函数的概念及其发展史

摘
要： 函数概 念是全 部数 学最重要 的概念之 一 。 本文 主要论 述 了函数 概念 的三种 定义 ： 变量说 ， 对应说 和关 系说 。 以及 函数概 念的 演变
历 史 ， 明 函 数 概 念 的 历 史 映 射 了整 个 数 学 的 发 展 史 。 说 关键 词 ： 变量 函数 集 合 映 射
中 图分类 号 ： Ｏ１
文献 标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： ３ ９ ９ （ ０ ） ２ｂ － １ ４ ０ １ ７ － ７ ５ ２ １ ０ （） Ｏ － １ ６ ２ ０ 性 、 区 间 上 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 等 问 闭
题。
函数 这 样 一 个 重 要 概 念 的 形 成 和 发 展 量 。 １ ９ 年 他 就 采 用 了 莱 布 尼 兹 的 “ 的 到 ６８ ｘ 是 经 过 了漫 长 岁月 的 。 不 同 的 阶 段 ， 观 函 数 ” 词 作 为 他 这 个 量 的 名 字 了 。 到 在 从 一 等 点上和 表示方 法也不 尽相同 。 回顾 函数 概 １ 年 他 首 次使 用 变 量概 念 给 出 了 不用 集 １ ８ 念 的 定 义 以 及 演 变 历 史 ， 加 深 函 数 概 念 合 形 式 的 函数 定 义 ： 个 变 量 的 函 数 是 指 对 一 的理解 大有裨益 。 由这 个 变 量 和 常 量 以 任 何 一 种 方 式 组 成 的 种 量 。 约 翰 的 学 生 、 名 数 学 家 欧 拉 在 ” 著 １ 函数概念 的三种 定义 １ ３ 年 欧 拉 就 给 出 了 非 常 形 象 的 、 直 沿 ４ ７ 一 在 当 代 国 内 外 教 学 教 材 中 ， 于 函 数 用 至 今 的 函 数符 号 ｆ ） 拉 格 朗 １毫 无疑 问 关 （ 。 ｘ ３ 概念有 三种代表 定义 。 借 鉴 了其 他 一 些 人 的 工作 。 ７ ７ ， １ ９ 年 进一 步 定 义 ｌ 变 量 说 ） 如 果 两 个 变 量 按 照 某 给 出 了 函数 的 一 个 定 义 。 时 ， （ ： 此 函数 已成 为 确定的规律联系着 ， 当第 一 变 量 变化 时 ， 微 积 分 的 中心 概 念 ， 且 初 等 函数 已被 充 而 第 二 变 量 也 随 着 变 化 ， 把 第 二 变 量 叫做 分 地 认 识 ， 实 际 发 展 成 为 我 们 今 天 见 到 就 并 第一变量（ 自变 量 ） 函 数 。 的 的 样 子 。 ｌ 世 纪 后半 叶 ， 函数 的 理 解 除 到 ８ 对 定 义２ 对 应说 ） 设 Ａ和 Ｂ使 两 个集 合 ， （ ： 如 了原 先 确 立 的 变 量 之 间对 应 变 化 的 思 想 之 果 按 照 某 种 对 应 法 则 ｆ 对 于 集 合 Ａ中 的 任 外 ， 认 识 到 了 函 数 必 须有 解析 的表 达 式 。 ， 还 狄 还 拉 何一个元素， 集合Ｂ 在 中都 有唯 一 的 元 素 和 傅 立 叶 、 利 克 雷 等 ， 有 欧 拉 、 格 朗 日 他 对 应 ， 样 的 对 应 叫 做 从 集 合 Ａ到 集 合 Ｂ 这 等 人 的 工 作 再 次 证 明 了 当下 对 函数 概 念 理 的 函 数 ， 作 ｆ Ａ—Ｂ。 记 ： 解 的局 限 性 ， 由此 开 始 了 对 函数 的 进 一 并 定 义 ３ 关 系 说 ） 设Ａ和Ｂ是 两 个 集 合 ， 步 探 讨 。 （ ： ｆ 是 Ａ ＸＢ的 一 个 非 空 子 集 ， 如果 ｆ 足 ： 满 对于 ２． 函数概 念的 确立 ３ 任意 ａ∈Ａ， 在唯 一 的ｂ∈Ｂ， （ ， ∈ｆ 则 存 使 ａ ｂ） ， １ 世 纪 后 半 叶 在 关于 弦 振 动 问 题 的大 ８ 称 ｆ Ａ到 Ｂ的 一个 函数 。 为 讨 论 中 ， 拉 和 拉 格 朗 日开 始 允 许 函数 在 欧 上 述 三 个 定 义 中 ， 义 １ 源 于 欧 拉 的 不 同 的 区 域 上 有 不 同 的 表 达 式 ， 这 样 又 定 是 而 典 型 的 变 量 定 义 ， 义 ２ 以狄 利 克 雷 的 定 导 致 函 数 在 连 续 性 上 破 绽 百 出 ， 一 切 促 定 是 这 义 为 基 础 经 过 改 进 后 的 近 代 定 义 ； 定 义 ３ 使 欧 拉 、 格 朗 日 、 朗 贝 尔 等 数 学 家们 不 而 拉 达 则 是 源 出 法 国布 尔 巴 基 学 派 的 现 在 定 义 。 得 不 重 新 考 虑 函数 的 概 念 。 立 叶 的 工 作 傅 更 根 本 地 改 变 了 函数 的 面 貌 ， 惊 了 当 时 震 ２ 函数概念 的发展 史 的 数 学 界 。 纪 最 杰 出 的 法 国数 学 家 柯 ｌ ９世 函数 概 念 的 发 展 史 的 大 体 上 可 分 为 五 西 在 １ ２ 年 写 的《 析 教 程 》 给 出 了 如 下 ８１ 解 中 函数定义 。 个阶 段 。 ２． 函数 思想 的萌芽 １ 在某 些变 量 间存在 着一 定的 关系 ， 当 函数 概 念 的 起 源 ， 早 和 人 们 对 动 点 最 经 给 定 其 中 某 一 变 量 的 值 ， 它 变 量 的 其 轨 迹 的 研 究 密 不 可 分 。 们 通 常 把 变 量 概 值 也 随 之 确 定 ， 将 最 初 的 变 量 称 为 自变 人 则 念 的 引 入 和 解 析 几 何 的 诞 生 归 功 与 笛 卡 量 ， 他 各 个 变 量 称 为 函数 。 其 尔 ， 确 实 让 用 代 数 关 系 式 表 示 变 化 的 量 他 这 个 定 义把 函 数 概 念 与 曲线 、 续 、 连 解 间 的 关 系（ 要 是 曲 线 ） 方 法 逐 渐 流 行 起 析 式 等 纠 缠 不 清 的 关 系 给 予 澄 清 ， 避 免 主 的 也 来 了 。 的 说 来 ， 管 描 绘 曲线 方 程 的 解 析 了数 学 意 义 欠 严 格 的 “ 化 ” 词 。 总 尽 变 一 几 何 的 方 法 已 出 现 ， 至 少 到 １ 世 纪 上 半 但 ７ 著 名 的 狄 利 克 雷 函数 的 出 现 无 疑 是 给 它 叶 ， 粹 的 函数 概 念 并 没 有 被 提 出来 。 变 柯 西 出 了个 难 题 ， 是 数 学 家 狄 利 克 雷 发 纯 但 量 已 引入 了数 学 ， 变 量 数 学 来 描 绘 运 动 、 明 的 ， 个 函 数 是 不 容 易 用 解 析 式 来 表 达 用 这 刻 画动 点 的轨 迹 无疑 是 人 们 对 现 实 中 这 种 的 。 以 １ ３ 年 狄 利 克 雷 也 给 函数 下 了 一 所 ７ ８ 变 化 的 相 依 关 系 在 认 识 论 上 的 飞 跃 ， 正 个 定 义 。 它 代 表 了 函数 思 想 的 萌 芽 。 如 果 对 于 给 定 区 间 上 的 每 一 个 Ｘ的 值 ２． 函数概 念 的初 步形 成 ２ 有 唯 一 的ｙ值 同 它 对应 ， 么ｙ就 是Ｘ的 一 个 那 “ 数 ” 词 ， 初 是 在 莱 布 尼 兹 １ ７ 函数 ， 于在 整个 区 间上 ｙ 否 按 照 一种 或 函 一 最 ６３ 至 是 年的一 篇手稿里使 用的 。 语中的 “ 数” 汉 函 多种 规 律 依 赖于 Ｘ， 者ｙ依 赖于 ｘ是 否可 用 或 词 ， １ ５ 年 清 代数 学 家 李 善 兰 在 翻 译 数 学 运 算 来 表 达 ， 是 ９ ８ 那都 是 无 关 紧 要 的 。 《 数 学 》 书 时 所 采 用 的 翻 译 名 词 ， 种 代 一 这 这 个 定 义 不 仅 把 变 量 之 间 的 关 系描 述 用 法 我 国 和 日本 一 直 沿 续 至 今 。 为 对 应 变 化 的 关 系 ， 且 就 函数 的 解 析 表 而 函 数 概 念 的 形 成 与 微 积 分 的 发 展 是 密 达 式 也 做 了讨 论 。 此 基础 上 ， 在 柯西 、 曼 、 黎 不可分的 。 在ｌ ９ 年 ， 早 ６７ 约翰 ・ 努 利 就 谈 波 尔查 诺 、 尔 斯 特 拉 斯 等 围 绕 函数 慨 念 ， 伯 魏 到 一 个 按 任 何 方 式 用 变 量 和 常 量 构 成 的 广 泛 地 研 究 了 函数 的 连 续 性 、 微 性 、 积 可 可
３结语
函 数 概 念 是 重 要 的 。 函 数 的 演 变 历 从 史 ， 们 可 以 看 到 函 数 概 念 的 内 涵不 断 被 我 挖 掘 、 富 和 精 确 刻 画 的 历史 过 程 ， 丰 同时 看 出， 学概念并 非生来就 有 、 成 不变的 ， 数 一 是 人 们 在 对 客 观 世界 深 入 了 解 的 过 程 中得 到的 ， 们 的 知 的 只 是 其 中 很 少 的 一 部 分 ， 我 所 以 还 需 要 不 断 加 以 发 展 ， 适 应 新 的 需 以 要。
２０ ＮＯ １ ２ ０５ Ｃ ｈｎ ｌａ Ｅ ｃａｔｏ ｎｎ ａｔ ｏ ｌ ｄｕ ｉ ｌ ｏｖ Ｉ ｒ Ｈｅｒ ｄ ａｌ
理 论 前 沿
函数 的 概 念 及 其 发 展 史
刘 玉 晓 （ 邢台 市现 代职业 学校 财 贸校 区商 贸艺术 学科 河北邢 台 ０４０ ５ ０ ０）
一 一 一 一
２． 函 数概 念的再 次 发展 ４ １ ｌ 纪 末２ 世纪 初 ， 函数 看 作 一种 对 ９ｉ ｔ ０ 把 应或者映射 的思想 已经完成。 ｌ世纪７ 从 ９ ０ 年 代 开始 ， 托 尔 在 证 明 了 任 意 函 数 都 可 康 以 唯 一 地 展 成 傅 立 叶 级 数 后 ， 表 了一 系 发 列 的 文章 ， 系统 地 分 析 和 刻 画 了 实 数 的连 续 性 和 无 穷 集 合 的 性 质 ， 而 开 创 了 一 个 从 崭 新 的 数 学 分 支 —— 集 合 论 。 有 用 多 少 没 年 ， Ｏ 纪 初 ， 合 论 的 思 想 和 方 法 就 开 到２ 世 集 始 深 入 到 数 学 的 各 个 领 域 ， 以 用 集 合 论 所 的 语 言 重 新 叙 述 函 数 的 定 义 ， 为 进 一 步 成 发 展 它 的 最 好 途 径 。 尔 巴 基 学 派 ｌ ３ 年 布 ９９ 给 出了函数的一个较 完整的定 义。 设 Ｅ和 Ｆ是 两 个 集 合 ， 们 可 以 不 同 ， 它 也可以相同。 Ｅ中 的 一 个 变 元ｘ Ｆ 中的 变 和 元 ｙ之 间 的一 个 关 系称 为 一 个 函数 ， 果 对 如 每 一 个 Ｘ∈Ｅ ， 都存 在 唯 一 的 ｙ∈Ｆ， 满 足 它 ｇ Ｅｘ的 给 定 关 系 。 ２． 函数 概 念 的进 一步 发 展并 没 有结 束 ５ 从 ｌ 世 纪 末 １ 世纪 初 函数 慨 念 明 确 提 ７ ８ 出来 以 后 ， 数 概 念 经过 了 ３ Ｏ 年 的 严 密 函 Ｏ多 化 历 程 ， 发 展 到 现 在 相 对 比较 完 善 的 地 才 步 。 ２ 世 纪 的 人 们 为 函 数 概 念 所 取 得 的 当 ０ 胜 利 欢 呼 的 时 候 ， 所 赖 以 定 义 的 集 合 论 它 发 生 了危 机 。 素 的 类 型 论 、 梅 罗的 公 理 罗 策 集 合 论 以 及 更 为广 泛 的 公理 集 合 论 和 希 尔 伯 特 的 形 式 化 系统 稍 稍 缓 和 了 数 学 界 的 惊 恐 ， 稍 后 歌 德 尔 的 不 完 全 性 定 理 再 次 告 但 知 人 们 ， 求 理 想 中 的 完 美 仍 然 只 是 一 个 追 梦， 探索 函 数 概 念 的道 路 仍 然 很 漫 长 。