高三理科数学一轮单元卷：第四单元 导数及其应用 B卷
2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解
专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12-B ．13C ．12D ．12．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） ABC ．1eD ．e7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +D ．e 1a b >11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____. 14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =___________.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________． 四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a 2()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1]（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围(1)0f ()f x (0,1)a专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值 D ．点在曲线上【答案】A 【解析】 【详解】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =()2f x ax b ='+1()f x 3()f x ()()10{13f f '==203a b a b c +=⎧⎨++=⎩2{3b a c a =-=+()2,8()y f x =()42238a a a +⨯-++=5a =10b =-8c =()25108f x x x =-+()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠1-()f x数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将()0f x <转化为2(2)exx a x +<，再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，的斜率，分析临界情况即可 【详解】由()0f x <且0x >，得2(2)exx a x +<，设2()e x x g x =，()(2)h x a x =+， 22()exx x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)93(2)5e g =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以3915e 3ea ≤<． 故选：C4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当时，，函数和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2()31f x x =-+()f x 0a >2()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a =(,0)x ∈-∞()0f x '>2(0,)x a ∈()0f x '<2(,)x a∈+∞()0f x '>(0)0f >(,0)x ∈-∞0a <2(,)x a∈-∞；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x xf x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =得20e e x xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数研究()e x x g x =的图像，由函数()f x 有三个零点可知，若令1e e xxt t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则可知方程20t at a +-=的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，分类讨论即可求解. 【详解】由22e e 0xxx ax a +-=得20e ex xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()e x x g x =， 由()10e xxg x -'==，得1x ＝，因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()00g =，当0x >时，()0e x x g x =>，则()ex xg x =的图像如图所示： 即函数()g x 的最大值为()11eg =，令1e e xx t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则()20h t t at a =+-=，由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，当21e t =时，21e ea =-，则另一根111e t =-，不满足题意，当20t =时，a ＝0，则另一根10t =，不满足题意，()0f x '<2(,0)x a ∈()0f x '>(0,)x ∈+∞()0f x '<(0)0f >()f x 0x 00x >2()0f a>24a >2a <-当()2,0t ∈-∞时，由二次函数()20h t t at a =+-=的图像可知22000110e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得210e ea <<-， 则实数a 的取值范围是210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故选：D.6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） ABC ．1eD ．e【答案】D 【解析】 【分析】将不等式化为ln()e ln()e x ax x ax +≥+，构造()e x f x x =+有()(ln())f x f ax ≥，利用函数的单调性及参变分离法有e xa x ≤在0x >上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.【详解】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)x f x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e xa x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x '-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增； 所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==． ∴实数a 的最大值为e ． 故选：D7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】将所求不等式变形为()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-，构造函数()e xg x x =+，可知该函数在R 上为增函数，由此可得出()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，利用导数求出()()ln 1h x x x =--的最大值，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，由()()ln 1f x x ≥-可得()ln eln 1ln 1x aa x +++≥-， 即()()()ln 1ln eln 1ln 1eln 1x x ax a x x x -+++≥-+-=+-，构造函数()e xg x x =+，其中x ∈R ，则()e 10x g x '=+>，所以，函数()g x 在R 上为增函数， 由()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-可得()()ln ln 1g x a g x +≥-⎡⎤⎣⎦，所以，()ln ln 1x a x +≥-，即()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >， 令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当2x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 所以，()()max ln 22a h x h ≥==-，21e a ∴≥. 故选：D.二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数的运算求得导函数y '，代入微分方程检验即可． 【详解】选项A ，e x y =，则e x y '=，e e e e 0x x x x xy y xy x x '+-=+-=≠，不是解；选项B ，e x y x =，e e x x y x '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy x x x x '+-=+--=，是方程的解；选项C ，e 1x y x =+，e e x x y x '=+，22e e 1e e 10x x x x xy y xy x x x x x x '+-=+++--=+≠，不是方程的解； 选项D ，e (R)x y c x c =⋅∈⋅，e e x x y c cx '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy cx cx cx cx '+-=+--=，是方程的解． 故选：CD ．10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b + D ．e 1a b >【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由e e e a b a b ++=得到111e ea b +=判断；BC.由e e e 2e e a b a b a b ++==2b 判断；D. 由111e e a b +=，得到e e e 1e 11e 1e 1b b b ab b b b b -+-=-=--，令()e e 1,0b b f b b b =-+>，用导数法判断. 【详解】 由e e e a b a b ++=得111e ea b +=，又e 0,e 0a b >>，所以e 1,e 1a b >>，所以0,0a b >>，所以0ab >，选项A 错误；因为e e e 2e e a b a b a b ++==2b ，即e e e 4a b a b ++=，所以ln41a b +>，选项B C ,正确，因为111e e a b +=，所以e e e 1b ab =-，所以e e e 1e 11e 1e 1b b b a bbb b b -+-=-=--.令()e e 1,0b b f b b b =-+>，则()e 0b f b b '=>，所以f b 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00f b f >=，即e e 10b b b -+>，又e 10b ->，所以e 10a b ->，即e 1a b >，选项D 正确. 故选：BCD11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数()e xf x x=，利用导数判断函数的单调性，得出1x y >+，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】令()e x f x x=，则()()2e 1e e xx x x x f x x x --'==， 所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增； 由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 111x y x y y +-=++，∵1y >，∴11012y <<+， ∴1e e 1012x y x y +<-<+，即()()1012f x f y <-+<， ∴1x y >+，即1->x y ，∴()ln 0x y ->，A 正确；由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误； 由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln3x y y +>+>， 所以D 错误，故选：AC ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =()f x判断D. 【详解】由题，，令得或令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A 正确；因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B 错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C 正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D 错误.故选：AC.三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1fx ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.【答案】e (],1-∞ 【解析】当0a =时，∵()222ln x f x x ex =-，∴()222222x x f x xe x xe x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，()231f x x '=-()0fx '>x >x <()0f x '<x <()f x ((,-∞)+∞x =(10f =+>10f =>()250f -=-<()f x ,⎛-∞ ⎝⎭x ≥()0f x f ≥>⎝⎭()f x ⎫∞⎪⎪⎝⎭()f x 3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-()h x (0,0)()h x ()h x ()f x (0,1)()y f x =()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1xg x e x =--,()()100xg x e g ''=->=,所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立，∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是___________. 【答案】(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭##1|02k k k ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭或【解析】 【分析】将原问题转化为32ln 12x k x x =+只有一个解,令()()32ln 102x g x x x x =+>,利用导数求出()g x 的单调性及最值即可得答案. 【详解】 由题意可得:2ln 12x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x=+, ()0x >原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()43413ln 113ln x x xg x x x x '---=-= 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正, 所以()()max 112g x g ==, 又因为y k =与()y g x =只有一个交点, 所以(]1,02k ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭.故答案为: (]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________ 【答案】【解析】 【详解】由定义运算“*”可知 即，该函数图像如下：由，假设当关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根时， m 的取值范围是，且满足方程，所以令则， 所以令22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩⎫⎪⎪⎝⎭22(21)(21)(1)0()?(1)(21)(1)0x x x x f x x x x x ⎧----=⎨---->⎩2220()0x x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1230x x x <<<10,4⎛⎫⎪⎝⎭23,x x 2-+=x x m 23=x x m 22-=x x m 1=x 123==x x x m 10,4⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭y m所以， 又在递增的函数， 所以，所以，所以在递减， 则当时，；当时，所以.16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．【答案】22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2e x x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-x g x x 和22e y x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22e y x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围.【详解】由题可知，22()ln 2e f x x x mx =-+，0x >， 由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 2e 0x x mx -+≥，即222e ln x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数， 令()ln =-x g x x ，则()2ln 1-'=x g x x ， 当1e x <<时，()0g x '<；当e x >时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 画出()ln xy xg x ==-和22e y x =-的大致图象，如图所示： 要使得2ln 2e xx m x-+≥-，可知0m >， 114'⎛= ⎝y ()=h m 10,4⎛⎫⎪⎝⎭()()01>=h m h 0y '<=y 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭0m =0y =14m ==y 123⎫∈⎪⎪⎝⎭x x x设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标， 而2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<， 当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-， 即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线22e y x m =-+过点1,0A 时，得22e m =，当直线22e y x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，得2ln 24e 2m =-， 所以m 的取值范围为22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥210x y --=a 1≥()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）12gx 1x e x x +=++-gx 0≥（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以 ．因此．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ()()2212xax a x f x e-++'-=()02f '=()y f x =()0,1-210x y --=1a ≥()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+()211xg x x x e +=+-+()121x g x x e +=++'()120x g x e +''=+>1x <-()()10g x g '-'<=()g x 1x >-()()10g x g '-'>=()g x ()g x ()1=0g ≥-()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a (0,1)()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈()f x (,ln )a -∞-0n 03ln(1)n a>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)()f x (),-∞+∞()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=ln x a =-(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ()1ln 1ln f a a a-=-+①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a ≥0，则当x ∈（0，+）时，，故f （x ）在（0，+）单调递增.若a ＜0，则当时，时；当x ∈时，. 故f （x ）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在取得最大值，最大值为. 1a =()ln 0f a -=()f x ()1,a ∈+∞11ln 0a a-+>()ln 0f a ->()f x ()0,1a ∈11ln 0a a-+<()ln 0f a -<()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭()f x ()ln ,a -+∞a ()0,12()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>0a ≥'()0f x >()f x (0,)+∞0a <()f x 1(0,)2a -1(,)2a-+∞3()24f x a ≤--max 3()24f x a ≤--max 1()()2f x f a=-11ln()1022a a -++≤max ()(1)0g x g ==()f x ∞()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=∞’)(0f x ＞∞10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '＞1()2a ∞-+，’)(0f x <’)(0f x ＞1()2a∞-+，12x a=-111()ln()1224f a a a -=---所以等价于，即. 设g （x ）=ln x -x +1，则. 当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，，即. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，. 所以当时，.3()24f x a≤--113ln()12244a a a ---≤--11ln()1022a a -++≤’1(1)g x x=-()0g x '>∞()0g x '<∞11ln()1022a a -++≤3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->01x <<()f x 1x >()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<()f x x 1x()f x (0,)+∞1()1f x x=-'()0f x '=1x =01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x 1x =(1)0f =1x ≠ln 1x x <-(1,)x ∈+∞ln 1x x <-11ln1x x <-11ln x x x-<<1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln xg x c c c =--'()0g x =01lnln ln c c x c-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 11ln c c c-<<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【详解】（Ⅰ）．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围【答案】（Ⅰ）当时， ；当 时， ； 当时， .（Ⅱ） 的范围为. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-()f x (,0)-∞(0,)+∞[1,1]-()(1)2mx f x m e x -'=+0m ≥(,0)x ∈-∞10mx e -≤()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -≥()0f x '>0m <(,0)x ∈-∞10mx e ->()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -<()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞m ()f x [1,0]-[0,1]()f x 0x =12,[1,1]x x ∈-12()()1f x f x e -≤-(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-()1t g t e t e =--+()1t g t e =-'0t <()0g t '<0t >()0g t '>()g t (,0)-∞(0,)+∞(1)0g =1(1)20g e e --=+-<[1,1]t ∈-()0g t ≤[1,1]m ∈-()0g m ≤()0g m -≤1m >()g t ()0g m >1m e m e ->-1m <-()0g m ->1m e m e -+>-m [1,1]-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](1)0f =()f x (0,1)a 12a ≤()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()22ln(2)g x a a a b ≥--2e a >()2g x e a b ≥--a ()2,1e -()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--a ()g x ()g x [0,1]()g x [0,1]0x ()f x (0,1).联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则. 所以当时，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，所以. （Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点. 所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有(0)0,(1)0f f ==()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤2e a ≥()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=1b e a =--a ()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--0a ≤()20x g x e a -'=>()(0)1g x g b ≥=-0a >()20x g x e a -'=>2,ln(2)x e a x a >>12a >ln(2)0a >2e a >ln(2)1a >102a <≤()g x [0,1]()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--2e a >()g x [0,1]()(1)2g x g e a b ≥=--0x ()f x (0,1)0(0)()0f f x ==()f x 0(0,)x ()g x ()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤()g x [0,1]()g x (0,1)2e a ≥()g x [0,1]()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=12a b e +=-<.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是. (0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->21e a -<<21e a -<<()g x [0,1](ln(2))g a (ln(2))0g a ≥()0([0,1])g x x ≥∈()f x [0,1](0)(1)0f f ==(ln(2))0g a <(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->()g x (0,ln(2))a (ln(2),1)a 1x 2x ()f x 1[0,]x 1(,x 2)x 2[,1]x 1()(0)0f x f >=2()(1)0f x f <=()f x 1(,x 2)x a (2,1)e -。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题附解析
高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题附解析一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+，例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．3．下列不等式正确的有（ ）A 2ln 3<B ．ln π<C ．15<D ．3ln 2e <【答案】CD 【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff>>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.4．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx m x kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥，当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.7．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.9．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-【答案】AD【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.10．若方程()2110x m x -+-=和()120x m e x -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x x y e -=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x x m e -=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-； 对于函数12x xy e -=-，11'x x y e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-； 故作出函数11y x x =--，12x x y e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x x x x x e ---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()11112,1x x --∈--，解得11x ⎫∈-⎪⎪⎝⎭， 所以选项AD 正确，选项C 错误，又121310x x x x -=<<.故选：ABD .本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。
2020高三数学单元卷：第四单元 导数及其应用 B卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第四单元 导数及其应用注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．点P 在曲线:1C y x =+上移动，若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),31(+∞B ．)31,(-∞C ．),31[+∞D ．]31,(-∞4．函数()ln xf x x=，若(4)a f =，(5.3)b f =，(6.2)c f =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)1,(-∞C ．)0(∞+，D ．)21,0(6．若函数x m x x f ln 21)(2+-=在),1(+∞上递减，则m 的取值范围是（ ） A ．),1[+∞B ．),1(+∞C ．)1,(-∞D ．]1,(-∞7．函数2cos y x x =+在区间π[0,]2上的最大值是（ ）A ．π13+ B ．π4C ．π6+D ．π28．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则)2(f 的值为（ ）A ．11或18B ．17或18C ．11D ．189．已知函数x x x m x f ln 2)1()(--=，xm x g -=)(，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得)()(00x g x f <成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2(,]e-∞B ．2(,)e-∞C ．)0,(-∞D ．]0,(-∞10．若关于x 的函数2m ny mx -=的导数为34y x '=，则m n +的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．311．设若函数e x y ax =+，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-<aB ．1->aC ．1e a <-D ．1ea >-12．已知函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若方程21)(-=ax x f 恰好有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．12(,)2eC ．1(2D ．2)e二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．若函数x x x f ln 2)(2-=其定义域的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．14．曲线5e 30x y +-=在点)2,0(-处的切线方程为__________．15．函数496)(23-+-=x x x x f 零点的个数为_________．16．已知函数)(x f 满足2)0(=f ，且对于任意实数x ，()()1f x f x '>+恒成立，则不等式()e 1x f x <+的解集为_________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）17．（10分）已知曲线()3:C f x x x =-． （1）试求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）试求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程．18．（12分）设函数2e ()x f x x ax a=++，其中a 为实数，当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间．19．（12分）某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：3432xp x =+*()x ∈N ；（1）将该厂的日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）为获得最大盈利，该厂的日产量应为多少件？20．(12分)设()2ln kf x kx x x=--，若过点(2,(2))f 的切线l 与直线420x y +-=垂直． （1）求切线l 的方程； （2）求函数4()()g x f x x=+的极值．21．(12分)已知函数21()(1)ln (1)2f x x ax a x a =-+->； （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：若5a <，则对任意的120x x >>，有1212()()1f x f x x x ->--．22．(12分）已知函数x a x a x f ln )1(1)(2+-+=．（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当1=a 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围；一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第四单元 导数及其应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>； 当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '＜． ∴当2x >-时，()0xf x '＜；当2x =-时，()0xf x '=； 当2x <-时，()0xf x '>．故选C ． 2．【答案】A【解析】s i n 3y x ⎡'=∈⎣，即切线的斜率范围是⎡⎣，那么倾斜角的范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选A ． 3．【答案】C【解析】若函数)(x f 是R 上的单调函数，则2()320f x x x m '=++≥恒成立，∴4120m ∆=-≤，∴31≥m ．故选C ． 4．【答案】B 【解析】∵()ln xf x x =，∴()2ln 1xx x f -='，当3≥x 时，()0<'x f 恒成立， 于是函数()xxx f ln =在[)+∞,3上单调递减，∴c b a <<，故选B ． 5．【答案】D【解析】∵3()63f x x bx b =-+，∴2()36f x x b '=-，又函数()f x 在(0,1)内有极小值，∴函数()f x '在(0,1)内有零点，由2()36f x x b '=-的图象可知应满足(0)0(1)0f f '<⎧⎨'>⎩，即60360b b -<⎧⎨->⎩，解得，102b <<，故选D ．6．【答案】D【解析】由题意知()0m f x x x'=-≤在),1(+∞上恒成立，即2x m ≤，∴1≤m ，故选D ． 7．【答案】C【解析】由π[0,]2x ∈，令'12sin 0y x =-=得，π6x =，而ππ()66f =(0)2f =，ππ()22f =，∴最大值为ππ()66f =C ． 8．【答案】D【解析】∵223)(a bx ax x x f +++=，∴2()32f x x ax b '=++，由题意得2'(1)110(1)320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)f x x x x '=-+=-，1=x 不是极值点，舍去； 当411a b =⎧⎨=-⎩时，211()38113(1)()3f x x x x x '=+-=-+，1=x 是极值点；这时16114)(23+-+=x x x x f ，18)2(=f ，故选D ．9．【答案】B【解析】由题意，不等式)()(x g x f <在[1,e]有解，∴x mx ln 2<，即xxm ln 2<在[1,e]有解，令xx x h ln )(=，则21ln ()xh x x -'=，当1e x ≤≤时，()0h x '≥，)(x h 递增， max 1()(e)e h x h ==，∴12e m <，∴2em <，故选B ．10．【答案】B【解析】∵2m ny mx-=，∴21(2)m n y m m n x--'=-，由题设34y x '=，∴⎩⎨⎧=--=-3124)2(n m n m m ，解得1m =，2n =-，∴1m n +=-，故选B ．11．设若函数e x y ax =+，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-<aB ．1->aC ．1e a <-D ．1ea >-【答案】A【解析】∵e x y a '=+，∴e x a =-，设0x x =为大于0的极值点，∴0e 1x a =->，∴1-<a ．故选A ．12．已知函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若方程21)(-=ax x f 恰好有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A． B ．12(,)2eC．1(2D．2)e【答案】C【解析】作出函数)(x f 和直线21-=ax y 的图象，如图所示，易知二者都经过点)21,0(-， 设过点)21,0(-且与函数)1(ln >=x x y 的图象相切的直线为1l ，切点为),(00y x ， 则有000001ln 12k x y x y kx ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得0012x y k ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，又图中直线2l 的斜率为21，所以当实数a的取值范围是1(2时，方程21)(-=ax x f 恰好有四个不同的实数根，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】231<≤k 【解析】函数x x x f ln 2)(2-=区间)1,1(+-k k 内不是单调函数， 即1()4f x x x '=-在区间(1,1)k k -+内存在零点 所以实数k 满足231<≤k ．14．【答案】025=++y x【解析】5e x y '=-，则0055x y e ='=-=-，所求切线方程为025=++y x ． 15．【答案】2【解析】令32()694f x x x x =-+-，则2()3129f x x x '=-+，设()0f x '=，则11x =，23x =，()f x '在(,1)-∞和(3,)+∞上大于0，在(1,3)上小于0，故()f x 在1x =时有极大值为0，在3x =时有极小值4-，∴(,1)-∞和(3,)+∞为增区间，(1,3)为减区间，故()f x 有2个实根．16．【答案】{}0>x x【解析】令()1()exf xg x -=，则2()e (()1)e ()()1()0e e x x x x f x f x f x f x g x ''---+'==<，∴函数()1()e xf xg x -=为减函数．不等式()e 1x f x <+即()1()1e xf xg x -=<． ∵1)0(=g ，∴()1()(0)e xf xg x g -=<，∴0>x ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）17．【答案】（1）220x y --=；（2）50x y --或50x y -+=． 【解析】（1）∵()3f x x x =-，∴()10f =，求导数得()231f x x '=-， ∴切线的斜率为()12k f '==，∴所求切线方程为()21y x =-，即220x y --=．（2）设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ，则切线的斜率为()20031k f x x '==-． 又∵所求切线与直线53y x =+平行，∴20315x -=，解得0x =()3f x x x =-得切点为或(，∴所求切线方程为(5y x =或(5y x ，即50x y --=或50x y -+=． 18．【答案】见解析．【解析】∵()f x 的定义域为R ，∴20x ax a ++≠恒成立，∴240a a ∆=-<，解得04a <<；∵2e ()xf x x ax a =++，∴22(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++，令22(2)e ()0()xx x a f x x ax a +-'==++，则0x =或2x a =-； 当02a <<时，由()0f x '<得，02x a <<-；当2a =时，222e ()0(22)xx f x x x '=≥++；当24a <<时，由()0f x '<得，20a x -<<；综上知，当02a <<时，()f x 的单调减区间为(0,2)a -； 当2a =时，()f x 无单调减区间；当24a <<时，()f x 的单调减区间(2,0)a -．19．【答案】（1）T =225(64),8x x x x +--∈+N ；（2）16件．【解析】（1）由题设得，33(100)(1)200432432x xT x x x x =⨯⨯-+-⨯++21006400432x x x -+=+225(64),8x x x x +--=∈+N ；∴该厂的日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数为T =225(64),8x x x x +--∈+N ． （2）由（1）得，2225(16512)()(8)x x T x x -+-'=+，令()0T x '=，得到32x =-或16x =，∵0x >，∴16x =为唯一的极大值点，根据实际问题，它为最大值点，即当16x =时盈利最大． ∴为获得最大盈利，该厂的日产量应为16件．20．【答案】（1）44(1ln 4)0x y -+-=；（2）极小值4ln9-．【解析】（1）∵()2ln k f x kx x x=--，∴22222()k kx x k f x k x x x -+'=+-=；则445(2)144k k f k -+'==-， ∵直线l 与直线420x y +-=垂直，∴直线l 的斜率为14， 则51144k -=，∴1k =； 故1()2ln f x x x x =--，∴13(2)22ln 2ln 422f =--=-，即切点为3(2,ln 4)2-，∴直线l 的方程为31ln 4(2)24y x -+=-， 即为44(1ln 4)0x y -+-=．（2）由（1）知1()2ln f x x x x=--， ∴4143()()2ln 2ln g x f x x x x x x x x x =+=--+=+-，函数()g x 的定义域为(0,)+∞， ∴2223223()1x x g x x x x--'=--=； 令2223()0x x g x x --'==，则3x =或1x =-（舍去）， 当03x <<时，()0g x '<，∴函数()g x 在(0,3)上单调递减，当3x >时，()0g x '>，∴函数()g x 在(3,)+∞上单调递增，故当3x =时，函数()g x 取得极小值3(3)32ln 34ln 93g =+-=-． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，函数的定义域为(0,)+∞， ∴211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+==， 令()0f x '=，则1x =或1x a =-；①若11a -=，即2a =，则2(1)()0x f x x-'=≥，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②若11a -<，又1a >，故12a <<时，当(0,1)x a ∈-时，()0f x '>；当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>；∴函数()f x 在(0,1)a -，(1,)+∞上单调递增；函数()f x 在(1,1)a -上单调递减； ③若11a ->，即2a >，同理可得，函数()f x 在(0,1)，(1,)a -+∞上单调递增； 函数()f x 在(1,1)a -上单调递减；（2）令21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，定义域为(0,)+∞， 则11()1(1)a a g x x a x a x x --'=-++=+--； ∵1a >，∴1()(1)(1)a g x x a a x -'=+--≥-2211)==-；∵15a <<，∴211)0->，即()0g x '>；∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，故当120x x >>时，12()()g x g x >， 即1122()()f x x f x x +>+，∴1212()()()f x f x x x ->--， ∵120x x ->，∴1212()()1f x f x x x ->--． 22．【答案】（1）见解析；（2）1k ≥．【解析】（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞．22(1)()2(1)a a x a f x a x x x-+'=-+=． 当1≥a 时，()0f x '>，故)(x f 在),0(+∞单调递增； 当0≤a 时，()0f x '<，故)(x f 在),0(+∞单调递减； 当10<<a 时，令()0f x '=，解得)1(2a a x -=． 当))1(2,0(a a x -∈时，()0f x '>，)(x f 在))1(2,0(a a -单调递增； 当),)1(2(+∞-∈a a x 时，()0f x '<．在),)1(2(+∞-a a 单调递减． （2）因为0>x ，所以当1=a 时，kx x f ≤)(恒成立kx x ≤+⇔ln 1x x k ln 1+≥⇔． 令xx x h ln 1)(+=，则max h k ≥，因为2ln ()x h x x -'=，由2ln ()0x h x x -'==得1=x ，且当)1,0(∈x 时，()0h x '>；当),1(+∞∈x 时，()0h x '<．所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减． 所以1)1(max ==h h ，故1≥k ．。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题单元测试及解析
高考数学一轮复习导数及其应用多选题单元测试及解析一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x ae -=，设sin (),(,)xxg x x e π=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202f π'-=>，334433()cos442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭，又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭，即34e π>，则3()04f π'-<，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0x，因为000000()sin sin cos 4x f x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-，()g x 取得极小值，又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，所以当24x k ππ=+，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,, (44)x ππ=，()g x 取得极大值，又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞时，()34422g x e ππ-≤≤，当3412e a π-<-，即34a e π>时，()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.当412ae -=4a e π=时，1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点，所以存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．3．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C．sin 2x >D ．1ln 1x x <-【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数，令2224144x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.4．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.5．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．6．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ）A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．()f x 存在唯一极小值点0xC ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e >B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭ 1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.8．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．ff f <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=， 所以2e k >，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．9．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】CD【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-，∴()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+， ①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=， 函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意；②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+- ()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2e a =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.10．函数()ln f x x x =、()()f xg x x '=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈ D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD【分析】 对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x x g x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性.【详解】 对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln x g x x-'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.。
2025年高考数学一轮复习-一元函数的导数及其应用(能力提升卷)【含答案】
一元函数的导数及其应用(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)＝(x2＋x＋1)e x，则f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为()A.x＋y＋1＝0B.x－y＋1＝0C.2x＋y＋1＝0D.2x－y＋1＝02.已知函数f(x)＝16x3－12ax2－bx(a＞0，b＞0)的一个极值点为1，则ab的最大值为()A.1B.12C.14D.1163.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：f(x)＝c＋a cosh xa ＝c＋a·e xa＋e－xa2(e为自然对数的底数).当c＝0，a＝1时，记p＝f(－1)，m＝n＝f(2)，则p，m，n的大小关系为()A.p＜m＜nB.n＜m＜pC.m＜p＜nD.m＜n＜p4.已知函数f (x )＝ax ＋ln x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为()A.(－∞，0]∪{1}B.[0，1]C.(－∞，0]∪{2}D.[0，2]5.已知f (x )是定义在R 上的可导函数，若在R 上有f (x )>f ′(x )恒成立，且f (1)＝e(e 为自然对数的底数)，则下列结论正确的是()A.f (0)＝1B.f (0)<1C.f (2)<e 2D.f (2)>e 26.设0＜x ＜1，则a ＝e xx ，b ，c ＝e x2x2的大小关系是()A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c7.若∀a ，b ，c ∈D ，g (a )，g (b )，g (c )可以作为一个三角形的三条边长，则称函数g (x )是区间D 上的“稳定函数”.已知函数f (x )＝ln x x ＋m 是区间1e 2，e 2上的“稳定函数”，则实数m 的取值范围为()＋1e ，＋2＋1e ，＋＋1e，＋2＋1e，＋8.已知函数f (x )＝ln x －m 与g (x )＝－x 2＋73x 的图象在区间[1，3]上存在关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A.ln 3－2，ln32＋54B.ln 3－2，43C.43，ln 32＋54D.54，43二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是()A.ln2＞2e B.ln3＜3eC.lnπ＞πe D.ln3lnπ＜3π10.已知函数f(x)＝x3－3x2＋3，则下列选项正确的是()A.函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x＋y－4＝0B.函数y＝f(x)有3个零点C.函数y＝f(x)在x＝2处取得极大值D.函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)对称11.已知函数f(x)＝x4＋ax2＋ax＋1(a≠0)，则()A.存在a使得f(x)恰有三个单调区间B.f(x)有最小值C.存在a使得f(x)有小于0的极值点D.当x1＜0＜x2，且x1＋x2＞0时，f(x1)＜f(x2)12.已知函数f(x)＝ln xx，则()A.f(2)＞f(5)B.若f(x)＝m有两个不相等的实根x1，x2，则x1x2＜e2C.ln2＞2eD.若2x＝3y，x，y均为正数，则2x＞3y三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数f(x)＝13x3－a2x2＋(3－a)x＋b有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是________.14.已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，g(x)＝ln x－2x，如果存在x1∈12，2，使得对任意的x2∈12，2，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是________.15.定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”.若函数g(x)＝12x，h(x)＝ln2x，φ(x)＝sin x(0＜x＜π)的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为________.16.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，且满足f(x)＞0，f(x)＋f′(x)＜0，若0＜x1＜1＜x2，且x1x2＝1.给出以下不等式：①f(x1)＞e x2－x1f(x2)；②x1f(x2)＜x2f(x1)；③x1f(x1)＞x2f(x2)；④f(x2)＞(1－x1)f(x1).其中正确的有________(填写所有正确的不等式的序号).四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)（x＋1）e x，x≤0，2－ax＋12，x＞0.(1)若a＝2，求f(x)的最小值；(2)若f(x)恰好有三个零点，求实数a的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)＝e x－a(x－1)＋2(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若x∈[a，＋∞)，不等式f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围.20.(12分)已知函数f(x)＝(x－b)e x－a(x－b＋1)2(a＞0，b∈R，e为自然对数的底2数).(1)若b＝2，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上单调递增，求证：e a－1≥b.＋a2x＋a ln x，x∈(0，10).21.(12分)已知实数a＞0，函数f(x)＝2x(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若x＝1是函数f(x)的极值点，曲线y＝f(x)在点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))(x1＜x2)处的切线分别为l1，l2，且l1，l2在y轴上的截距分别为b1，b2.若l1∥l2，求b1－b2的取值范围.22.(12分）已知函数f (x )＝x e x －a ln x －e(a ∈R ).(1)当a ＝2e 时，不等式f (x )≥mx －m 在[1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若a ＞0时，f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值以及此时a 的值.参考答案1.D[因为f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋3x ＋2)e x ，f (0)＝1，f ′(0)＝2，则f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0，故选D.]2.D[由题意，得f ′(x )＝12x 2－ax －b .因为1是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(1)12－a －b ＝0，所以a ＋b ＝12，所以ab ＝116，当且仅当a ＝b ＝14时等号成立，所以ab 116，故选D.]3.C[由题意知，当c ＝0，a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x2，f ′(x )＝－e －x ＋e x 2＝e 2x －12e x，当x ＞0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，f (－1)＝e －1＋e 2＝f (1)，∵0＜12＜1＜2，∴f (1)＜f (2)，即m ＜p ＜n ，故选C.]4.A [由函数f (x )有且仅有一个零点，得方程f (x )＝0在(0，＋∞)上只有一个解，即a ＝x －x ln x ，x ＞0只有一个解，令g (x )＝x －x ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，且g (1)＝1，作出函数g (x )的图象如图所示，则当a ≤0或a ＝1时，f (x )＝0在(0，＋∞)上只有一个解，故选A.]5.C [设g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）ex，又因为f (x )>f ′(x )在R 上恒成立，所以g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x <0在R 上恒成立，所以函数g (x )＝f （x ）e x在R 上单调递减，则g (2)<g (1)，即f （2）e 2<f （1）e＝1，所以f (2)<e 2.故选C.]6.B[设f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x （x －1）x2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，则f (x )在(0，1)上为减函数，∵x 2＜2x ，∴e x2＜e 2x ，则e x 2x 2＜e 2xx 2＝，故b ＞c .又0＜x 2＜x ＜1，∴f (x 2)＞f (x )，则e x2x 2＞e xx，故c ＞a ，所以a ＜c ＜b ，故选B.]7.D [∵f ′(x )＝1－ln xx 2，∴当x ∈1e 2，f ′(x )＞0；当x ∈(e ，e 2]时，f ′(x )＜0；∴f (x )在1e 2，(e ，e 2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (e)＝1e＋m ，又2e 2＋m ，f (e 2)＝2e2＋m ，∴f (x )min ＝－2e 2＋m ，由“稳定函数”定义可知：2f (x )min ＞f (x )max ，即2(－2e 2＋m )＞1e ＋m ，解得m ＞4e 2＋1e ，即实数m 2＋1e，＋故选D.]8.A[由题可知函数f (x )＝ln x －m 与y ＝x 2－73x 的图象在区间[1，3]上存在公共点，即方程ln x －m －x 2＋73x ＝0在区间[1，3]内有解，即方程m ＝ln x －x 2＋73x在区间[1，3]内有解.令h (x )＝ln x －x 2＋73x (x ∈[1，3])，则h ′(x )＝1x －2x ＋73＝－（3x ＋1）（2x －3）3x，所以当x ∈[1，3]时，h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：由上表可知h (1)＝43，h (3)＝ln 3－2＜43，ln 32＋54，所以当x ∈[1，3]时，h (x )∈ln 3－2，ln 32＋54，故m 的取值范围是ln 3－2，ln32＋54，故选A.]9.ACD [令f (x )＝ln x －x e ，则f ′(x )＝1x －1e ，当0＜x ＜e 时f ′(x )＞0，当x ＞e 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (e)＝ln e －e e ＝0，则f (2)＝ln 2－2e ＜0，得ln 2＜2e ，故A 错误；f (3)＝ln 3－3e ＜0，得ln 3＜3e ，故B 正确；f (π)＝ln π－πe ＜0，得ln π＜πe ，故C 错误；对D 项，令g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x2，当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，当x ＞e 时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则g(3)＞g(π)，得ln33＞lnππ，即ln3lnπ＞3π，故D错误，故选ACD.]10.ABD[A项，∵f′(x)＝3x2－6x，∴f′(1)＝3－6＝－3，且f(1)＝1－3＋3＝1，∴函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x＋y－4＝0，A正确；B项，令f′(x)＝3x2－6x＞0，解得x＜0或x＞2，∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减.又∵f(－1)＝－1＜0，f(0)＝3＞0，f(2)＝－1＜0，f(3)＝3＞0，∴在(－1，0)，(0，2)，(2，3)上各有一零点，即函数y＝f(x)有3个零点，B正确；C项，由B知函数y＝f(x)在x＝2处取得极小值，C错误；D项，令g(x)＝x3－3x，x∈R，∵g(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数，则g(x)的图象关于原点对称.将函数g(x)＝x3－3x的图象向右平移一个单位长度再向上平移一个单位长度可得函数h(x)＝(x－1)3－3(x－1)＋1＝x3－3x2＋3＝f(x)的图象，∴函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)对称，D为真命题.]11.BC[f′(x)＝4x3＋2ax＋a，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝12x2＋2a，当a＞0时，g′(x)＞0，f′(x)单调递增，又f′(－3a)＝－3a－2a3a＜0，f′(0)＝a＞0，∴f′(x)在(－3a，0)内存在唯一零点，记为x0，则f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，f(x0)既是极小值又是最小值；当a＜0时，f′(x)∞－－a6，f′(0)＝a＜0，f a＜－278，则f0，f′(x)在(－∞，0)上有两个零点，记为x1，x2，在(0，＋∞)上有一个零点，记为x3，则f(x)在(－∞，x1)和(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)和(x3，＋∞)上单调递增，x 1为小于0的极小值点，f (x 1)和f (x 3)中的较小者即为f (x )的最小值；若－278≤a ＜0，则f 0，f ′(x )只在(0，＋∞)上存在唯一零点，记为x 4，f (x )在(－∞，x 4)上单调递减，在(x 4，＋∞)上单调递增，f (x 4)为最小值，故B ，C 正确，A 错误；对于D ，当x 1＜0＜x 2，且x 1＋x 2＞0时，f (x 1)－f (x 2)＝x 41－x 42＋a (x 21－x 22)＋a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 2)·(x 21＋x 22＋a )＋a ]，取a ＝－(x 21＋x 22)，则有f (x 1)－f (x 2)＞0，故D错误.故选BC.]12.AD[对于A ，f (2)＝ln 22＝ln2，f (5)＝ln 55＝ln 55，又(2)10＝25＝32，(55)10＝25，32＞25，所以2＞55，则有f (2)＞f (5)，A 正确；对于B ，若f (x )＝m 有两个不相等的实根x 1，x 2，则x 1x 2＞e 2，故B 不正确；证明如下：函数f (x )＝ln xx ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1－ln x x2，当f ′(x )＞0时，0＜x ＜e ；当f ′(x )＜0时，x ＞e ，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，则f (x )max ＝1e ，且x ＞e 时，有f (x )＞0，所以若f (x )＝m 有两个不相等的实根x 1，x 2，则有0＜m ＜1e .不妨设x 1＜x 2，则有0＜x 1＜e ＜x 2，要证x 1x 2＞e 2，只需证x 2＞e 2x 1，且x 2＞e2x 1＞e ，又f (x 1)＝f (x 2)，所以只需证f (x 1)＜F (x )＝f (x )－＜x ＜e)，则有F ′(x )＝(1－ln x 当0＜x ＜e 时，1－ln x ＞0，1x 21e2＞0，所以有F ′(x )＞0，即F (x )在(0，e)上单调递增，且F (e)＝0，所以F (x )＜0恒成立，即f (x 1)＜f (x 2)＜x 1x 2＞e 2.对于C ，由B 可知，f (x )在(0，e)上单调递增，则有f (2)＜f (e)，即ln 22＜ln ee，则有ln 2＜2e＜2e，故C 不正确.对于D ，令2x ＝3y ＝m ，x ，y 均为正数，则m ＞1，解得x ＝log 2m ＝ln mln 2，y ＝log 3m＝ln m ln 3，2x －3y ＝2ln m ln 2－3ln m ln 3＝(ln m f (2)－f (3)＝ln 22－ln 33＝3ln 2－2ln 36＝ln 8－ln 96＝ln896＜0，则有f (2)＜f (3)，即0＜ln 22＜ln 33，即2ln 2＞3ln 3，所以2x －3y ＞0，故D 正确.故选AD.]13.(－∞，－6)∪(2，＋∞)[f ′(x )＝x 2－ax ＋3－a ，要使f (x )有三个不同的单调区间，则f ′(x )＝0有两个不同的实数根，故Δ＝(－a )2－4(3－a )＞0，即a ∈(－∞，－6)∪(2，＋∞).]∞，ln 2－214[g ′(x )＝1x －2＝1－2x x≤0，x ∈12，2，∴g (x )在12，2上单调递减，∴g (x )min ＝g (2)＝ln 2－4.∵f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，∴f (x )在12，2上单调递增，∴f (x )min ＝＝54＋a .∵存在x 1∈12，2，使得对任意的x 2∈12，2，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，∴54＋a ≤ln2－4，∴a ≤ln 2－214.]15.γ＜α＜β[由题意知①g ′(x )＝12，所以12α＝12，则α＝1.②h ′(x )＝1x ，由ln 2x ＝1x ，得ln 2β＝1β，在(0，＋∞)上h (x )为增函数，h ′(x )＝1x 为减函数，h ′(1)＝1＞h (1)＝ln 2，若0＜β＜1，则h ′(β)＞h ′(1)＞h (1)＞h (β)，故与h ′(β)＝h (β)矛盾，所以β＞1.③φ′(x )＝cos x ，由cos x ＝sin x 得cos γ＝sin γ，则tan γ＝1，又γ∈(0，π)，∴γ＝π4＜1，∴γ＜α＜β.]16.①②③[设F (x )＝e x f (x )，则F ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]＜0，由此可得F (x )单调递减，所以e x 1f (x 1)＞e x 2f (x 2)，即f (x 1)＞e x 2－x 1f (x 2)，故①正确；因为f(x)＞0，f(x)＋f′(x)＜0，所以f′(x)＜0，所以f(x)单调递减，所以f(x2)＜f(x1)＜x2x1f(x1)，所以x1f(x2)＜x2f(x1)，故②正确；对于③，由①分析可知f(x1)＞e x2－x1f(x2)，欲使x1f(x1)＞x2f(x2)，且x1x2＝1，即f(x1)＞x22f(x2)成立，只需满足e x2－1x2＞x22即可，即证x2－1x2＞2ln x2(x2＞1)，设m(x)＝x－1x－2ln x，则m′(x)＝1＋1x2－2x＝（x－1）2x2＞0，则m(x)单调递增，所以m(x2)＞m(1)＝0，故③正确；对于④，假设f(x2)＞(1－x1)f(x1)成立，因为e x1f(x1)＞e x2f(x2)，所以e x1－1x1f(x1)＞f(x2)，所以e x1－1x1＞1－x1，取x1＝12，则e－32＞12，所以e32＜2不成立，故④不正确.故答案为①②③.]17.解(1)f′(x)＝3ax2－b，（2）＝12a－b＝0，2）＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13，b＝4.故所求函数的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增283单调递减－43单调递增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283，当x＝2时，f(x)有极小值－4 3，所以函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象大致如图所示.若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－4 3＜k＜28 3 .综上，实数k －4 3，18.解(1)当a＝2时，f(x)（x＋1）e x，x≤0，2－2x＋12，x＞0.当x≤0时，f′(x)＝2(x＋2)e x，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0]上单调递增，此时f(x)的最小值为f(－2)＝－2 e2；当x＞0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时f(x)的最小值为f(1)＝－1 2 .因为－2e2＞－12，所以f(x)的最小值为－12.(2)显然a≠0.因为当x≤0时，f(x)有且只有一个零点－1，所以原命题等价于f(x)在(0，＋∞)上有两个零点.2－2＞0，＞0，解得a＞2，故实数a的取值范围是(2，＋∞).19.解(1)f′(x)＝e x－a，①当a≤0时，f′(x)＝e x－a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.②当a＞0时，由f′(x)＝e x－a＞0，得x＞ln a；由f′(x)＝e x－a＜0，得x＜ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.(2)①当a＝0时，因为x≥0，所以f(x)＝e x＋2≥3恒成立，所以a＝0符合题意；②当a＜0时，由(1)知f(x)min＝f(a)＜f(0)＝a＋3＜3，不符合题意；③当a＞0时，由(1)知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增.下面先证明：a＞ln a(a＞0).设g(x)＝x－ln x，因为g′(x)＝1－1x＝x－1x，所以当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1＞0，因此a＞ln a.所以f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝e a－a2＋a＋2.令h(x)＝e x－x2＋x＋2，则h′(x)＝e x－2x＋1.令u(x)＝e x－2x＋1(x＞0)，则u′(x)＝e x－2.由u′(x)＞0，得x＞ln2；由u′(x)＜0，得0＜x＜ln2.所以u(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，所以u(x)≥u(ln2)＝3－2ln2＞0，即当x＞0时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＞0时，h(x)＞h(0)＝3，所以f(x)min＞3，所以f(x)≥3恒成立，故a＞0符合题意.综上，实数a的取值范围是[0，＋∞).20.(1)解当b＝2时，f(x)＝(x－2)e x－a2(x－1)2，则f′(x)＝(x－1)e x－a(x－1)＝(x－1)(e x－a)，因为a＞0，所以分类讨论：①当ln a＜1，即0＜a＜e时，由f′(x)＜0得ln a＜x＜1，由f′(x)＞0得x＞1或x＜ln a，此时f(x)在(－∞，ln a)，(1，＋∞)上单调递增，在(ln a，1)上单调递减；②当ln a＞1，即a＞e时，由f′(x)＜0得1＜x＜ln a，由f′(x)＞0得x＜1或x＞ln a，此时f(x)在(－∞，1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(1，ln a)上单调递减；③当ln a＝1，即a＝e时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在R上单调递增.综上，当0＜a＜e时，f(x)在(ln a，1)上单调递减，在(－∞，ln a)，(1，＋∞)上单调递增；当a＞e时，f(x)在(1，ln a)上单调递减，在(－∞，1)，(ln a，＋∞)上单调递增；当a＝e时，f(x)在R上单调递增.(2)证明f′(x)＝(x－b＋1)(e x－a)，由f(x)在R上单调递增，知(x－b＋1)(e x－a)≥0恒成立，易知y＝x－b＋1，y＝e x－a在R上均单调递增，要使(x－b＋1)(e x－a)≥0恒成立，则y＝x－b＋1与y＝e x－a的零点相等，即b －1＝ln a，即b＝ln a＋1，故要证e a－1≥b，只需证ln a＋1≤e a－1.设g(a)＝e a－1－ln a－1，则g′(a)＝e a－1－1 a，易知g′(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g′(1)＝0，故由g′(a)＜0，得0＜a＜1，由g′(a)＞0，得a＞1，所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(a)≥g(1)＝0，即ln a＋1≤e a－1，原不等式得证.21.解(1)f′(x)＝－2x2＋a 2＋ax＝（ax＋2）（ax－1）x2(0＜x＜10).∵a ＞0，0＜x ＜10，∴ax ＋2＞0.①当1a≥10，即a ，110时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，10)上单调递减；②当0＜1a ＜10，即a当x f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0，∴f (x ).综上所述，当a ，110时，f (x )在(0，10)上单调递减；当a f (x ).(2)∵x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍)，此时f (x )＝2x ＋x ＋ln x ，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＋1.∴l 1方程为y x 1＋ln x－2x 21＋1x 1＋x －x 1)，令x ＝0，得b 1＝4x 1＋ln x 1－1同理可得b 2＝4x 2＋ln x 2－1.∵l 1∥l 2，∴－2x 21＋1x 1＋1＝－2x 22＋1x 2＋1，整理得x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴x 2＝2x 1x 1－2，又0＜x 1＜x 2＜10，则x 1＜2x 1x 1－2＜10，解得52＜x1＜4，∴b1－b2＝4x2－4x1x1x2＋lnx1x2＝2（x2－x1）x1＋x2＋lnx1x2＝1＋x1x2lnx1x2.令x1x2＝t，则t＝x1·x1－22x1＝x12－1设g(t)＝2（1－t）1＋t＋ln t，∴g′(t)＝－4（1＋t）2＋1t＝（t－1）2t（t＋1）2＞0，∴g(t)又g(1)＝0，＝65－ln4，∴g(t)ln4，即b1－b2ln4，22.解(1)当a＝2e时，不等式f(x)≥mx－m即x e x－2eln x－e≥mx－m.令F(x)＝x e x－2eln x－e－m(x－1)，x∈[1，＋∞)，则F′(x)＝(x＋1)e x－2ex－m，F′(x)在[1，＋∞)上单调递增，F′(1)＝－m，当m≤0时，F′(1)≥0，F′(x)≥F′(1)≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以F(x)≥F(1)＝0.当m＞0时，F′(1)＜0，当x→＋∞时，F′(x)→＋∞，所以存在x1∈(1，＋∞)，使得F′(x1)＝0，当x∈(1，x1)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减，F(x)＜F(1)＝0，不符合题意.综上，实数m的取值范围是(－∞，0].(2)f(x)＝x e x－a ln x－e(a∈R)，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝(x＋1)e x－ax，a＞0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f′(x)→－∞，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，所以存在唯一的正数x0∈(0，＋∞)，使得f′(x0)＝0，可得a＝x0(x0＋1)e x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(x0)＝x0e x0－a ln x0－e＝x0e x0－x0(x0＋1)e x0ln x0－e.令h(x)＝x e x－x(x＋1)e x ln x－e，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝(x＋1)e x－e x[(x2＋3x＋1)ln x＋x＋1]＝－e x(x2＋3x＋1)ln x，易知h′(1)＝0，且当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝0，即g(a)的最大值为0，此时x0＝1，a＝2e.。
高考数学一轮复习单元检测四导数及其应用单元检测含解析
单元检测四 导数及其应用(时间：12019 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x2′＝1＋1x3B．(log 3x )′＝1x lg3C ．(3x )′＝3x·ln3 D ．(x 2sin x )′＝2x cos x答案 C解析 由求导法则可知C 正确．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2f ′(a )，且f (1)＝－1，则实数a 的值为( ) A ．－12或1B.12 C ．1 D ．2答案 C解析 令x ＝1，则f (1)＝ln1＋f ′(a )＝－1， 可得f ′(a )＝－1.令x ＝a >0，则f ′(a )＝1a＋2af ′(a )，即2a 2－a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－12(舍去)．3．若函数f (x )＝x e x的图象的切线的倾斜角大于π2，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，1)答案 B解析 f ′(x )＝e x＋x e x＝(x ＋1)e x， 又切线的倾斜角大于π2，所以f ′(x )<0，即(x ＋1)e x<0，解得x <－1.4．函数f (x )＝e|x |3x的部分图象大致为( )答案 C解析 由题意得f (x )为奇函数，排除B ； 又f (1)＝e3<1，排除A ；当x >0时，f (x )＝ex3x，所以f ′(x )＝(x －1)ex 3x 2，函数f (x )在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增，排除D.5．若函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18 D ．(－2，＋∞)答案 D解析 对f (x )求导得f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x，由题意可得2ax 2＋1>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2内有解，所以a >⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2min . 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以a >－2.6.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )①f (b )>f (a )>f (c )；②函数f (x )在x ＝c 处取得极小值，在x ＝e 处取得极大值； ③函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值； ④函数f (x )的最小值为f (d )．A ．③B．①②C．③④D．④ 答案 A解析 由导函数的图象可知函数f (x )在区间(－∞，c )，(e ，＋∞)内，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在区间(－∞，c )，(e ，＋∞)内单调递增，在区间(c ，e )内，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在区间(c ，e )内单调递减． 所以f (c )>f (a )，所以①错；函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值，故②错，③对； 函数f (x )没有最小值，故④错．7．已知函数f (x )＝(x 2－mx －m )e x＋2m (m ∈R )在x ＝0处取得极小值，则f (x )的极大值是( )A ．4e －2B ．4e 2C ．e －2D ．e 2 答案 A解析 由题意知，f ′(x )＝[x 2＋(2－m )x －2m ]e x，f ′(0)＝－2m ＝0，解得m ＝0，∴f (x )＝x 2e x，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x. 令f ′(x )>0，解得x <－2或x >0， 令f ′(x )<0，解得－2<x <0，则函数f (x )在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2,0)上单调递减， ∴函数f (x )的极大值为f (－2)＝4e －2.故选A.8．设函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ln x ，x 2e x (min{a ，b }表示a ，b 中的较小者)，则函数f (x )的最大值为( )A.32ln2B ．2ln2C.1e D.4e 2 答案 D解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 由y 1＝x ln x 得y 1′＝ln x ＋1， 令y 1′＝0，解得x ＝1e，∴y 1＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． 由y 2＝x 2e x ，x >0得y 2′＝2x －x2e x ，令y 2′＝0，x >0，解得x ＝2，∴y 2＝x 2ex 在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，作出示意图如图，当x ＝2时，y 1＝2ln2，y 2＝4e2.∵2ln2>4e 2，∴y 1＝x ln x 与y 2＝x2e x 的交点在(1,2)内，∴函数f (x )的最大值为4e2.9．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x>0，则对于任意的a ，b ∈ (0，＋∞)，当a >b 时，有( ) A ．af (a )<bf (b ) B ．af (a )>bf (b ) C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )<bf (a )答案 B解析 由f ′(x )＋f (x )x >0，得xf ′(x )＋f (x )x>0， 即[xf (x )]′x>0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.10．(2018·温州“十五校联合体”联考)已知函数f (x )＝2x －e 2x(e 为自然对数的底数)，g (x )＝mx ＋1(m ∈R )，若对于任意的x 1∈[－1,1]，总存在x 0∈[－1,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，1－e 2]∪[e 2－1，＋∞) B ．[1－e 2，e 2－1]C ．(－∞，e －2－1]∪[1－e －2，＋∞) D ．[e －2－1,1－e －2] 答案 A解析 ∵f ′(x )＝2－2e 2x，∴f (x )在区间[－1,0]上为增函数，在区间[0,1]上为减函数， ∵f (－1)－f (1)＝(－2－e －2)－(2－e 2)＝e 2－e －2－4>0， ∴f (－1)>f (1)，又f (0)＝－1，则函数f (x )在区间[－1,1]上的值域为A ＝[2－e 2，－1]．当m >0时，函数g (x )在区间[－1,1]上的值域为B ＝[－m ＋1，m ＋1]．依题意有A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≤2－e 2，m ＋1≥－1，得m ≥e 2－1.当m ＝0时，函数g (x )在区间[－1,1]上的值域为B ＝{1}，不符合题意． 当m <0时，函数g (x )在区间[－1,1]上的值域为B ＝[m ＋1，－m ＋1]．依题意有A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2－e 2，－m ＋1≥－1，得m ≤1－e 2.综上，实数m 的取值范围为(－∞，1－e 2]∪[e 2－1，＋∞)．第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知直线y ＝kx 与函数f (x )＝e x(其中e 为自然对数的底数)的图象相切，则实数k 的值为________；切点坐标为________． 答案 e (1，e)解析 设切点坐标为(x ，y )，需满足⎩⎪⎨⎪⎧e x＝ye x＝ky x ＝k ，所以解得x ＝1，y ＝e ，k ＝e ， 所以k ＝e ，切点坐标为(1，e)．12．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________________；函数f (x )＝x ln x 的最小值为________． 答案 x －y －1＝0 －1e解析 由题意得f ′(x )＝1＋ln x ， 所以f ′(1)＝1，则所求切线方程为x －y －1＝0. 由f ′(x )＝1＋ln x <0得0<x <1e ；由f ′(x )＝1＋ln x >0得x >1e，所以函数f (x )＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 所以函数f (x )＝x ln x 在x ＝1e 处取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e ln 1e＝－1e .13．(2018·宁波九校期末)函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －e －x是________函数(填“奇”或“偶”)，在R 上的增减性为________．(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”) 答案 奇 单调递增解析 ∵函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －e －x， ∴它的定义域为R ，且满足f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x－e x＝－f (x )， 故函数f (x )为奇函数．由于函数的导数f ′(x )＝3x 2－2＋(e x ＋e －x )≥3x 2－2＋2＝3x 2≥0， 故函数在R 上单调递增．14．(2018·诸暨检测)已知函数f (x )＝x 3－3x ，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程是________；函数f (x )在[0,2]内的值域是________． 答案 y ＝－3x [－2,2] 解析 ∵f (x )＝x 3－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2－3，又∵f (0)＝0，f ′(0)＝－3，∴函数f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝－3x . 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表.↗∴在[0,1]上，f (x )是减函数，其最小值为f (1)＝－2，最大值为f (0)＝0；在[1,2]上，f (x )是增函数，其最小值为f (1)＝－2，最大值为f (2)＝2.综上，在[0,2]上，f (x )的值域为[－2,2]．15．已知函数f (x )＝ln x 2＋12，g (x )＝e x －2，若g (m )＝f (n )成立，则n －m 的最小值为________．答案 ln2解析 令f (n )＝g (m )＝k (k >0)， 则由ln n 2＋12＝k ，解得n ＝2eke ，由em －2＝k ，解得m ＝ln k ＋2， 则n －m ＝2e ke－ln k －2， 令h (k )＝2eke－ln k －2，则h ′(k )＝2eke－1k，由h ′(k )＝0得k ＝12，且当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(k )<0，h (k )单调递减，当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(k )>0，h (k )单调递增，则h (k )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln2，即n －m 的最小值是ln2.16．设实数λ>0，若对任意的x ∈(0，＋∞)，不等式e λx－ln x λ≥0恒成立，则λ的最小值为________． 答案 1e解析 当x ∈(0,1]时，λ>0，不等式e λx－ln x λ≥0显然成立，λ可取任意正实数；当x ∈(1，＋∞)时，e λx －ln x λ≥0⇔λe λx ≥ln x ⇔λx ·e λx ≥ln x ·e ln x，设函数f (x )＝x ·e x(x >0)，而f ′(x )＝(x ＋1)·e x>0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，那么由λx ·e λx ≥ln x ·e ln x可得λx ≥ln x ⇔λ≥ln x x.令g (x )＝ln xx(x >1)，而g ′(x )＝1－ln xx2， 易知函数g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 那么g (x )max ＝g (e)＝1e ，则有λ≥1e .综上分析可知，λ的最小值为1e.17．对于定义在R 上的函数f (x )，若存在非零实数x 0，使函数f (x )在(－∞，x 0)和(x 0，＋∞)上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“折点”．现给出下列四个函数： ①f (x )＝3|x －1|＋2；②f (x )＝lg|x ＋2019|； ③f (x )＝x 33－x －1；④f (x )＝x 2＋2mx －1(m ∈R )．则存在“折点”的函数是________．(填序号) 答案 ②④ 解析 因为f (x )＝3|x －1|＋2>2，所以函数f (x )不存在零点， 所以函数f (x )不存在“折点”；对于函数f (x )＝lg|x ＋2019|，取x 0＝－2019， 则函数f (x )在(－∞，－2019)上有零点x ＝－2020， 在(－2019，＋∞)上有零点x ＝－2018，所以x 0＝－2019是函数f (x )＝lg|x ＋2019|的一个“折点”； 对于函数f (x )＝x 33－x －1，则f ′(x )＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )>0，得x >1或x <－1； 令f ′(x )<0，得－1<x <1，所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减． 又f (－1)＝－13<0，所以函数f (x )只有一个零点，所以函数f (x )＝x 33－x －1不存在“折点”；对于函数f (x )＝x 2＋2mx －1＝(x ＋m )2－m 2－1， 由于f (－m )＝－m 2－1≤－1，结合图象(图略)可知该函数一定有“折点”． 综上，存在“折点”的函数是②④.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知函数f (x )＝e x＋ln x .(1)求函数y ＝f ′(x )在区间[1，＋∞)内的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，恒有f (x )≥e＋m (x －1)，求实数m 的取值范围． 解 (1)令y ＝h (x )＝f ′(x )＝e x＋1x，则h ′(x )＝e x－1x2，则当x ∈[1，＋∞)时，e x≥e，1x2≤1，所以h ′(x )>0，即h (x )在区间[1，＋∞)内是增函数， 于是y ＝f ′(x )在区间[1，＋∞)内的最小值为h (1)＝e ＋1.(2)令g (x )＝f (x )－e －m (x －1)，则g (x )≥0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 且发现g (1)＝0，g ′(x )＝1x＋e x－m .由(1)知当m ≤e＋1时，g ′(x )≥0，此时g (x )单调递增，于是g (x )≥g (1)＝0，成立； 当m >e ＋1时，则存在t ∈(1，＋∞)，使得g ′(t )＝0， 当x ∈(1，t )时，g ′(x )<0，当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>0， 此时g (x )min ＝g (t )<g (1)＝0，矛盾．综上得m ≤e＋1，即实数m 的取值范围为(－∞，e ＋1]． 19．(15分)已知函数f (x )＝2x ＋2x＋a ln x ，a ∈R .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)记函数g (x )＝x 2[f ′(x )＋2x －2]，若g (x )的最小值是－6，求函数f (x )的解析式． 解 (1)由题意知f ′(x )＝2－2x 2＋ax≥0在区间[1，＋∞)内恒成立，所以a ≥2x－2x 在区间[1，＋∞)内恒成立．令h (x )＝2x－2x ，x ∈[1，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x2－2<0恒成立，所以h (x )在区间[1，＋∞)内单调递减， 所以h (x )max ＝h (1)＝0，所以a ≥0， 即实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)g (x )＝2x 3＋ax －2，x >0.因为g ′(x )＝6x 2＋a ，当a ≥0时，g ′(x )>0恒成立，所以g (x )在区间(0，＋∞)内单调递增，无最小值，不合题意，所以a <0. 令g ′(x )＝0，则x ＝－a6或x ＝－－a6(舍去)， 由此可得函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 6内单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞内单调递增， 则x ＝－a6是函数g (x )的极小值点，也是最小值点， 所以g (x )min ＝g (x )极小值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 6＝－6， 解得a ＝－6，所以f (x )＝2x ＋2x－6ln x .20．(15分)(2019·舟山模拟)已知函数f (x )＝ln x －x ，g (x )＝ax 2＋2x (a <0)．(1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的极值点． 解 (1)依题意，f ′(x )＝1x－1，令1x－1＝0，解得x ＝1.因为f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e ，f (e)＝1－e ， 且1－e<－1－1e<－1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为－1，最小值为1－e. (2)依题意，h (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax 2＋x (x >0)， h ′(x )＝1x ＋2ax ＋1＝2ax 2＋x ＋1x，当a <0时，令h ′(x )＝0，则2ax 2＋x ＋1＝0. 因为Δ＝1－8a >0，所以h ′(x )＝2ax 2＋x ＋1x ＝2a (x －x 1)(x －x 2)x， 其中x 1＝－1－1－8a 4a ，x 2＝－1＋1－8a 4a. 因为a <0，所以x 1<0，x 2>0，所以当0<x <x 2时，h ′(x )>0；当x >x 2时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在区间(0，x 2)内是增函数，在区间(x 2，＋∞)内是减函数，故x 2＝－1＋1－8a 4a为函数h (x )的极大值点，无极小值点． 21．(15分)已知函数f (x )＝5＋ln x ，g (x )＝kx x ＋1(k ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数y ＝g (x )的图象相切，求k 的值；(2)若k ∈N *，且x ∈(1，＋∞)时，恒有f (x )>g (x )，求k 的最大值．(参考数据：ln5≈1.6094，ln6≈1.7918，ln(2＋1)≈0.8814)解 (1)∵f (x )＝5＋ln x ，∴f (1)＝5，且f ′(x )＝1x， 从而得到f ′(1)＝1.∴函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －5＝x －1，即y ＝x ＋4.设直线y ＝x ＋4与g (x )＝kxx ＋1(k ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0＋4，又g ′(x )＝k(x ＋1)2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k (x 0＋1)2＝1，kx 0x 0＋1＝x 0＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，k ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2，k ＝1.∴k 的值为1或9.(2)由题意知，当x ∈(1，＋∞)时，5＋ln x >kx 1＋x恒成立， 等价于当x ∈(1，＋∞)时，k <(x ＋1)(5＋ln x )x恒成立． 设h (x )＝(x ＋1)(5＋ln x )x(x >1)， 则h ′(x )＝x －4－ln x x 2(x >1)，记p (x )＝x －4－ln x (x >1)，则p ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0， ∴p (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增．又p (5)＝1－ln5<0，p (6)＝2－ln6>0，∴在x ∈(1，＋∞)上存在唯一的实数m ，且m ∈(5,6)，使得p (m )＝m －4－ln m ＝0，①∴当x ∈(1，m )时，p (x )<0，即h ′(x )<0，则h (x )在x ∈(1，m )上单调递减，当x ∈(m ，＋∞)时，p (x )>0，即h ′(x )>0，则h (x )在x ∈(m ，＋∞)上单调递增，∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )min ＝h (m )＝(m ＋1)(5＋ln m )m， 由①可得ln m ＝m －4，∴h (m )＝(m ＋1)(m ＋1)m ＝m ＋1m＋2， 而m ∈(5,6)，∴m ＋1m ＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫365，496， 又当m ＝3＋22时，h (m )＝8，p (3＋22)＝22－1－ln(3＋22)>0，∴m ∈(5,3＋22)，∴h (m )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫365，8. 又k ∈N *，∴k 的最大值是7.22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －m e x 的图象在点(1，f (1))处的切线与直线l ：x ＋(1－e)y ＝0垂直，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数m 的值及函数f (x )在区间[1，＋∞)内的最大值．(2)①求证：函数f (x )有且仅有一个极值点．②求证：f (x )<x 2－2x －1.(1)解 由题意得f ′(x )＝1x－m e x ， 直线l ：x ＋(1－e)y ＝0的斜率为－11－e， 故函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为1－e ，即f ′(1)＝1－m e ＝1－e ，所以m ＝1.当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )＝1x－e x 单调递减，即f ′(x )≤f ′(1)＝1－e<0，所以f (x )在区间[1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝ln1－e ＝－e.(2)证明 ①f ′(x )＝1x－e x ，令h (x )＝f ′(x )， 则h ′(x )＝－1x 2－e x <0在(0，＋∞)上恒成立， 即有h (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－12e >0，h (1)＝1－e<0， 所以h (x )＝0在区间(0，＋∞)内有且仅有一个实根， 设此实根为x 0，则x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0，故f (x )单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )<0，故f (x )单调递减， 所以函数f (x )在x ＝x 0处取得唯一的极大值， 即函数f (x )有且仅有一个极值点．②由①知f ′(x )＝1x－e x 在区间(0，＋∞)内为减函数， 又f ′(1)＝1－e<0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－e>0， 因此存在实数x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1满足方程f ′(x )＝1x －e x ＝0， 此时f (x )在区间(0，x 0)内为增函数，在区间(x 0，＋∞)内为减函数，且f ′(x 0)＝1x 0－0e x ＝0， 由此得到1x 0＝0e x ，x 0＝－ln x 0. 由单调性知f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－0e x＝－x 0－1x 0＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0， 又x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故－⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0<－2， 所以f (x )max <－2.又x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，所以f (x )<x 2－2x －1.。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。
高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题试题附解析
高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题试题附解析一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增，∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.3．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥．故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．4．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ）A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．()f x 存在唯一极小值点0xC ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．5．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．7．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A．函数在x e=处取得极大值12eB．函数的值域为1,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．()f x有两个不同的零点D．(2)()(3)f f fπ<<【答案】ABD【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD选项.【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln212ln()x x x xxf xx x⋅-⋅-'==，令()0f x'=，解得：x e=x()0,e e(),e+∞()'f x+0-()f x极大值所以当x e=时，函数有极大值()2f ee=，故A正确；对于BCD，令()0f x=，得ln0x=，即1x=，当x→+∞时，ln0x>，20x>，则()0f x>作出函数()f x的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数()f x在),e+∞32eπ<<<，则(2)3)f f fπ<<，故D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。
2023届高考数学一轮复习作业导数及其应用新人教B版
导数及其应用一、选择题1．(2021·莆田市高三二模)已知集合A＝{x|log3(x－3)≤1}，B＝{x∈Z|x2－9≥0}，则A∩B＝( )A.(－∞，－3]∪(3,6] B．(3,6]C.{3,4,5,6} D．{4,5,6},D [由log3(x－3)≤1，可得解得3<x≤6，即A＝{x|3<x≤6}，又由B＝{x∈Z|x2－9≥0}＝{x∈Z|x≤－3或x≥3}，可得A∩B＝{x∈Z|3<x≤6}＝{4,5,6}．]2．(2021·江西赣州市高三三模)已知函数g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，当x>0时，函数f(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，则g(－1)＝( ) A．－5 B．－3 C．－1 D．1B [因为x>0时，f(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，所以x>0时，f(x)＝2x，所以x>0时，g(x)＝2x＋x2，又因为g(x)是奇函数，所以g(－1)＝－g(1)＝－(2＋1)＝－3，故选B．]3．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x－2y的最小值为( )A．1 B．－2 C．－5 D．－7C [画出可行域如图所示，向上平移基准直线x－2y＝0到可行域边界A(3,4)的位置，由此求得目标函数的最小值为z＝3－2×4＝－5，故选C．]4．若曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是y＝e x＋b的切线，则b＝( )A．－1 B．－2 C．2 D．－eB [由y＝ln x得y′＝，故y′|x＝1＝1，切点坐标为A(1,0)，故切线方程为y＝x－1．设y＝e x＋b的切点为B(m，e m＋b)，∵y′＝e x，∴e m＝1，所以m＝0，将m＝0代入切线方程得B(0，－1)，将B(0，－1)代入y＝e x＋b得：－1＝e0＋b，得b＝－2，故选B．]5．已知函数f(x)＝－ax在(1，＋∞)上有极值，则实数a的取值范围为( )A． B．C． D．B [f′(x)＝－a，设g(x)＝＝－，∵函数f(x)在区间(1，＋∞)上有极值，∴f′(x)＝g(x)－a在(1，＋∞)上有变号零点，令＝t，由x＞1可得ln x＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－＋≤，又a＝时，f(x)为减函数，无极值，∴a＜，故选B．]6．若0＜x1＜x2＜1，则( )A．e－e＞ln x2－ln x1B．e－e＜ln x2－ln x1C．x2e＞x1e D．x2e＜x1eC [设f(x)＝e x－ln x，则f′(x)＝e x－，由f′＝－2＜0，f′(1)＝e－1＞0知f(x)在x∈(0,1)时不是单调函数，故排除A、B．设g(x)＝x e x，则g′(x)＝e x(x＋1)，当x＞0时，g′(x)＞0，即g(x)在(0，＋∞)上是增函数，则x2e＞x1e，故排除D．设m(x)＝，则m′(x)＝，当x∈(0,1)时，m′(x)＜0，即m(x)在(0,1)上是减函数，则＞，即x2e＞x1e，故选C．]7．(2021·天津耀华中学高三一模)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．b>c>aC [由2f(2)＝f(16)可得2·2α＝24α，∴1＋α＝4α，∴α＝，即f(x)＝x．由此可知函数f(x)在R上单调递增．而由换底公式可得log42＝＝，ln 2＝，5－＝，∵1<log2e<2，∴<，于是log42<ln 2，又∵<，∴5<log42，故a，b，c的大小关系是b>a>c．]8．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝e x的两条切线，则( )A．e b＜a B．e a＜bC．0＜a＜e b D．0＜b＜e aD [法一(数形结合法)：设切点(x0，y0)，y0＞0，则切线方程为y－b＝e (x－a)，由得e(1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程e (1－x0＋a)＝b有两个不同的解．设f(x)＝e x(1－x＋a)，则f′(x)＝e x(1－x＋a)－e x＝－e x(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以当x＜a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max ＝f(a)＝e a(1－a＋a)＝e a，当x＜a时，a－x＞0，所以f(x)＞0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝e x(1－x＋a)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜e a．故选D．法二(用图估算法)：过点(a，b)可以作曲线y＝e x的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝e x的下方且在x轴的上方，得0＜b＜e a．故选D．]二、填空题9．若直线y＝kx与曲线y＝x＋e－x相切，则k＝________．1－e [设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋e．因为y′＝(x＋e－x)′＝1－e－x，所以切线的斜率k＝1－e，又点(x0，y0)在直线y＝kx上，所以y0＝kx0，所以x0＋e＝(1－e)x0，解得x0＝－1，所以k＝1－e．]10．若函数f(x)＝(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a＋log＝________．－1 [由f(1)＝0，知a＞1，且＝1，解得a＝2．∴log2＋log＝log2－log2＝log2＝－1．]11．已知函数f(x)＝x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)有三个零点，则实数c的取值范围为________． [∵f(x)＝x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx．∵当x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1．∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．若f(x)＝0有3个实根，则解得0＜c＜．]12．已知函数f(x)的定义域是[－1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，x －10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．其中所有正确命题的序号是________．①②④ [由导函数的图象可知，当－1＜x＜0及2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数单调递增，当0＜x＜2及4＜x＜5时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＝0及x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5．又f(－1)＝f(5)＝1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①②正确；因为当x＝0及x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；因为极小值f(2)＝1.5，极大值f(0)＝f(4)＝2，所以当1＜a＜2时，y＝f(x)－a最多有4个零点，所以④正确，所以正确命题的序号为①②④．]三、解答题13．已知2x≤256，且log2x≥．(1)求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝(log2)×(log2x)的最大值和最小值．[解](1)由2x≤256得x≤8，log2x≥得x≥，所以≤x≤8．(2)由(1)≤x≤8得≤log2x≤3，f(x)＝(log2)×(log2x)＝×2(1＋log2x)＝log2x(1＋log2x)，所以f(x)＝log2x(1＋log2x)＝－，当log2x＝时，f(x)mi n＝．当log2x＝3时，f(x)max＝12．14．已知函数f(x)＝(m∈R)．(1)当m＝3时，判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)当m＞1时，判断并证明函数f(x)在R上的单调性．[解](1)当m＝3时，函数f(x)＝为奇函数．由题意知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当m＞1时，函数f(x)＝＝－1＋在R上为减函数．设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－1＋＋1－＝(m－1)，由m＞1，可得m－1＞0，由x1＜x2，可得2－2＞0，且(1＋2)(1＋2)＞0，即有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，可得当m＞1时，f(x)在R上为减函数．15．在“①函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为2a；②函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直；③函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线4x－y＝0平行”这三个条件中任选一个，补充在下面问题(1)中，求出实数a的值．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x．(1)若________，求实数a的值；(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．[解](1)若选①，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，由已知f′(2)＝2a，得＝2a，解得a＝4．若选②，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，直线x＋y＋1＝0的斜率为－，由题意得f′(1)＝2，得2＋2a＝2，解得a＝0．若选③，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，直线4x－y＝0的斜率为4，由题意得f′(1)＝4，得2＋2a＝4，解得a＝1．(2)对g(x)＝＋x2＋2a ln x求导，得g′(x)＝－＋2x＋．由函数g(x)在[1,2]上是减函数，可得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，即a≤－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝－x2，当x∈[1,2]时，h′(x)＝－－2x＝－＜0，由此知h(x)在[1,2]上为减函数，所以h(x)min＝h(2)＝－，故a≤－．于是实数a的取值范围为．16．(2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．[解](1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2a2x＋a－＝＝，则当x＞时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减．故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)由(1)知函数f(x)的最小值为f，要使y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，只需f(x)的最小值恒大于0，即f>0恒成立，故a2·＋a·－3ln＋1＞0，得a＞，所以a的取值范围为．。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题单元测试含答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题单元测试含答案一、导数及其应用多选题1．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．2．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B 对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为14327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++=B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.7．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．8．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．10．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1151x ⎫--∈-⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y xx=--和12xxye-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x，2x和3x，4x分别是11m xx=--和12xxme-=-的两个根，即y m=与11y xx=--和12xxye-=-交点的横坐标.对于函数11y xx=--，定义域为{}0x x≠，21'10yx=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x=时，1y=-；对于函数12xxye-=-，11'xxye--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y→+∞→-，0x=时，2y=-，1x=时，1y=-；故作出函数11y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。
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一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第四单元 导数及其应用注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．点P 在曲线:31C y x =+上移动，若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为，则α的取值范围是（ ）A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭UB ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭UC ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦UD ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),31(+∞B ．)31,(-∞C ．),31[+∞D ．]31,(-∞4．函数()ln xf x x=，若(4)a f =，(5.3)b f =，(6.2)c f =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．)1,0(B ．)1,(-∞C ．)0(∞+，D ．)21,0(6．若函数x m x x f ln 21)(2+-=在),1(+∞上递减，则m 的取值范围是（ ） A ．),1[+∞B ．),1(+∞C ．)1,(-∞D ．]1,(-∞7．函数2cos y x x =+在区间π[0,]2上的最大值是（ ） A ．π13+ B．π4C．π6+D ．π28．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则)2(f 的值为（ ） A ．11或18B ．17或18C ．11D ．189．已知函数x x x m x f ln 2)1()(--=，xm x g -=)(，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得)()(00x g x f <成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2(,]e-∞B ．2(,)e-∞C ．)0,(-∞D ．]0,(-∞10．设函数2lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a =（ ） A ．1±B ．1C ．0D11．设若函数e 3ax y x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3->aB ．3-<aC ．31->aD ．31-<a12．已知函数)(x f 满足)1()(x f x f =，当]3,1[∈x 时，x x f ln )(=，若在区间]3,31[内，曲线ax x f x g -=)()(与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)eB ．2(0,)eC ．ln 31[,)3eD ．ln32[,)3e二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．若函数x x x f ln 2)(2-=其定义域的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．14．抛物线24y x =与直线y x =所围成封闭图形的面积为________．15．函数b x a x a x x f +-+-=)3(231)(23有6个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是_________．16．已知定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足(1)e f =，且对于任意正实数x ，2()2()e x f x xf x '<+恒成立(e 为自然对数的底数)，则不等式2()e x f x x ≥的解集为___________． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）17．（10分）已知曲线()3:C f x x x =-． （1）试求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）试求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程．18．（12分）设函数2e ()xf x x ax a=++，其中a 为实数，当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间．19．（12分）某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：3432xp x =+*()x ∈N ；（1）将该厂的日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）为获得最大盈利，该厂的日产量应为多少件？20．(12分)设()2ln kf x kx x x=--，若过点(2,(2))f 的切线l 与直线420x y +-=垂直． （1）求切线l 的方程； （2）求函数4()()g x f x x=+的极值．21．(12分)已知函数21()(1)ln (1)2f x x ax a x a =-+->； （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：若5a <，则对任意的120x x >>，有1212()()1f x f x x x ->--．22．(12分）已知函数x a x a x f ln )1(1)(2+-+=． （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当1=a 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围；一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第四单元 导数及其应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>； 当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '＜． ∴当2x >-时，()0xf x '＜；当2x =-时，()0xf x '=； 当2x <-时，()0xf x '>．故选C ． 2．【答案】A【解析】y x ⎡'=∈⎣，即切线的斜率范围是⎡⎣，那么倾斜角的范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ，故选A ． 3．【答案】C【解析】若函数)(x f 是R 上的单调函数，则2()320f x x x m '=++≥恒成立，∴4120m ∆=-≤，∴31≥m ．故选C ． 4．【答案】B 【解析】∵()ln xf x x =，∴()2ln 1xx x f -='，当3≥x 时，()0<'x f 恒成立， 于是函数()xxx f ln =在[)+∞,3上单调递减，∴c b a <<，故选B ． 5．【答案】D【解析】∵3()63f x x bx b =-+，∴2()36f x x b '=-，又函数()f x 在(0,1)内有极小值，∴函数()f x '在(0,1)内有零点，由2()36f x x b '=-的图象可知应满足(0)0(1)0f f '<⎧⎨'>⎩，即60360b b -<⎧⎨->⎩，解得，102b <<，故选D ．6．【答案】D【解析】由题意知()0m f x x x'=-≤在),1(+∞上恒成立，即2x m ≤，∴1≤m ，故选D ． 7．【答案】C【解析】由π[0,]2x ∈，令'12sin 0y x =-=得，π6x =，而ππ()66f =+(0)2f =，ππ()22f =，∴最大值为ππ()66f =C ． 8．【答案】D【解析】∵223)(a bx ax x x f +++=，∴2()32f x x ax b '=++，由题意得2'(1)110(1)320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)f x x x x '=-+=-，1=x 不是极值点，舍去； 当411a b =⎧⎨=-⎩时，211()38113(1)()3f x x x x x '=+-=-+，1=x 是极值点；这时16114)(23+-+=x x x x f ，18)2(=f ，故选D ． 9．【答案】B【解析】由题意，不等式)()(x g x f <在[1,e]有解，∴x mx ln 2<，即xxm ln 2<在[1,e]有解，令xx x h ln )(=，则21ln ()xh x x -'=，当1e x ≤≤时，()0h x '≥，)(x h 递增， max 1()(e)e h x h ==，∴12e m <，∴2em <，故选B ．10．【答案】B【解析】∵(1)lg10f ==，∴2330((1))(0)031aaf f f t dt t a ==+===⎰，∴1a =，故选B ．11．【答案】B【解析】∵e 3ax y a '=+，∴3e ax a =-，设0x x =为大于0的极值点，∴03e ax a=-，∴0<a ，∴00<ax ，∴00e 1ax <<，即130<-<a，∴3-<a ．故选B ． 12．【答案】C【解析】当]1,31[∈x 时，1[1,3]x ∈，∴x x f x f ln )1()(-==，∴ln ,[1,3]()1ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，作出图象，如图所示，设直线x a y 0=与x y ln =(]3,1[∈x )的图象相切，其切点为),(00y x ，则001a x =，10=y ，01e a =．又点)3ln ,3(与原点连线的斜率为33ln ，故曲线ax x f x g -=)()(与x 轴有三个不同的交点，可知实数a 的取值范围是ln 31[,)3e，故选C ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】231<≤k 【解析】函数x x x f ln 2)(2-=区间)1,1(+-k k 内不是单调函数， 即1()4f x x x '=-在区间(1,1)k k -+内存在零点12， 所以实数k 满足1012112k k ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩解得231<≤k ．14．【答案】38【解析】联立24y x y x⎧=⎨=⎩得，抛物线24y x =与直线y x =交点坐标为(0,0),(4,4)，∴334242220041418)()4432323S x dx x x ==-=⨯-⨯=⎰．15．【答案】)3,2(【解析】易知函数)(x f 为偶函数，若函数)(x f 有6个不同的单调区间，则只需)(x f 在),0(+∞上存在3个单调区间，即0>x 时，2()(3)0f x x ax a '=-+-=存在两个不等的正根，所以212124(3)0030a a x x a x x a ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪=->⎩，解得32<<a ． 16．【答案】{}10≤<x x【解析】令2()()e xf xg x x =-，则22222()e 2e ()()2()()110e e x x xxf x x f x f x xf xg x ''--'=-=-<，∴函数2()()e xf xg x x =-为),0(+∞上的减函数．不等式2()e x f x x ≥即0)(≥x g ．∵0)1(=g ，∴()()(1)e xf xg x x g =-≥，∴10≤<x ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）17．【答案】（1）220x y --=；（2）50x y --或50x y -+=． 【解析】（1）∵()3f x x x =-，∴()10f =，求导数得()231f x x '=-， ∴切线的斜率为()12k f '==，∴所求切线方程为()21y x =-，即220x y --=．（2）设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ，则切线的斜率为()20031k f x x '==-．又∵所求切线与直线53y x =+平行，∴20315x -=，解得0x =()3f x x x =-得切点为或(，∴所求切线方程为(5y x =或(5y x ，即50x y --=或50x y -+=． 18．【答案】见解析．【解析】∵()f x 的定义域为R ，∴20x ax a ++≠恒成立， ∴240a a ∆=-<，解得04a <<；∵2e ()x f x x ax a =++，∴22(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++， 令22(2)e ()0()xx x a f x x ax a +-'==++，则0x =或2x a =-； 当02a <<时，由()0f x '<得，02x a <<-；当2a =时，222e ()0(22)xx f x x x '=≥++；当24a <<时，由()0f x '<得，20a x -<<；综上知，当02a <<时，()f x 的单调减区间为(0,2)a -； 当2a =时，()f x 无单调减区间；当24a <<时，()f x 的单调减区间(2,0)a -．19．【答案】（1）T =225(64),8x x x x +--∈+N ；（2）16件．【解析】（1）由题设得，33(100)(1)200432432x xT x x x x =⨯⨯-+-⨯++21006400432x x x -+=+225(64),8x x x x +--=∈+N ；∴该厂的日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数为T =225(64),8x x x x +--∈+N ． （2）由（1）得，2225(16512)()(8)x x T x x -+-'=+，令()0T x '=，得到32x =-或16x =， ∵0x >，∴16x =为唯一的极大值点，根据实际问题，它为最大值点，即当16x =时盈利最大． ∴为获得最大盈利，该厂的日产量应为16件．20．【答案】（1）44(1ln 4)0x y -+-=；（2）极小值4ln9-．【解析】（1）∵()2ln k f x kx x x=--，∴22222()k kx x k f x k x x x -+'=+-=；则445(2)144k k f k -+'==-， ∵直线l 与直线420x y +-=垂直，∴直线l 的斜率为14， 则51144k -=，∴1k =； 故1()2ln f x x x x =--，∴13(2)22ln 2ln 422f =--=-，即切点为3(2,ln 4)2-，∴直线l 的方程为31ln 4(2)24y x -+=-，即为44(1ln 4)0x y -+-=．（2）由（1）知1()2ln f x x x x=--， ∴4143()()2ln 2ln g x f x x x x x x x x x=+=--+=+-，函数()g x 的定义域为(0,)+∞，∴2223223()1x x g x x x x --'=--=；令2223()0x x g x x--'==，则3x =或1x =-（舍去）， 当03x <<时，()0g x '<，∴函数()g x 在(0,3)上单调递减， 当3x >时，()0g x '>，∴函数()g x 在(3,)+∞上单调递增，故当3x =时，函数()g x 取得极小值3(3)32ln 34ln 93g =+-=-． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，函数的定义域为(0,)+∞， ∴211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+==， 令()0f x '=，则1x =或1x a =-；①若11a -=，即2a =，则2(1)()0x f x x-'=≥，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②若11a -<，又1a >，故12a <<时，当(0,1)x a ∈-时，()0f x '>； 当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>；∴函数()f x 在(0,1)a -，(1,)+∞上单调递增；函数()f x 在(1,1)a -上单调递减； ③若11a ->，即2a >，同理可得，函数()f x 在(0,1)，(1,)a -+∞上单调递增； 函数()f x 在(1,1)a -上单调递减；（2）令21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，定义域为(0,)+∞， 则11()1(1)a a g x x a x a x x --'=-++=+--； ∵1a >，∴1()(1)(1)a g x x a a x -'=+--≥-2211)==-；∵15a <<，∴211)0->，即()0g x '>；∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，故当120x x >>时，12()()g x g x >， 即1122()()f x x f x x +>+，∴1212()()()f x f x x x ->--，∵120x x ->，∴1212()()1f x f x x x ->--．22．【答案】（1）见解析；（2）1k ≥．【解析】（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞．22(1)()2(1)a a x a f x a x x x-+'=-+=． 当1≥a 时，()0f x '>，故)(x f 在),0(+∞单调递增； 当0≤a 时，()0f x '<，故)(x f 在),0(+∞单调递减； 当10<<a 时，令()0f x '=，解得)1(2a a x -=． 当))1(2,0(a a x -∈时，()0f x '>，)(x f 在))1(2,0(a a -单调递增； 当),)1(2(+∞-∈a a x 时，()0f x '<．在),)1(2(+∞-a a 单调递减． （2）因为0>x ，所以当1=a 时，kx x f ≤)(恒成立kx x ≤+⇔ln 1x x k ln 1+≥⇔． 令xx x h ln 1)(+=，则max h k ≥， 因为2ln ()x h x x -'=，由2ln ()0x h x x -'==得1=x ，且当)1,0(∈x 时，()0h x '>；当),1(+∞∈x 时，()0h x '<．所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减． 所以1)1(max ==h h ，故1≥k ．。