x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射⼀⼀映射逆映射：f -1恒等映射：e变换恒等映射：体系A 的⼀个⾃⾝映射f 称为A 的⼀个变换，若f 是⼀⼀映射则称为对称变换⼀⼀变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3⼆元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每⼀对a,b)A上有唯⼀确定的c与之对应，即有⼀规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的⼀个⼆元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)⼀般记为c = a·b，或c = ab。
群的基本概念
2、 (A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身 证： (A-1)-1 = (A-1)-1 E= (A-1)-1 （A-1 A )=[(A-1)-1 A-1 ]A=EA=A
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
群论讲义1
n
2
+ ⋯ + a bn ≡ a bi
n i
即在同一项中，凡是碰到一对用同一符号表示 的上标和下标，总代表从1到n的求和
Shanghai Jiao Tong University
第一章 张量代数
内容： §1 张量的概念 §2 张量的代数运算 §3 内积空间上的张量 §4 若干物理应用 习题
Shanghai Jiao Tong University
D = εE ②介质各向异性， E 与 D 一般不同向，但仍有线性对应的函数
关系（E 不太强时），即 此时要保留介电系数的概念，则 ε 应理解为从 E 到 D 的线性 变换
λ E ← λ D , E1 + E2 ← D1 + D2 → →
D =ε E
( )
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→ a ( x1 ,⋯ , xr ) = a x1i1 ei1 ,⋯ , xr ir eir = a ei1 ,⋯ , eir x1i1 ⋯ xr ir = ai1⋯ir x1i1 ⋯ xr ir
xk = xk ik eik
(
)
(
( ik = 1,⋯ , n )
)
( i1 ,⋯ , ir = 1,⋯ , n ) 构成一个nr数阵， 系数 ai1⋯ir = a ei1 ,⋯ , eir 称为r重线性函数a(x1, …, xr)在基{ei}下的坐标或分量
a (λ x ) = λa ( x) 则称a = a(x) 是V上的一个线性函数
a ( x + y) = a ( x) + a ( y)
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群论1、2章
所以这样的置换共有n﹗个。因为n个物体的排列数共有n﹗种， 进行一次置换后再进行另一次置换，结果也还是依次置换，叫 做两次置换的乘积。如 1 2 2 1 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 3 2 3 3 ＝ 1 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2
＝
置换群是阿贝尔群吗？ 答案：不是，因为置换的乘法不满足交换律，故不是阿 贝尔群！
t
-t 牛顿第二定律
3、对称性的本质：规律性，周期性，和谐的排列
God love symmetry !
1.3 对称性与化学
1、540.B.C，毕达哥拉斯学派认为：火、地、气、水四个基本元素组成世界。
火：正四面体演变火
地：正六面体或立方体
气：正八方体
水：正二十面体
第二章 群论基础
2.1 群的定义 （1）设G={E,A,B,C….}是由一些不同元素作成的非空集合， 在集合G中可以定义一个合成法，满足： A、若A·B∈G,且A ∈G，B ∈G，封闭性； B、有单位元素或恒等元素，常用E表示，EA=AE=A C、每个元素必有自己的逆元素，即它们的乘积等于单位元素， 即A ∈G，必有A-1 ∈G,AA-1=A-1A=E,A-1和A互为逆元素 D、满足结合律：即A(BC)=（AB）C,但必须注意AB≠BA,一般 不满足。
这两个群的乘法表为：
C4 E L4 L 42 L 43
观察：
E L 4 L 42 L 43 E L 4 L 42 L 43 L 4 L 42 L 43 E L 42L 43 E L 4 L 43E L 4 L 42
A 1 i -1 -i
1 i -1 -i 1 i -1 -i i -1 -i 1 -1 -i 1 i -i 1 i -1
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论教程1
素，或者没有任何公共元素,即： ∀ g1,g2∈G,则 g1H ∩ g2H = Ф，或 g1H = g2H. 证明：设左陪集 g1H，g2H 有一公共元素 g1hα = g2hβ
则有 g2−1g1 = hβ hα −1 ∈ H
故 (g2−1g1 )H = (hβ hα −1 )H = H （重排定理）
所有元素均可求出：
f 类={ f ' | f ' = gfg −1, g ∈ G}
·系 2 ·系 3 ·系 4
一个群的单位无 e 自成一类， ∀ gx∈G，gxegx-1=e， 阿贝尔群的每个元素自成一类， ∀ f，gx∈G，gxfgx-1 = f
若元素 f 的阶为 m，即 fm=e，则 f 类所有元素的阶都是 m，因
p
=
⎜⎜⎝⎛
1 m1
2 m2
... ...
n mn
⎟⎟⎠⎞
，
1 → m1 2 → m2
…
置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如
—2—
⎜⎜⎝⎛14
2 2
3 1
4 3
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
4 3
2 2
1 4
3 1
⎟⎟⎠⎞
单位元： e = ⎜⎜⎝⎛11
2 2
... ...
n n
⎟⎟⎠⎞
P
的逆元：
p −1
所以 g1, g2∈g2Hg
(g1Hg = g2Hg)
(二)若 g1, g2∈g2Hg, 则存在 h∈ Hg,使 g1=g2h
故 g1gg1-1 = g2hgh-1g2-1 = g2gg2-1
u 的作用只是将 G 元素重排。 证明：
（一）u 的作用是单射，（1 对 1）， ugγ 当 gγ 不同时给出 G 中不同群元：
则有 g2−1g1 = hβ hα −1 ∈ H
故 (g2−1g1 )H = (hβ hα −1 )H = H （重排定理）
所有元素均可求出：
f 类={ f ' | f ' = gfg −1, g ∈ G}
·系 2 ·系 3 ·系 4
一个群的单位无 e 自成一类， ∀ gx∈G，gxegx-1=e， 阿贝尔群的每个元素自成一类， ∀ f，gx∈G，gxfgx-1 = f
若元素 f 的阶为 m，即 fm=e，则 f 类所有元素的阶都是 m，因
p
=
⎜⎜⎝⎛
1 m1
2 m2
... ...
n mn
⎟⎟⎠⎞
，
1 → m1 2 → m2
…
置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如
—2—
⎜⎜⎝⎛14
2 2
3 1
4 3
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
4 3
2 2
1 4
3 1
⎟⎟⎠⎞
单位元： e = ⎜⎜⎝⎛11
2 2
... ...
n n
⎟⎟⎠⎞
P
的逆元：
p −1
所以 g1, g2∈g2Hg
(g1Hg = g2Hg)
(二)若 g1, g2∈g2Hg, 则存在 h∈ Hg,使 g1=g2h
故 g1gg1-1 = g2hgh-1g2-1 = g2gg2-1
u 的作用只是将 G 元素重排。 证明：
（一）u 的作用是单射，（1 对 1）， ugγ 当 gγ 不同时给出 G 中不同群元：