经典练习题极坐标与参数方程含答案
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．解解（1）∵P点的极坐标为，答：∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．。
极坐标与参数方程-习题及答案
金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。
详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。
考查了推理论证能力，运算求解能力。
2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。
【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。
极坐标与参数方程高考题练习含答案
极坐标与参数方程高考题练习含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ D ）（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）223(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤∴sin 1cos ρθρθ=-()0cos 1ρθ≤≤ 10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】.5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
高考极坐标参数方程含答案(经典39题)(1)_看图王
方程． C1 与 C2 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
29．在平面直角坐标系
xoy
中，圆
C
的参数方程为
x
y
4 cos 4 sin
（
为参数），直线
l
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，并求 | MA | | MB | 的值．
(2, )
6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆 C 的圆心为 3 ，半径 r=1，P 在圆 C 上运动。 （I）求圆 C 的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O 为原点， 以极轴为 x 轴正半轴）中，若 Q 为线段 OP 的中点，求点 Q 轨迹的直角坐标方程。
程是
4 cos
，直线 l
的参数方程是
x
3 y1 2
3 2 t.
t
,
（t
为参数）。求极点在直线 l
上的射影点
P
的
极坐标；若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点，求 MN 的最小值。
x 4 cos
8．平面直角坐标系中，将曲线
y
sin
（ 为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的
为
t
2
，Q
为
C
2
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线
C3
:
2x
y
7
0
（t
为参数）距离的最大值。
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◎
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极坐标与参数方程专项训练及详细答案
一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C ：ρ2+k 2cos ρ+ρsin θ﹣k=0关于直线l ：θ=（ρ∈R ）对称的充要条件是（ ）2．过点A （4，﹣）引圆ρ=4sin θ的一条切线，则切线长为（ ）．5．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是 __ ．6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为 _________ ．7．在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d= _________ ． 8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 _________ ．9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 _________ ． 10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 _________ ． 11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为_________ ．12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=13．在平面直角坐标下，曲线，曲，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 _________ ．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|．15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= _________ ．三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．17．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C：ρ2+k2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（）对称，则圆心所以，即2．过点A（4，﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为（），运算求得结果．，﹣==43．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建（（（|OP|=，或，∠，C二．填空题（共11小题）5．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．解：直线，即y=，即圆的圆．圆心到直线的距离等于=6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为．，d=|CQ|=|PQ|=d+r=故答案为：7．（2004•上海）在极坐标系中，点M （4，）到直线l：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d=．，）化成直角坐标，，2=．8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是．=5解：∵极坐标方程=59．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 ．=，，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为，中点的距离为×=故答案为：10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 4 ．，我们可以求出直线的一般方程，代入点到圆心距为．所以11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为1 ．=|x 则由=•=|x ﹣12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=．解：把曲线化为普通方程得：，即把曲线（联立得：，消去，，==2213．在平面直角坐标下，曲线，曲线，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ． 解：曲线，即2≤，故答案为：14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|． 的方程为的直角坐标方程：，即，故可设=15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= 7 ．：（（（×t=7=0三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．﹣化简为：ρ+=2=）﹣．17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 化为普通方程为，把直线，∴18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为．（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长． 的距离为=。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程． 8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
极坐标与参数方程单元练习(六套)
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、29 C 、4 D 、3二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C 36，π⎛⎝⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
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高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）．A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）．A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）．A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的（ ）．A ．内部B ．外部C ．圆上D ．与θ的值有关5．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）．A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线6．两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含7．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ）． A ．2214y x += B ．221(01)4y x x +=≤≤ C ．221(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤8．曲线5cos ()5sin 3x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩的长度是（ ）．A ．5πB ．10πC ．35π D ．310π 9．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．A． B． CD10．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）．A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,11．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则||PF 等于（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 12．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）．AB ．1404CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________． 14．直线2()3x t y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的点的坐标是_______． 15．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________．16．设()y tx t =为参数，则圆2240x y y +-=的参数方程为____________________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）求直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P与(1,5)Q -的距离．18．（本小题满分12分）过点2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求||||PM PN ⋅的值及相应的α的值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，(2,0),(0,2),(cos ,1sin )A B C θθ--+(θ为变数)， 求ABC ∆面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．21．（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程： （1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．22．（本小题满分12分）已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；（2）若点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．答案与解析：1．B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2．2．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 3．D 233122y t k x t --===--． 4．A ∵点(1,2)到圆心(1,0)-8=<(圆半径)∴点(1,2)在圆的内部．5．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线． 6．B5=，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．7．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得． 8．D 曲线是圆2225x y +=的一段圆弧，它所对圆心角为233πππ-=． 所以曲线的长度为310π． 9．D 椭圆为22164x y +=，设,2sin )P θθ，24sin )x y θθθϕ+=+=+≤10．D221(1)()162t ++-=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==，中点为114324x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=-⎪⎩ 11．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，||PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4．12．C222112x x t y t y ⎧=-⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入22(3)(1)25x y -++=，得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=，12||t t -==12|t t -13．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩． 14．(3,4)-,或(1,2)-22221()),,22t t +===±． 15．6π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π，或56π．16．2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =，或241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩． 17．解：将15x ty =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，代入0x y --=，得t =得(1P +，而(1,5)Q -，得||PQ ==．18．解：设直线为cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，代入曲线并整理得223(1sin ))02t t αα+++=， 则12232||||||1sin PM PN t t α⋅==+， 所以当2sin 1α=时，即2πα=，||||PM PN ⋅的最小值为34，此时2πα=．19．解：设C 点的坐标为(,)x y ，则cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，即22(1)1x y ++=为以(0,1)-为圆心，以1为半径的圆． ∵(2,0),(0,2)A B -，∴||AB ==且AB 的方程为122x y+=-， 即20x y -+=，则圆心(0,1)-到直线AB=． ∴点C 到直线AB的最大距离为1 ∴ABC S ∆的最大值是1(132⨯=+． 20．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， （2）把直线1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入422=+y x ，得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-=， 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．21．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()22t tt t x y e e e e θθ--==+-，而221x y +=，即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-；（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t tx e e -=±+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2t ty e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t tt t x e e ye e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin tt x y e x ye θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⋅=+-，即22221cos sin x y θθ-=． 22．解：（1）由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩，设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数， 将参数方程①代入圆的方程2225x y += 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=， ∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>， 所以方程有两相异实数根1t 、2t ，∴12||||8AB t t =-==， 化简有23cos 4sin cos 0ααα+=， 解之cos 0α=或3tan 4α=-， 从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++=．（2）若P 为AB 的中点，所以120t t +=，由（1）知2cos sin 0αα+=，得tan 2α=-，故所求弦AB 的方程为2242150(25)x y x y ++=+≤．备用题：1．已知点00(,)P x y 在圆38cos 28sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩上，则0x 、0y 的取值范围是（ ）． A ．0033,22x y -≤≤-≤≤ B ．0038,28x y ≤≤-≤≤ C ．00511,106x y -≤≤-≤≤D ．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C ． 2．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）．A ．125 BCD2．B11221x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=，1212||5t t -===12|t t -=3．已知曲线22()2x pt t p y pt ⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么||MN =_______________．3．14||p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，121||2||2|2|MN p t t p t =-=．4．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？4．解：显然tan y xθ=，则222222111,cos cos 1y y x x θθ+==+，2222112tan cossin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++， 即22222221112111y yx x x y y y x x x+=⨯+=+++，22(1)1y y x x x +=+， 得21y yx x x+=+， 即220x y x y +--=．5．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++，∴121x y ≤+≤．（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥，∴(cos sin )1)14a πθθθ≥-+-=+-恒成立，即1a ≥．。