2.2 开集与闭集解析

开集的余集是闭集
证明：设E为开集，即 x E, 0, 使得O( x, ) E 从而
O( x, ) Ec
从而x不是Ec的接触点，
也即Ec的接触点一定在Ec内，
从而 E c E c ，即Ec为闭集。
P0为 P0为
E的接触点： 0, 有O( p0 , ) E E的内点： 0, 使得O( p0 , ) E
F {x} { y x : y F} G
证明：对任意的y∈F，由于y∈G ，
故存在 y 0, 使得O( y, y ) G
: y F } ) 由 {O( y , 1 组成F的一个开覆盖及 2 y
有限子覆盖定理，知存在y1, y2, …yn ∈F ,
n
使得F O( yi , 1 y )
i 1
2 i
于是对每个y∈F至少属于某个
O( yi , 1 y )
2 i
且y与Gc中的任一点z之间的距离为
1 | y z || z yi | | yi y | yi 1 2 yi 2 yi
取 1 y1 , y2 ,, yn } 2 min{
覆盖F
则
{Ni : i I }
中存在有限个开集N1 ，N2， … ,Nn，它同样覆盖F
证明
1. 先证明 0, 使O( x, ) F , 都有O( x, ) Ni0 .
若不然，对n, 都有 1 ,因而必有xn F , n
1 使O ( xn , )不包含在任何属于 的开领域中 . n
P0为
P0为
0, 使得O( p0 , ) E E的内点：
由于E E ' E E ' {E的孤立点全体 } 故E E等价于E ' E
E E ( 因为 E E显然) 说明：要证E是开集，只要证
要证E是闭集，只要证 E' E或E E(因为E E显然)
0, 有O( x, ) ( E'{x})
取x ' O( x, ) (E ' {x})，由x ' E '
知 ' 0, 有O( x ', ') ( E {x '}) (当 ' min{ d ( x, x '), d ( x, x ')}时,有x O( x ', ') O( x , )）
1 2 0, 3 , 3 ,1
再次
如此继续下去，最终剩下的点集记作E，称之
1 2 7 8 . , , , 9 9 9 9
为Cantor集，则E是一个完备集。
Cantor集
对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集
I
设G非空，任取x G, 则 0 I，使x G 0， 已知G 0 为开集，故存在 x的领域(1 , 1 ) G 0 G, x是G的内点，由x的任意性知G为开集.
c. 有限多个开集的交仍是开集
n 证明 设G Gi , Gi (i 1,2, n)为开集 .任取 x G则x Gi . i 1
⑶开集的性质
A B
a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。
注：无限多个开集的交不一定为开集，如： En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)
b. 任意一族开集的并是开集
证明 设G ( I )是一族开集，下证 G G 是开集 .
x ( E ) 所以x为 的内点，即
Eº
从而E ( E )，即E 为开集

O( x , )
E`为闭集
O( x , )
证明：只要证
( E ' )' E '
E
任取 x ( E ' )' ，由聚点的定义知
O( x', ')
闭集的余集是开集
证明：设E为闭集，即 E E 任取 x E c ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与 x E c 矛盾，
所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。
P0为 P0为
E的接触点： 0, 有O( p0 , ) E E的内点： 0, 使得O( p0 , ) E
i 1
n
⑷闭集的性质
a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。
注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]
(5) Heine-Borel有限覆盖定理
设F为有界闭集，若开集簇 （即 ），
F Ni
iI
{Ni : i I }
利用( E )' ( E E ' )' E '( E ' )' E 'E ' E ' E 可得E为闭集
注： E 为包含E的最小闭集
(2)开集与闭集的对偶性
a.
( E) ( E )
c
c
(E ) (E )
c
c
b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。
因Gi为开集，故存在 x的领域( i , i ) Gi , 取 max i , min i , 则x ( , ) ( i , i ) Gi .
1i n 1i n
所以 x ( , ) Gi G.因此 x是G的内点.
Cantor 集合E是一疏朗集合
任取开区间 ( , ),若( , )不含E的点，则显然成立 .
若( , )中有E的点x，令 min{x , x}, 1 则 0, 故当n0充分大时，便有 n0 . 3
c O [ a , b ] 则 ( x, )
,
a b x
从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b] 内，从而[a,b]是闭集。
说明： 要证E是闭集，只要证
E ' E或Ec (E' )c 或E E或Ec (E)c (因为E E显然)
注：闭集为对极限运算封闭的点集
P0 为 P0 为 P0 为 P0为
E的接触点： 0, 有O( p0 , ) E E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0}) E的内点： 0, 使得O( p , ) E 0
c E的外点： 0, 使得O E , 即 O E ( p0 , ) ( p0 , )
Cantor 集合E是一完备集合 1) E是一闭集.
设A是所有被删去的点作成的集合，则A是可数多个 开集的和，所以A是开集.
而E [0,1] A [0,1] Ac , 故E是闭集.
2) E是一自密集.
根据Cantor集的构成，在进 n次删去以后，所余下来 的 1 n 2 个闭区间的长度是 n . 3
设这些小块是 F1，F2， , Fm，在每一Fi中任取一点xi , 作N ( xi , ),则有Ni 使N ( xi , ) Ni .
于是得出属于的有限多个开领域 N1 , N 2 , , N m . 显然F Fi N i .
i 1 i 1 m m
例3：设F为R1中的有界闭集，G为开集且 F G 则存在δ>0，使得当|x|< δ时 ，有
由xni x0 , 取ni充分大，使 ( xni , x0 ) 于是O( xni ,
1
2 ni ,


2
,
1 ) N ( x0 , ) N ( y0 , ) .这与xni的定义矛盾 . ni
2. 因为F有界，用平行于坐标平 面的超平面将 F分成 有限多个小块，使每一 块中任意两点的距离都 小于 .
( , )
中总有子区间
( , ) ( , ), 使得 ( , ) 不含有A的点，则称A是疏
问题：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？
Cantor集的构造:
将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间 三等分，删去中间的两个区间
1 2 , ，将剩下的两个区间 3 3
E`为闭集
知 ' 0, 有O( x ', ') ( E {x '})
O( x , )
(当 ' min{ d ( x, x '), d ( x, x ')}时,有x O( x ', ') O( x , )）
E
O( x', ')
从而 O( x, ) (E {x}) 即x为E的聚点，从而 ( E ' )' E '
第二章 n 维空间中的点集
第二节 开集、闭集与完备集
(1) 开集、闭集
若Eº= E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 E E ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
P0为
0, 有O( p0 , ) E E的接触点：
E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0})
0
得
0
n
n
0
Eº 为开集 证明：只要证 E ( E ) 任取
x E
，
由内点的定义知 0, 使得O( x , ) E