3.4.1基本不等式
2018版 第3章 3.4 基本不等式ab≤a+b2(a≥0,b≥0) 3.4.1 基本不等式的证明
，b
a＋b＝4， ∴ ab＝4，
【答案】 2 2
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教材整理2
基本不等式
阅读教材P97～P98，完成下列问题． a＋b 如果a，b是正数，那么 ab___ ≤ a＝b 时取“＝”)，我们把 2 (当且仅当_______ a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0) 称为基本不等式． 不等式______________________
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[基础· 初探]
教材整理1 算术平均数与几何平均数
阅读教材P96，完成下列问题． a＋b ab 称为a，b的 对于正数a，b，我们把_______ 2 称为a，b的算术平均数，_____ 几何平均数．
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若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝ ＝ .
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a2 b2 c2 (2)∵a，b，c， b ， c ， a 均大于0， a2 ∴ b ＋b≥2 a2 b＝2a， b·
a2 当且仅当 b ＝b时等号成立． b2 c ＋c≥2 b2 c＝2b， c·
b2 当且仅当 c ＝c时等号成立．
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c2 a ＋a≥2
c2 a＝2c， a·
阶 段 一
3.4
基本不等式 ab≤ 3.4.1
a＋b
2
阶 段 三
(a≥0，b≥0)
学 业 分 层 测 评
基本不等式的证明
阶 段 二
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1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
基本不等式课件(公开课)
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2.注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”
成立的条件.
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
课本第100页习题3.4A第1﹑2题。
３.S与S′有什么关系？
形的角度 D
G
F
C
A
HE
B
当直角三角形变为等腰直角三角形时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有正方形的面积等于四个 等腰直角三角形的面积和.
数的角度
当a=b时，a2+b2=2ab
5.当a,b为任意实数时， a2 b2 2a b
还成立吗？
结论1：一般地,对于任意实数a、b，我们有
变式1：x
1
有最小值吗？
x
变式2：
x2
2
1
最小值是2吗？
x2 2
变式3：若x>1，求 x 1 的1最小值.
变式4：若x>1，求 x 的1最小x 值1能直接用均值不等式
吗？
x 1
课堂小结
1.本节课主要学习了基本不等式的证明与 初步应用.
(1)若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
3.4.1基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家 大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦 图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
探究１：
1.正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C
２.四个直角三角形的
面积和S′=＿2＿ab
3.4.1基本不等式1
3.4.1基本不等式：2b a ab +≤学习目标清楚重要不等式，基本不等式的内容，并能进行简单的应用。
1、重要不等式：≥+22b a （a ，b ∈ ）；等号成立条件 ； 2、基本不等式：≤ab （a ，b ∈ ）；等号成立条件 ； 3试试（1）.不等式a a 21≥+(a>0)中等号成立的条件是( )A. a=0B. a=21C. a=1D. a=2（2）.已知m>0，求证: m 24+6m ≥24．二 新课导学学习探究(1)基本不等式中的a ，b 可以是代数式吗？(2)ab b a ≥+2与ab b a ≥⎪⎭⎫⎝⎛+22是等价的吗？典型例题类型一 对基本不等式的理解及其简单应用例1：设a ，b 为非零实数，给出不等式:① ab b a ≥+222；②若x>0，则2cos 1cos ≥+x x ；③22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a 其中恒成立的不等式有________．变式：下列不等式:①若x<0，则()()44244-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+x x x x x x ②若x>-2，则2212≥+++x x ； ③若x>1，则210log lg ≥+x x ；④若x>0，则2sin 1sin 2sin 1sin =⋅≥+xx x x ． 推导过程正确的序号为_______．规律总结类型二 利用基本不等式证明不等式或比较大小例2: 某民营企业的一种电子产品，2013年的产量在2012年的基础上增长率为a ，2014年又在2013年的基础上增长率为b(a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与2b a +的大小关系是_______．变式：若a>0，b>0，a+b=1，求证:91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ；．规律总结※ 学习小结1、重要不等式：2、基本不等式：三 反馈训练1．判断(1)当x <0时，函数y ＝x ＋1x的最大值为－2. ( ) (2)若x >0，y >0，且x ＋y ＝2，则2xy 的最大值为1. ( )(3)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为4. ( ) (4)函数y ＝x 2＋4＋1x 2＋4的最小值是2. ( )2.下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x | D.1x 2＋1＞1(x ∈R)3.下列不等式一定成立的是_______. ①x x lg 41lg 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛+(x>0)；②2log log ≥+a b b a (a>1,b>1)；③1112>+x (x ∈R).4.函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为________．5.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证: 3111>⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛-+c b c a b a b c a c a b ．6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．。
高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教学点评 苏教版必修
《基本不等式的证明》评课 本节课的主要目标是探索并证明基本不等式).0,0(2≥≥≥+b a ab b a 在探索基本不等式的过程中,执教老师依据教材给出的问题,改编为核查一个珠宝商是否##的故事,创设了一个生动有趣的问题情景．在运用科学推理揭露不法珠宝商##事实时,由寻找"判断珠宝商是否##的依据",提出两个问题："如何计算珠宝的真实重量？"及"比较2b a +〔珠宝商提供的珠宝重量〕与ab 〔珠宝的真实重量〕的大小？"．通过实例展示基本不等式探索过程的教学设计,既使探索过程中思维活动十分流畅,也表现出数学发展的趣味性．在证明基本不等式的过程中,由于基本不等式的证明方法比较多且难度不大,执教老师放手让学生自我研究证明方法．从学生在黑板上的板书中,反映出学生的学习习惯比较好．除条件0,0≥≥b a 在证法中没有交代以外,证明过程书写是比较规范的．必修教材中关于不等式证明的内容比较少,执教老师在学生证明的基础上,对比较法和分析法作简要的说明,是十分必要的．在教学中,教师指出分析法的基本思路是"执果索因",即瞄准结论,寻找结论成立的〔充分〕条件,同时还通过分析法的书写模式,强化基本思路．谨防学生认为分析法就是"从结论倒推"的错误．比较法在学习函数的单调性时曾经接触过,比较法实际上也可以看作是分析法的特例,即要证B A ≥,只要证.0≥-B A 〔或者将对命题B A ≥的证明,化归为对它的等价命题0≥-B A 的证明〕．比较法研究不等关系的优越性在于,它有利于对未知不等关系的探索和证明．形〔几何图形〕和数〔数量关系〕是中学数学研究的基本对象,它们是同一事物的两种不同的表现形式．形和数各具特点,又互相支撑．一般地,形——生动、形象、整体性好,数——严谨、精确、逻辑性强．形与数结合有利于开拓思维能力．基本不等式的代数形式为.)0,0(2≥≥≥+b a ab b a 启发学生探索基本不等式的几何形式的关键在于,给定线段a ,b ,如何构造线段2b a +和ab ．由于学生初中数学内容中没有射影定理,对于一般学生探索基本不等式的几何形式有一定的难度．基本不等式的几何解释不是本节内容的重点,是否作为本节课的教学内容可视学生的具体情况确定．在理解和运用基本不等式的阶段中,执教老师重视定理教学的常规方式,首先要求学生分析不等式的特征,不等式成立的条件以及对定理中关键词语的理解,然后再进行练习．这是很好的学习习惯,应该予以肯定．关于运用基本不等式求函数的最值问题,可以作为下节课的主要内容重点进行处理．纵观本节课,教学设计合理,学生的参与度高．但在教学中,也有一些不足之处：对练习中学生的错误不仅及时指出,还应该及时给出正确的解答；对一些语病没能及时校正,如将"开方"说成"开根号",将"2ba"说成"分式"等．。
3.4.1基本不等式的证明
温勇
Байду номын сангаас 一、创设情景，引入新课
问题 1：物体放在不等臂天平左盘上称得质量为 a，物体放在不等臂天平右盘上称得质 量为 b，把两次称得的结果“平均”一下，用������+������表示物体的真实质量合理吗？
2
问题 2：如果你认为不合理，那物体的真实质量是多少呢？
根据物理力学杠杆原理：设天平的两臂长分别为 l1,l2。物休实际质量为 M，有
几何意义：半径不小于弦长的一半
代数意义：正数的几何平均数小于 等于算术平均数
三、例题讲解，运用新知
例 1:设 a,b 为正数，证明下列不等式成立：
b （1）a
+ba
≥
2
(2) a+1a ≥ 2
变式 1：若 a 0,b 0 ，求 y b a 的最小值。 ab
变式 2：若 x 0 ，求 y 3x 12 的最小值。 x
变式 3：若 x 3，求 y x 1 的最小值。 x3
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”
四、课堂小结：
1. 本节课你学到了什么？在运用基本不等式 时要注意什么？ 2. 你还有哪些疑问？
1. 基本不等式
二、自主探究，学习新知
探究活动3： 如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b。 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
可用a,b表示图中的半径和CD长
连接OD，在直角三角形OCD中 CD和OD始终满足什么关系？
a b≥ 2
3.4.1基本不等式
3.4.1基本不等式课标要求：通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。
在教学过程中，进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。
结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。
一、教学分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
二、教学目标1、知识与技能：(1) 师生共同探究基本不等式；(2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明；(3) 会简单运用基本不等式。
2、过程与方法：通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。
3、情感、态度与价值观：(1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。
三．重点难点重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。
难点：基本不等式等号成立条件及应用。
四、课时安排2课时五、教学方法：讨论法、演示法、启发法、练习法等六、教学设想（一）创设情景，提出问题；设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
3.4.1 基本不等式的证明
3.4.1 基本不等式2ba ab +≤的证明在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.教学目标：1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.教学重点：1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.教学难点：1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.教学方法：应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，实行启发、探究式教学并使用多媒体辅助.教学过程：本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过度析得出基本不等式：2ba ab +≤，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观点.讲解过程中应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，一．引入新课由北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入，请学生在这个图中找出一些相等关系或不等关系。
.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情由上图抽象出如下图形通过引导和学生间的合作交流的第一个不等式：一般地，对于任意实数a 、b ，我们有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.并由学生自己完成证明过程，老师做适当点评。
高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[k12精品]安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明教案新人教A版必修5
3.4.1 基本不等式的证明3.4.1 基本不等式2ba ab +≤的证明一、知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣教学重点1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路教学难点1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）生应该先从此图案中抽象出几何图形师此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评） （其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来） ［过程引导］师 设直角三角形的两直角边的长分别为a 、b ，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？ 生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和师 一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？ 生 每个直角三角形的面积为ab 21，四个直角三角形的面积之和为2ab .正方形的边长为22b a ，所以正方形的面积为a 2+b 2，则a 2+b 2≥2ab师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a 2+b 2≥2ab 证明了吗？生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已师 回答得很好（有的同学感到迷惑不解）师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明） 师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a 2+b 2≥2ab生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生正确［教师精讲］师这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样生实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明师这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生作商，用商和“1”比较大小师对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）［合作探究］师请同学们再仔细观察一下，等号何时取到生当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）师从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明生当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号师这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致（大家齐声）一致（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）板书：一般地，对于任意实数a 、b ，我们有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立. ［过程引导］师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a 2+b 2≥2ab 中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师 当a ＞0,b ＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a 、b 代替此不等式中的a 、b 生 完全可以师 为什么？ 生 因为不等式中的a 、b师 很好，我们来看一下代替后的结果. 板书：ab b a ≥+2即2ba ab +≤(a ＞0,b ＞0). 师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab ba ≥+2， 只要证a +b ≥2ab ，要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，要证③，只要证：,0)(2≥-b a显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度） ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，A C=a ,B C=b .过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结A D 、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础） ［合作探究］师 同学们能找出图中与a 、b 有关的线段吗？ 生 可证△A CD ∽△B CD,所以可得abCD =生 由射影定理也可得abCD =师 这两位同学回答得都很好，那ab 与2ba +分别又有什么几何意义呢？生ab 表示半弦长，2ba +表示半径长师 半径和半弦又有什么关系呢？生 由半径大于半弦可得ab ba ≥+2师 这位同学回答得是否很严密？生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2ba ab +≤ (a ＞0,b ＞课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2ba ab +≤(a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高） 师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用布置作业活动与探究：已知a 、b 都是正数，试探索ba 112+,ab ,2b a +,222b a +的大小关系，并证明你的结论系，再由不等式及实数的性质证明基本不等式2ba ab +≤的证明一、实际情景引入得到重要不等式课时小结a2＋b2≥2ab本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：2ba ab +≤，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，。
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5
一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把������+2������叫做 a,b 的算术平均数,把 ������������叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1������2≥2 3������·1������2=2 36=12. 当且仅当 3x=1������2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ������������=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
������+������ 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
������������.
2.填空: 基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
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ab ab 2
思考：这会标中含有怎 样的几何图形？ 思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
问1：在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a b， 为S=———— 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 A D 形，它们的面积和是S’2 =ab ——— 问3：S与S’有什么样的关系？
H
从图形中易得，
s > s ’,即
a +b
2
2
E F
G
a + b > 2ab
2
2
B
C
问题1：s, S’有相等的情况吗？何时相等？
形的角度
图片说明：当直角三角形 变为等腰直角三角形，即 a=b时，正方形EFGH缩为一 个点，这时有
a b =2ab
2 2
数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
∴z≥297 600
所以，将水池的底面设计成长40m的正方形时总造价最低， 最低总造价为297 600元.
（3）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形 的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？ 18m 解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
则 x+2y=30
问题2：当 a,b为任意实数时，a + b 2ab 成
2 2
立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2a b
2 2
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
（特别的）如果 a＞0 ,b＞0 ,
用 a和 b代替a、b, 可得 a b 2 ab
也可写成
ab ab (a 0, b 0) 2
解： ∵x+4y=40
x 4y 2 ) =400 2 当且仅当x=4y时等号成立
∴x（4y）≤ (
此时，x=20,y=5
∴xy≤100
∴当x=20,y=5时，xy的最大值为100
1 例1 ： (1) 已知x 0,求x 的最值 ; x 1 ( 2) 已知x 0,求x 的最值 ; x 1 ( 3)若x 3,函数y x ,当x为何值时，函数 x3 有最值，并求其最值。
当且仅当 a=b 时“＝”号成
立 此不等式称为基本不等式
运用基本不等式证明：
一般地，对于任意实数a，b，我们有 a b 2ab 当且仅当a=b时等号成立
2 2
证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2 ≥0
∴
a 2 b 2 2ab
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 a , b 分别代替a，b，可得 a b 2 ab
如果池底每平方米的造价为150元，池壁的造价为每日平方米120元， 怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价时多少？
3
水池呈长方形，它的高时3m，底面的长与宽没有确定。如果地面的长和宽 分析： 确定了，水池的总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长与宽取什么值 时水池的总造价最低。 解： 设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元， 根据题意，有
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ ∵ ab ( a b )2
2
a+b=18
∴当a=b=9时，积ab最大为81
不等式 ab
ab 是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用， 2
是解决最大（小）值问题的有力工具。
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
当且仅当a 2 2, b
2.（2010四川文）设a b 0， 1 1 2 则a 的最小值是( ab a(a b) A 1 B 2 C 3 D 4
D)
1. 两个不等式 （1）
a, b R, 那么a 2 b 2 2ab
(当且仅当a b时取" "号)
ab （2） ab (a>0,b>0) 当且仅当a=b时，等号成立 2
1 1 x 2 y 2 225 菜园的面积为s=xy= x2y ( ) = 2 x 2 2 2 15 当且仅当 x=2y时取等号 此时x=15，y= 2 15 225 2 即当矩形菜园的长为15m，宽为 m时，面积最大为 2 m 2
y
练习： 设x，y满足x+4y=40，且x，y都是正数，求xy的最大值
1 1 解: x 2 x 2 x x 1 当且仅当 x 即x 1时原式有最小值 2. 结论 1：两个正数积为定值，则和有最小值 x
1 1 1 2、解 : x [( x) ( )] 2 ( x ) ( ) 2 x x x 1 当且仅当 x 即x 1时有最大值 2. x 3、解 : x 3
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
应用基本不等式求最值的条件：
ab ab 2
（ a＞0，b＞0）
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
例题2
某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800 m ，深为3m，
拓展提高
16 1.已知a b 0, 求a 的最小值。 b( a b )
2
解： a b 0, a b 0
b a b 2 a2 0 b( a b) ( ) 2 4 16 64 2 b( a b) a 即a 2 16 64 64 a 2 2 2 a 2 2 16, b( a b) a a 2时等号成立。
ab ab 2
分析法证明基本不等式 要证
（ a＞0，b＞0）
基本不等式
ab 2
ab
①
只要证
a b 2 ab a b 2 ab 0
( a b )2 0
②
③
要证②，只要证
要证③ ，只要证
④
显然， ④是成立的，当且仅当a=b时， ④中的等号成立
【应用练习】
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 设a>0,b>0 ab=36 ∵ a b 2 ab ∴当a=b=6时，和a+b最小为12
4800 Z=150× 3
3
+ (2 3x 2 3 y) 120 =240 000+720(x+=4800
即xy=1600
x
y
由基本不等式与不等式的性质，可得
240000 720 ( x y ) 240000 720 2 xy
∴z≥ 240000 720 2 1600 当x=y，即x=y=40时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
1 1 y x ( x - 3) 3 x3 x-3
1 2 ( x 3) 35 x3 1 当且仅当 x3 ,即x 4时，函数有最大值， x3 最大值为 5。
二、利用基本不等式求函数的最值
12 例2.（1）若x 0，求f ( x) 3 x的最小值。 x 12 (2)若x 0，求f ( x) 3x的最大值。 x （3）已知a 0, b 0, 且4a b 1, 求ab的最大值。 4 （4）已知x 2, 求x 的最小值。 x2 4 9 （5）已知x 0, y 0, 且x y 1, 求 的最小值。 x y